2017-2018学年福建省三明市三地三校高二上学期数学期中试卷带解析(理科)

福建省三校2017-2018学年高二数学上学期第二次联考试题 理（考试时间：120分钟 总分：150分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.命题“(0,1)x ∀∈，都有12x x+>”的否定是（ ） A.(0,1)x ∃∉，使12x x +≤ B.(0,1)x ∀∉，都有12x x +< C.(0,1)x ∃∈，使12x x +≤ D.(0,1)x ∀∈，都有12x x+<2.函数2()56,[0,5]f x x x x =-+∈，在定义域内任取一点0x ，使得0)(0>x f 的概率为（ ） A.51 B.53 C.107 D.54 3.一组数据的平均数是3.8，方差是0.96，若将这组数据中的每一个数据都乘以10再加1，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）A.39 ，96B. 38 , 96C. 39 , 9.6D.38 , 9.6 4.抛物线24x y =的准线方程是（ ） A ． 161=y B ．161-=y C ．1=x D ．1-=x5.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为26，据此估计其身高为（ ）A.165B.166C.170D.174 6．等差数列{}n a 中，275a =，344a a +=，设[]n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，[0.2]0=，[3.5]3=，则数列{}n b 的前6项和6S =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117. 直线l 过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛41- , 43 与椭圆1322=+y x 交于B A ,两点，且P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程是( )A. 1-=x yB. 21+-=x y C. 472-=x y D. 452+-=x y8．某程序框图如图所示，若0.9a =，则输出k 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．119.一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上，且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．164422=+y xB ．146422=+y xC ．12822=+y xD ．18222=+y x10.已知命题:(2)(31)0p x x a --+<，命题2:2q a x a <<+，若p ⌝是q ⌝的必要条件，则实数a 的取值范围( ) A.1[,1)(1,2]2B. 1[,2]2C.]1,21[ D.]2,1[11.已知1F 、2F 分别是双曲线C ：12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．212．已知函数3()(1)2f x x =-+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，且1009a e =，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，则122017(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=（ ）A ．20172B ．2017C ．4034D ．8068 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。

福建省三明市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一上·洛阳月考) 若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（）A . 平行B . 异面C . 相交D . 平行或异面2. （2分）已知椭圆的左、右两焦点分别为F1 F2 ，点A在椭圆上，，，则椭圆的离心率e等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 在棱长为的正方体中，点、、分别为棱、、的中点，经过、、三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的周长为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·杭州期中) 如图是由哪个平面图形旋转得到的（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·晋中期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A .B .C .6. （2分）(2017·大理模拟) 己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=4，BD= ，∠CBD=90°，则球O的表面积为（）A . 11πB . 20πC . 23πD . 35π7. （2分） D是△ABC的边BC上的一点，且BD= BC，设 = ， = ，则等于（）A . （﹣）B . （﹣）C . （2 + ）D . （2 ﹣）8. （2分）如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）A .B .C .9. （2分）已知直线m∥平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（）A . 平行B . 相交C . 相交或异面D . 平行或异面10. （2分） (2018高二上·巴彦期中) 在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）已知△ABC的外心O满足 = （），则cosA=________．12. （1分）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足++=，则该三棱锥外接球的体积为________13. （1分）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=________14. （1分） (2019高二上·余姚期中) 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ________．15. （1分） (2018高二上·南阳月考) 过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为________．16. （1分） (2017高二下·温州期末) 在正四面体P﹣ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且，设异面直线 NM 与 AC 所成角为α，当时，则cosα的取值范围是________．17. （1分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，AB=， CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是________三、解答题 (共5题；共46分)18. （10分）已知△ABC三个顶点的坐标为A（1，3）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，5），求这个三角形外接圆的方程．19. （10分）(2017·榆林模拟) 如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（Ⅰ）证明：EM⊥BF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20. （10分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为矩形，AB=2，AA1=4，D在棱AA1上，且4AD=AA1 ， BD 与AB1交于点O，且CO⊥平面A1ABB1 ．（I）证明：BC⊥AB1；（II）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角．21. （6分）已知正四面体的棱长为a．（1）求正四面体的高；（2）求正四面体内切球的半径和体积．22. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共46分) 18-1、19-1、20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、22-2、。

2017-2018学年福建省三明市尤溪县高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差2．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．1404．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1，当x=2时的值，则v3=（）A．4 B．9 C．15 D．295．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知A（﹣1，0）和圆x2+y2=2上动点P，动点M满足2=，则点M的轨迹方程是（）A．（x﹣3）2+y2=1 B．（x+）2+y2=1 C．（x+）2+y2=D．x2+（y+）2= 7．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．恰好有一个黑球与恰好有两个红球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．至少有一个黑球与都是黑球D．至少有一个黑球与都是红球8．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（）A．m﹣a B． C．m2﹣a2D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．14．（5分）命题：“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”为命题（填“真”或“假”）．15．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m=；16．（5分）若以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆与该椭圆有四个交点，则该椭圆的离心率的取值范围为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x+m≥0恒成立；命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题：“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数；（3）若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．（分数可以不为整数）19．（12分）双曲线E与椭圆=1有公共焦点，且离心率为．（Ⅰ）求双曲线E的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线l交E于A、B两点，且|AB|=4，求l方程．20．（12分）某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分．（Ⅰ）求出a，b的值；（Ⅱ）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？（Ⅲ）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，，．（Ⅰ）请用相关系数r对SKIPIF 1＜0与x的线性回归模型拟合关系的强弱加以说明；（Ⅱ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：．22．（12分）已知动圆的圆心M与圆外切，同时与圆内切．（Ⅰ）求动圆的圆心M的轨迹方程E；（Ⅱ）若过点A（0，2）的直线l与曲线E交于不同的两点M、N（M在A、N 之间），试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围．2017-2018学年福建省三明市尤溪县高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，D正确故选：D．2．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：a＞1时，由反比例函数的图象可知，反之若，如a=﹣1，不满足a＞1，所以a＞1是的充分不必要条件故选：A．3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．4．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1，当x=2时的值，则v3=（）A．4 B．9 C．15 D．29【解答】解：由秦九韶算法的规则f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1=（（（x+2）x+1）x﹣3）x﹣1，∴v3=（（x+2）x+1）x﹣3又x=2，可得v3=（（2+2）2+1）2﹣3=15故选：C．5．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．6．（5分）已知A（﹣1，0）和圆x2+y2=2上动点P，动点M满足2=，则点M的轨迹方程是（）A．（x﹣3）2+y2=1 B．（x+）2+y2=1 C．（x+）2+y2=D．x2+（y+）2=【解答】解：设点M的坐标为（x，y），点P（m，n），则m2+n2=2 ①．∵动点M满足2=，∴2（﹣1﹣x，﹣y）=（m+1，n）∴m=﹣2x﹣3，n=﹣2y代入①，可得（﹣2x﹣3）2+（﹣2y）2=2∴（x+）2+y2=故选：C．7．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．恰好有一个黑球与恰好有两个红球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．至少有一个黑球与都是黑球D．至少有一个黑球与都是红球【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，在A中，恰好有一个黑球与恰好有两个红球是互斥而不对立事件，故A正确；在B中，至少有一个黑球与至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C中，至少有一个黑球与都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，至少有一个黑球与都是红球是对立事后，故D错误．故选：A．8．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=满足条件k＜8，k=4，s=+满足条件k＜8，k=6，s=++满足条件k＜8，k=8，s=+++=不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．故选：D．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．11．（5分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：关于x的二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，在区间[1，+∞）上是增函数，则，即；满足条件的如图阴影部分，直线x+y﹣8=0与2x﹣y=0的交点为（，），已知区域面积为×8×8=32，阴影部分面积为×8×=，所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是P==．故选：C．12．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（）A．m﹣a B． C．m2﹣a2D．【解答】解：∵椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，∴|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2，|PF1|•|PF2|==m﹣a．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．14．（5分）命题：“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”为真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：“当x=1且y=2时，x+y=3”是真命题，∴原命题是真命题，故答案为：真15．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m= 3.1；【解答】解：由题意，=2.5，代入线性回归方程为=1.3x﹣1，可得=2.25，∴0.1+1.8+m+4=4×2.25，∴m=3.1．故答案为3.1．16．（5分）若以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆与该椭圆有四个交点，则该椭圆的离心率的取值范围为：（，1）．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆方程为x2+y2=c2，联立两方程，可得y2=，x2=，由题意可得x2＞0，y2＞0，结合a＞b＞0，a＞c＞0，可得c2＞b2，即有c2＞a2﹣c2，即为a＜c，则离心率e=＞，由0＜e＜1，可得＜e＜1．故答案为：（，1）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x+m≥0恒成立；命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题：“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题，由，得m＞3；∴当m＞3时，q为真命题．…（3分）（Ⅱ）∵不等式x2﹣2x+m≥0恒成立，∴△=4﹣4m≤0，∴m≥1，∴当m≥1时，p为真命题．…（6分）∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q一真一假；…（7分）①当p真q假；②当p假q真；综上，m的取值范围是[1，3]．…（10分）18．（12分）某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数；（3）若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．（分数可以不为整数）【解答】解：（1）由频率分布直方图中小矩形的面积和为1，得：0.2+0.3+0.4+20a=1，解得a=0.005．（2）区间[50，70）的概率和为0.05+0.4=0.45，则区间[70，80）中还需拿出概率0.05的区域才到达概率为0.5，即区间[70，80]要拿出的区域，故中位数为．（3）这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：根据上表知：[50，90）外的人数为：100﹣（5+20+40+25）=10（人）．19．（12分）双曲线E与椭圆=1有公共焦点，且离心率为．（Ⅰ）求双曲线E的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线l交E于A、B两点，且|AB|=4，求l方程．【解答】解：（Ⅰ）椭圆=1，设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），由c2=25﹣16=9，得c=3，又，∴a=2，∴b2=c2﹣a2=5．∴E：﹣=1；（Ⅱ）设直线l：y=x+t，由，得x2﹣8tx﹣4（t2+5）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴△=80（t2+1）＞0，∴，∴，∴；∴直线方程为x﹣y+=0或x﹣y﹣=0．20．（12分）某班级将从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的5次模拟测试成绩（满分：100分）进行了记录，其统计数据的茎叶图如图所示，已知甲、乙两位同学的平均成绩都为90分．（Ⅰ）求出a，b的值；（Ⅱ）分别计算这两组数据的方差，并根据统计学知识，请你判断选派哪位学生参加合适？（Ⅲ）从甲同学的5次成绩中任取两次，若两次成绩的平均分大于90，则称这两次成绩为“优秀组合”，求甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知：，，解得a=3，b=8．（Ⅱ），，∵，，∴甲、乙两生的整体水平相当，乙生更稳定一些，故应选派乙参加更合适．（Ⅲ）设从甲同学的5次成绩中任取两次得基本事件有：（87，88），（87，90），（87，92），（87，93），（88，90），（88，92），（88，93），（90，92），（90，93），（92，93），共计10个，而两次成绩的平均分大于90，即“优秀组合”包含的基本事件有：（88，93），（90，92），（90，93），（92，93）共计4个，所以甲同学的两次成绩为“优秀组合”的概率为．21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，，．（Ⅰ）请用相关系数r对SKIPIF 1＜0与x的线性回归模型拟合关系的强弱加以说明；（Ⅱ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=10，，…（1分），…（2分）∴相关系数=；因为y与x的相关系数近似为0.98，说明y与x的线性相关相当高，由此知可以用线性回归模型拟合y与x的关系；…（5分）（Ⅱ）依题意，=720﹣10×82=80，…（6分）=184﹣10×8×2=24，…（7分）∴，…（8分）=2﹣0.3×8=﹣0.4，…（9分）故所求的回归方程为；…（10分）（Ⅲ）利用回归方程，计算x=7时，（千元）；说明某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄为1.7千元…（12分）22．（12分）已知动圆的圆心M与圆外切，同时与圆内切．（Ⅰ）求动圆的圆心M的轨迹方程E；（Ⅱ）若过点A（0，2）的直线l与曲线E交于不同的两点M、N（M在A、N 之间），试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动圆M、圆O1、圆O2的半径分别为r、r1、r2，则|MO1|=r1+r，|MO2|=r2﹣r，∴，所以M的轨迹是以O1、O2为焦点长轴长2a=4的椭圆，∴，a2=4，b2=4﹣3=1，∴．…（4分）（Ⅱ）依题，直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=kx+2（k≠0），…（5分）设M（x1，y1），N（x2，y2），由得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，得；，…（8分）令，∵x 1x2＞0，∴x1，x2同号，∴∴x1=λx2，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∵0＜λ＜1，∴；所以△OAM与△OAN面积之比的取值范围是．…（12分）。

2017学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．
1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）
A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0
2．（5分）现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（）
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
3．（5分）抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为（）
A．B．C．4 D．2
4．（5分）阅读如右图所示的程序框图，则输出的值是（）
A．6 B．18 C．27 D．124。

2017—2018学年第一学期第一次月考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1．若不等式ax2bx 20的解集x|1x 2，则a b值是（）A．0 B．－1 C. 1 D．223452. 数列1,,,,的一个通项公式a=（）n371531n n nA．B． C. D．2n 112n 2n 1n 2n13.为了调研雄安新区的空气质量状况，某课题组对雄县、容城、安新3县空气质量进行调查，按地域特点在三县内设置空气质量观测点，已知三县内观测点的个数分别为6，y，z，依次构成等差数列，且6，y，z+6成等比数列，若用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则容城应抽取的数据个数为（）A.8B.6C.4D.24．已知数列的前项和为，若S a对任意的n N*都成立，则数列为a n S=a n n n n n（）A．等差数列B．等比数列C. 既等差又等比数列D．既不等差又不等比数列5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米两斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=2.5（单位：升），则输入k的值为（）A.8B.10C.12D.146.已知变量x和y满足y 0.99x 3，变量y和z的相关系数r0.91.下列结论中正确的是（）- 1 -A. x与y正相关，x与z正相关B. x与y正相关，x与z负相关C. x与y负相关，x与z正相关D. x与y负相关，x与z负相关7．若α，β为锐角，且满足sin3,cos()5，则的值为（）cos513A.335663.B C.D.16656565658.已知a (1,0),b (1,1)，若a b与b垂直，则的值（）A . 1 B. 2 C. 0 D. 19．函数y A sin(x )在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为（）2A．y 2sin(2x )B．y 2sin(2x)33xC．y2sin()D．y 2sin(2x)23310．将函数y sin(x)图象上的点P(,t)向左平移s(s 0)个单124位,得到点P'，若P'位于函数y cos2x的图象上，则（）31A. t ,s的最小值为B.t ,s的最小值为262613C.t ,s的最小值为D.t ,s的最小值为21221211．如图，在圆心角为，半径为1的扇形中，在弦AB上任取一点C，则23AOC8的概率为（）.1223A. B. C. D.4242212.已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q是正有理数．若a1d,b d2，1 222a a a123且是正整数，则q=( )b b b1231A. B. 2 C. 2或8 D. 2,或21 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，本题共20分）- 2 -13. 小明从红、黄、白、紫 4种颜色的花中任选 2种花送给薛老师，则薛老师同时收到红色和 紫色的花的概率是______ ．a b2ab14.若 a ,b 为不相等的两个正数，则（用,,连接）2 a b15. 将正方形 ABCD 分割成 n 2（n ≥2，n ∈N ）个全等的小正 方形（图 1，图 2分别给出了 n =2，3的情形），在每个小正方 形的顶点各放置一个数，使位于正方形 ABCD 的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点 A ，B ，C ，D 处的四 个数和为 4，记所有顶点上的数之和为 f （n ），则 f （3）= ______ ．16.在四边形 ABCD 中，AB=3，AC=2， BAC , AD2cos CAD ，则3BD的最大值是______ ．三、解答题（本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题 10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，若 a cos C c cos A 2b cos A（1）求角 A 的值；9 3（2）若,a 3，求△ABC 的周长.SABC418. （本小题 12分）一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，他们分别 记录了 4月 6日至 4月 11日的平均气温 x （℃）与该豆类胚芽一天生长的长度 y （mm ），得到 如下数据：日期 4月 6日 4月 7日 4月 8日 4月 9日 4月 10日 4月11日平均气温 x （℃） 10 11 13 12 8 6 一天生长的长度 y （mm ）222529261612该小组的研究方案是：先从这六组数据中选取 6日和 11日的两组数据作为检验数据，用剩下 的 4组数据即：7日至 10日的四组数据求出线性回归方程． （1）请按研究方案求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ˆb ˆx a ˆ ；（2）用 6日和 11日的两组数据作为检验数据，并判断该小组所得线性回归方程是否理想．（若 由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差不超过1mm ，则认为该方程是理想的）- 3 -参考公式：b ˆ a ˆn(x )(yxiii 1n(x) x2ii 1ˆy bxy ) 19. （本小题 12分）已知函数 f (x )A sin(x )(x R,0,0) 的部分图象如图所示．2（1）求函数 f (x ) 的解析式；（2）若(0, ) ，且 ，求 的值．cos() 3 f ()22520. （本小题 12分）已 知 数 列1N S11 Sa(*)nnnna ，a ，a 成等比数列．123（1）求 c 的值； （2）求．Sn21. （本小题 12分） 已知向量 mcos x ,sin x,ncos x , 3 c os x( 0)，设函数 f (x ) m n12（1）若函数 f (x ) 的零点组成公差为 的等差数列，求函数 f (x ) 的单调递增区间；3（2）若函数 f (x ) 的图象的一条对称轴是 x(03)，当x 时，求函数 f (x )1268的值域.22. （本小题 12分） 已知数列{a }满足n2( 2, N ),且 2 a1annan*nn 11a（1）若 c1，求证数列{ }是等比数列，并求数列 的通项公式；n c {a }nnnn2bbb（2）设数列{ }满足对任意的，都有，求证：数列bn N *n12nn4－a4－a4－a12n1 bn的前 n 项和T n1.- 4 -2017—2018学年第一学期第一次月考高二数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACCABBCBACDD二、填空题（每小题 5分，本题共 20分） 1 13．14． > 15． 16 16．．67 1三、解答题（本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题 10分） 解：（1）由 a cos Cc cos A 2b cos A 得sin A cos C sin C cos A 2 s in B cos A sin(AC ) 2 s in B cos A即sin B 2 s in B cos A …………………………………………………………………3分又sin Bcos A12 又 A(0,)A3…………………………………………………………………………………5分 13（2）由Sbc sin A bcABC249 3 4bc 9由余弦定理得 a 2b 2c 2 2bc cos A …………………………………………………7分9 (b c )2 3bc (b c )227(b c )236b c 6所以△ABC 的周长为 9.……………………………………………………………………10分- 5 -18．解：（1）∵ x 11, y 24, 0 2512 (3)(8) 18ˆb2………………………………………………4分0 21237 21830ˆ故a ˆ y bx 24117 718 30故 y 关于 x 的方程是： y ˆ x …………………………………………………6分7 7 150（2）∵x=10时，y ˆ71504 误差是22 1，……………………………………………………………9分7778x=6时， ，y ˆ7786误差是12 177故该小组所得线性回归方程是理想的．…………………………………………………12分T 115 19.解：2 1212 2T 22得……………………………………………………………………2分5 5又 f ( ) 0,2 k12 12(0, ), 2 6………………………………………………………………………4分f(x)A sin(2x)6又f(0)1A2f(x)2sin(2x)6……………………………………………………………………6分cos()sin33（2）由得255(0,)24cos5- 6 -3424sin 22sin cos 25525………………………………………………8分37cos212s in212()2525………………………………………………10分f ()2sin(2)63sin 2cos22437………………………………………………………………………………………12分2520.解：（1）由1，1S cn n Na1(*)Sn n得S1＝1，S＝S c,S S 2c，21321a1,a c,a2c23…………………………………………………………………3分又因为a，a，a成等比数列，123所以c22cc 0，或c 2…………………………………………………………………………5分当c 0时，11,a 0,a 0，不符合题意舍去，经检验，符合题意．a c 223c 2……………………………………………………………………………………6分（2）由（I）得S 1S 2n(n N*)，n n故当n N*时，a n1S 1S 2n，n nan12(nn11)(n2)……………………………………………………………8分所以n 2S 1242(n 1)n2n 1．………………………10分当n时，又n 1时，a11也符合上式S n2n1n……………………………………………………………………12分21.解：由f(x) m n1cos2x 3sin x cos x2121cos 32xsin2x 2212- 7 -sin(2x )6…………………………………………………………………………2分由函数 f (x ) 的零点组成公差为 的等差数列得) 的最小正周期为f (x ) sin(2 x3622 23 2 3f (x ) sin(3x ) 6 (4)分由 得2k 3x 2k 2 6 22 k x k 2 2 39 3 92 32 k22 kk所以函数 f (x ) 的单调递增区间为, (Z )……………………6分39 3 9（2）由 f (x ) sin(2x ) 的对称轴为6得2k12 6 2x126k 2(k Z ),又032f (x ) sin(4x ) 6 ………………………………………………………………………9分又x6824x2 63 1f (x ) 1所以当时，函数 f (x ) 的值域为.……………………………………12分x 1,168*22.解：（1）因为当时，都有 n 2,n Nan2 an1n 1，na1 a 两边同除以2 ,得1nn n……………………………………………………1分22 2a n a a1 111nn－1 ＝ （1）222 2 21nn……………………………………………………3分na又11 2211c是首项为 2，公比为 的等比数列.…………………………………………4分n2- 8 -a 11cn 1 2 ( )( )n 1n 2nn2 2 2………………………………………………………6分a n4 2 (nnN ) *bb b（2）由n 得12n4－a4－a4－a12nbb b 当n 21n 1时，2n －14－a4－a4－a12n －1两式相减得：b当n 21 时，n4－anb4 ann22………………………………………………………8分n＝nb又1, 2 21a b且 ，4 a111nNb2n*综上得，对于任意的，都有，………………………………………10分n1 bn1 ( )n2 11 1 , 从而是以 为首项，以 为公比的等比数列.b 2 2n1 1 [1 ( ) ]n112 2T1( )n1故的前 n 项和…………………………………12分n1b 21n2- 9 -。

2017-2018学年第二学期三明市三地三校期中联考试卷高二数学（理）第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 若复数（为虚数单位）则+在复平面内对应的点的坐标是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:利用复数加法法则求出+，然后得到其在复平面内对应的点的坐标.详解：∵，∴∴+∴+在复平面内对应的点的坐标是故选：D点睛：本题考查了复数的加法运算及其几何意义，属于基础题.2. 下列关于回归分析的说法中错误的有（）个(1). 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高.(2). 回归直线一定过样本中心。

(3). 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好。

(4) .甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好.A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】分析: 可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．详解：对于(1) 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故（1）错误；对于（2），回归直线一定过样本中心，（2）正确；对于（3），两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，（3）正确；对于（4），越大，拟合效果越好，故（4）错误；故选：C点睛：本题主要考查线性相关指数的理解，解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，属于基础题．3. 下列推理过程不是演绎推理的是（）．①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数， 2019不能被2整除；②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方；③在数列中，，，由此归纳出的通项公式；④由“三角形内角和为”得到结论：直角三角形内角和为 .A. ① ②B. ② ③C. ③ ④D. ②④【答案】B【解析】分析: 演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果③是一个归纳推理，②是一个类比推理，①④是演绎推理．详解：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数， 2019不能被2整除，是演绎推理，故①不选；②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方，是类比推理，不是演绎推理，故选②；③在数列中，，，由此归纳出的通项公式，是归纳推理不是演绎推理，故选③；④由“三角形内角和为”得到结论：直角三角形内角和为，是演绎推理，故④不选；总上可知②③符合要求，故选：B点睛：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，解题关键明确各推理的定义，属于基础题.4. 对于命题：，若用反证法证明该命题，下列假设正确的是（）．A. 假设，都不为0B. 假设，至少有一个不为0C. 假设，都为0D. 假设，中至多有一个为0【答案】A【解析】分析: 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．详解：用反证法证明命题“”时，假设正确的是：假设，都不为0．故选：A．5. 某校高二年级航模兴趣小组共有10人，其中有女生3人，现从这10人中任意选派2人去参加一项航模比赛，则有女生参加此项比赛的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析: 设“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件，利用互斥事件的概率公式即可求解详解：“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件．从10名同学中任选2人共有10×9÷2=45种选法（即45个基本事件），而事件A包括3×7个基本事件，事件B包括3×2÷2=3个基本事件，故P=P（A）+P（B）=+==故选：A．点睛：本题考查了古典概型与互斥事件相结合的问题，考查学生的逻辑推理能力及计算能力，属于中档题．6. 给出下列类比推理命题(其中为有理数集，为实数集，为复数集)，其中类比结论正确的是（）A. “若，则”类比推出“若，则”.B. 类比推出C. 类比推出D. “若，则”类比推出“若，则”.【答案】D【解析】分析: 在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，故而合理的进行发散联想以及合理的外推，是解得本题的关键．详解：A．当a，b∈C，两个复数的虚部相等且不为0，即使a﹣b＞0，这两个虚数仍无法比较大小，故A错误；B．“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若x∈C，|z|＜1表示复数模小于1，不能⇒﹣1＜z＜1，故B错误；C．在复数集C中，若z1，z2∈C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i．故C错误；D．若a，b∈C，则|a+b|≤|a|+|b|”，可知D正确．故选：D．点睛：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．7. 将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两次点数之和为6点”，事件B为“两次点数相同”，则概率的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:分两步走，先得到“两次点数之和为6点”的情况，再得到“两次点数相同”的情况，最后作商即可.详解：根据条件概率的含义，其含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“两次点数之和为6点”的情况下，“两次点数相同”的概率，“两次点数之和为6点”的情况，共5种，“两次点数相同”则只有一个，故=．故选：D．点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.8. 若随机变量的分布列为：已知随机变量，且，则与的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:详解：由随机变量的分布列可知，，∴，，∴∴∴故选：C点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 设，则( )A. -B.C. -D.【答案】B【解析】分析: 在已知等式中分别取与，即可得到：，，从而得到结果.详解：令，得到，再令，得到∴故选：B点睛：本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，解题的关键是根据目标的结构特点合理的赋值，属于中档题.10. 某校从6名教师（含有甲、乙、丙）中选派3名教师同时去3个边远地区支教（每地1人），其中甲和丙不同去，甲和乙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（）A. 120种B. 90种C. 42种D. 36种【答案】C【解析】分析: 先从6名教师中选出3名，因为甲和丙不同去，甲和乙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把3名老师分配去3个边远地区支教，3名教师进行全排列即可．详解：分两步，第一步，先选三名老师，又分两类第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C31=3种不同选法第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C43=4种不同选法∴不同的选法有3+4=7种第二步，三名老师去3个边远地区支教，有A33=6，根据分步计数原理得不同的选派方案共有，7×6=42．故选：C．点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．11. 将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有种不同的方案，其中的值为（）A. 543B. 425C. 393D. 275【答案】C【解析】分析：根据题意，易得5名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．详解：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x==243种，当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（+）=25种，再排列有=6种，所以y=25×6=150种，所以x+y= 393．故选：C．点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．12. 把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，例如 =，若=，则（）A. 36B. 37C. 38D. 45【答案】B【解析】分析: 由A（，）表示第行的第个数可知，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的，根据规律求得．详解：由A（，）表示第行的第n个数可知，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的所以第44行的最后一个项的项数为442=1936，即为a1936；所以第45行的最后一个项的项数为452=2025，即为a2025；所以若A（，）=a2014，一定在45行，即 =45，所以a1937是第所以第45行的第一个数，2018﹣1937+1=82，故 =82．所以．故选：B．点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.二、填空题 (本题4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年第一学期三明市三地三校联考期中考试协作卷高二化学试卷（满分100分，完卷时间90分钟）学校__________ 班级________ 姓名___________ 考号_______可能用到是相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Cu-64 Zn-65第Ⅰ卷（选择题共48分）1、下列说法中，正确的是()A、在化学反应过程中，发生物质变化的同时不一定发生能量变化B、破坏反应产物全部化学键所需要的能量大于破坏反应物全部化学键所需耍的能量时，反应为放热反应C、反应产物的总焓大于反应物的总焓时，反应吸热，△H<0D、△H的大小与热化学方程式的计算系数无关2、在理论上可设计成原电池的化学反应是()A、C(s)＋H2O(g)===CO(g)＋H2(g)ΔH＞0B、Ba(OH)2·8H2O(s)＋2NH4Cl(s)===BaCl2(aq)＋2NH3＋10H2O(l)ΔH＞0C、HCl+NaOH= NaCl+H2O ΔH＜0D、CH4(g)＋2O2(g)―→CO2(g)＋2H2O(l)△H<03、某学生欲完成反应Cu+H2SO4===CuSO4+H2↑而设计了下列四个实验，你认为可行的是()4、N2H4是一种高效清洁的火箭燃料，0.25molN2H4（g）完全燃烧生成氮气和气态水时，放出133.5kJ热量．则下列热化学方程式中正确的是（）A、N2H4（g）+O2（g）═N2（g）+2H2O（g）△H=+267 kJ•mol﹣1B、N2H4（g）+O2（g）═N2（g）+2H2O（g）△H=﹣534 kJ•mol﹣1C、N2H4（g）+O2（g）═N2（g）+2H2O（g）△H=+534 kJ•mol﹣1D、N2H4（g）+O2（g）═N2（g）+2H2O（l）△H=﹣133.5 kJ•mol﹣15、化学用语是学习化学的重要工具，下列用来表示物质变化的化学用语中，正确的是（）A、电解饱和食盐水时，阳极的电极反应式为：2Cl--2e-=Cl2↑B、氢氧燃料电池的负极反应式：02+2H20+4e-=40H-C、粗铜精炼时，与电源正极相连的是纯铜，电极反应式为：Cu-2e-==Cu2+D、钢铁发生电化学腐蚀的负极反应式：Fe-3e-=Fe3+6、用CH4催化还原NOx，可以消除氮氧化物的污染。

福建省三明市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为( ) A ．分层抽样,简单随机抽样 B ．简单随机抽样, 分层抽样 C ．分层抽样,系统抽样D ．简单随机抽样,系统抽样2．袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红､黑球各一个3．“点M 到两坐标轴距离相等”是“点M 在曲线||y x =上”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ）A ．16B ．4C ．8D ．5．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．26．已知一组数据m ，4,2,5,3的平均数为n ，且m 、n 是方程2430x x -+=的两根，则这组数据的方差为（ ）AB ．2CD ．107．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．36038．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．一条直线C ．椭圆D ．两条平行直线9．集合{}1,1,2,3,4,5A =-和{}2,1,1,2,3,4B =--，分别从集合A ，B 中随机取一个数作为m 和n ，则方程221mx ny +=表示焦点落在x 轴上的椭圆的概率是（ ）A ．16B ．518C ．49D ．5910．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8πD ．9π11．已知双曲线C 的中心为原点，(3,0)F 是C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y x =C ．y =D ．2y x =±12．已知1F ，2F 是椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则22c e b+（其中e 为椭圆的离心率）的最小值为（ ）A ．54B ．53C D二、填空题13．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．14．程序框图如图所示，若输出的y ＝0，那么输入的x 为________．15．双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为35y x =，则双曲线的离心率为__________． 16．有下列四种说法：①命题“p q ∧”为假，则p 、q 至少一个为假；②命题“一次函数都是单调函数”的否定是“一次函数都不是单调函数”； ③动点P 到点A (0,1)与到点(0,1)B -的距离之和为2，则点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆；④命题“若直线与双曲线相切，则该直线与双曲线只有一个公共点”的逆命题是真命题． 其中正确的有__________．（填写序号）三、解答题17．设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，其中0a <；q ：实数x 满足2280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．18．某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一个居民月用电量标准a ，用电量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，0cb-<，[260,280)，[]280,300分组的频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）如果当地政府希望使85%左右的居民每月的用电量不超出标准，根据样本估计总体的思想，你认为月用电量标准a 应该定为多少合理？19．第31届夏季奥林匹克运动会于2021年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y （从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x 变化的数据：作出散点图如图：由图可以看出，金牌数之和y 与时间x 之间存在线性相关关系，请求出y 关于x 的线性回归方程，并预测从第26届到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？ 附：对于一组数据()11,x y ， ()22,x y ，…， (),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑，20．某港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2,3，4,5中各随机选一个数，若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00~8:00到达，乙船将于早上7:30~8:30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X ，Y 都是0~1之间的均匀随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次满足0.5X Y -≥，有6次满足20.5X Y -≥．21．已知双曲线1C与椭圆221259xy +=有相同的焦点，并且经过点5(,2．（1）求1C 的标准方程；（2）直线l ：1y kx =-与1C 的左支有两个相异的公共点，求k 的取值范围．22．已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的离心率是2，过点(0,1)P 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l ． （1）求椭圆的方程；（2）当||AB =l 的方程； （3）记椭圆的右顶点为C ，点(,)D m n （0n ≠）在椭圆上，直线CD 交y 轴于点M ，点E 与点D 关于y 轴对称，直线CE 交y 轴于点N ．问：x 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠（O 为坐标原点）？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．D 【解析】第一种抽样是简单随机抽样，简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个，其特点是容量不要太多．第二种是系统抽样，系统抽样就是指像机器一样的抽取物品，每隔一段时间或距离抽取一个．而分层抽样，必需是有明显的分段性，然后按等比例进行抽取．故选D 2．D 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解 【详解】解：对于A ，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A 不是互斥的；对于B ，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C ，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥； 对于D ，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立， 故选：D 【点睛】此题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题. 3．C 【解析】点M 到两坐标轴距离相等，则点M 的轨迹方程为：y x =±，据此可得：“点M 到两坐标轴距离相等”是“点M 在曲线y x =上”的必要不充分条件.本题选择C 选项.4．C 【解析】由题意可得：双曲线中222212,4a m b m =+=-，则22216c a b =+=，焦距为228c ==.本题选择C 选项.5．D 【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=； 此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=； 此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2. 故选D.【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.6．B 【解析】根据题意，可得()142535m n ⨯++++=，化简可得m =5n -14，①因为m ，n 是方程x 2-4x +3=0的两根， 所以m +n =4，②联立①②解得13m n =⎧⎨=⎩， 所以()()()()()2222221134323533325s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．7．B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用. 8．C 【解析】本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB 为底，则底边长一定，从而可得P 到直线AB 的距离为定值，分析可得，点P 在以AB 为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P 的轨迹为椭圆； 本题选择C 选项.9．A 【解析】从集合A ，B 中随机取一个数作为m 和n ，共有6636⨯=种取法，方程221mx ny +=即22111x y m n+=，它表示焦点落在x 轴上的椭圆，则：110m n>>， 据此可得满足题意时应有：0n m >>，即满足题意的数对包括：()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3， 其中横坐标表示m 的值，纵坐标表示n 的值， 结合古典概型计算公式可得：方程221mx ny +=表示焦点落在x 轴上的椭圆的概率是61366p ==. 本题选择A 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10．B 【解析】已知两定点()20A -，，()10B ，，如果动点P 满足2PA PB =，设P 点的坐标为(),x y ，则()()222224[1]x y x y ++=-+，即()2224x y -+=，所以点的轨迹是以()2,0为圆心，2为半径的圆，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，故选B.11．A【解析】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有：22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a -+-=⨯=⨯=-+-， 又AB 的斜率是1501123--=--，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.所以双曲线的标准方程是22145x y -=，则双曲线的渐近线方程为y x =. 本题选择A 选项.12．B 【解析】连接PF1，OQ，由OQ为中位线,可得OQ∥PF1,|OQ|=12|PF1|，圆x2+y2=b2,可得|OQ|=b,即有|PF1|=2b，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a−2b，又OQ⊥PF2,可得PF1⊥PF2，即有(2b)2+(2a−2b)2=(2c)2，即为b2+a2−2ab+b2=c2=a2−b2，化为2a=3b,即b=23 a，c==，则222555559926633ac eab aa++==+≥=当且仅当5566aa=,即a=1时,22c eb+取得最小值53.本题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．13．19【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为56÷4=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.14．－3或0【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数3,00,05,0x x y x x x +<⎧⎪==⎨⎪+>⎩ 的函数值， 当x ＜0时，y =x +3=0，∴x =-3满足要求， 当x =0时，y =0，∴x =0满足要求， 当x ＞0时，y =x +5，∴x =-5，不满足要求， 故输入的x 的值为：-3或0.15【解析】结合双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为ay x b=±， 据此有：22222525,39b b c a a a a -=∴==，则：22225341,993c e e a ==+=∴=. 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝c a； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．16．① 【解析】由真值表可知：“p q ∧”为假，则p 、q 至少一个为假，说法①正确； 命题“一次函数都是单调函数”的否定是“一次函数不都是单调函数”，说法②错误；动点P 到点A ()0,1与到点()0,1B -的距离之和为2，则点P 的轨迹是以A ,B 为端点的直线，说法③错误；命题“若直线与双曲线相切，则该直线与双曲线只有一个公共点”的逆命题：“若直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切”是假命题，有可能直线平行于双曲线的渐近线，说法④错误； 综上可得四种说法中，正确的有①.17．(,4]-∞- 【解析】试题分析：由题意可得：令{}|3A x a x a =<<（0a <）,{}|42B x x x =-或,由题意可得A B ⊂≠，据此分类讨论可得a 的取值范围是(],4-∞-．试题解析：令()(){}|30A x x a x a =--< {}|3x a x a =<<（0a <）,{}{}2280|42B x x x x x x =+-=-或,∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q p ⌝⇒⌝，且p ⌝⇒q ⌝，即p q ⇒，且q ⇒p ， 则A B ⊂≠，∴32,0,a a ≥⎧⎨<⎩或4,0.a a ≤-⎧⎨<⎩∴4a ≤-，故a 的取值范围是(],4-∞-．18．（1）0.0075（2）众数230，中位数224（3）260a = 【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图的面积为1列出方程，求解方程可得直方图中x 的值是0.0075．(2)由频率分布直方图中最高部分可得月平均用电量的众数是2202402302+=，利用中位数将频率分布直方图分割为面积相等的两部分可得月平均用电量的中位数是224．(3) 由频率分布直方图可看出，大约有15%的居民用电量在260度以上，85%的居民用电量在260度以下，因此260a =较合理． 试题解析：（1）由直方图的性质，可得()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，的0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075． （2）月平均用电量的众数是2202402302+=． 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<， 所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =，所以月平均用电量的中位数是224． （3）由频率分布直方图可看出，月用电量在260度以上的有()0.0050.0025200.15+⨯=，即大约有15%的居民用电量在260度以上，85%的居民用电量在260度以下，因此260a =较合理．点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率； 二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19．（1）见解析（2）38.1812ˆ9.yx =-,238 【分析】（1）根据题意，画出茎叶图，通过茎叶图得出统计结论；（2）计算线性回归方程的系数，写出线性回归方程，从而得到所求结果. 【详解】（1）近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图如图：由图可得中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散 （2）因为28x =， 85.6y =，()()51381i i i x x y y =--=∑， ()52110i i x x =-=∑，所以，a y bx =- 85.638.128981.2=-⨯=-，所以金牌数之和y 关于时间x 的线性回归方程为38.1812ˆ9.yx =-， 当32x =时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值38.1329812ˆ.238y=⨯-=， 故预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为238枚． 【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小，方差或标准差越小，则数据分布波动较小，相对比较稳定． 20．（1）不公平（2）0.88 【解析】试题分析：(1)利用古典概型计算公式结合题意设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ，计算可得甲胜的概率()1325P A =，乙胜的概率()()12125P B P A =-=，则这种游戏规则不公平．(2) 应用随机模拟的方法，如果77.5X Y +<+，则甲船先停靠，根据题意，100次试验有12次结果满足0.5X Y -≥，则甲船先停靠的概率是()1210.881000P C =-=． 试题解析：（1）这种规则是不公平的；设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ，基本事件总数为5525⨯=种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：()1,1，()1,3，()1,5，()2,2，()2,4，()3,1,()3,3,()3,5,()4,2,()4,4,()5,1,()5,3,()5,5，∴甲胜的概率()1325P A =，乙胜的概率()()12125P B P A =-=， ∴这种游戏规则不公平．（2）应用随机模拟的方法，如果77.5X Y +<+，即0.5X Y -<，则甲船先停靠， 根据题意，100次试验有12次结果满足0.5X Y -≥， 所以甲船先停靠的概率是()1210.881000P C =-=．21．（1）221412x y -=（2）(【解析】试题分析：(1)由题意计算可得即2a =，4c =，22212b c a =-=，则双曲线1C 的标准方程为221412x y -=． (2)联立直线与双曲线的方程，据此得到关于实数k 的不等式组，求解不等式组可得k 的取值范围是2⎛- ⎝. 试题解析：（1）依题意，双曲线1C 的焦点坐标为()14,0F -，()24,0F ，设双曲线1C 的标准方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），则24a ==，即2a =， 又因为4c =，所以22212b c a =-=，故双曲线1C 的标准方程为221412x y -=．（2）由221,1,412y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2232130k x kx -+-=，依题意()22222230,4523156480,20,3130,3k k k kkk k ⎧-≠⎪∆=+-=->⎪⎪-⎨<⎪-⎪-⎪>-⎩解得k <<k的取值范围是2⎛- ⎝． 22．（1）2212y x +=（2）1y =+（3）点Q的坐标为0)或(【解析】试题分析：(1)由题意求得222,1,a b ⎧=⎨=⎩则椭圆的方程为2212y x +=；(2)很明显直线的斜率存在，利用弦长公式得到关于斜率k 的方程，解方程可得l的方程为1y =+．(3) 假设x 轴上存在点(),0Q Q x ，使得OQM ONQ ∠=∠，原问题等价于Q x 满足2Q M N x y y =⋅，据此整理计算可得点Q的坐标为)或()．试题解析：解：（1）由已知，点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，因此222221121,,a b a b c c a ⎧⎪+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的方程为2212y x +=．（2）依题意，直线l 的斜率必存在，设l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222210k x kx ++-=， 故12222k x x k +=-+，12212x x k -=+，∴AB ==)22122k k +==+，整理得22k =，即k =∴l 的方程为1y =+．（3）假设x 轴上存在点(),0Q Q x ，使得OQM ONQ ∠=∠， “存在点(),0Q Q x 使得OQM ONQ ∠=∠”等价于“存在点(),0Q Q x 使得OM OQ OQON=”即Q x 满足2Q M N x y y =⋅，因为0n ≠，所以11m -<<， 直线CD 的方程为()11ny x m =--，所以1M n y m =-，即0,1n M m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 因为点E 与点D 关于y 轴对称，所以(),E m n -．同理可得0,1n N m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 因为1M n y m =-，1N n y m =+，2212n m +=， 所以22221QM N n x y y m=⋅==-，所以Q x =Q x =，故在x 轴上存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠，点Q 的坐标为)或()．点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

2017-2018学年福建省三明市三地三校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若f（x）是奇函数，则f（﹣x）是奇函数”的否命题是（）A．若f（x）是偶函数，则f（﹣x）是偶函数B．若f（x）不是奇函数，则f（﹣x）不是奇函数C．若f（﹣x）是奇函数，则f（x）是奇函数D．若f（﹣x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数2．（5分）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（）A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n ∈N，2n＜10004．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=15．（5分）若双曲线x2﹣ky2=1的一个焦点是（3，0），则实数k=（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）A． B． C．a D．b7．（5分）已知f（x）=xα，若f'（﹣1）=﹣4，则α等于（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣58．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=09．（5分）函数f（x）=的单调递减区间是（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，e]D．[e，+∞）10．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定11．（5分）已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=﹣1相切，则此动圆必过定点（）A．（2，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）12．（5分）已知函数，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（）A．B．C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）二、本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）命题“若x=5，则x2﹣8x+15=0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有个．14．（5分）已知点（2，3）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为．15．（5分）函数y=f（x）在定义域（﹣，3）内的图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式f'（x）≤0的解集为．16．（5分）已知p（x）：x2+2x﹣m＞0，且p（1）是假命题，p（2）是真命题，则实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，第17、18题10分，19-21小题各为12分，22题14分.解答应写出文字说明、证明过程和推演步骤．17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2．求实数a，b的值．18．（10分）在一次投篮训练中，小明连续投了2次．设命题p是“第一次投中”，命题q是“第二次投中”．试用p，q以及逻辑联结词“∧，∨，﹁”表示下列命题：（1）两次都没投中；（2）两次都投中了；（3）恰有一次投中；（4）至少有一次投中；（5）至多有一次投中．19．（12分）抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．20．（12分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f （x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．21．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．2017-2018学年福建省三明市三地三校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若f（x）是奇函数，则f（﹣x）是奇函数”的否命题是（）A．若f（x）是偶函数，则f（﹣x）是偶函数B．若f（x）不是奇函数，则f（﹣x）不是奇函数C．若f（﹣x）是奇函数，则f（x）是奇函数D．若f（﹣x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数【解答】解：否命题是同时否定命题的条件结论，故由否命题的定义可知B项是正确的．故选：B．2．（5分）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当“a=1”时，“|a|=1”成立即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立即“|a|=1”时，“a=1”为假命题故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件故选：A．3．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（）A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n ∈N，2n＜1000【解答】解：∵命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为∀n∈N，2n≤1000故选：A．4．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【解答】解：∵椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，∴椭圆的焦点在x轴上，c=5，a=13，∴b==12，∴椭圆的方程为+=1．故选：A．5．（5分）若双曲线x2﹣ky2=1的一个焦点是（3，0），则实数k=（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线x2﹣ky2=1，得，∵（3，0）是双曲线的一个焦点，可知双曲线为焦点在x轴上的双曲线，则，∴=9，解得：k=．故选：C．6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）A． B． C．a D．b【解答】解：由题意知，圆的半径是右焦点（c，0）到其中一条渐近线的距离，所以R=．故选：D．7．（5分）已知f（x）=xα，若f'（﹣1）=﹣4，则α等于（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5【解答】解：函数的导数f′（x）=αxα﹣1，∵f′（﹣1）=﹣4，∴f′（﹣1）=α（﹣1）α﹣1=﹣4，则α=4，故选：A．8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0【解答】解：∵y=2x2 ∴y'=4x，∵直线4x﹣y+3=0的斜率为4，由4x=4得x=1，当x=1时，代入抛物线方程得y=2，∴切点坐标为（1，2）∴与直线4x﹣y+3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是y﹣2=4（x﹣1）即4x﹣y﹣2=0故选：C．9．（5分）函数f（x）=的单调递减区间是（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，e]D．[e，+∞）【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）==，令f′（x）≤0，解得：x≥e，故函数在[e，+∞）递减，故选：D．10．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：直线y=kx﹣k+1可化为y=k（x﹣1）+1，所以直线恒过点（1，1）∵∴（1，1）在椭圆的内部∴直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是相交故选：A．11．（5分）已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=﹣1相切，则此动圆必过定点（）A．（2，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故选：B．12．（5分）已知函数，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（）A．B．C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）【解答】解：函数在定义域内是奇函数且是单调增函数，不等式即：f（2﹣x2）＞f（﹣2x﹣1），∴2﹣x2＞﹣2x﹣1，即：x2﹣2x﹣3＜0，∴﹣1＜x＜3，故选：D．二、本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）命题“若x=5，则x2﹣8x+15=0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有2个．【解答】解：若x=5，则x2﹣8x+15=52﹣8×5+15=0，则原命题为真命题，则逆否命题为真命题，逆命题：若x2﹣8x+15=0，则x=5，为假命题，由x2﹣8x+15=0，则x=5或x=3，即逆命题为假命题，则否命题为假命题，则四种命题中真命题的个数为2个．故答案为：214．（5分）已知点（2，3）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为2．【解答】解：∵﹣=1，C的焦距为4，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），∵点（2，3）在双曲线C上，∴2a==2，∴a=1，∴e==2．故答案为2．15．（5分）函数y=f（x）在定义域（﹣，3）内的图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式f'（x）≤0的解集为[﹣，1]∪[2，3）．【解答】解：根据题意，不等式f'（x）≤0求函数的导数小于等于0的范围，即求函数的单调减区间，结合图象有x的取值范围为[﹣，1]∪[2，3）；即不等式的解集为[﹣，1]∪[2，3）；故答案为：[﹣，1]∪[2，3）．16．（5分）已知p（x）：x2+2x﹣m＞0，且p（1）是假命题，p（2）是真命题，则实数m的取值范围为[3，8）．【解答】解：因为p（1）是假命题，所以1+2﹣m≤0，解得m≥3，又因为p（2）是真命题，所以4+4﹣m＞0，解得m＜8，所以实数m的取值范围是3≤m＜8．故答案为：[3，8）三、解答题：本大题共6小题，共70分，第17、18题10分，19-21小题各为12分，22题14分.解答应写出文字说明、证明过程和推演步骤．17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2．求实数a，b的值．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，其导数为f′（x）=x2﹣2x+a，其图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，则f′（0）=a=3，即a=3，又P（0，f（0））既在曲线f（x）上，又在切线y=3x﹣2上，则f（0）=×03﹣02+a×0+b=3×0﹣2，即b=﹣2；故a=3，b=﹣2．18．（10分）在一次投篮训练中，小明连续投了2次．设命题p是“第一次投中”，命题q是“第二次投中”．试用p，q以及逻辑联结词“∧，∨，﹁”表示下列命题：（1）两次都没投中；（2）两次都投中了；（3）恰有一次投中；（4）至少有一次投中；（5）至多有一次投中．【解答】解：依题意及逻辑联结词的意义，（1）两次没投中可表示为（﹁p）∧（﹁q）；…（2分）（2）两次都投中了可表示为p∧q；…（4分）（3）恰有一次投中可表示为[p∧（﹁q）]∨[（﹁p）∧q]；…（6分）（4）至少有一次投中可表示为p∨q；…（8分）（5）至多有一次投中可表示为﹁（p∧q）…（10分）19．（12分）抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【解答】解：如图，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则直线方程为y=﹣x+p，设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，即x1++x2+=8．①又A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2﹣3px+=0，∴x1+x2=3p．将其代入①，得p=2．∴所求抛物线方程为y2=4x；当抛物线方程设为y2=﹣2px时，同理：可求得抛物线方程为y2=﹣4x．20．（12分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f （x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（﹣1）=3﹣2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）∵由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g'（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g'（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g'（x）＞0，∴x=﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．21．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，故曲线C的方程为x2+=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故x1+x2=﹣，x1x2=﹣，若⊥，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2=﹣﹣﹣+1=0，化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解答】解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．。