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初一数学整式乘除、一元一次方程、不等式及复习

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第三讲整式的乘除Part1 整式乘法【课堂引入】【知识讲解】1.单项式乘单项式:(1)法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

（2）运算步骤：①系数相乘，结果作为积的系数；②同底数幂相乘，所得结果作为积的因式(3)温馨提示：①单项式乘单项式的结果仍是单项式②法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则③同底数幂相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”来计算，不要与合并同类项混淆。

④注意运算顺序：先算乘方，再算乘法2.单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（以题代讲）3.多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

温馨提示：①每一项都要分配，最开始不熟练，可用画弧线辅助计算的方法；②先确定符号③有同类项要合并【补充例题】1．若﹣2x2m﹣1与y n﹣4与7x1﹣n y m﹣1的积与x7y3是同类项，求m、n的值．2．若x2y3＜0，化简：．Part2 整式乘法公式【课堂引入】书引3图形面积计算引出平方差公式和完全平方和公式用右图引出完全平方差公式【知识讲解】1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2（a和b可以是单项式，也可以是多项式）2.完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2补充：立方和：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3立方差：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3Part3 整式除法(1)单项式除以单项式：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

温馨提示：①运算中的单项式的系数包括它前面的符号②不要遗漏只在被除式中含有的字母（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。

温馨提示：①不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同。

②当被除式中有一项与除式相同时，相除后所得的商是1不是0【补充例题】1．探究应用：（1）计算：①（a﹣2）（a2+2a+4）②（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：（请用含a，b的式子表示）（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（）A．（a﹣5）（a2﹣5a+25）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C．（3﹣x）（9+3x+x2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式写出计算结果：（2x﹣3）（4x2+6x+9）=．第五讲二元一次方程组Part1 基本概念【课堂引入】阿基米德是公元前三世纪古希腊伟大的数学家，有着不少的粉丝。

其中有两个女子一直对他表示爱意，纠缠不求。

阿基米德烦透了，便对他们说:“你们各用数学公式来表示对我的爱，我从中选一个真诚的。

”于是x说:“与y相比我爱你更甚百倍”;y说:“我的爱是x的1000倍”。

哪知阿基米德听了后说:“你们俩谁也不是真爱我!”说着演算给两位女士看,x、y看了不禁目瞪口呆，为什么?【知识讲解】1.结合一元一次方程定义从元和次的角度给出二元一次方程的定义：二元一次方程: 含有二个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,方程中每项都是整式的方程. （举例，辨别是否是二元一次方程，类似课本上的）2.二元一次方程的解:一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，一个二元一次方程有无数多解.3.方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.（书上的例子）4.二元一次方程组的解: 二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.大部分情况下，一个二元一次方程组的解是唯一的.补充：二元一次方程组解的情况：①一解②无数解 x+y=2 ③无解 x+2y=52x+2y=4 2x+4y=12【补充例题】1．写出方程5x﹣3y=4的一个解，要求满足：（1）x、y相等：，（2）x、y互为相反数：．2．当a取何值时，关于x、y的方程组x+2y=6和x﹣y=9﹣3a有正整数解．3．已知方程组①无数多个解；②唯一解；③无解．分别求三种情况下a、b的值．Part2解二元一次方程组【知识讲解】1.消元思想2.代入消元法：①变形②代入③解方程④求值3.加减消元法：①变形②加减③解方程④求值4.整体消元法：将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的。

【补充例题】3．已知方程mx+ny=6的两个解是；，求2m﹣n的值．4．求方程7x+19y=213的所有正整数解．5．甲、乙两人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错C解得，求A、B、C的值．6．已知方程组的解x，y的值的符号相同．（1）求a的取值范围；（2）化简|2a+3|+2|a|．7．若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值．8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y=a，求该方程组的解．9．解方程组．10．某商场新进一种服装，每套服装售价100元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价和比原来提高了2%，这套服装原来裤子和上衣的单价分别是多少？11．列方程（组）解应用题：国家的“家电下乡”政策激活了农民购买能力，提高了农民的生活水平．“家电下乡”的补贴标准是：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的13%补贴给农户．李大叔购买了一台彩电和一台洗衣机，从乡政府领到了390元补贴款．若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，求彩电和洗衣机的售价各是多少元？12．在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．13．两人在环形跑道上跑步，方向相同，每隔4分10秒相遇一次，方向相反时，每隔50秒一次，求每人跑一圈各需几分钟？（甲速大于乙速）14．有一批长50米的钢筋，现要截成长度为9.5米和7米的两种钢筋备用，问怎样截法可使原材料的利用率最高？并求利用率是多少？15．14个大号，中号，小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克，问：大号钢珠有多少个，中号钢珠有多少个？16．小红放学回家，她留心每隔4分钟就有一辆汽车从后面经过驰过，而每隔2分钟就有一汽车从对面开过来，问每隔多少分钟从起点开出一辆车？第六讲不等式【知识引入】一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片、一块钱卖两张，另外30张唱片是一块钱卖3张.那天，这60张唱片全卖完了.30张一块钱两张的唱片收入15元，30张一块钱3张的唱片收入10元，总共是25元.第二天商店老板又拿出60张唱片放到柜台上.老板:何必要自找麻烦来分唱片? 如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖3张，何不把60张唱片放在一起，按两块钱5张来卖? 这是一样的.商店关门时，60张唱片全按两块钱5张卖出去了.可是，商店老板点钱时发现只卖得24元，不是25元，这使他很吃惊.你认为这一块钱到哪里去了? 是不是有个伙计偷了? 是不是给顾客找错了钱.这条悖论是建立等式和不等式性质的极好例子.正如上面的故事所表明的，那个老板觉得把两种唱片放在一起，每5张卖两块钱。

和分开来一种卖两张一块钱。

一种卖3张一块钱是“同样的”，这就搞错了.没有任何道理能说明两种卖法应该收入同样的钱数.上面的例子中两者之间的差很小，以致于看上去好像那一块钱是不留意造成的，或者是遗失了.现在，我们对此悖论作一下代数分析.假设价格较高的唱片是每a张卖b元，价格较低的唱片每c张卖元.若所有唱片都各以两种不同的价格卖，则一张唱片的平均价格是b/a和d/c 之和的一半.如果两种唱片合起来，按一个价格卖，那么a+c张唱片就卖b+d元钱，一张唱片的平均价格就是(b+d)/(a+c)显然，两套唱片合起来要收入同样多的钱数就必须是(b/a+d/c)/2=(b+d)/(a+c)但令人吃惊的是，这个等式只有在a=c时成立，而与b和d的值无关.如a>c,则两套唱片合起来卖可得的钱多一些(如我们这个说明中的例子，这里a=3,c=2); 如果a<c,则合起来卖就要赔钱(如上面所举的唱片例子).Part1 解不等式1．若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为．2．若x+y=3，x≥0，y≥0，则x+3y的最小值为（）A．0 B．3 C．9 D．123．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．24．关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是．5．已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是．6．不等式3（x﹣2）≤x+4的非负整数解有（）个．A．4 B．5 C．6 D．无数7．已知，求|x﹣1|﹣|x+3|的最大值和最小值．思考题:1.在a克糖水中含有b克糖(a＞b＞0),现再加入m克糖,则糖水变得更甜了,这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式,则这个不等关系式是。

2.若a、b满足3a2+5︱b︱=7，s=2a2-3︱b︱，则s的取值范围是。

Part2解一元一次不等式组【知识回顾】1.定义:把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组。

2.一元一次不等式组的解集：定义：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。

温馨提示：①在求不等式组解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。

②关于x的不等式组{ x≥ax≤a的解集为x=a，关于x的不等式组{x＞ax＜a的解集为空集。

3.解一元一次不等式组的一般步骤（1）解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

（2）解一元一次不等式组的一般步骤：①分别求出不等式组中各不等式的解集；②将各不等式的解集在数轴上表示出来；③在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。

【精讲例题】【基础题型】例1.（一）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．BC．D．（二）不等式组的整数解为。

（三）解不等式组{x0.2+2＞x+20.5x−1 0.1≤2x-20.4，把解集在数轴上表示出来，并求不等式组的整数解。

【含参不等式组】例2.（一）若关于x的不等式组的整数解只有1个，则a的取值范围是（）A．2＜a＜3 B．3≤a＜4 C．2＜a≤3 D．3＜a≤4（二）不等式组的解集为x＜2，求k的取值范围。

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(完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结

(完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结

知识点1:一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程.一元一次方程的标准形式是：ax+ b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a乒。

.一元一次方程的最简形式是：ax=b（a丰0）不定方程：一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。

代数方程：代数方程通常指整式方程。

有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。

等式：用符号"=来表示相等关系的式子，叫做等式.在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式；两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。

方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。

解一元一次方程的一般步骤：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4. 合并同类项：把方程化成ax=b（a丰0）的形式；5. 系数化成1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解。

矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程.知识点2:二元一次方程有两个未知数并且未知项的次数是1,这样的方程，叫做二元一次方程.二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组.解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的两种解法：（1）代入消元法，简称代入法.①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示.②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值.④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解.2）加减消兀法，简称加减法.①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等.②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值.④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解.二元一次方程组解的情况：知识点3:一元一次不等式（组）：不等号有〉、A、<、V或乒等等.用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.如ax<b 或ax>b（a 丰 0）几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组不等式基本性质：（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.一元一次不等式的解法步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化成1（如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向）一元一次不等式组的解法步骤：（1）分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集.（2）在数轴上表示各个不等式的解集. （3 ）写出不等式组的解集.知识点4一元二次方程基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2 （任意）.一次项系数为5 （任意），二次项是 3 （任意不为0）一元二次方程的求根公式：方程as' -F bs 4- c = M&W 0）2a一元二次方程的解法：1. 解一元二次方程的直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解.己知方程（HLX十Q）'二k（DQ尹（Xk〉。

整式的乘除知识点及题型复习

整式的乘除知识点及题型复习

整式的乘除知识点及题型复习整式是数学中一个重要的概念，它是由常数和变量通过加法、减法和乘法相连接得到的表达式。

在代数学习中，乘法和除法是我们需要掌握和熟练运用的基本运算。

在本篇文章中，我们将复习整式的乘除知识点，并通过一些典型题型来巩固对这些知识的理解和应用。

首先，我们来回顾一下整式的基本概念。

整式由常数项、一次项、二次项等组成，例如3x^2 + 2xy - 5。

其中，3x^2是二次项，2xy 是一次项，-5是常数项。

乘法是整式中最常见的运算之一，下面让我们来看一些乘法的知识点。

1. 乘法法则：a) 常数的乘法：常数与整式相乘，只需将常数与整式中的每一项相乘即可。

例如：2 * (3x^2 + 2xy - 5)= 6x^2 + 4xy - 10b) 变量的乘法：变量与整式中的每一项相乘时，注意指数相加。

例如：x * (3x^2 + 2xy - 5)= 3x^3 + 2x^2y - 5xc) 整式之间的乘法：将整式中的每一项与另一个整式中的每一项相乘，然后将结果相加。

例如：(3x^2 + 2xy) * (4x + 2y)= 12x^3 + 6x^2y + 8xy^2 + 4y2. 乘法题型复习：a) 计算乘法表达式：计算给定的乘法表达式的值。

例如：计算表达式3x^2y * 2xy的值。

解答：3x^2y * 2xy = 6x^3y^2b) 多项式乘法：将两个多项式相乘。

例如：根据乘法法则，计算(2x + 3y) * (3x - 4y)的值。

解答：(2x + 3y) * (3x - 4y) = 6x^2 - 8xy + 9xy - 12y^2= 6x^2 + xy - 12y^2现在，让我们转向整式的除法知识点。

除法是整式中另一个重要的运算，下面是一些我们需要了解的知识点。

1. 除法法则：a) 普通除法：将除数的每一项与被除数的每一项进行相除，然后整理得到商和余数。

例如：(6x^3 + 4x^2 - 2x) ÷ (2x)= 3x^2 + 2x - 1b) 二项式除法：使用二项式长除法的方法，将除数的第一项与被除数的第一项进行相除，然后再将所得商乘以除数，得到一个中间结果，接着用这个中间结果去减除数的乘积，得到一次项。

2024初中数学知识点复习提纲

2024初中数学知识点复习提纲

2024初中数学知识点复习提纲一、代数与函数1.一元一次方程与一元一次不等式•含有绝对值的一元一次不等式的解法•解一元一次方程和不等式时的变形方法•应用一元一次方程和不等式解决实际问题2.一次函数与一次函数图像•一次函数的定义、性质和图像表示•利用一次函数解决实际问题•一次函数和一元一次方程、不等式的关系3.二次根式•关于二次根式的定义、性质和化简方法•二次根式的运算和求值•应用二次根式解决实际问题4.整式的定义、性质和运算•多项式的基本概念、性质和表示方法•多项式的加、减、乘和整式除法运算•利用整式解决实际问题二、几何与测量1.平面几何初步•直线、线段、射线、角的基本概念及刻画方法•同位角、对顶角、内错角等角度关系•垂直、平行、相交、交错等线段关系•用角度关系和线段关系解决几何问题2.平面图形初步•三角形的基本性质、分类和判定方法•四边形、多边形、圆的定义和性质•识别和绘制各种平面图形•应用平面图形解决实际问题3.直线、角、面积测量•直线的测量方法和误差控制•利用角度测量解决几何问题•平面图形的面积计算及其应用4.立体几何•空间图形的基本概念、分类以及基本变换方法•立体图形的体积和表面积计算•应用立体几何解决实际问题三、数据与概率1.统计基础知识•数据和变量的定义、分类及其表示方法•统计描述性分析方法（频数、频率、中位数、平均数等）•数据图表的绘制和分析2.概率初步•随机事件和样本空间的定义、性质及表示方法•概率的定义、性质和计算方法•统计与概率的关系及其应用3.统计与概率的实际应用•利用统计和概率解决实际问题•假设检验及其应用以上是2024初中数学知识点复习提纲，希望对广大中学生有所帮助。

初中数学方程与不等式知识点总结

初中数学方程与不等式知识点总结

初中数学方程与不等式知识点总结方程和不等式是初中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和数学运算中都有着广泛的应用。

接下来，让我们一起系统地梳理一下这部分的知识点。

一、方程（一）一元一次方程1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。

一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（＄a ＼neq 0$，＄a$，＄b$为常数）。

2、解法：（1）移项：把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。

（2）合并同类项：将同类项进行合并，化简方程。

（3）系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

例如：解方程$3x ＋ 5 ＝ 14$移项得：＄3x ＝ 14 5$合并同类项得：＄3x ＝ 9$系数化为 1 得：＄x ＝ 3$（二）二元一次方程组1、定义：由两个含有两个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

2、解法：（1）代入消元法：将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。

例如：解方程组$＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y ＝ 1\end{cases}＄由第一个方程得：＄x ＝ 5 y$，将其代入第二个方程得：＄5 y y ＝ 1$＄5 2y ＝ 1$＄－2y ＝－4$＄y ＝ 2$将$y ＝ 2$代入$x ＝ 5 y$得：＄x ＝ 3$所以方程组的解为$＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 2\end{cases}＄（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。