江苏省句容市第三中学2015届高三数学上学期 解析几何 4两条直线的位置关系(2)教学案(无答案)

直线与平面、平面与平面平行的判定和性质（2）【教学目标】能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能运用定理证明一些简单的平行关系．【教学重点】直线与平面平行的判定定理的应用，以及如何转化为线线平行．【教学难点】线面、面面平行的判定定理和性质定理．【教学过程】一、知识梳理：1．直线与平面的位置关系： 、 、 ．2．空间两个平面的位置关系： 、 ．3．直线与平面平行的判定与性质定理：（1）判定定理：如果 一条直线和 一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和 平行；4．平面和平面平行判定定理和性质定理：（1）判定定理：如果一个平面内的两条 直线平行于另一平面，那么这两个平面平行；（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ．二、基础自测：1．下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）． ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面； ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面； ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面．2．已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点； 命题q ：βα//．则p 是q 的_______________________条件．3．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②若a ⊥b ，a ∥α，则b ∥α；③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ． 其中真命题的个数是 ．4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1与过点A 、E 、C 平面的位置关系是 ．5．下列命题，其中真命题的个数为 ．①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α；③若直线a ∥b ，直线α//b ，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线．三、典型例题：例1．如图，P为 ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．【变式拓展】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．例2．如图，在四棱锥P -ABCD中，M，N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．例3．如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点.（1）求三棱锥A —PDE 的体积；（2）AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ？若存在，求出AM 长；若不存在，请说明理由.四、课堂反馈：1．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题① ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ② ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④ ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是________(填序号)．2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的充分而不必要条件是________.(填序号)①m ∥β且l 1∥α； ②m ∥l 1且n ∥l 2； ③m ∥β且n ∥β； ④m ∥β且n ∥l 2.五、课后作业： 学生姓名：___________1．βα,为平面，m 为直线，如果α∥β，那么“α//m ”是“β⊂m ”的_______ __条件．2．βα,是两个不同平面，a ，b 是两条不同直线，给出论断：①b =βα ，②β⊂a ，③a ∥b ，④a ∥α 以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题 __ ．3．设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面，其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是________．4．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为_______________．① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. 5．下列命题中，正确命题的个数是 ．①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．6．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE．7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E－BCD的体积．8．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．。

高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.直线和直线垂直，则实数的值为（）A．1B．0C．2D．-1或0【答案】D【解析】若直线与直线垂直，则，解得m=-1，或m=0．故选Ｄ．【考点】两条直线垂直的条件．2.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x＋by＋1＝0，且直线l2与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0D．2【答案】B【解析】由直线l的倾斜角，得l的斜率为－1，l1的斜率为．∵直线l与l1垂直，∴＝1，得a＝0．又直线l2的斜率为－，∵l1∥l2，∴－＝1，得b＝－2．∴a＋b＝－2．3.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝() A．4B．6C．D．【答案】C【解析】由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是，解得故m＋n＝．4.已知直线，，若直线与的夹角为，则= ．【答案】0或【解析】由夹角公式得解得=0或=【考点】夹角公式5.两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离为________．【答案】【解析】在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．d＝6.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．【答案】充分不必要【解析】由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.7.已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,则直线l1与l2的位置关系是()A．重合B．垂直C．相交但不垂直D．平行【答案】D【解析】∵直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,斜率k1=k2=2,∴l1∥l2.8.若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则实数a＝________.【答案】－1【解析】由a(a－1)－2×1＝0得：a＝－1，或a＝2，验证，当a＝2时两直线重合，当a＝－1时两直线平行9.若直线l1：x+(1+k)y=2-k与l2：kx+2y+8=0平行，则k的值是_____．【答案】1【解析】直线l1：x+(1+k)y=2-k与l2：kx+2y+8=0平行，所以.当时，两条直线的方程都是，即两直线重合，故舍去.所以.【考点】两直线平行.10.已知直线与直线平行，则实数的取值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线斜率为，直线斜率为，因为两直线平行所以。

两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。

在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。

下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。

1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。

此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。

如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。

在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。

用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。

相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。

直线相交的条件是它们的斜率不相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。

重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。

这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。

在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。

直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。

解析几何中两条直线的位置关系几何是一门独特的学科，它以空间形体的性质加以分析和研究。

在几何学的研究中，解析几何是一种十分重要的数学方法。

解析几何的基础内容包括坐标系、点、直线、平面等，它是高中数学必修课程中的重要章节。

而两条直线的位置关系就是解析几何中的一项主要内容，它涉及到两条直线在平面上的交点、平行、垂直等关系。

下面我们将结合一些实例，从不同角度来解析几何中两条直线的位置关系。

一、平行的直线两条直线如果在平面上没有交点，那么我们就称它们是平行的。

在解析几何中，判断两条直线是否平行的方法是通过它们的斜率来决定的。

斜率是直线上两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，我们用 k1 和 k2 来表示两条直线的斜率。

如果 k1 = k2，那么这两条直线是平行的，它们在平面上永远不会相交。

例如，对于直线 y = 2x + 1 和 y = 2x + 2，我们可以求出它们的斜率分别为 2，因此它们是平行的。

二、垂直的直线两条直线在平面上相交，并且它们的交点与坐标轴构成的角度为 90 度，那么我们就称它们是垂直的。

在解析几何中，判断两条直线是否垂直的方法是通过它们的斜率的互为倒数来决定的。

斜率的倒数是指直线上两个点横坐标之差与纵坐标之差的比值，用k1 和 k2 来表示两条直线的斜率。

如果 k1 × k2 = -1，那么这两条直线是垂直的。

例如，对于直线 y = -0.5x + 4 和 y = 2x - 1，我们可以求出它们的斜率分别为 -0.5 和 2，因此它们不垂直。

如果我们对第一条直线求出它的斜率的倒数为 -2，再对第二条直线求出它的斜率的倒数为 -0.5，就能得出它们是垂直的。

三、相交的直线如果两条直线在平面上相交，那么我们就需要考虑它们的交点和交角。

直线交点是直线在平面上的交点，我们用 (x0, y0) 来表示直线的交点坐标。

交角是指两条直线在交点处所夹的角度，它的度数可以通过反正切函数求出。

辅导讲义――两条直线的位置关系[巩固]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．题型二：两直线相交[例]求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[巩固]如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a =_____________.解析 依题意，|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 解得a ＝－79或a ＝－13.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是_________.解析 ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0.可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_____________.解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是______________．答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.7．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围 是______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞) 所以直线恒过定点P (0，－1)．∵点A (－1,1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12，∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)， ∴－1m ≤－2或－1m ≥－12，∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)．∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞)． 8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2， 又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2，选C.12.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6.13．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.14．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,。

高三数学直线方程与直线的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线方程与直线的位置关系二. 本周教学目标：1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2、掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判别方法，点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式．［教学过程］ 一、直线方程1. 数轴上两点间距离公式：A B x x AB -=．2. 直角坐标平面内的两点间距离公式：22122121)()(y y x x P P -+-=3. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值X 围是0°≤α＜180°．4. 直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k ＝tan α（α≠90°）．倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值X 围是（－∞，＋∞）． 5. 直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F ＝（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量．向量121x x -21F F ＝（1，1212x x y y --）＝（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率．特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a ＝（0，1）．6. 求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α．②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k ＝1212x x y y --．③方向向量法：若a ＝（m ，n ）为直线的方向向量，则直线的斜率k ＝mn ． 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率． 对于直线上任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），当x 1＝x 2时，直线斜率k 不存在，倾斜角α＝90°；当x 1≠x 2时，直线斜率存在，是一实数． 7. 直线方程的五种形式点斜式：)(00x x k y y -=-，斜截式：b kx y +=两点式：121121x x x x y y y y --=--，截距式：1=+bya x一般式：0=++C By Ax二、两条直线的位置关系1. 特殊情况下的两直线的平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．2. 斜率存在时两直线的平行与垂直：（1）两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ⇔1k ＝2k 且21b b ≠．已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A1l ∥2l 的充要条件是212121C CB B A A ≠=．⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ，则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k ．已知直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A3. 两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 是否有惟一解． 4. 点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=5. 两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．6. 直线系方程：若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A ++＋0)(111=++C y B x A λ （λ为常数）．【典型例题】例1. 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1）、Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答．解：∵P （2，3）在已知直线上， ∴2a 1＋3b 1＋1＝0，2a 2＋3b 2＋1＝0．∴2（a 1－a 2）＋3（b 1－b 2）＝0，即2121a a b b --＝－32．∴所求直线方程为y －b 1＝－32（x －a 1）． ∴2x ＋3y －（2a 1＋3b 1）＝0，即2x ＋3y ＋1＝0． 点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙．例2. 一条直线经过点P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线x －4y ＋3＝0的倾斜角的2倍；（2）与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点）． 分析：（2）将面积看作截距a 、b 的函数，求函数的最小值即可． 解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tan α＝41，tan θ＝tan2α＝158， 从而方程为8x －15y ＋6＝0．（2）设直线方程为a x＋by ＝1，（a ＞0，b ＞0），代入P （3，2），得a 3＋b2＝1≥2ab 6，得ab ≥24，从而S △AOB ＝21ab ≥12，此时a 3＝b 2，∴k ＝－a b ＝－32．∴方程为2x ＋3y －12＝0．点评：此题（2）也可以转化成关于a 或b 的一元函数后再求其最小值．例3. 过点（2，1）作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． （1）当ΔAOB 面积最小时，求直线l 的方程； （2）当|PA|⨯|PB|取最小值时，求直线l 的方程．解：（1）设所求的直线l 方程为1=+bya x （a>0，b>0）， 由已知112=+ba ．于是221212⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤⨯b a b a ＝41，∴S Δ AOB ＝ab 21≥4， 当且仅当2112==b a ，即a ＝4，b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为124=+yx ，即x ＋2y─4＝0．（2）解法一：设直线l ：y─1＝k （x─2），分别令y ＝0，x ＝0，得A （2─k1，0）， B （0，1─2k ）．则|PA|⨯|PB|＝)11)(44(22k k ++＝)1(4822kk ++≥4，当且仅当k 2＝1，即k ＝±1时，取最小值，又k<0，∴k ＝─1，此时直线l 的方程为x ＋y─3＝0．解法二：如图，设∠PAO ＝θ，则|PA|＝1/sinθ，|PB|＝2/cosθ（0<θ<π/2）， ∴|PA|⨯|PB|＝2/（sinθcosθ）＝4/sin2θ≥4，∴当且仅当sin2θ＝─1即θ＝3π/4时，|PA|⨯|PB|取最小值4，此时直线l 的斜率为─1，方程为x ＋y─3＝0．点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程的形式．例4. 点(4,0)P 关于直线54210x y ++=的对称点是A. （－6，8）B. （－8，－6）C. （6，8）D. （－6，－8） 解：设点(4,0)P 关于直线54210x y ++=的对称点为111(,)P x y ，由轴对称概念1PP 的中点1140(,)22x y M ++在对称轴54210x y ++=上，且1PP 与对称轴垂直，则有 111145421022445x y y x +⋅+⋅+==-⎧⎪⎨⎪⎩解得116,8,x y =-=-∴1(6,8)P --，故选D点评：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题．例5. 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程．解：设所求直线的方程为5x －12y ＋c ＝0.在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0（0，21），点P 0到直线5x －12y ＋c ＝0的距离为d ＝136)12(5211222-=-++⨯-c c，由题意得136-c ＝2．所以c ＝32或c ＝－20． 所以所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0和5x －12y －20＝0．说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离．即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离．例6. 求经过点（2，3）且经过以下两条直线的交点的直线的方程： 1l ：x ＋3y －4＝0，2l ：5x ＋2y ＋6＝0．解法一：解方程组 ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=++=-+22,0625043y x y x y x 得，所以1l 与2l 的交点是（－2，2），由两点式得所求直线的方程为222323---=--x y ，即x －4y ＋10＝0． 解法二：可设所求直线方程为x ＋3y －4＋λ（5x ＋2y ＋6）＝0（λ∈R ）， ∵点（2，3）在直线上．∴2＋3×3－4＋λ（5×2＋2×3＋６）＝0，λ＝－227．∴所求直线方程为x ＋3y －4＋（－227）（5x ＋2y ＋6）＝0．即x －4y ＋10＝0．例7. 光线由点)4,1(-A 射出，遇到直线l ：0632=-+y x 后被反射，并经过B )1362,3(，求反射光线所在直线的方程．解：设点A 关于l 的对称点为),(00y x A '，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⋅+-⋅=+-0624y 321x 2,231x A y 0000即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-+=+-.1328y ,1329x 02y 3x 2011y 2x 3000000解得 所求直线方程为)3(13293132813621362-+-=-x y ，即0852613=+-y x ． 点评：以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题．［小结］1. 数形结合是解析几何的突出特点，在解解析几何题时应予以足够重视，并注意利用平面几何知识加以简化；2. 解析几何问题往往在解题时入手的地方较多，但不同的解法繁简程度则大有区别，故在平时训练中应注意采用一题多解的方法，这样做一可以训练基本技能，二有利于开拓思路，优化解题方案．3. 直线的各种形式均有它的优越性，应在不同的题设下灵活运用，要注意当直线斜率不存在时的特殊情况．【模拟试题】1. 直线xtan7π＋y ＝0的倾斜角是 A. －7π B. 7π C. 7π5 D. 7π62. 过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x 轴上的截距是A. －23B. －32C. 52D. 23. 直线xcos α＋3y ＋2＝0的倾斜角X 围是A. ［6π，2π）∪（2π，6π5]B. ［0，6π］∪［6π5，π） C. ［0，6π5］ D. ［6π，6π5］4. 直线y ＝1与直线y ＝3x ＋3的夹角为___________．5. 下列四个命题：①经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0＝k （x －x 0）表示；②经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（x 2－x 1）（x －x 1）＝（y 2－y 1）（y －y 1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程a x＋by ＝1表示；④经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示其中真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 36. 过点（10，─4）且倾角的正弦为5/13的直线方程是．7. 过点（1，2）且与圆x 2＋y 2＝1相切的直线方程为．8. 若直线（m 2─1）x─y─2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值X 围是 9. 过点A （2，1），且在x ，y 轴上截距相等的直线方程是． 10. 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是． 11. 三角形的三个顶点坐标分别是A （4，1）、B （7，5）、C （－4，7），求角A 的平分线方程．12. 已知一直线l 被两直线1l ：3x ＋4y －7＝0和2l ：3x ＋4y ＋8＝0截得的线段长为415且l 过点P （2，3），求直线l 的方程． 13. 两平行线1l 、2l 分别过点P 1（1，0）与P 2（0，5），（1）若1l 与2l 距离为5，求两直线方程；（2）设1l 与2l 之间距离是d ，求d 的取值X 围． 14. 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A （－4，2）、B （3，1），求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．试题答案1、解析：k ＝－tan7π＝tan （π－7π）＝tan 7π6且7π6∈［0，π］． 答案：D2、解析：求出过（－1，1）、（3，9）两点的直线方程，令y ＝0即得． 答案：A3、解析：设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－31cos α．又－1≤cos α≤1，∴－33≤tan θ≤33．∴θ∈［0，6π］∪［6π5，π）． 答案：B4、解法一：l 1：y ＝1与l 2：y ＝3x ＋3的斜率分别为k 1＝0，k 2＝3．由两直线的夹角公式得tan α＝｜21121k k k k +-｜＝3，所以两直线的夹角为60°．解法二：l 1与l 2表示的图象为y ＝1与x 轴平行，y ＝3x ＋3与x 轴倾斜角为60°，所以y ＝1与y ＝3x ＋3的夹角为60°．答案：60°5、解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上的截距不存在，故不能用截距式表示直线只有②正确．答案：B 6、答案：（5x─12y─98＝0或5x ＋12y─2＝0）；注意两种情况． 7、答案：（x ＝1或3x─4y＋5＝0）；注意点斜式的使用X 围． 8、答案：（1/2≤m ≤1）；从直线的斜率或截距去观察． 9、答案：（x ＋y ＝3或y ＝x/2）．强调：截距式的使用X 围．10、答案：31- 解：由于将直线平移不影响其斜率的值，故可设点O （0，0）在直线上，则依题意O 点经平移后的坐标为P （─3，1），故直线l 过两点P ，O ，求出斜率即可． 11、答案：7x ＋y －29＝012、答案：x ＝2或7x －24y ＋58＝0． 13、答案：（1）1l 的方程为y ＝0或5x －12y －5＝0．2l 的方程为y ＝5或5x －12y ＋60＝0．（2）（0，26]14、答案：C （2，4）；直角三角形。

直线和圆的位置关系（1）【教学目标】能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（代数方法、几何方法）．【教学重点】判断直线和圆的位置关系以及有关计算弦长等问题． 【教学难点】直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系． 【教学过程】 一、知识梳理：1．点),(00y x P 与⊙C ：222)()(r b y a x =-+-的关系： （1）点p 在圆上⇔ ； （2）点p 在圆外⇔ ； （3）点p 在圆内⇔ ．2．直线与圆的位置关系：直线l 与圆C 的方程分别为：220,0Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=． 圆心(,)a b 到直线l 的距离为d ，联立得方程组220,0,Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩，消x 或y 后，3．直线与圆的位置关系的判定有两种方法：（1）代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究； （2）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 来判断． 4．半径r 、半弦长2l、弦心距d 的关系是________________________． 二、基础自测：1．直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是 ． 2．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为 ． 3．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的 条件． 4．过点(1,1)P 的直线将圆224x y +=分成两段圆弧,要使这两段弧长之差最大, 则该直线的方程为__________________.三、典型例题： 反思：例1．已知，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．例2．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求点P的轨迹方程．例3．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．【变式拓展】直线l 经过点(5,5)P ，其率为k （k R ∈），l 与圆2225x y +=相交，交点分别为A ，B ．（1）若AB =k 的值； （2）若AB <k 的取值范围； （3）若(OA OB O ⊥为坐标原点），求k 值．四、课堂反馈：1．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________．2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是________． 3．“a ＝1”是 “直线l ：y ＝kx ＋a 和圆C ：x 2＋y 2＝2相交”的_________________条件．4．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝ 3，则OA ·OB的值是________．五、课后作业： 学生姓名：___________ 1．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为__________________． 2．已知圆x 2＋y 2＝9的弦PQ 的中点为M (1,2)．则弦PQ 的长为________．3．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向这个圆引切线，则切线长为 ． 4．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)， 则直线l 的方程为 ．5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1(a >0)与直线y ＝3x 相交于P ，Q 两点，若∠PCQ ＝90°， 则实数a ＝________．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m )x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1,0)． 若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为__________________． 7．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43， 则l 的方程为 ．北东8．过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点． （1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM ·AN为定值．9．如图,A B 是圆224x y +=与x 轴的交点，P 为直线:4l x =上的动点，,PA PB 与 圆224x y +=的另一个交点分别为,M N .（1）若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程； （2）求证:直线MN 过定点.10．设有半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发。

直线方程的五种形式【教学目标】直线方程的几种形式特点与适用范围；能根据问题具体条件选择恰当的形式求直线方程．【教学重点】掌握直线方程的五种形式．【教学难点】体会斜截式与一次函数的关系．【教学过程】一、知识梳理：1．2．直线l 与x 轴交点的横坐标叫做 ； 与y 轴交点的纵坐标叫做 ； 当直线经过原点时，直线在x 轴和y 轴上的截距都为 ．3．线段的中心坐标公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为 ．二、基础自测：1．已知直线l 的方程为3x －5y ＝4，则l 在y 轴上的截距为 ．2．经过点)1,2(且斜率为-3的直线一般方程是 ；斜截式方程是 ．3．经过两点)8,1(-和)2,4(-的直线l 的截距式方程是 ；一般式方程是 ．4．若直线l 过点P (－4，－1)，且横截距是纵截距的2倍，则直线l 的方程是 ．三、典型例题：例1．分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过点(0,2)A ，它的倾斜角的正弦是35；（2）过点(2,1)A ，它的倾斜角是直线1:3450l x y ++=的倾斜角的一半； 反思：（3）过点(3,2)A ，且在两坐标轴上的截距相等．【变式拓展】（1）已知直线l 过点(5,6)P ，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求此直线的方程．（2）已知两条直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都经过点(1,2)A ，求经过两点111222(,),(,)P a b P a b 的直线方程．例2．设直线l 的方程为(1)30mx m y +-+=，根据下列条件分别确定实数m 的值：（1）直线l 在y 轴上的截距为6； （2）直线l 的斜率为2； （3）直线l 垂直于x 轴．例3．如图，过点(2,1)P 作直线l ，分别交y x ,轴正半轴于,A B 两点．（1）当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求直线l 的方程．（3）若OA OB +最小，求直线l 的方程；【变式拓展】已知直线l的方程为：(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0．（1）求证：不论m为何值，直线必过定点M；（2）过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．四、课堂反馈：1．直线2(2)(23)2m x m m y m++--=在x轴的截距为3，则=m．2．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第象限．3．经过点(3,3)P作直线l，若l与两坐标轴相交所得直角三角形的面积是18，则满足要求的直线l共有条．五、课后作业：学生姓名：___________ 1．经过点(3,2)-，倾斜角为60︒的直线方程是．2．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．3．直线ax＋by＋c＝0同时经过第一、二、四象限，则a，b，c满足ab_______0，bc________0．4．若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点________．5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线的方程为________．6．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．7．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为．8．经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是．9．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点(－4,0)，倾斜角正弦值为1010；（2）直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上截距之和为12．10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R) ．（1）若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标．11．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．12．如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，5km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．。