第一次数学危机 数学史论文

第一次数学危机的内容及其对数学发展的影响1000字1. 引言1.1 概述数学作为一门古老而又重要的学科，对人类文明的发展起到了至关重要的作用。

然而，在数学发展的过程中，曾经出现过一次被称为“第一次数学危机”的事件，给数学领域带来了巨大的冲击。

本文将以此事件为切入点，探讨第一次数学危机的内容及其对数学发展产生的深远影响。

1.2 研究背景在人类历史上，数学始终是不断发展和演进的。

然而，随着数学领域日益扩大和专业化，各个分支之间相互联系日渐复杂。

第一次数学危机是在这样一个背景下爆发出来的，它凸显了数学领域中存在的问题并引起了广泛关注。

1.3 目的和意义通过深入研究第一次数学危机所涉及的内容以及其对整个数学领域发展所产生的影响，可以更好地理解数学研究面临的困境和挑战，并寻找解决方法和改进策略。

此外，也可以从中得到宝贵的启示和教训，促进学术界对数学研究的反思，不断推动数学的创新与发展。

以上是对文章“1. 引言”部分的详细清晰撰写。

2. 第一次数学危机的发生2.1 背景介绍在数学发展的历史长河中，曾经出现过多次危机和困境。

其中，第一次数学危机是指发生在19世纪末20世纪初的一场重大危机。

这场危机源于欧洲各国数学界对基础数学概念和定理的混乱和不统一认知，导致了数学领域的分歧与混乱。

2.2 事件概述第一次数学危机的事件始于19世纪末期，当时欧洲各国的数学家们在研究中逐渐发现了一些矛盾和争议。

这些矛盾主要集中在基础数学概念和定理方面，例如无限集合论、实数体系、连续性等问题。

各国的数学家们对这些问题有不同的见解和解释，没有达成共识。

在此期间，德国著名数学家康托尔提出了集合论及其应用，在推动了数学发展的同时也引起了更大范围内对基本理论与公理体系正确性的怀疑。

他从集合论角度来看待一些传统数学概念，如连续性和无理数等，与传统观点存在分歧。

这引起了数学界的大规模争议。

同时，在法国和德国的数学家之间也存在着对于连续性的不同看法。

第一次数学危机及其消除班级：数学131班姓名：翁**内容摘要：主要论述在数学发展的曲折过程中，无理数的出现导致第一次数学危机的历史事实及这这次危机的消除经过。

关键字：第一次数学危机；毕达哥拉斯；不可共度量；无理数引言：数学史不仅仅是数学成就的编年记录，数学的发展不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫徘徊，甚至危机。

第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自的发现起，到2公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。

这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。

第一次数学危机产生的背景毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理（即勾股定理）提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这在希腊当时是人们普遍接受的信仰!22可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的存在2而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

论数学史上的三次数学危机学号：100521026 姓名：付东群摘要：数学发展从来不是完全直线，而是常常出现悖论。

历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学的可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。

数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。

危机的产生、解决，又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论；悖论；引言：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。

数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至面临危机。

数学史也是数学家们克服困难和战胜的斗争记录。

无理数的发现，微积分和非欧集合的创立，乃至费马定理的证明......这样的例子在数学史上不胜枚举，他们可以帮助人们了解数学创造的完美过程。

对这种创造的过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中西区教益，获得鼓舞和增强信心。

第一次数学危机（无理数的产生）第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

(一)、危机的起源毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。

后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。

毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。

这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机【1】。

（二）、危机的解决由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。

数学历史故事——第一次数学危机1西方最早发展数学的是巴比伦人与埃及人，他们的数学都是因实际需要而产生的，而且都很初等。

直到希腊时代才有极大的转变，他们认为大自然的周而复始，其实是依循一定的模式井然有序的，若能了解其变化的原因，便能预测未来的变化，而这中间该掌握的工具便是数学。

于是无论在天文、光学或是音乐的研究，都带有浓厚的数学味道。

而现在，学生们在中小学阶段，除非跳级，否则至少要念十二年的数学。

老师及家长都普遍地认为数学很重要，事实上也是如此，学生则因为被熏陶得太久了，心中对数学重要性的认识毋庸置疑，他们知道，数学与生活是分不开的，与人类进步更是息息相关的。

学好了数学这门工具，对解释星球的运转、物体的运动及许多物理现象都是轻而易举的事情，并能带动科技的发展，促进人类文明的进步。

比如，数学上认为黄金长方形是一极美观的图形，不但在数学、艺术、建筑、自然界，甚至广告中，都能随时随地见到黄金长方形。

心理学家曾做过实验，证实黄金长方形是让人看起来最顺眼且最舒服的一种图形。

正因为如此，古希腊人便留意到建筑物的长与宽之比为黄金数，则是最协调的，如希腊雅典女神之神殿等。

除了在建筑上的影响，在艺术作品里，也常有黄金长方形出现。

达文西发现人体的高度与由脚底到肚脐的高度之比大约是黄金数，艺术家则认为，若人的肚脐为人体头至脚的黄金分割点，则这种体形是最优美的。

而在达文西的一幅未完成的作品中，也完全吻合黄金长方形。

数学的妙用还在于它为莎士比亚的新诗鉴定真伪。

上个世纪80年代，有一研究莎士比亚的美国学者，在英国牛津大学图书馆，找到一首很可能是莎士比亚的抒情诗。

如果能证明这首诗是莎士比亚的作品，将是17世纪以来，莎士比亚作品最重要的一次发现。

所以，许多专家学者利用数学中的数值分析、以及诗中出现的相异字和期望值之估计值对这首诗进行研究，有趣的是，统计学者也介入了这场纷争。

这并非统计学家第一次协助解决文学上的问题，而是由于统计分析是如此地具有说服力，因此往往能使一些文学上长期的争论，迅速地平息。

数学史论文河套学院理学系数学史论文题名：第一次数学危机及其解除学生姓名：张美玲学号：1130417054指导教师：高秀珍专业：数学与应用数学专业年级：2013级第一次数学危机及其解除摘要：第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，是毕达哥拉斯学派的一次危机，但是数学史上一次进步。

由的发现开始，直到无理数定义的出现为结束标志。

这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，但同时也标志着西方世界关于无理数的研究的开始.欧多克斯和阿契塔斯两人给出了“两个数的比相等”的新定义，才使危机得到部分解决，直到实数系的发现才使危机得以完全解除。

关键词：第一次数学危机，毕达哥拉斯定理，无理数，不可公度量1、第一次数学危机的历史背景：第一次数学危机，这一危机是数学史发展的开端，使学者对无理数有所认识，对其研究。

在此之前首先了解一下毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯（公元前580—前500年）是古希腊的哲学家、数学家、天文学家。

他的具体生平与工作没有详细记载，也没有任何著作流传下来，大都为传说或后人记载。

据说他在年轻时游历在外，回希腊后建立了一个集政治、宗教、学术于一身的秘密学术派别——毕达哥拉斯学派。

此学派具有宗教性质，该学派的内部有严格的纪律：一切发现归功于学派的领袖。

毕达哥拉斯学派的思想在当时可谓是权威，没有人不信服。

毕达哥拉斯学派认为宇宙的本质就是数的和谐，他们认为数只有两种，即正整数和可通约的数。

此外，再无其他数可言，于是毕达哥拉斯学派的中心理念是“万物皆数”。

在他们看来，万物的本源就是数，皆可归为整数之比。

毕达哥拉斯学派在数学上的贡献有很多。

例如：1）据传说，“哲学”与“数学”这两个词由毕达哥拉斯本人所创。

2）最早意识到“证明需要有假设”的思想与论证。

证明某一命题必须要其他命题，而证其他命题还需要另外的命题。

因此，总有一些命题无法证明，故这些命题被称之为“公理”和“公设”。

3）由于毕达哥拉斯本人擅长对事物进行概括和抽象，此学派自觉提出了数学抽象，从实物的数与形抽象到数学上的数与形。

数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。

但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。

在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革。

整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。

他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。

数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。

毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。

这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。

不可通约性的发现引起第一次数学危机。

这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。

大约公元前370年，欧多克斯建立起一套完整的比例论。

欧多克斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。

到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数后，拥护无理数存在的人才多起来。

到19世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。

无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。

数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。

但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。

这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。

然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。

因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。

在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。

一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。

两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。

这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。

第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。

在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。

然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。

这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。

欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。

在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。

第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。

然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。

其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。

这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。

这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。

鲁东大学数学与信息学院2010－2011学年第一学期《数学史》课程论文课程号：2102192任课教师范永顺成绩第一次数学危机的产生及对数学发展的影响数学中有各种各样的许多矛盾，比如说正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。

在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。

而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。

数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。

今天我们就主要了解一下第一次数学危机的产生及其对数学发展的影响。

1. 数学史上的的第一次危机1.1 什么是数学危机为了讲清楚数学危机的来龙去脉，首先来说明什么是数学危机。

一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。

从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

1.2 第一次数学危机人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。

其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

1.2.1 数学的第一次危机的产生。

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。

人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。

其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

如果追溯这一危机的来龙去脉，那么就需要我们把目光投向公元前6世纪的古希腊。

那时，在数学界占统治地位的是毕达哥拉斯学派。

这一学派的创立者毕达哥拉斯是著名的哲学家、数学家。

他在哲学上提出“万物皆数”的论断，并认为宇宙的本质在于“数的和谐”。

他所谓“数的和谐”是指：一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比。

与此相对应，在数学中他提出任意两条线段的比都可表为整数或整数的比，用他的话说就是：任意两条线段都是可通约的。

他在数学上最重要的功绩是提出并证明了毕达哥拉斯定理，即我们所说的勾股定理。

然而深具讽刺意味的是，正是他在数学上的这一最重要发现，却把他推向了两难的尴尬境地。

他的一个学生希帕索斯在摆弄老师的著名成果毕达哥拉斯定理时，提出了这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢？换句话说，两者的比是不是有理数呢？经过认真的思考，他发现这个数既不是整数，也不是一个分数，而是一个全新的数，我们现在知道这个数。

这是人类历史上诞生的第一个无理数。

它的诞生是人类对数认识的一次重大飞跃，是数学史上的伟大发现。

然而作为老师的毕达哥拉斯并没有为这一重大发现而欢欣鼓舞，相反他陷入极度不安之中。

如果不赞同它，理智上无法接受，学生的论断毕竟是找不出毛病的呀！可是如果赞同，感情上更难接受。

因为这一发现对他来说是致命的，它将完全推翻他自己的数学与哲学信条。

于是这就导致了“毕达哥拉斯的两难”。

在这两难处境下，他先是在学派内封锁这一发现，不让它传到外界。

后来当希帕索斯本人把发现泄漏后，他让学派内的成员把希帕索斯抛入了大海。

这就是聪明的学生从伟大的老师那里获得的“奖赏”！被后人尊为“智慧之神”的毕达哥拉斯不是有勇气承认自己的错误，而是想通过暴力压制真理，这一作法令他一生蒙羞，成为他一生中的最大污点。

数学第一次危机对无理数教学的启发摘要：无理数的发现有着跨时代意义的作用，在无理数的概念教学中如能正确引入发现无理数的小故事，对于学生正确理解无理数的概念、形成良好的实数知识体系无疑有着积极的作用。

本文主要从无理数的发现即数学的第一次危机入手，浅谈数学史对无理数概念教学的启发，借助数学史的人文关怀，让学生更好地理解新概念——无理数。

关键词：无理数数学史概念教学无理数的教学本质是一种概念教学，教师根据学生和当地学校的实际情况对教材进行改革，通过对原有教材重新进行调整以及组合，使得教材形成一个比较好的实数系知识结构。

运用知识迁移等原理，突出无理数基本概念的教学，加强有理数与无理数之间的内在联系，适时进行渗透，让学生前面的学习真正为后面接受新知识做铺垫，并最终形成一个最佳的认知结构。

然而，在实际教学中，很多教师不注意揭示无理数概念的由来，只注重无理数概念的应用。

对于无理数的定义，并没有按照教材的编排体系“问题情境+建立模型+求解，应用和拓展”积极指导学生进行探索，思考2与有理数之间的本质差别和内在联系，最终得到无理数的定义，而是按照简单的“定义+例题+反复练习”的成果模式进行教学，这种“填鸭”式的教学，删去了从问题到结论和方法之间的精彩过程，使得学生只能记住无理数的定义，却很难真正理解无理数的本质内涵。

学生往往记得“无理数就是无限不循环的小数”，而实际在判别无理数与有理数的区别时又会出现错误，误以为带根号的数就是无理数，将4、9、16……等平方数理解为无理数。

实际上，无理数的发现引发了数学第一次危机。

无理数之发现，使毕氏学派感到惊讶和困惑。

无理数的出现不仅推翻了“每一事物都依赖于整数”这个基本假定，而且无理数的出现动摇了毕氏学派关于相似形的一般理论。

“逻辑上的矛盾”是如此的大，以至于有一段时间，毕氏学派的人费了很大的力气，将此事保密，不准外传，但无理数的发现者希帕苏斯（Hippasus）还是忍不住将这个秘密泄漏出去，也因此被毕氏门徒残忍地投入大海而牺牲。