第1讲 观察归纳与猜想

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45……猜想与归纳归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

例2将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．例3下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分：第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇形A 1OC 1、扇形C 1OB 1；第二次划分：如图⑶所示，在扇形C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.⑴根据题意，完成下表：⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？优化训练1． 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2＋1＝2 S 1＝12 （2）2＋1＝3S 2＝22（3）2＋1＝4 S 3＝32⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； ⑵推算出OA 10的长；⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值．2． 观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中的小黑点的个数为y .A 6 … A 51 1 A 4 1 A 3 A 21 A 111 O S 1 S2 S3 S4 S 5图⑷第三次划分 图⑴ A B O 图⑵第一次划分 A B O A 1 C B 1 C 1 图⑶第二次划分 A B OA 1 CB 1C 1⑴ ⑵⑶⑷解答下列问题： ⑴填表：⑵当n ＝8时，y ＝ ___；⑶你能猜想y 与n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；⑷下边给出一种研究方法。

观察、归纳与猜想当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜想，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的.请同学们有理有据的大胆猜想！1。

（1)计算下列各式:1+2+1= ；1+2+3+2+1= ;1+2+3+4+3+2+1= ;(2)你能发现什么规律吗？请将你猜想到的规律用含一个字母的式子表示出来：.（3）写出第1000个式子。

2。

（1）比较下列各组数的大小:12 21；23 32；34 43；45 54;56 65。

（2）从(1）中结果，你发现了什么规律？(3）利用上述规律，比较20042005与20052004的大小。

3。

你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写成10n+5（n为自然数）,即求()2n+的值，试分析n=1,2，3 ，…… ，这些简105单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）.（1）通过计算，探索规律152=225可写成100×1×（1＋1）＋25；252=625可写成100×2×(2＋1)＋25；352=1225可写成100×3×(3＋1）＋25；452=2025可写成100×4×(4＋1）＋25；……752=5625可写成: ；852=7225可写成：；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想,得()2n+= ；105（3）根据上面的归纳猜想,请算出19952= .当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时,我们可以从问题的简单情形和特殊情形入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般性规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法。

请验证你的猜想!解1：（1）1+2+1=4=22；1+2+3+2+1=9=32；1+2+3+4+3+2+1=16=42；(2)1+2+3+……+（n-1）+n+（n-1）+……+3+2+1=n2。

7．6 归纳—猜想—论证一、教学内容分析 归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一样结论的推理方式．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．关于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发觉规律，得出结论，并设法予以证明，这确实是“归纳—猜想—论证”的思维方式．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方式．论证时采纳的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方式，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体熟悉．二、教学目标设计1．了解数学推理的经常使用方式：归纳法与演绎法，进一步明白得数学归纳法的适用情形和证明步骤．2．通过实例，明白得利用归纳的方式，发觉规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方式，取得关于“归纳—猜想—论证”进程的体验，初步形成在观看的基础上进行归纳猜想和发觉的能力．3．体验概念形成进程，引发对“归纳—猜想—论证”思维方式的爱好，提升数学素养． 三、教学重点与难点重点：“归纳—猜想—论证”思维方式的渗透和学习．难点：对数学归纳法的进一步明白得和应用．四、教学流程设计五、教学进程设计 1．引入 问题1．用数学归纳法证明： 选题目的：回忆并熟练把握用数学归纳法证明数学命题的进程与大体步骤，为新课的引入做好铺垫．例1，体验复习回顾 实例引入 例2，认识运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)2．归纳猜想咱们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，可是这些等式又是如何取得的呢？[说明] 引发学生试探，探求结论取得的可能方式：一是直接计算取得结论，二是归纳猜想．问题2．数列的通项公式22(55)n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，你能够取得什么结论？问题3．费马（Fermat ）是17世纪法国闻名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创建作出奉献最多的人之一，是概率论的开创者之一，他对数论也有许多奉献．费马以为，当n ∈N 时，221n+必然都是质数，这是他对n=0，1， 2，3，4作了验证后取得的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5221+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．问题4．设2()41f n n n =++，那么当n ∈N 时，()f n 是不是都为质数？ (0)41f =，(1)43f =，(2)47f =，(3)53f =，(4)61f =，(5)71f =，(6)83f =，(7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，，(39)1601f =．可是(40)16814141f ==⨯是合数．找出运用归纳法犯错的缘故，并研究出计谋来！3．归纳猜想论证 在数学问题的探讨中，为了寻求一样规律，往往先考虑一些特例，进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜想的结论必然正确吗？不必然！通过归纳猜想的结论可能错误也可能正确，然后必然要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项表达式，并加以证明．选题目的：（1）引导学生体验从特殊到一样的试探进程，形成归纳猜想的意识．（2）那个地址去掉了原题中“并用数学归纳法证明”的证明方式的要求，以期证明方式的开放性，引发学生更开阔的试探．如：（3）要证明2n a n =对一切正整数都成立，一个一个验证是不可能的．一些与正整数有关的命题能够用数学归纳法加以证明．例2．已知数列114⨯，147⨯，1710⨯，…，1(32)(31)n n -+，…，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值．依照计算结果猜想n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明．选题目的：经历和体验“归纳—猜想—论证”的完整进程，明白得把握这一重要的思维方式．4．练习P36—1，2，35．小结本节课要紧学习用“归纳—猜想—论证”的方式分析和解决问题．归纳—猜想—论证是咱们分析和解决问题的经常使用方式，它经历三个进程：尝试，观看特例；体验，归纳猜想一样规律；理性，证明猜想．这也告知咱们在分析和解决问题时要“斗胆假设，警惕求证”．斗胆假设，也确实是斗胆猜想，这是探讨发觉真理的重要手腕，是制造的源泉；但对猜想要警惕求证，这是思维严谨的表现． 在证明进程中，咱们进一步学习了如何用数学归纳法进行演绎推理证明．6．作业P15—2，3 P16—4六、教学建议与说明1．以问题为中心．通过对问题1的分析与解决，追根溯源，提出疑惑．通过对问题2，3，4的感受体验，思维冲击，斗胆质疑．通过度析解决例题1，形成方式．2．以思维方式为主线．应切实让学生感受“归纳—猜想—论证”这一重要数学思维方式的进展进程和理性熟悉，将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体熟悉．。

七年级数学《观察、猜想与证明》一、【观察与实验】认识来源于实践，是我们认识事物的重要方法，通过观察和实验，可以发现许多规律。

是获得感性认识的重要途径，但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证；是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作或活动。

实验的关键是要具有可重复操作性。

例题：1.下面给出了两个图形，你能分别用一笔画出来吗？（每部分既不能重复，也不能遗漏）？2.【错觉】①上图（3）中的两条紫色的线条是平行的吗？图（4）中线段AB与线段CD哪个比较长？用什么办法验证你的观察？②下面左边两幅图形中，哪个图形的竖线更长？右图中有曲线吗？【结论】：观察可能产生错觉；所以观察的结果需要验证。

3.一个正方体有六个面，分别标上文字“观，察，猜，想，证，明”是从三个不同方向看到的几个汉字 . 观察图形中的汉字特点，那么，“观”相对面上的汉字是；“察”相对面上的汉字是；“猜”相对面上的汉字是；4.用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（）A．观察 B．实验 C．归纳 D．类比5.【实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程】①三条线段能组成一个三角形吗？②用两块形状、大小相同的三角尺，你能拼出多少个形状不同的三角形？能拼出多少个形状不同的四边形？（摆一摆，试一试）③如图，OM 为∠AOB 的平分线，点 P是射线 OM 上的一点，PA ⊥ OA 于点 A，PB ⊥ OB 于点 B，分别度量PA，PB 的长度，并判断它们的数量关系；如果在射线 OM 上再取几个不同位置的点 P，然后向角的两边作垂线段，刚才的数量关系还存在吗？④用剪刀把一张长方形的纸剪了一次，剩余的一部分纸是什么图形？把长方形纸片剪成两部分，用剪得的两部分可以拼成哪些形状不同的图形？你能拼接成一个三角形吗？并画出拼接后的示意图。

【归纳与类比】归纳与类比是得出猜想的两个重要的方法 .【归纳】归纳的方法也是人们认识事物的重要方法，归纳法有归纳法和归纳法两类，初中阶段只要了解归纳的一些补步知识，在高中阶段将会进一步进行研究。

小学数学“猜想-验证-归纳-运用”课堂教学模式3、通过观察、实验、探究等方式，让学生自主猜测并提出假设，然后进行验证。

二）、验证——用“证”实猜想，加深理解在学生提出猜想后，需要进行验证。

验证的过程不仅可以证实猜想的正确性，也可以发现猜想的不足之处，进一步加深对知识的理解。

验证的方式可以多样化，例如：1、通过具体的实验或观察来验证猜想的正确性。

2、通过逻辑推理和数学证明来验证猜想的正确性。

3、通过举反例来验证猜想的不正确性。

三）、归纳——总结规律，提高抽象思维在验证了多个猜想后，学生可以对这些猜想进行总结，找出其中的规律。

通过归纳的过程，可以提高学生的抽象思维能力，培养学生发现问题本质的能力。

四）、运用——将知识运用到实际生活中在学生掌握了一定的数学知识后，需要将其运用到实际生活中。

例如，通过解决实际问题，让学生发现数学知识的实用性和重要性，提高学生的数学应用能力。

四、模式的实施方式：在教学实践中，可以通过以下方式来实施“猜想——验证——归纳——运用”的小学数学教学模式：1、引导学生提出猜想，并进行验证和总结。

2、通过课堂讨论、小组合作等方式，让学生分享归纳出的规律和知识。

3、通过实际问题的解决，让学生将所学知识应用到实际生活中。

通过这种教学模式，可以激发学生的研究兴趣，提高学生的数学思维能力和创新能力，培养学生的实际应用能力，从而达到更好的教学效果。

在实际操作中，我们经常会遇到问题，需要提出猜想和假设，并通过实践来验证。

为了提高学生的“猜想”能力，我们应该遵循以下几个基本原则。

首先，我们应该给学生足够的时间和空间来进行猜想。

学生在课堂上应该是研究的主体，我们应该改进教师讲授和学生练的方式，引导学生进行猜想。

数学猜想是学生对数学问题的主动探索，我们应该创造平等民主的课堂氛围，尊重学生的猜想，鼓励他们畅所欲言，调动他们的研究积极性和主动性。

其次，我们应该允许学生出错。

数学研究是一个动手实践、合作交流和自主探索的过程。

观察、猜想、规律
【李老师提醒】寻找规律是近年来中考必考题，主要考察大家的观察和猜想能力，多以选择题
出现。

解决此类问题主要是两种方法：
第一种：数字归纳法，就是找出已知图形的个
数差别，并找出他们的规律进行延展。

一般来
说就是看几个数字的差之间的关系。

第二种：追根朔源法，就是观察图形变化引起
的数字变化，从而推导出通向公式进行求解。

下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规
律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒根．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）
A．B．
C．D．
按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.
n
26n
+86n
+
44n
+8
n
第第第
第。

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。

例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

数学归纳法知识集结知识元数学归纳法知识讲解1．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．例题精讲数学归纳法例1.（2020春∙安徽期末）已知f（n）=1++++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（n）>n时，有f（k+1）-f（k）=___．【答案】【解析】题干解析:∵假设n=k时，f（k）=1+，∴当n=k+1时，f（k+1）=1，∴f（k+1）-f（k）=．例2.（2020春∙慈溪市期中）用数学归纳法证明：“1+”由n=k（k∈N*，k>1）不等式成立，推理n=k+1时，不等式左边应增加的项数为____．【答案】2k【解析】题干解析:当n=k时，不等式左侧为1+++…+，当n=k+1时，不等式左侧为1+++…++++…+不等式左边增加的项数是（2k+1-1）-（2k-1）=2k．例3.（2020春∙徐汇区校级期末）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是______．【答案】4k+2【解析】题干解析:用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2（2k+1）．用数学归纳法证明不等式知识讲解1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n只观察前3项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．例题精讲用数学归纳法证明不等式例1.证明：x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）．【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：当n=1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x-x=0易得此时x n-na n-1x+（n-1）a n 能被（x-a）2整除成立；设n=k时，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除成立，即x k-ka k-1x+（k-1）a k能被（x-a）2整除成立，则n=k+1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1=x k-ka k-1x+（k-1）a k+ka k─1（x─a）2即x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1也能被（x-a）2整除综合，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）。