三垂直模型与全等综合

正方形中的三垂直全等问题本文将介绍正方形中的三垂直全等问题的背景和重要性。

此问题具体描述了正方形中的三垂直全等问题，包括定义和要求。

在一个正方形中，有三条垂直线段，它们彼此之间相互垂直，并且长度相等。

针对这三条垂直线段的情况，要求解决以下问题：求出每条垂直线段的长度。

求出任意两条垂直线段之间的夹角。

分析并解释为什么这三条垂直线段在正方形中是全等的。

以上是正方形中的三垂直全等问题的具体描述，包含了问题的定义和要求。

解决方法在正方形中，我们可以讨论三个垂直全等的问题。

下面是解决这个问题的一种方法和思路：了解垂直全等。

了解什么是垂直全等对于解决这个问题至关重要。

垂直全等意味着两个或多个角度或边长完全相等。

了解垂直全等。

了解什么是垂直全等对于解决这个问题至关重要。

垂直全等意味着两个或多个角度或边长完全相等。

确定正方形性质。

首先，我们需要明确正方形的一些性质。

正方形的四个内角都是直角，边长相等，且对角线相等。

确定正方形性质。

首先，我们需要明确正方形的一些性质。

正方形的四个内角都是直角，边长相等，且对角线相等。

确定正方形性质。

首先，我们需要明确正方形的一些性质。

正方形的四个内角都是直角，边长相等，且对角线相等。

确定正方形性质。

首先，我们需要明确正方形的一些性质。

正方形的四个内角都是直角，边长相等，且对角线相等。

绘制正方形。

我们可以通过绘制一个简单的正方形来帮助我们可视化问题。

使用纸和铅笔，或者计算机绘图工具，绘制出一个具有相等边长的正方形。

绘制正方形。

我们可以通过绘制一个简单的正方形来帮助我们可视化问题。

使用纸和铅笔，或者计算机绘图工具，绘制出一个具有相等边长的正方形。

绘制正方形。

我们可以通过绘制一个简单的正方形来帮助我们可视化问题。

使用纸和铅笔，或者计算机绘图工具，绘制出一个具有相等边长的正方形。

绘制正方形。

我们可以通过绘制一个简单的正方形来帮助我们可视化问题。

使用纸和铅笔，或者计算机绘图工具，绘制出一个具有相等边长的正方形。

专题03 一线三垂直模型构造全等三角形模型：三垂直全等模型如图：∠D ＝∠BCA ＝∠E ＝90°，BC ＝AC . 结论：R t △BCD ≌R t △CAE .模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.A图①图②图③AC图④D EABC模型实例例题1 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE ＝DE ，求证：AB ＋CD ＝BC .【证明】∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°，∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°，∴∠BAE ＝∠CED 在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ECD ，∴AB ＝EC ，BE ＝CD∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC .例题2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？【解析】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm ，∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cmDEDA例题3 如图，在平面直角坐标系中，等腰R t △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.【解析】（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∴∠DBC ＝∠ACO . 在△BCD 和△CAO 中，BDC AOCDBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD ≌△CAO ，∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2，∴CD ＝3，BD ＝2，∴OD ＝5， ∴B （－5，2）（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO . ∵B （－1，0），C （0，3） ∴OB ＝1，OC ＝3. ∴AD ＝3，OD ＝2.xy 图①BA (0,3)C (-2,0)O∴OD ＝5. ∴A （3，2）.巩固提升1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .【证明】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BCABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF ，∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF ，∴∠BAE ＝∠CBF . ∵∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°. ∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°. ∴∠BGE ＝90°， ∴AE ⊥BF .F2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.【解析】∵a 、b 、c 都是正方形， ∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACB ≌△CDE ，∴AB ＝CE ，BC ＝DE在R t △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE 即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.【解析】∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°，∴∠FAC ＋∠ACF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠FAC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .P在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CAF ，∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE . （2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF . ∴AE ＝CF ，BE ＝AF . ∵EF ＝AE ＋AF ， ∴EF ＝ BE ＋ CF .4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将 腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE . （1）当α＝45°时，求△EAD 的面积； （2）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD 的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论.【解析】（1）1；（2）1；（3）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 延长线于点F . ∵AD ∥BC ，DG ⊥BC ， ∴∠GDF ＝90°.EA又∵∠EDC ＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD 和△EFD 中，12DGE DFE CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCG ≌△DEF ，∴EF ＝CG∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3， ∴BG ＝AD ＝2，∴CG ＝1. ∴EADS＝12AD ·EF ＝1. ∴△EAD 的面积与α大小无关5．向△ABC 的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ，过A 作AH ⊥BC 于H ，AH 的反向延长线与EG 交于点P . 求证：BC ＝2AP .【解析】过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N . ∵四边形ACFG 是正方形， ∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°. ∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°. 又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°. ∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH和△GAM中，AHC GMAACH GAMAC GA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACH≌△GAM∴CH＝AM，AH＝GM.同理可证△ABH≌△EAN ∴BH＝AN，AH＝EN.∴EN＝GM.在△EPN和△GPM中，EPN GPMENP GMPEN GM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPN≌△GPM，∴NP＝MP∴BC＝BH＋CH＝AN＋AM＝AP＋PN＋AP－PM＝2AP课后练习 一、解答题1．在中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线，MN 经过点C ，且AD⊥MN 于点D ，BE⊥MN 于点E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到如图1的位置时，求证：DE ＝AD+BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到如图2的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图3的位置时，线段DE 、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE ＝BE ﹣AD 【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD ＝90°，则∠DAC ＝∠BCE ，进而可证⊥ADC ≌⊥CEB ，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE ，进而可证⊥CAD ≌⊥BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证⊥CAD ≌⊥BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解． 【解析】（1）证明：⊥AD⊥MN ，BE⊥MN ， ⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ⊥∠DAC+∠ACD ＝90°， ⊥∠ACB ＝90°， ⊥∠BCE+∠ACD ＝90°， ⊥∠DAC ＝∠BCE ， 在⊥ADC 和⊥CEB ，ABC， ⊥⊥ADC ≌⊥CEB （AAS ）， ⊥CD ＝BE ，AD ＝CE ， ⊥DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：⊥AD⊥MN ，BE⊥MN ， ⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ⊥∠DAC+∠ACD ＝90°， ⊥∠ACB ＝90°， ⊥∠BCE+∠ACD ＝90°， ⊥∠DAC ＝∠BCE ， ⊥AC=BC ， ⊥⊥ADC ≌⊥CEB ， ⊥CD ＝BE ，AD ＝CE ， ⊥DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下： ⊥AD⊥MN ，BE⊥MN ， ⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ⊥∠DAC+∠ACD ＝90°， ⊥∠ACB ＝90°， ⊥∠BCE+∠ACD ＝90°， ⊥∠DAC ＝∠BCE ， ⊥AC=BC ， ⊥⊥ADC ≌⊥CEB ， ⊥CD ＝BE ，AD ＝CE ， ⊥DE ＝BE ﹣AD ． 【小结】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩2．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：⊥ADC ≌⊥CEB ；（2）已知DE=35cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相同）【答案】（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD⊥DE ，BE⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明⊥ADC ≌⊥CEB 即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【解析】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD⊥DE ，BE⊥DE ，⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°，⊥∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，⊥∠BCE ＝∠DAC ，在⊥ADC 和⊥CEB 中，⊥⊥ADC ≌⊥CEB （AAS ）；（2）解：由题意得：⊥一块墙砖的厚度为a ，⊥AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：⊥ADC ≌⊥CEB ，⊥DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，⊥DC ＋CE ＝BE ＋AD ＝7a ＝35，⊥a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【小结】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．ADC CEB DAC BCE AC BC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝3．已知，A （-1，0）．（1）如图1，B （0，2），以B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角⊥ABC ． ⊥求C 点的坐标；⊥在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合）， 使⊥PAB 与⊥ABC 全等？ 若存在，直接写出P 点坐标； 若不存在，请说明理由；（2）如图2，点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角⊥AEM ，设M （a ，b ），求a -b 的值．【答案】（1）⊥；⊥存在，或或；（2）1．【分析】（1）作CD⊥y 轴于D ，证⊥CEB ≌⊥BOA ，推出CE=OB=2，BE=AO=1，即可得出答案；（2）分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；（3）作MF⊥y 轴于F ，证⊥EFM ≌⊥AOE ，求出EF ，即可得出答案．【解析】（1）⊥作CE⊥y 轴于E ，如图1，⊥A （-1，0），B （0，2），⊥OA=1，OB=2，⊥∠CBA=90°，()2,3C -()2,1P ()1,1-()3,1-⊥∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，⊥∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，⊥∠ECB=∠ABO ，在⊥CBE 和⊥BAO 中⊥⊥CBE ≌⊥BAO ，⊥CE=BO=2，BE=AO=1，即OE=1+2=3，⊥C （-2，3）．⊥存在一点P ，使与全等，分为三种情况：⊥如图2，过P 作轴于E ，则，，，，在和中，≌，，，ECB ABO CEB AOB BC AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝PAB △ABC PE x⊥90PAB AOB PEA ∠=∠=∠=90EPA PAE ∴∠+∠=90PAE BAO ∠+∠=EPA BAO ∴∠=∠PEA AOB EPA BAO PEA AOB PA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PEA ∴AOB 1PE AO ∴==2EA BO ==，即P 的坐标是；⊥如图3，过C 作轴于M ，过P 作轴于E ，则，≌，，，，，，，在和中，，≌，，，，，，，即P 的坐标是；⊥如图4，过P 作轴于E ，123OE ∴=+=()3,1-CM x ⊥PE x⊥90CMA PEA ∠=∠=CBA PBA 45PAB CAB ∴∠=∠=AC AP =90CAP ∴∠=90MCA CAM ∴∠+∠=90CAM PAE ∠+∠=MCA PAE ∴∠=∠CMA AEP △MCA PAE CMA PEA AC AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CMA ∴AEP △PE AM ∴=CM AE =()2,3C -()1,0A -211PE ∴=-=0312OE AE A =-=-=()2,1PE x ⊥≌，，，则，，，，在和中，，≌，，，，即P 的坐标是，综合上述：符合条件的P 的坐标是或或．（2）过作轴于，得到下图5CBA PAB △AB AP =∴90CBA BAP ∠=∠=90AEP AOB ∠=∠=90BAO PAE ∴∠+∠=90PAE APE ∠+∠=BAO APE ∴∠=∠AOB PEA BAO APE AOB PEA AB AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOB ∴PEA 1PE AO ∴==2AE OB ==0211E AE AO ∴=-=-=()1,1-()3,1-()1,1-()2,1M MF y ⊥F⊥⊥，由上图得：，，，，在和中，≌，，，轴，轴，，四边形FONM 是矩形，，．【小结】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．4．公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且(),M a b ,MF a FO b ==90AEM EFM AOE ∠=∠=∠=90AEO MEF ∠+∠=90MEF EMF ∠+∠=AEO EMF ∴∠=∠AOE △EMF △AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEO ∴()EMF AAS 1EF AO ∴==MF OE =MN x ⊥MF y ⊥90MFO FON MNO ∴∠=∠=∠=∴MN OF ∴=1a b MF OF EO OF EF OA -=-=-===A B 25C D DA AB ⊥A CB AB ⊥B 15DA =AB H C D H，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？【答案】应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．【分析】先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得千米，最后根据线段的和差可得．【解析】由题意得：，千米，，，，，，，在和中，，，，千米，千米，千米，千米，答：应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．【小结】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．90DHC ∠=︒H AC H A C 90A B ∠=∠=︒D BHC ∠=∠,15AH BC DA HB ===DH HC =25AB =,DA AB CB AB ⊥⊥90A B ∴∠=∠=︒90D AHD ∠∴∠+=︒90DHC ∠=︒18090BH D HD C C H A ∴∠+∠=︒-∠=︒D BHC ∴∠=∠ADH BHC △A B D BHC DH HC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADH BHC AAS ∴≅,AH BC DA HB ∴==15DA =25AB =15HB ∴=10BC AH AB HB ∴==-=H A C5．如图所示，在和中，∠ACB=∠DBC=90°，点E 是BC 的中点，EF⊥AB ，垂足为F ，且AB=DE ．（1）求证：BC=BD ；（2）若BD=10厘米，求AC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）厘米【分析】（1）由DE⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断⊥ABC ≌⊥EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ；（2）由（1）可知⊥ABC ≌⊥EDB ，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=BC ＝BD ＝5厘米． 【解析】解：（1）⊥DE⊥AB ，可得∠BFE=90°，⊥∠ABC+∠DEB=90°，⊥∠ACB=90°，⊥∠ABC+∠A=90°，⊥∠A=∠DEB ，在⊥ABC 和⊥EDB 中，， ⊥⊥ABC ≌⊥EDB （AAS ），⊥BD=BC ；ABC ∆DBC∆51212ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝（2）⊥⊥ABC ≌⊥EDB ，⊥AC=BE ，⊥E 是BC 的中点，BD=10厘米，⊥BE=BC ＝BD ＝5厘米． 【小结】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．1212。

全等三角形之三垂直模型与一线三等角模型一、模型图示二、特色讲解1.三垂直模型例1，已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°，问BD=AB+ED吗?分析：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：练习1：如图，如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。

提示：线段的关系包括：大小关系与位置关系练习2：如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，求证：DE=BF练习3：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。

练习4：在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。

你能说出其中的道理吗？（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时，DE =AD-BE。

说说你的理由。

（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。

BA BAA图102.一线三等角模型例2：如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形。

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化想到得到？写出变化过程。

练习1.如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α，（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且EF在直线CD上，请解决下面两个问题①如图①，若∠BCA=90°，∠α=90°，请问：BE与CF，EF与BE-AF的绝对值的大小关系分别是什么？②如图②，0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件？，使得①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论。

全等三角形模型——三垂直模型真题精炼1、如图，已知：AB=AC，直线m经过点A，点D、E是直线m上两个动点，连接BD、CE．（1）如图1，若∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，若∠BAC=∠BDA=∠AEC，则（1）中的结论DE=BD+CE是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．3、（16-17学年南师江宁月考）如图，B 、C 、D 三点在同一条直线上，AC CD =，90B E ∠=∠=︒，AC CD ⊥，则不正确．．．的结论是（）A ．A ∠与D ∠互为余角B ．2A ∠=∠C ．ABC CED≌△△D ．12∠=∠4、（16-17学年南外月考）如图，Rt ABC △的直角顶点B 在直线PQ 上，AD PQ ⊥于D ，CE PQ ⊥于E ，且7cm BD CE ==，3cm AD =，则梯形ADEC 的面积是________2cm .5、（17-18学年求真月考）如图，AE ⊥AB ，且AE=AB ，BC ⊥CD ，且BC=CD ，EF=6，BG=3，DH=4，计算图中实线所围成的图形的面积S 是50．6、如图，在正方形ABCD 中，如果AF=BE ，那么∠AOD 的度数是_______.7、（16-17学年育外期中）如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线L ，过A 、C 、D 作L 的垂线，垂足分别为点E 、F 、G .若AE=2，CF=6，则DG 的值为________.8、（17-18学年南师江宁月考）【提出问题】如图①，点B 、A 、C 在同一条直线上，DB BC ⊥，EC BC ⊥，且90DAE ∠=︒，AD AE =，易证DBA △≌ACE △．【类比探究】（1）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若60DAE ∠=︒，120BAC ∠=︒，120B C ∠=∠=︒．求证：DBA △≌ACE △．【知识应用】（2）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若60DAE ∠=︒，120BAC ∠=︒，120B C ∠=∠=︒，若DAC ∠的度数是E ∠的4倍，则D ∠=__________︒．【数学思考】（3）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若(090)DAE αα∠=︒<<︒，2BAC α∠=，当DBA △≌ACE △时，B C ∠=∠=__________．（结果用含有α的代数式表示）。

在解决几何问题中，“一线三等角，K形全等”的基本图形常常出现，我们称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决复杂几何数学题。

“三垂直模型”的一般形式：这是最基础的“三垂直模型”，在同一直线上有三个直角，即∠D=∠ACB=∠E，且BC=AC，那么可以通过“AAS”或“AAS”判定两个三角形全等。

两个三角形已经满足两个条件，加上∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACE=90°，所以得到∠B=∠ACE，那么通过“AAS”得到△BDC≌△CEA。

其它“三垂直模型”：证明的方法与上面类似，通过直角三角形两个锐角互余，得到两个角相等，从而证明两个三角形全等。

例题1：如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5cm，BD=2cm，求DE的长分析：看到等腰直角三角形，我们应该可以想到很多结论，比如“三线合一”，比如在等腰直角三角形的斜边中点处构造直角与两腰相交，会得到一个新的等腰直角三角形等等。

并且，等腰直角三角形满足一个角为直角，且两条腰相等，因此我们也常构造“三垂直”模型，过顶点的一条直线绕着顶点旋转，过两个底角顶点做该直线的垂线，可以构造出“三垂直模型”，有“内K图”，也有“外K 图”。

本题可根据AAS证明△ACE≌△CBD，可得AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，由此即可解决问题。

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题。

例题2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE，连接CE，求CE的长分析：延长AC，过E作EF⊥AF，垂足为F，由ABDE为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，AE=AB，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到三角形AEF与三角形ABC全等，利用全等三角形的对应边相等得到EF=AC=6，AF=BC=8，由FA+AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长．此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键。

三垂直模型一,三垂直与勾股定理大正方形的面积=四个直角三角形+中心正方形面积=2ab+c2(a+b)2=2ab+c2c²= a²+b²，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为( )A ．113B ．103C ．3D ．83【答案】B 2．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt ABC △中，AC b =，BC a =，90ACB ∠=︒，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求2()a b +的值．【答案】2()=79a b + 3．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，所以4×12ab ＋(a －b )2=c 2，即a 2＋b 2=c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2＋b 2=c 2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC 的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a －2b )2=a 2－4ab ＋4b 2，画在上面的网格中，并标出字母a ，b 所表示的线段．【答案】（1）见解析；（2）125；（3）见解析 4．（阅读理解）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为()212a b +或者是211222ab c ⨯+，因此得到()221112222a b ab c +=⨯+，运用乘法公式展开整理得到222+=a b c ．（尝试探究）（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图完成证明． （2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你帮助完成． （实践应用）（3）已知a 、b 、c 为Rt ABC △的三边()c b a >>，试比较代数式2222a ca b +与44c b -的大小关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等． 5．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD 的面积是_______【答案】1．6．把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为_____．【答案】1．规律总结:角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD•DC，（2）(AB)²=AD•AC ，（3）(BC)²=CD•CA.直角三角形射影定理的证明在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD BDBD CD=即BD²=AD•DC.其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD•AC，BC²=CD•CA两式相加得：AB²+BC²=（AD•AC）+（CD•AC）=（AD+CD)•AC=AC².CE a=，HG b=，则斜边BD的长是（）A ．+a bB ．⋅a bC ．D 【答案】C2．已知Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE ⊥AE ，过点B 作BD ⊥AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求∠EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG ⊥FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，∠EHB =∠BHG ，求线段EH 的长．【答案】（1）见解析；（2）∠EDH ＝45°；（3）EH ＝．3．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ， BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析 4．在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图①，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图②，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图③，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，3AE =,2OE =,求AC 的长． 【答案】（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）85．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE，理由见解析；(2) DE=BE-AD6．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点；（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交于G点，若BC＝4，BE＝3，则AGCG＝（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53模型分析:规律总结:标为3-，求点B的坐标.【答案】B （0，-3）． 2．如图所示，()1,0A-，()0,3B ，以AB 为边作正方形ABCD ，求C ，D 的坐标.【答案】()3,4C -；()4,1D -3．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 在x 轴上，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，且A （2，0）、B （3，3），BC 交y 轴于M ， （1）求点C 的坐标；（2）连接AM ，求△AMB 的面积；（3）在x 轴上有一动点P ，当PB +PM 的值最小时，求此时P 的坐标．【答案】（1）C 的坐标是（﹣1，1）；（2）154；（3）点P 的坐标为（1，0）． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴正半轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）如图1，直线3y x =-+经过点B 、点C ，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 为该抛物线223y x nx =-+的顶点，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点P ，当FP EP ⊥时，求P 点的纵坐标． （3）如图3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点G ，作⊥GH x 轴于点H ，延长EP交GH 于K ，当GK =时，求G 点的坐标．【答案】（1）243y x x =-+；（2）点P 的纵坐标为2；（3）G 点的坐标为（2+，11）．5．如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点， O M AB ⊥于点M ，点P 为直线l 上不与点A B 、重合的一个动点. (1)求线段OM 的长；(2)当BOP △的面积是6时，求点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OMP 全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，否则，说明理由.【答案】(1)12 5； (2) (-4，6)； (3) (125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125) 6．如图,直线AB 与坐标轴分别交于点A 、点B,且OA 、OB 的长分别为方程x 2－6x+8=0的两个根（OA ＜OB ）,点C在y 轴上,且OA ︰AC=2︰5,直线CD 垂直于直线AB 于点P,交x 轴于点D ．（1）求出点A 、点B 的坐标. （2）请求出直线CD 的解析式.（3）若点M 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD 的解析式:y CD =－2x+7;（3）存在，()15.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，．7．（模型建立）（1）如图1，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ⊥ED 于点D ，过点B 作BE ⊥ED 于点E ，求证：△BEC ≌△CDA ； （模型应用）（2）如图2，已知直线l 1：y ＝32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线l 1绕点A 逆时针旋转45°至直线l 2；求直线l 2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B （3，﹣4），过点B 作BA ⊥x 轴于点A 、BC ⊥y 轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线y ＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD 能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．【答案】（1）见详解；（2）510y x =--；（3）点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 、y 轴于点A 、B ，直线BC 分别交x 、y 轴于点C 、B ，点A 的坐标为（2，0），∠ABO=30，且AB ⊥BC ．（1）求直线BC 和AB 的解析式；（2）将点B 沿某条直线折叠到点O ，折痕分别交BC 、BA 于点E 、D ，在x 轴上是否存在点F ，使得点D 、E 、F 为顶点的三角形是以DE 为斜边的直角三角形？若存在，请求出F 点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）+；（2）（﹣2，0）或（0，0） 9．如图，在平面直角坐标系中，l 是经过A （2，0），B （0，b ）两点的直线，且b >0，点C 的坐标为（-2，0），当点B 移动时，过点C 作CD ⊥l 交于点D ．（1）求点D ，O 之间的距离； （2）当tan ∠CDO =12时，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，直接写出△ACD 与△AOB 重叠部分的面积． 【答案】（1）2；（2）24y x =-+；（3）115ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，点E 为线段BO 上一点，连接CE ，将CE 绕C 点顺时针旋转90︒得到CF ，连接EF 交CD 于点G .（1）若4,ABBE ==，求CEF ∆的面积；（2）如图2，线段FE 的延长线交AB 于点H ，过点F 作FM CD ⊥于点M ，求证：2BH MG BE +=； （3）如图3，点E 为射线OD 上一点，线段FE 的延长线交直线CD 于点G ，交直线AB 于点H ，过点F作FM 垂直直线CD 于点M ，请直接写出线段BH MG BE 、、的数量关系.【答案】（1）5；（2）见解析；（3）2BHMG BE -=2．探究：如图1和2,四边形ABCD 中,已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图 1,若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图 2，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足数量关系_______时，仍有EF BE DF =+;（2）拓展：如图3,在ABC 中，90BAC ∠=︒,AB AC ==D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒．若1BD =，求DE 的长．【答案】（1）①见解析；②180B D ∠+∠=︒，理由见解析；（2）5=3DE 3．（操作发现）如图①，在正方形ABCD 中，点N 、M 分别在边BC 、CD 上，连结AM 、AN 、MN ．∠MAN ＝45°，将△AMD 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△ABE ．易证：△ANM ≌△ANE ，从而得DM +BN ＝MN ．（实践探究）（1）在图①条件下，若CN ＝3，CM ＝4，则正方形ABCD 的边长是 ．（2）如图②，点M 、N 分别在边CD 、AB 上，且BN ＝DM ．点E 、F 分别在BM 、DN 上，∠EAF ＝45°，连接EF ，猜想三条线段EF 、BE 、DF 之间满足的数量关系，并说明理由．（拓展）（3）如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点M 、N 分别在边DC 、BC 上，连结AM ，AN ，已知∠MAN ＝45°，BN ＝1，求DM 的长．【答案】（1）6；（2）222EF BE FD =+，见解析；（3）24．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AB 边上的点，且AE ⊥DF ，垂足为点O ，△AOD ，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】5．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．【答案】136．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BE ＝CF ．求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析规律总结:E ，连接DE ．（1）判断DE 与O 的位置关系并说明理由； （2）求证：22DE CD OE =⋅．2．如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF 和AD ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠EAC ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2）AD ＝3．如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OE AD ⊥，OE 与AB 的延长线交于点E ，点C 在OE上， 满足CBE ADB ∠=∠．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若30CBE ADB ∠=∠=，3OA =， 求线段CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE4．如图，AB 是△ABC 外接圆的直径，O 为圆心，CH ⏊AB ，垂足为H ，且∠PCA=∠ACH ， CD 平分∠ACB ，交⊙O 于点D ，连接BD ，AP=2．（1）判断直线PC 是否为⊙O 的切线，并说明理由；（2）若∠P=30°，求AC 、BC 、BD 的长．（3）若tan ∠ACP=12，求⊙O 半径．【答案】（1）PC 是⊙O 的切线，理由见解析；（2）AC=2；BC=BD=（3）⊙O 的半径为3．5．如图，AB 是O 的直径，点D 是弧AE 上一点，且BDE ∠=∠，BD 与AE 交与点F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若BD 平分ABE ∠，求证：2DE DF DB =⋅；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA AO =，2DE =，求PD 的长和O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6．已知BC 是⊙O 的直径，点D 是BC 延长线上一点，AB=AD ，AE 是⊙O 的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；（2）若AE ⊥BC ，垂足为M ，⊙O 的半径为4，求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）。

初中几何一线三垂直模型构造全等三角形一线三垂直模型构造全等三角形【模型说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线.过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）.常见的两种图形：【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD 的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.【答案解析】∵AD∥BC,DG⊥BC∴∠GDF=90°又∵∠EDC=90°∴∠1=∠2在△CGD和△EFD中∠DGC=∠DFE∠1=∠2CD=DE∴△DCG≌△DEF更多内容见公众号：初中数学解题思路∴EF=CG∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2，BC=3∴BG=AD=2∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关【典型例题2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP【答案解析】过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N∵四边形ACFG是正方形.更多内容见公众号：初中数学解题思路∴AC=AG,∠CAG=90°∴∠CAH+∠ACH=90°∴∠ACH=∠GAM在△ACH和△GAM中∠AHC=∠GMA∠ACH=∠GAMAC=GA∴△ACH≌△GAM∴CH=AM,AH=GM同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP一线三垂直模型构造全等三角形【模型说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

K模型图与全等知识点基本图形本题 8 分）如图，在等腰Rt △ABC中，∠ACB=90 °，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，求证：AF＝CF．22 ．边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 中点，连CE，过 B 作 BF⊥ CE 交 AC 于 F，求AF.D CFHA EB 【例 8】CFEA D B【例 9 】等腰 Rt △ABC 中∠ACB ＝ 90 °，AC=BC ； F 是 BC 上的中点，连AF ，作 CD ⊥ AF 于 E，交 AB 于 D；连 FD. 求证： AD ＝2BD ；【例 3 】已知△ABC 中 ,∠C=90 ,AC=BC,D是AB的中点,E是BC上任一点,EP⊥ CB,PF⊥ AC,E、F为垂足 ,CFE求证 :△DEF 是等腰直角三角形.A D P B【例 4 】如图， D 为线段 AB 的中点，在AB 上取异于 D 的点 C，分别以 AC、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与 BCF，连结 DE、 DF、 EF，求证：△ DEF 为等腰直角三角形。

DFEHEAA C D BBFC【例 5 】如图，分别以△ ABC 的边 AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰 Rt △ACE；连接 DE。

AF 是△ABC 的中线，FA 的延长线交DE 于点 H ，求证： DE＝ 2AF【例 6 】如图，在正方形ABCD 中，点 N 是 BC 边上的点。

连接AN ，MN ⊥ AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。

求证： AN ＝ MN9、如图，直线AB 交 x 轴正半轴于点 A（a，0），交 y 轴正半轴于点B（0， b），且 a 、b 满足 a 4+ |4 －b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB 于 E，求证∠BDO=∠EDA；yBEFO D A x（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt△PBM ，其中 PB= PM，直线 MA 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x轴上运动时，线段 OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段 OQ 的取值范围.yM BO A PxQ 1024 ．（ 12分）如图， VCOD 等腰直角三角形， CA ⊥ x 轴。

专项05 一线三等角模型的综合应用模型一 一线三垂直全等模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA模型二 一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【类型一：标准“K ”型图】【典例1】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC ≌△CEB ； ②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；CDEBA（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．【变式11】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【变式12】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l 的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a，b，c 的式子表示）【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a ＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式3】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式4】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．3．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C ＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝45度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．5.已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，m），B（m，0），C（0，﹣m），其中m＞0，点P为线段OA上任意一点，连接BP，CE⊥BP于E，AD⊥BP于D．（1）求证：AD＝BE；（2）当m＝3时，若点N（﹣3，0），请你在图1中连接CD，EN交于点Q．求证：EN ⊥CD；（3）若将“点P为线段OA上任意一点，”改为“点P为线段OA延长线上任意一点”，其他条件不变，连接CD，EN⊥CD，垂足为F，交y轴于点H，交x轴于点N，请在图2中补全图形，求点N的坐标（用含m的代数式表示）．7．如图1，在平面直角坐标系内，A（﹣6，0），B（0，9），C（0，4），连接AB、AC，点D为x轴正半轴上一点，且S△ACD＝S△ABC．（1）求点D的坐标；（2）如图2，延长DC交AB于点E，AE＝AC，求点E的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点P在第三象限，连接AP、BP、CP，若∠CAP＝90°，∠BAC＝2∠PCO，BP交x轴于点K，求点K的坐标．8．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN＝DM．设OM＝a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（2+a，a）（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD＝MN．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．。