一元一次方程与一元一次不等式的异同

一元一次不等式与一元一次方程的关联与区别作者：魏思晴来源：《初中生世界·七年级》2017年第08期一、关于基本概念所谓的“一元一次”指的是“只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1”，这是一元一次方程和一元一次不等式的最大相同点.还有一处相同点非常容易被同学们忽略：当我们谈到“一次”时，等号或不等号左右两边的式子都必须是整式.方程是含有未知数的等式，用等号连接，表达相等关系.而不等式则是用，≤，≥，≠这些不等号连接的，表达的是不等关系.符号的区别是两者在形式上最显著的差异.自然界中的关系里，不等关系更为常见，碰巧相等才是特殊情况.举个例子，[2x-13]=[5x4]-5是一元一次方程，而[2x-13]≥[5x4]-5则是一元一次不等式.二、关于基本性质寻找方程的解的过程叫做解方程.同样，寻找不等式解集的过程叫做解不等式.解方程的依据是等式的基本性质：1.等号两边同时加或减同一个数或整式，等式依然成立；2.等号两边同时乘或除同一个非零的数，等式依然成立.在不等式中，对于加减也有相似的不等式的基本性质：不等号两边同时加或减同一个数或整式，不等式依然成立，但在乘或除的性质上，有所不同.不等号两边同时乘或除同一个正数，不等式依然成立；同时乘或除同一个负数时，不等号就应该改变方向.一元一次不等式和方程一样，求解都需要经历去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1这几个步骤，本质上还是通过一步一步地转化，将不等式转变为解的基本形式.在解题过程中，如果出现不等式两边同时乘或除负数的情况，一定要记得改变不等号的方向哦！以之前的不等式为例，要找到[2x-13]≥[5x4]-5的解集，第一步需要去分母，不等式两边同时乘以12，得到4（2x-1）≥15x-60.接下来涉及去括号，得到8x-4≥15x-60.下一步移项，得到8x-15x≥-60+4.合并同类项，得到-7x≥-56.最后一步系数化为1时，不等式两边同时除以-7，需要改变不等号的方向，得到原一元一次不等式的解集为x≤8.三、关于解和解集在一元一次方程中，能使等式成立的未知数的值就是方程的解.同样，在一元一次不等式中，能使不等式成立的未知数的值就是不等式的解.一元一次方程的解通常只有一个，是一个具体的数值，在数轴上对应一个点.而能使不等式成立的解却有很多，在某个范围内，不等式都能成立，把这些不等式的解看作一个整体，就是不等式的解集.不等式的解集在数轴上对应一定区域的连续的点.用≤，≥连接的不等式的解集在数轴上通常是一条射线；用连接的不等式的解集可看成是一条射线去掉端点后剩余的部分.继续解读文章开始用到的例子，[2x-13]=[5x4]-5的解是x=8，只有这一个值能够使等式成立，在数轴上就是8所对应的那个点.而[2x-13]≥[5x4]-5的解集为x≤8，意思是在不超过8的范围内的任何数都可以让不等式成立，如x=8，x=0，x=[-53]等，它们都是不等式的解.这个不等式的解有无数个，在数轴上对应的点是包括8和在8左边的所有的点，这些点组成了一条射线.四、关于一元一次不等式组将两个一元一次不等式联立在一起，就形成了一个一元一次不等式组，在一元一次方程中，并没有一元一次方程组一说.一元一次不等式组的解，就是同时满足几个一元一次不等式的未知数的值，也就是每一个不等式的解集的公共部分.如果几个不等式的解集没有公共部分，也就是说这个不等式组是无解的.我们在之前举例的不等式上做一些变化，如果不等式[2x-13]≥[5x4]-5与2（x+4）≤3x+3联立起来就形成了[2x-13≥5x4-5，①2x+4≤3x+3，②]分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分就是不等式组的解集.由不等式①得x≤8，由不等式②得x≥5.得到原不等式组的解集为5≤x≤8.类似地，由三个、四个，甚至多个一元一次不等式组成的不等式组，也同样是分别求出每个式子的解集，再找寻公共部分，即可解出整个不等式组，请同学们自己尝试着解一解[2x-13≥5x4-5，①2x+4≤3x+3，②x-2在接触新知识的时候，类比以往熟悉的知识，找到相关的联系点，在此基础上对比区别之处，是一种很好的学习方法.同学们在日常的学习和生活中，需要注意积累，善于联想，自主整理、充实、升级自己的知识库，才能让所学皆为我所用，成为大家口中学习不费力的学霸、学神级人物.（作者单位：南京师范大学附属中学江宁分校）。

一元一次不等式和一元一次不等式组知识梳理（一）基本概念1．不等式：2．不等式的解：3．不等式的解集：4．一元一次不等式：5．一元一次不等式组的解集：（二）不等式的基本性质基本性质1：基本性质2：基本性质3：（三）基本方法1．不等式解集的表示方法：（１） （２）2．不等式的解法：【与解方程类似，不同之处就在：左右两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。

】3．不等式组解法：“分开解，集中判”解出各个不等式，再判断所有解集的公共部分即为不等式组的解集。

4．不等式组解集规律：“同大取大，同小取小，不大不小中间找，又大又小无解了。

” 请用数轴展现：设 a > b ：⎩⎨⎧bx a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧bx a x（四）方法思想1．数形结合思想：不等式（组）解集的两种表示方法。

2．不等式与一次函数的关系，可以利用函数图像来分析解答。

如：一次函数y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2图像如右图所示，求不等式k 1x+b 1≤k 2x+b 2的解集。

专题一：不等式的有关概念与不等式的基本性质解不等式（组）（一）、不等式的基本性质练习1、已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空(1) a －3b －3；(2) 6a6b ；(3) －a －b ；(4) a －b 0；2aa+b2、若a <b ，则不等式○1a-5<b-5 ○2a+k <b+k ○32a <2b ○4ac <b 中成立的有（ ） Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个3、不等式7+5x 〈24 的正整数解的个数是（ ）A.1个B.3个C.无数个D.4个4、已知32,5221+-=-=x y x y ，如果21y y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2>xB ．2<xC ．2->xD ．2-<x5、当x 时，能使x+4＞0和2x+1>0同时成立6、关于x 的方程632=-x a 的解是正数，那么a 的取值范围：__________（二）、解不等式（组）1（1）4352+>-x x （2）11237x x --≤2、解下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧->->13132x x （2）⎩⎨⎧>+≤0312x x（3）⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x （4）24321<--<-x专题三、不等式组的特解1、求不等式x x 228)2(5-≤+的非负整数解2、解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≥+-xx x x 81311323 并写出该不等式组的整数解当堂练习1、求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤+421121 x x 的整数解2、求不等式()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+3212352x x x x 的正整数专题三 用不等式或不等式组解答实际问题一、课堂练习1、小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？2、某校初一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，求住宿生人数．3、暑假，学校的老师将带领校、镇、市级“三好学生”去旅游.甲旅行社说：“其中一位带队老师买全票，全票价为240元，则其余老师和学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括带队老师和学生全部票价6折优惠”。

一元一次方程与一元一次不等式一元一次方程是数学中的基本概念，它描述了两个数之间的关系。

一元一次不等式则是对两个数的大小关系进行描述。

本文将探讨一元一次方程和一元一次不等式的定义、解法以及它们在实际生活中的应用。

一、一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

它的一般形式可以表示为：ax + b = 0其中a和b为已知实数，x为未知数。

解一元一次方程的常用方法有两种：解方程法和图解法。

1. 解方程法解方程法是通过对方程进行变形，使得未知数x的系数变为1或-1，从而解出x的值。

例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以首先将方程两边减去3，得到2x = 4，然后再将方程两边除以2，最后得到x = 2。

2. 图解法图解法是通过在坐标系中画出方程的图像，直观地找到方程的解。

以方程2x + 3 = 7为例，我们可以将方程表示为y = 2x + 3和y = 7两个直线，通过观察它们的交点就可以得到方程的解。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。

它的一般形式可以表示为：ax + b > 0 或 ax + b < 0其中a和b为已知实数，x为未知数。

解一元一次不等式的方法与解方程类似，但需要注意将不等号的方向考虑进去。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以首先将不等式两边减去3，得到2x > 4，然后再将不等式两边除以2，并注意将不等号的方向反转，最后得到x > 2。

三、一元一次方程与一元一次不等式的应用一元一次方程和一元一次不等式在日常生活中有广泛的应用，比如计算购物打折、解决时间、速度等问题。

1. 购物打折假设购物时有一件原价为x元的商品，现在打5折，我们可以建立以下一元一次方程来计算打折后的价格：0.5x = 打折后的价格解这个方程可以得到打折后的价格，并通过计算得知实际需要支付的金额。

１、一元一次方程于一元一次不等式的关系： 当 函数值确定 时，求 与之对应的自变量
的值，就是解一元一次方程。从图象上看，这 相当于已知 横坐标 ，确定 纵坐标 的值。
2、一次函数与一元一次不等式的关系： （1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0） 是一次函数y=ax+b（a≠0）• 的函数值 y 不等于０ 的情形． （2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的 图像）的x的取值范围是ax+b ＞ 0的解集；使 函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是 ax+b ＜ 0的解集．
一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端 挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过 30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹 簧伸长0.5cm.如果所挂物体的质量为x㎏， 弹簧的长度是ycm。 （1）、求y与x之间的函数关系式， 并画出函数的图象。
（2）、求弹簧所挂物体的最大质量是 多少？ （3）、能否用不等式求解问题（2）？
例1 如图是一个一次函数的图像，请根据图像回 答问题： （1）求出直线对应的一次函数的表达式 ； （2）当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝ ； 当y=4时,x= .
1 （3）一元一次方程 x 2 0 2 1 和一次函数 y x 2 2
有什么联系？
例2 画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求： （1）不等式-3x+12>0的解集． （2）不等式-3x+12≤0的解集． （3）当2<y<16时,x的取值范围.收获和体会Fra bibliotek随堂演练
1、p32页练习。 2、在一次函数y=2x-3中，已知x=0 则y= ；若已知y=2则x= ； 3、当自变量x 时，函数 y=3x+2的值大于0；当x 时， 函数y=3x+2的值小于0。 4、已知函数y=-3x+6，当x y>0.当x 时，y≤-2。 时，

一元一次不等式与一元一次方程一元一次方程和一元一次不等式是数学中常见的两类问题。

虽然它们的形式和解答方法有所不同，但都是解决实际问题的数学工具。

在这篇文章中，我们将详细介绍一元一次方程和一元一次不等式，并比较它们的特点和应用。

一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知常数，x 是未知数。

一元一次方程的解是指使等式成立的x的值。

解决一元一次方程的关键是找到满足等式的x的值。

解一元一次方程的方法有很多，其中常见的有以下几种：1.同加同减法：通过对方程两边加减同一个数，去掉方程中的其中一项，进而解得未知数的值。

2.同乘同除法：通过对方程两边乘或除同一个非零数，改变方程中的系数或常数，使方程更容易求解。

3.消去法：如果现在有两个一元一次方程，可以通过消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。

例如，解方程2x+3=7，我们可以采用同减法，得到2x=4，再通过同除法，可以得到x=2、因此，方程的解是x=2一元一次方程的应用非常广泛，例如在代数学、数学建模、物理学等领域中，都经常使用一元一次方程来解决实际问题。

通过方程与实际问题的对应关系，可以将复杂的问题化简为代数方程，并通过求解方程找到问题的答案。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指形式为ax+b>0或ax+b≥0的不等式，其中a和b是已知常数，x是未知数。

一元一次不等式的解是指使不等式成立的x的值。

和一元一次方程一样，解决一元一次不等式的关键是找到满足不等式的x的值。

解一元一次不等式的方法和解一元一次方程的方法类似，也有同加同减法、同乘同除法等。

当不等号为大于等于（≥）时：通过加减法和乘除法，将不等式两边化简为x≥或x≤的形式，即可找到解。

当不等号为大于（>）时：通过加减法和乘除法，将不等式两边化简为x>或x<的形式，然后找到解的范围。

例如，解不等式2x+3≥7，我们可以先通过同减法，得到2x≥4，再通过同除法，可以得到x≥2、因此，不等式的解是x≥2综上所述，一元一次方程和一元一次不等式是数学中常见的两类问题。

重点难点分析
本节教学的重点是掌握解一元一次不等式的步骤．难点是必须切实注意遇到要在不等式两边都乘以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的方向．掌握一元一次不等式的解法是进一步学习一元一次方程组的解法以及一元二次不等式的解法的重要基础.
1﹒一元一次不等式和一元一次方程概念的异同点
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，左、右两边都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等关系．
（3）同方程类似，我们把0<+b ax 或)0(0≠>+a b ax 叫做一元一次不等式的标准形式．
2﹒一元一次不等式和一元一次方程解法的异同点
相同点：步骤相同，二者都是经过变形，把左边变成x ，右边变为一个常数．
不同点：在进行第（1）步去分母和第（5）步将x 项的系数化为1的变形时，要根据同乘（或同除）的数的正负，决定是否要改变不等号的方向．当然，如果不能确定同乘（或同除）的数的符号时，就要进行讨论．这正是解不等式时最容易发生错误的地方．
注意：（1）解方程的移项法则对解不等式同样适用．
（2）解不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而百的顺序，要根据不等式形式灵活安排求解步骤．熟练后，步骤及检验还可以合并简化．。

3m 4 3
例11 当x取何正整数时，代数式 x 5
的值比 3 x 2 的值大1？
3
2
解：根据题意，得
x 5 3x 2
>1，
3
2
2（x＋5）－3（3x－2）>6，
2x＋10－9x＋6>6，
－7x＋16>6，
－7x>－10，
得
10
x<
7
所以，当x=1时，满足题意要求．
教学目 标
一、利用不等式的解集求字母的值：
A. 2x＋1≤－3
B. 2x－1≥－3
C. －2x＋1≥3
D. －2x－1≤3
3.已知(a－3)xb＋2＜2是一元一次不等式，那么此时，
a ≠3 ，b =-1
.
教学目 标
4.不等式x＋1＜3的解集是 ( A )
A. x ＜ 2
B. x≥2
C. x≤－1
D. x≥－1
5.不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示的是( D )
去分母 去括号 移项 合并同类项
X>1
系数化1
0
1
9． m取何值时，关于x的方程
x3m1x7m1的解大于2．
63
2
解：解这个方程
x 2 ( 3 m 1 ) 6 x 3 ( 7 m 1 )
x3m1
根据题意，得
3m12
解得 m＞1
9．（1）解不等式 x3 6x ，并把它的解
23
在数轴上表示出来．
合并同类项，得
-3<3x
两边都除以3，得 -1<x
即
x>-1
这个不等式的解集在数轴上表示如下图：
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

过A、B两点，则有关x旳不等式旳解集是 X<2．
（
【概念解读】
3. 不等式旳基本性质： ①不等式旳两边都加上（或减去）同一种整式，不
等号旳方向不变.
②不等式旳两边都乘以或除以）同一种负
数，不等号旳方向变化． 不等式旳基本性质是对不等式变形和解不等式旳根据.
【概念解读】
4.一元一次不等式及其解法： ①一元一次不等式旳概念:
【要点讲解】
例1.(2023山东临沂课改) 若：a b 0 则下列式子中：正确旳有（ C ）
① a 1 b 2 ③ a b ab
②
a 1 b
④
11 ab
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【能力提升】
例1.(2023山西临汾课改)解不等式：2x 1 3x 1 2
解析：
2x 2 3x 3 2 2x 3x 3 2 2 x 3
只具有一种未知数，而且未知数旳最高次数是 1，系数不为零旳不等式叫做一元一次不等式. ②一元一次不等式旳解法：
解一元一次不等式旳环节：A.去分母； B.去栝号；C.移项；D.合并同类项；E.系数 化为1（不等号旳变化问题）.
【概念解读】
③解一元一次不等式易错点： A.不等式两边部乘以（或除以）同一种 负数时，不等号旳方向要变化，这是同 学们经常忽视旳地方，一定要注意； B.在不等式两边不能同步乘以0 .
x 3
这个不等式旳解集在数轴上表达如图．
【思维拓展】
学以致用
例1.（2023山西）如图是有关x旳函数y＝kx+b(k≠0)
旳图象，则不等式kx＋b≤0旳解集在数轴上可表达为
（ B ）．
-1 0 2
A
02
B
02

最大利润问题


某工厂要招聘甲、乙两个工种的工 人150人，甲、乙两种工人的月工资 分别是600元和1000元，现要求乙种 工人的人数不少于甲种工人人数的2 倍， 请你设计一个招聘方案，既满足人 数的要求，又能使付的工资最少？
相等关系：甲种工人+乙种工人=150人； 不等关系：
乙种工人的人数不少于甲种工人人数的2倍

设：出一般情况下的x 找：出题目中的不等关系；
解
列：出一元一次不等式；
题
步 骤
解：出不等式，得到一个解 集（x的取值范围） 答：求出特殊情况下的x的值。
知识竞赛中的趣题：


一次知识竞赛共有15道题目，竞赛规 则是： 答对1题记8分，答错1题扣4分，不答 得0分， 结果1班两题没答， 2班答了所有的题， 两个班的成绩都超过了90分， 请你分析两个班分别至少答对了几道题？
实际问题，引入新课
一双鞋成本是50元，打八折吸引 顾客，但是不能亏本，请问，我应该标 价多少元？ 未知量是什么？已知数据是什么？条件 是什么？ “不想亏本”是什么意思呢？用么不等 号表示才“准确”？

实 际 生 活 同 类 数 量
相 等 关 系
等 式
等式的 基本性 质
一元一次方 程的解法和 应用
一元一次不等式的解法
温故知新： x 1 2(2 x 1) 解一元一次方程
2
3
讲什么？



1、一元一次不等式和一元一次方程的 概念有什么异同？（涉及到的方面越 多越好）； 2、同解一元一次方程类似，解一元一 次不等式的过程，就是利用不等式的 基本性质将不等式变形成x<a,x>a的形 式。 3、对应的，移项，去分母，去括号， 在解不等式中发生变化了吗？

一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解1.什么是一次函数一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。

一次函数的图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。

一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。

2.一元一次方程的求解等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。

解一元一次方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。

求解一元一次方程的一般步骤如下：1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到$a x=-b$；3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得到$x=\f ra c{-b}{a}$；4.化简得到最终解，即$x$的值。

通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。

3.一元一次不等式的求解等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。

求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等式统一变形原则**。

求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或$a x+b>c$的形式；2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。

需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负进行对应，以确保不等式符号的方向正确。

4.总结一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。

掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法，能帮助我们更好地理解和解决数学问题。

第一章：一元一次不等式和一元一次不等式组知识要点：1. 不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。

2. 不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3. 解不等式：把不等式变为x>a 或x<a 的形式。

4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

5. 解一元一次不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为16. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分。

法则：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解。

”【典型例题】例1. 用不等式表示下列数量关系。

（1）a 的一半与－3的和小于或等于1。

（）的与的差的相反数不小于。

2a 3525-（）的相反数的不大于的倍加。

317516x x点评：用不等号表示的时候要准确理解“大”、“小”、“多”、“少”、“不大于”、“不小于”、“不多于”、“不少于”、“至少”、“至多”等词语的含义。

下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式.请大家讨论.2.一元一次不等式的解法.［例1］解不等式3－x ＜2x +6，并把它的解集表示在数轴上.［分析］要化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，首先要把不等式两边的x 或常数项转移到同一侧，变成“ax ＞b ”或“ax ＜b ”的形式，再根据不等式的基本性质求得.解一元一次方程的步骤吗？.有去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1.［例2］解不等式22-x ≥37x -，并把它的解集在数轴上表示出来.请大家判断以下解法是否正确.若不正确，请改正.解不等式：312 -+-x≥5解：去分母，得－2x+1≥－15移项、合并同类项，得－2x≥－16两边同时除以－2，得x≥8.有两处错误.第一，在去分母时，两边同时乘以－3，根据不等式的基本性质3，不等号的方向要改变，第二，在最后一步，两边同时除以－2时，不等号的方向也应改变.［3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.联系：两种解法的步骤相似.区别：（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变.（2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解.例2. 有理数x、y在数轴上的对应点如图所示，试用“>”或“<”号填空：x 0 y（1）x______y （2）x＋y_____0 （3）xy____0（4）x－y______0例3. 设“A、B、C、D”表示四种不同质量的物体，在天平秤上的情况如图所示，请你用“<”号将这四种物体的质量m A、m B、m C、m D从小到大排列：_____________________________。

一元一次不等式和一元一次方程解法的异同点
本节教学的重点是掌握解一元一次不等式的步骤．难点是必须切实注意遇到要在不等式两边都乘以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的方向．掌握一元一次不等式的解法是进一步学习一元一次方程组的解法以及一元二次不等式的解法的重要基础、1﹒一元一次不等式和一元一次方程概念的异同点相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，左、右两边都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等关系．（3）同方程类似，我们把或叫做一元一次不等式的标准形式．2﹒一元一次不等式和一元一次方程解法的异同点相同点：步骤相同，二者都是经过变形，把左边变成，右边变为一个常数．不同点：在进行第（1）步去分母和第（5）步将项的系数化为1的变形时，要根据同乘（或同除）的数的正负，决定是否要改变不等号的方向．当然，如果不能确定同乘（或同除）的数的符号时，就要进行讨论．这正是解不等式时最容易发生错误的地方．注意：（1）解方程的移项法则对解不等式同样适用．（2）解不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而百的顺序，要根据不等式形式灵活安排求解步骤．熟练后，步骤及检验还可以合并简化．
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一元一次不等式与一元一次方程一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有紧密联系，主要表现在以下几个方面。

1、概念只含有一个未知数且未知数的指数是1（次）的方程，叫做一元一次方程。

其一般形式是0b ax =+（a 、b 为常数，a ≠0）。

如在下列方程中：①01x 2=+是一元一次方程；②01x1=-不是一元一次方程（因为未知数x 的指数是－1）；③02x 2=-不是一元一次方程（因为未知数x 的指数是2）；④6y x =+不是一元一次方程（因为含有x 、y 两个未知数）。

只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

如在下列不等式中：①05x 2<-是一元一次不等式；②13x 21-≥+是一元一次不等式；③02x1≤+不是一元一次不等式（因为未知数x 的指数是－1）。

2、结果的表示形式一元一次不等式的解集表示的是能使不等式成立的未知数的取值范围；一元一次方程的解可表示为a x =（a 为常数）。

如一元一次不等式06x 2>-的解集为x>3；一元一次方程06x 2=-的解为x=3。

3、解的个数一元一次不等式的解可能有无数个，而一元一次方程的解一般只有1个。

如一元一次不等式06x 2>-的解集是x>3，x 可以取大于3的任何实数；一元一次方程06x 2=-的解是x=3，也就是只有当x=3时06x 2=-才成立。

4、求解的步骤解一元一次不等式的步骤一般是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。

与解一元一次方程不同之处在于系数化为1时，如果不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号要改变方向。

例1 解一元一次不等式>--+21x 334x 1。

解：去分母，得6)1x 3(3)4x (2>--+去括号，得63x 98x 2>+-+移项，得836x 9x 2-->-合并同类项，得5x 7->-系数化为1，得75x <（注意不等号的方向） 5、解应用题的方法用一元一次不等式解应用题的方法与列一元一次方程解应用题的方法相似。

用一元一次不等式解决实际问题用一元一次方程解决实际问题弄清题意，找出题目中的不等关系弄清题意，找出题目中的等量关系根据所求问题，设出适当的未知数根据所求问题，设出适当的未知数用未知数表示不等关系中的数量，建立不等关系，列出不等式用未知数表示等量关系中的数量，建立等量关系，并列出方程求出所列不等式的解集求出所列方程的解检验解集是否符合实际意义，写出答案检验解，写出答案注意：特别说明的是，利用不等式解决实际问题时，往往要注意问题中的限制条件，求出的解集必须使实际意义有意义，如人数为非负整数，图形的面积、时间、速度、路程、价格为正数等。

例某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员。

（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？几种题型分析题型一快餐营养问题例2012年5月20日是第23个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．(1)求这份快餐中所含脂肪质量；(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．题型二商品购买问题例（2011四川内江）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8。

一元一次不等式的解法（基础)知识讲解【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2。

能够熟练解一元一次不等式；3。

掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜"、“≤”、“≥”或“＞”连接,不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接,等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1。

解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法:与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式,解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母;（2)去括号；(3）移项；（4）化为ax b >(或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.要点诠释：(1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时,若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘以(或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1。

不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法(1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x —2≤6的解集为x ≤8．（2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点":若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言,x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？(1)3x+5＝0 （2)2x+3＞5 （3)384x < （4)1x≥2 (5）2x+y ≤8 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断,（1）是等式;(4)不等式的左边不是整式；（5)含有两个未知数．【答案与解析】解：（2）、(3）是一元一次不等式．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式2.解不等式：2)1x (3)1x (2-+<-，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解:去括号，得:23x 32x 2-+<-移项、合并同类项，得:3x <-系数化1得:3x ->这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以（或除以）负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三：【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ）.【答案】C 。

一元一次方程与一元一次不等式一元一次方程和一元一次不等式是数学中基础的概念，广泛应用于各个领域。

它们分别描述了方程和不等式之间的关系，并对数学问题的解产生重要影响。

本文将详细介绍一元一次方程和一元一次不等式的定义、性质以及解法。

一、一元一次方程的定义和性质一元一次方程是指含有一个未知数的一次方程。

它的一般形式可以表示为 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，且a ≠ 0。

解一元一次方程的目标是找到使得等式成立的未知数的值。

一元一次方程具有以下性质：1. 唯一解性：一元一次方程有且仅有一个解，除非方程中的 a = 0，此时方程无解或有无限多解。

2. 线性关系：一元一次方程表示了两个变量之间的线性关系。

3. 可以通过变量消去求解：通过变量的加减、乘除等操作，可以将方程转化为更简单的形式，从而求得解。

二、一元一次方程的解法解一元一次方程可以运用一些常用的解法，如图形法、代数法和观察法等。

以下是几种常用的解法：1. 代数法：通过代数运算，将方程转化为形如 x = c 的形式，从而得到方程的解。

例如，对于方程 2x + 3 = 7，可以通过将 3 移到等号右边，再将 2 除以得到 x 的值。

2. 图形法：将一元一次方程转化为直线的形式，在坐标系中绘制出该直线，并通过直线与 x 轴的交点确定方程的解。

例如，对于方程 3x - 2 = 4，可以将方程转化为直线的形式，即 y = 3x - 2，然后在坐标系中绘制出这条直线，由直线与 x 轴的交点得到方程的解。

3. 观察法：对于一些简单的一元一次方程，可以通过观察得到解。

例如，对于方程 5x + 7 = 22，可以通过观察得到 x = 3，因为当 x = 3 时，5x + 7 的值正好等于 22。

三、一元一次不等式的定义和性质一元一次不等式是指含有一个未知数的一次不等式。

它的一般形式可以表示为 ax + b < 0 或 ax + b > 0，其中 a 和 b 是已知数，且a ≠ 0。