高考数学同步练习：第二章 第九节 导数概念及其运算 Word版含解析

《必修二》课后习题解析：导数的定义及其运算法则在学习高中数学的过程中，导数是一个重要的概念。

它与函数的变化率和曲线的切线有密切关系。

本文将对《必修二》课后习题中有关导数的定义及其运算法则进行解析。

1.导数的定义导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。

对于函数f(x)，其在点x处的导数表示为f'(x)，定义为：\[f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的增量。

导数的定义可以理解为点(x, f(x))处的切线斜率。

2.导数的几何意义导数在几何上有着重要的意义。

对于函数y=f(x)，一个点(x, f(x))处的导数f'(x)表示了曲线在这一点的切线斜率。

如果导数为正，则曲线在该点上升；如果导数为负，则曲线在该点下降；如果导数为零，则曲线在该点处于极值。

3.导数的运算法则导数具有一些常用的运算法则，方便我们计算各种复杂函数的导数。

3.1 常数规则若f(x)=c，其中c是常数，则f'(x)=0。

这是因为常数的导数为0，表示其在任意点上的斜率都为0。

3.2 变量规则若f(x)=x，则f'(x)=1。

这是因为变量x的导数即为其系数，系数为1。

3.3 幂规则若f(x)=x^n，其中n是正整数，则f'(x)=nx^{n-1}。

这是因为幂函数的导数可以通过降低幂指数并乘以原指数得到。

3.4 恒等规则若f(x)=f(x)，则f'(x)=1。

对于恒等函数，其导数恒为1，表示其斜率始终保持不变。

3.5 和差规则若f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)都是可导函数，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。

和差规则可方便地求出两个函数之和或差的导数。

3.6 积法则若f(x)=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)都是可导函数，则f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

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高等数学同步练习题 第一部分 函数1。

求下列函数的定义域： (1）1)1ln(12++-=x x y ； (2) ][1a x y +=。

2。

讨论下列哪些函数相同： (1） x ln 2与2ln x ； (2) 2x 与x ;（3) x 与x x sgn . 3.讨论下列函数奇偶性：（1） )1ln(2x x y ++=; (2) x e x y 2=； 4。

(1） 设52)2(2+-=+x x x f ，求)2(-x f ； (2） 设x e f x =+)1(,求)(x f ；（3）设221)1(x x x x f +=+，求)(x f .5。

设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011)(x x x x f ，x e x g =)(，求)]([x g f 和)]([x f g 并作出这两个函数的图形。

第二部分 一元微分学一、求导数1. 若函数)(x f 在a 可导，计算 (1)ah a f h f ah --→)()(lim;（2)h h a f a f h )()(lim 0--→；（3）ha f h a f h )()2(lim-+→；（4)hh a f h a f h 2)()2(lim+-+→。

2。

求导数： （1） x y =;(2) 53x x y =.（3） xy 1=（4) 531xxy =3. 求下列曲线在指定点的切线及法线方程 （1） )1,1(1在点xy =处;（2) )21,3(cos π在点xy =处.（3) 求2x y =在点)0,1(-处的切线4. 若函数)(x f 在a 处可导，计算)]()1([lim a f n a f n n -+∞→。

计算导数 同步练习1. 函数2x y =在1=x 处和1-=x 处的导数之间的关系是（ ）A. )1()1(-'='f fB. 0)1()1(=-'+'f fC. )1()1(-'<'f fD. 以上都不对2. 两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A 车向北行驶，速率为30 km/h ，B 车向东行驶，速率为40 km/h ，那么A 、B 两车间直线距离的增加速率为A. 50 km/hB. 60 km/hC. 80 km/hD. 65 km/h3. 与直线042=+-y x 平行且与抛物线2x y =相切的直线方程是（ ）A. 032=+-y xB. 032=--y xC. 012=+-y xD. 012=--y x4. 函数xx y 1+=在1=x 处的导数是（ ） A. 2 B. 25 C. 1 D. 05. [][]=--→∆02020)()(lim x x x f x f x （ ）A. )(0x f 'B. )(0x fC. )()(00x f x f 'D. )()(200x f x f '6. 已知22)(x x x f -+=，求)3(-'f 。

7. 若曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标。

8. 已知曲线812++=xx y 在点)10,1(P 处的切线方程。

9. 求与曲线122-=x y 相切且与014=++y x 垂直的切线方程。

10. 曲线)(Z n x y n ∈=在2=x 处的导数是12，求n 。

11. 求曲线x y cos =在点)21,34(-πA 处的切线方程。

12. 路灯距地平面为8 m,一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C ，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v 。

1. 答案：B ；计算得x x y x f x 2lim)(0=∆∆='→∆，将数值1=x 和1-=x 代入即可得到。

为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为(　)
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。

2021年高考数学总复习同步练习：导数的概念及运算一、选择题1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin xB [⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选项B 正确．]2．(2019·成都模拟)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝( )A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1D [由已知得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，则f ′(e)＝－1e .故选D.]3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末D [∵s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义可知v ＝s ′(t )，令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]4．(2019·贵阳模拟)曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x －eB ．y ＝－2x －eC ．y ＝2x ＋eD ．y ＝－x －1A [对y ＝x ln x 求导可得y ′＝ln x ＋1，则曲线在点(e ，e)处的切线斜率为ln e ＋1＝2，因此切线方程为y －e ＝2(x －e)，即y ＝2x －e.故选A.]5．已知直线y ＝ax 是曲线y ＝ln x 的切线，则实数a ＝( ) A.12 B.12e C.1eD.1e 2C [设切点坐标为(x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x 知切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝x x 0＋ln x 0－1.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1x 0，ln x 0－1＝0，解得a ＝1e .故选C.]二、填空题6.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是 ．x －y －2＝0 [根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.]7．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．(－∞，0) [由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a ＝－13x 3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)．]8．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为 ．(1，－1)或(－1,1) [由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且⎩⎨⎧ 3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－1，a ＝2或⎩⎨⎧x 0＝1，a ＝－2， 所以当⎩⎨⎧x 0＝1，a ＝－2时，点P 的坐标为(1，－1)；当⎩⎨⎧x 0＝－1，a ＝2时，点P 的坐标为(－1,1)．] 三、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． [解] (1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53， ∴斜率最小时的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝xD [因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.]2．曲线在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2D [易知曲线在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为k .∵，∴＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.]3．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x 的切线，则b ＝ .0或1 [设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为(x 1，y 1)，与曲线y ＝e x的切点为(x 2，y 2)，y ＝ln x ＋2的导数为y ′＝1x ，y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，可得.又由，消去x 2，可得(1＋ln x 1)(x 1－1)＝0，则x 1＝1e 或x 1＝1，则直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1或(1,2)，与曲线y ＝e x的切点为(1，e)或(0,1)，所以k ＝e －11－1e＝e 或k ＝1－20－1＝1，则切线方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1，可得b ＝0或1.]4．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． [解] f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意，得⎩⎨⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.1．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )＞0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，所以f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )＞0得x ＞12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.]2．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f (x )的解析式；(2)若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意⎩⎨⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝0，3a ＋c ＝0又f ′(0)＝－3，所以c ＝－3，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3－3x .(2)设切点为(x 0，x 30－3x 0)， 因为f ′(x )＝3x 2－3，所以f ′(x 0)＝3x 20－3，所以切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．又切线过点A (2，m )，所以m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(2－x 0)， 所以m ＝－2x 30＋6x 20－6，令g (x )＝－2x 3＋6x 2－6，则g ′(x )＝－6x 2＋12x ＝－6x (x －2)，由g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，g (x )极小值＝g (0)＝－6，g (x )极大值＝g (2)＝2， 画出草图知，当－6＜m ＜2时，g (x )＝－2x 3＋6x 2－6有三个解，所以m 的取值范围是(－6,2)．。

课时作业1．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是( )【答案】　A2．(2022·湖南四校联考)曲线f(x)＝2x－e x在点(0，f(0))处的切线方程是( )A．2x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x－y＝0 D．x－y－1＝0【解析】　由题意，得f′(x)＝2－e x，所以f′(0)＝1．又f(0)＝－1，所以所求切线方程为y－(－1)＝x－0，即x－y－1＝0．【答案】　D3．(2022·镇江月考)已知直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x的切线，则b的值等于( ) A．－1 B．0C．1 D．2【解析】　由题意可设切点为(m，n)，且f′(x)＝1x，则直线的斜率k＝1m＝1，解得m＝1，所以切点为(1，0)，所以b＝－1，故答案选A．【答案】　A4．(2022·山东泰安模拟)若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )A．－1 B．0C．1 D．2【解析】　依题意得，f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b，则b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1．【答案】　C5．(2022·宁夏长庆中学高三月考)若函数f(x)＝ax3＋3x2＋x＋b(a>0，b∈R)恰好有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是( )A．(0，3)∪(3，＋∞) B．[3，＋∞)C．(0，3] D．(0，3)【解析】　由题意得f′(x)＝3ax2＋6x＋1(a>0)，∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间，∴f′(x)有两个不同的零点，所以，{Δ＝36－12a>0a>0，解得0<a<3．因此，实数a的取值范围是(0，3)．故选D．【答案】　D6．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( ) A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋1xD．f(x)＝e x＋x【解析】　对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋1x，其导数f′(x)＝1－1x2，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝e x＋x，其导数f′(x)＝e x＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．【答案】　BC7．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是( )A．y＝cos x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x2【解析】　由题意函数y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1．对于A，y＝cos x的导数为y′＝－sin x，存在x1＝π2，x2＝－π2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1；对于B，y＝ln x的导数为y′＝1x>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1；对于C，y＝e x的导数y′＝e x>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于D，y＝x2的导数为y′＝2x，存在x1＝1，x2＝－14，使得f′(x1)f′(x2)＝－1．综上，具有T性质的函数为A、D．故选AD．【答案】　AD8．(2022·苏州八校联考)已知f(x)＝cos x＋2sin x，则下列函数中在R上单调递增的是( )A．y＝f(x)＋x B．y＝f(x)＋x2C．y＝f(x)＋x3D．y＝f(x)＋x4【解析】　由题意可知，对于选项A，y＝f(x)＋x＝x＋cos x＋2sin x，则y′＝1－sin x＋2cos x＝1－5sin (x＋φ)∈[－5＋1，5＋1]，不为恒大于或等于0的值，即函数y＝f(x)＝x在R上不为单调递增，故选项A错误；对于选项B，y＝f(x)＋x2＝x2＋cos x＋2sin x，则y′＝2x －sin x＋2cos x，当x＝－π时，y′＝－2π－2＜0，则y′不为恒大于或等于0的值，即函数y＝f(x)＋x2在R上不为单调递增，故选项B错误；对于选项D，y＝f(x)＋x4＝x4＋cos x＋2sin x，则y′＝4x3－sin x＋2cos x，当x＝－π时，y′＝－4π3－2＜0，则y′不为恒大于或等于0的值，即函数y＝f(x)＋x4在R上不为单调递增，故选项D错误；故答案选C．【答案】　C9．(2022·烟台二模)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝ln x＋a相切，则实数a的值是________．【解析】　y＝ln x＋a求导得：y′＝1 x ，设切点是(x0，ln x0＋a)，则y′＝1x0＝2，故x0＝12，ln x0＝－ln 2，切点是(12，－ln 2＋a)代入直线得：2×12＋ln 2－a＋1＝0，解得：a＝2＋ln 2．【答案】　2＋ln 210．(2021·天津二模)已知函数f(x)＝x2－3e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)＝________．【解析】　f ′(x )＝2x e x －（x 2－3）e x（e x ）2＝2x －x 2＋3e x ；∴f ′(1)＝4e．【答案】　4e11．已知函数f (x )＝x 3＋x －16．(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．【解】　(1)k ＝f ′(x )＝3x 2＋1． 当x ＝2时，k ＝13切线方程为y ＋6＝13(x －2)， y ＝13x －32．(2)设切点(a ，a 3＋a －16)，k ＝3a 2＋1． y －(a 3＋a －16)＝(3a 2＋1)(x －a ) ∵过原点，故a 3＋a －16＝3a 3＋a ． 2a 3＝－16．a ＝－2． ∴l ：y ＝13x ．切点坐标为(－2，－26)． (3)k ＝4，3x 2＋1＝4，x ＝±1．∴切点坐标及方程为(1，－14)，y ＝4x －18和(－1，－18)，y ＝4x －14． 12．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x在x ＝1处有极值12．(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 【解】 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋bx．又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以{f ′（1）＝0，f （1）＝12.即{2a ＋b ＝0，a ＝12，解得{a＝12，b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝12x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－1x＝（x＋1）（x－1）x．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x) 极小值 所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．。

第九章导数及其应用§9.1导数的概念及运算Ａ组基础题组1.(2021江西重点中学盟校一联)函数f(x)=x3的图象在原点处的切线方程为( )A.y=xB.x=0C.y=0D.不存在2.(2022湖北荆门调考,3,5分)函数f(x)=xe x在点A(0,f(0))处的切线斜率为( )A.0B.-1C.1D.e3.(2021浙江重点中学协作体摸底)已知点P在曲线f(x)=x4-x上,曲线在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为( )A.(0,0)B.(1,1)C.(0,1)D.(1,0)4.(2021吉林二调)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c图象上点A(2,1)处的切线方程为2x-y+a=0,则a+b+c=( )A.-B.-C.0D.5.(2021广东惠州第三次调研)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是( )A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x6.(2022山东曲阜期中,8,5分)设函数h(x),g(x)在[a,b]上可导,且h'(x)<g'(x),则当a<x<b时,有( )A.h(x)<g(x)B.h(x)>g(x)C.h(x)+g(a)>g(x)+h(a)D.h(x)+g(b)>g(x)+h(b)7.(2022陕西,10,5分)如图,修建一条大路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x8.(2021天津,11,5分)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为.9.(2022广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.10.(2021课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .11.(2021河北石家庄一模,14)已知点P为曲线C:f(x)=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为.12.(2021课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .13.(2021浙江温州十校联考,03(2))已知函数f(x)=(x2+ax+2)e x(a∈R).(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)为单调函数,求实数a的取值范围.14.(2021浙江冲刺卷五,03(2))已知函数f(x)=x3-12x+2,其图象过原点的切线与函数g(x)=m-lnx的图象有两个交点,试求m的取值范围.B组提升题组1.(2022课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.32.(2021浙江丽水二模,6)设曲线y=x2+alnx(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为( )A.(1,1)B.(2,3)C.(3,1)D.(1,4)3.(2021江西九校联考)等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)=( )A.26B.29C.212D.2154.(2021河南新乡质检,12)过点A(2,-1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有( )A.3条B.2条C.1条D.0条5.(2022山东淄博摸底,10,5分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时不等式f(x)+xf'(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),c=log3·f,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a6.(2022江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.7.(2021浙江温州十校联合体联考)与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是.8.(2021浙江台州椒江一中段考)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为.9.(2021陕西,15,5分)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.10.(2022江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.11.(2022安徽,15,5分)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(i)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P四周位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是(写出全部正确命题的编号).①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx12.(2021河北唐山二模,20,12分)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线?假如存在,求出k的值;假如不存在,说明理由.13.(2022北京,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论) Ａ组基础题组1.C 由f'(x)=3x2得f'(0)=0,所以f(x)的图象在原点处的切线方程为y=0,故选C.2.C ∵f'(x)=(x+1)e x,∴f'(0)=1,即所求切线的斜率为1.3.D 设P(x0,y0),由题意知,函数f(x)=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f'(x0)=4-1=3,∴x0=1,将其代入f(x)中可得P(1,0).故选D.4.C 由于A(2,1)在直线2x-y+a=0上,所以4-1+a=0,a=-3,又由于f'(x)=3x2+2ax+b,f'(2)=2,所以12+4a+b=2,得b=2.将A(2,1)代入f(x)=x3-3x2+2x+c中,得8-12+4+c=1,得c=1,所以a+b+c=0,故选C.5.D 若f(x)=sinx+cosx,则f″(x)=-sinx-cosx,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=lnx-2x,则f″(x)=-,在x ∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-x3+2x-1,则f″(x)=-6x,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-xe-x,则f″(x)=2e-x-xe-x=(2-x)e-x,在x∈上,恒有f″(x)>0,故选D.6.D 令f(x)=g(x)-h(x),x∈[a,b],则f'(x)=g'(x)-h'(x)>0,所以f(x)为增函数,所以f(b)>f(x)>f(a),即g(b)-h(b)>g(x)-h(x)>g(a)-h(a),故选D.7.A 设三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则y'=3ax2+2bx+c.由已知得y=-x是曲线y=ax3+bx2+cx+d 在点(0,0)处的切线,则y'|x=0=-1⇒c=-1,排解选项B、D.又y=3x-6是该曲线在点(2,0)处的切线,则y'|x=2=3⇒12a+4b+c=3⇒12a+4b-1=3⇒3a+b=1.只有A选项中的函数符合,故选A.8.答案 3解析∵f'(x)=alnx+a,∴f'(1)=aln1+a=3,解得a=3.9.答案5x+y-3=0解析y'=-5e-5x,曲线在点(0,3)处的切线斜率k=y'|x=0=-5,故切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.10.答案 1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.11.答案解析设P(x0,y0),P点处切线倾斜角为α,则0≤tanα≤1,由f(x)=x2+2x+3,得f'(x)=2x+2,令0≤2x0+2≤1,得-1≤x0≤-.12.答案8解析令f(x)=y=x+lnx,求导得f'(x)=1+,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-,又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0时,明显不满足此方程,∴x0=-,此时a=8.13.解析(1)f'(x)=e x[x2+(a+2)x+a+2].当a=0时,f'(x)=e x(x2+2x+2).f(1)=3e,f'(1)=5e,∴切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.(2)f'(x)=e x[x2+(a+2)x+a+2],∵e x>0恒成立,且x2的系数为正,∴f(x)在R上单调等价于x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立,∴(a+2)2-4(a+2)≤0,解得-2≤a≤2.∴a∈[-2,2].14.解析设切点为(x0,-12x0+2),则切线斜率为f'(x0)=3-12,所以切线方程为y-+12x0-2=(3-12)(x-x0),将原点坐标代入上式得x0=1,所以切线方程为y=-9x.由得lnx-9x-m=0,设h(x)=lnx-9x-m,则h'(x)=,令h'(x)=>0,得0<x<,所以h(x)在上单调递增,在上单调递减,所以h(x)最大值=h=-ln9-1-m. 若lnx-9x-m=0有两个解,则h(x)最大值>0.∴m<-ln9-1.B组提升题组1.D y'=a-,x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.2.A y=x2+alnx的定义域为(0,+∞),y'=2x+≥2=4,即a=2,当且仅当x=1时等号成立,此时y=1,故所求的切点坐标是(1,1).3.C 函数f(x)的开放式含x项的系数为a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212,而f'(0)=a1·a2·…·a8=212,故选C.4.A 由题意得,f'(x)=3x2-3,设切点为(x0,-3x0),那么切线的斜率为k=3-3,利用点斜式方程可知切线方程为y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),将点A(2,-1)代入可得关于x0的一元三次方程2-6+5=0.令y=2-6+5,则y'=6-12x0.由y'=0得x0=0或x0=2.当x0=0时,y=5>0;x0=2时,y=-3<0.所以方程2-6+5=0有3个解.故过点A(2,-1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有3条,故选A.5.D 令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x),由题意知g(x)在(0,+∞)内递减,由于f(x)为偶函数,所以g(x)为奇函数,故g(x)在R上为减函数,又log3<logπ3<30.3,所以c>b>a.故选D.6.答案(-ln2,2)解析令f(x)=y=e-x,则f'(x)=-e-x.令P(x0,y0),则f'(x0)=-=-2,解得x0=-ln2,所以y0==e ln2=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).7.答案3x+y+2=0解析设切点的坐标为(x0,+3-1),由切线与直线2x-6y+1=0垂直,可得切线的斜率为-3,又f'(x)=3x2+6x,故3+6x0=-3,解得x0=-1,于是切点坐标为(-1,1),从而得切线的方程为3x+y+2=0.8.答案 4解析∵g(x)=f(x)-x2,∴g'(x)=f'(x)-2x,由题意知g'(1)=2,∴g'(1)=f'(1)-2=2,∴f'(1)=4.9.答案y=-解析由y=xe x可得y'=e x+xe x=e x(x+1),从而可得y=xe x在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,所以当x=-1时,y=xe x取得微小值-e-1,由于y'|x=-1=0,故切线方程为y=-e-1,即y=-.10.答案-3解析∵y=ax2+,∴y'=2ax-,由题意可得解得∴a+b=-3.11.答案①③④解析①直线l:y=0在P(0,0)处与曲线C:y=x3相切,且曲线C在点P(0,0)四周位于直线l的两侧,①对;②直线l:x=-1不是曲线C:y=(x+1)2在P(-1,0)处的切线,②错;③中y'=cosx,cos0=1,因此曲线C:y=sinx在P(0,0)处的切线为l:y=x,设f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx≥0,即f(x)是增函数,又f(0)=0,从而当x<0时,f(x)<0⇒x<sinx,当x>0时,f(x)>0⇒x>sinx,即曲线C:y=sinx在P(0,0)四周位于直线l的两侧,③正确;④中y'='=,=1,因此曲线C:y=tanx在P(0,0)处的切线为l:y=x,设g(x)=x-tanx,则g'(x)=1-≤0,即g(x)在上是减函数,且g(0)=0,同③得④正确;⑤中y'=,=1,因此曲线C:y=lnx在P(1,0)处的切线为l:y=x-1,设h(x)=x-1-lnx(x>0),则h'(x)=1-=,当0<x<1时,h'(x)<0,当x>1时,h'(x)>0,因此当x=1时,h(x)min=h(1)=0,因此曲线C在P(1,0)四周位于直线l的一侧,故⑤错误.因此答案为①③④.12.解析(1)f'(x)=3ax2+6x-6a,由于f'(-1)=0,所以a=-2.(2)存在.由题意得直线m恒过点(0,9).先求直线m是曲线y=g(x)的切线.设切点为(x0,3+6x0+12),∵g'(x0)=6x0+6.∴切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9,当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18,当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9,∴y=9是公切线.又由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,∴y=12x+9不是公切线.综上所述,k=0时,y=9是两曲线的公切线.13.解析(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3.令f'(x)=0,得x=-或x=.由于f(-2)=-10,f=,f=-,f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(x)与g'(x)的变化状况如下表:x (-∞,0)0 (0,1) 1 (1,+∞)g'(x) + 0 - 0 +g(x) ↗t+3 ↘t+1 ↗所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的微小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,由于g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.。

第9练 导数的概念及运算学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．已知曲线()()e xf x x a =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a的值为（ ）A ．e 2-B ．2e C ．e 2-D ．e 2【答案】D 【详解】由()()e x f x x a =+，得()()()e e 1e x x xf x a x x a '=++=++，则()e1af '-=，因为曲线()()e xf x x a =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，所以1e 2a=，故e 2a =.故选：D.2．若点P 是曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线60x y --=的最小距离是（ ）AB．C．D．【答案】C 【详解】解：设与直线60x y --=平行的直线与曲线2ln y x x =-切于()00,P x y ，由2ln y x x =-定义域为()0,∞+，得12y x x'=-，则0001|2x x y x x ='=-，由00121x x -=，解得01x =（舍去负值）．()1,1P ∴，则点P 到直线60x y --==故选：C ．3．曲线33y x x =-在点()2,2处的切线斜率是（ ）A ．9B ．6C ．3-D ．1-【答案】A 【详解】解：∵()()()()32332322696y x x x x x ∆=+∆-+∆-+=∆+∆+∆，∴()296y x x x∆=+∆+∆∆，∴()200lim9lim 96x x y x x x ∆→∆→∆+⎡∆⎤=⎣+∆⎦=∆，由导数的几何意义可知，曲线33y x x =-在点()2,2处的切线斜率是9；故选：A4．下列导数运算正确的是（ ）A ．()2222'+=+x xB ．cos sin 66ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．'=D ．()e e x x--'=【答案】C 【详解】对于A ，()222x x '+=，A 错误；对于B ，cos 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 错误；对于C ，'=C 正确；对于D ，()e e x x --'=-，D 错误.故选：C.5．已知函数()()22ln 223f x x f x x '=+++，则()1f =（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】D 【详解】解：()()2222f x f x x''=++，则()()21422f f ''=++，解得()21f '=-，所以()22ln 23=-++f x x x x ，故()11234f =-++=．故选：D6．方程()log 00,1xa a a =>≠有两个不相等实根，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．2e 0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2e 1,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2e e ,【答案】C 【详解】方程()log 00,1x a a a =>≠有两个不相等实根)log 0,1xa a a ⇒>≠有两个不同的交点，()0t t =>，所以2x t =，则2log =a t t ，所以log =2a t t ，所以log a y t =与2t y =的图象有两个交点.①当01a <<时，如下图可知log a y t =与2ty =的图象有一个交点，不满足.②当1a >时，如下图，当2x y =与log a y x =相切于点00,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1ln y x a '=，则000112ln log 2a x a x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：02e e e x a =⎧⎪⎨⎪=⎩，所以要使log a y t =与2t y =的图象有两个交点，所以a的取值范围是：2e 1,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.7．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(],0-∞D ．[]1,0-【答案】C 【详解】解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-，所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞，所以()111x g x xx -'=-=，所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞；故选：C8．已知曲线()40y x x x=+<在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直，则点P 的横坐标为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【详解】设()()40f x x x x =+<，点00(,)P x y ，则()241f x x '=-，由在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直可得()03f x '=-，即20413x -=-，又00x <，∴01x =-,故选：B9．已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】C 【详解】解：对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭为奇函数，则，当4x π=时，，与图象相符；对于D ，2()sin 1()4g x xy f x x ==+，是奇函数，，当4x π=时，，与图象不符，所以排除选项D.故选：C.10．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若()05f =，且()()2f x f x '->，则使不等式()3e 2x f x ≤+成立的x 的值可能为( )A ．－2B ．－1C ．12-D ．2【答案】D 【详解】设()()2e xf x F x -=，则()()()2e xf x f x F x '-+'=，∵()()2f x f x '->，∴()()20f x f x '-+<，∴()0F x '<，即()F x 在定义域R 上单调递减．∵()05f =，∴()03F =，∴不等式()3e 2xf x ≤+等价于()23e xf x -≤，即()()0F x F ≤，解得0x ≥，结合选项可知，只有D 符合题意．故选：D ．二、多选题11．函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行【答案】ACD 【详解】由导函数()f x '的图象可知，当x a <时()0f x '≥，当x a >时()0f x '<，当0x =或x a =时()0f x '=，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值，且只有一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为()00f '=，所以曲线()y f x =在0x =处切线的斜率等于零，即()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行，故D 正确.故选：ACD.12．若函数()()ln 2f x x x =+，则（ ）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．()f x 有两个零点C ．()f x 在点()()1,1f --处切线的斜率为1-D ．()f x 在()0,∞+递增【答案】BCD 【详解】对于A ：函数的定义域是()2,-+∞，故A 错误；对于B ：令()0f x =，即()ln 20x x +=，解得：0x =或1x =-，故函数()f x 有2个零点，故B 正确；对于C ：斜率()()11ln 12112k f -'=-=-++=--+，故C 正确；对于D ：()()ln 22xf x x x '=+++，0x >时，()ln 20x +>，02xx >+，故()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，故D 正确.故选：BCD.13．下列求导运算正确的有（ ）A ．()()()221221x x '+=+B ．'=C ．()21log ln 2x x '=D ．()sin cos x x x'=【答案】BC 【详解】解：对A ：()()()()2212212421x x x '+=+⨯=+，故选项A 错误；对B ：'=B 正确；对C ：()21log ln 2x x '=，故选项C 正确；对D ：()sin sin cos x x x x x '=+，故选项D 错误.故选：BC.14．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得()()00'=f x f x ，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）A ．()2f x x =B ．()exf x -=C ．()ln f x x =D ．()1f x x=【答案】ACD 【详解】对于A ，()()22，'==f x x f x x 由22x x =，解得0,2x =，因此此函数有 “巧值点” 0，2；对于B ，()()e e ，--='=-x xf x f x 由 e e x x --=- ，即 e 0-=x ，无解，因此此函数无 “巧值”；对于C ，1()ln ,()'==f x x f x x，由1ln x x=，分别画出图象：1ln ,(0)==>y x y x x ，由图象可知：两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点” ；对于D ，()()211f x f x xx '==-，，由 211x x=- ，解得 1x =-，因此此函数有 “巧值点”1-. 故选： ACD.三、填空题15．已知函数()ln 2f x x x =-，则()f x 在1x =处的切线方程为______.【答案】10x y ++=【详解】()12f x x'=-，易得()12f =-，()11211f '=-=-，所以切线方程为()12y x =---，即10x y ++=.故答案为：10x y ++=.16．已知函数()()321f x f x x x '=-+-，则()1f '-的值为______．【答案】32【详解】∵()()321f x f x x x '=-+-，∴()()23121f x f x x ''=-+-，∴(1)3(1)3f f ''-=--∴()312f '-=．故答案为：32.17．集美中学高101组高二（15）班小美同学通过导数的学习，对直线与曲线相切产生浓厚兴趣，并试着定义：若曲线1C 与曲线2C 存在公共点P ，且1C 、2C 在点P 处的切线重合，称曲线1C 与2C 相切．现出一问题：若函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠相切，则=a __________．【答案】1e e 【详解】设切点为()00,x y ，则01x >，则00000ln ,log ln xa x y a y x a===，即00ln ln xx a a =①因为函数x y a =与log a y x =的导数分别为1ln ,ln xy a a y x a''==所以001ln ln x a a x a =②，联立①②可得001ln ln x x a=因为函数x y a =与log a y x =的图象关于y x =对称所以000ln ln x y x a==③，所以00011ln ln ln ln ln x x x a a==⋅，即0ln 1x =，0ex =代入③可得1ln ea =，1ee a =故答案为：1ee 18．双曲正弦函数()e e sinh 2x x x --=和双曲余弦函数()e e cosh 2x xx -+=在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 的图象分别相交于点A 、B ，曲线1C 在A 处的切线与曲线2C 在B 处切线相交于点P ，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．①()()()sinh cosh x x '=，()()()cosh sinh x x '=；②()()22sinhcosh 1x x +=；③点P 必在曲线e x y =上；④PAB △的面积随m 的增大而减小．【答案】①④【详解】对于①，()()()e e e e sinh cosh 22x x x xx x --'⎛⎫-'===⎪⎭+⎝，()()()e e e e cosh sinh 22x x x xx x --'⎛⎫-=⎪=⎭+'=⎝，①对；对于②，()()222222e e e e e e sinh cosh 222x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-+++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒为1，②错；对于③，e e ,2m mA m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭、e 2,e m mB m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，切线PA 的方程为()e e e e 22m m m mx m y --+-=--，切线PB 的方程为()e e e e 22m m m mx m y ---+=--，联立()()e e e e 22e e e e 22m m m mm m m my x m y x m ----⎧+--=-⎪⎪⎨-+⎪-=-⎪⎩，解得1e m x m y =+⎧⎨=⎩，即点()1,e mP m +，所以，点P 不在曲线e x y =上，③错；对于④，e mAB -=，点P 到直线AB 的距离为1，则1e 2mPAB S -=△，所以，PAB △的面积随m 的增大而减小，④对.故答案为：①④.四、解答题19．求下列函数的导数：(1)5y x =；(2)22sin y x x =+；(3)ln xy x=；(4)()211ln 22x y e x -=+．【答案】(1)45y x '=(2)22cos y x x '=+(3)21ln x y x -'=(4)2112e 2-'=+x y x 【解析】(1)因为5y x =，所以45y x '=；(2)因为22sin y x x =+，所以22cos y x x '=+；(3)因为ln x y x =，所以21ln 'x y x -=；(4)因为()212x y e x -=，所以2112e 2-'=+x y x20．已知函数()3f x x =.(1)求()f x 的导数()f x '；(2)求曲线()f x 在()()1,1f 处切线的方程.【答案】(1)()23f x x '=(2)32y x =-【解析】(1)函数()3f x x =定义域为R ，()23f x x '=．(2)由（1）知，()13f '=，而()11f =，于是得函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程是13(1)y x -=-，即32y x =-．。