具有浮动执行价格的亚式期权鞅定价

Heston模型下离散几何平均亚式期权定价陈有杰【期刊名称】《《河池学院学报》》【年(卷),期】2019(039)005【总页数】6页(P67-72)【关键词】Heston模型; 亚式期权; Fourier反变换; 几何平均【作者】陈有杰【作者单位】广西师范大学数学与统计学院广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O211.90 引言期权是风险管理的核心工具，如何给期权定价，自然是一个非常重要的问题。

1973年Black与Scholes在股票价格服从几何布朗运动，利率和股票波动率均为常数的假设下，给出了欧式标准期权定价模型，即著名的Black-Scholes公式[1](记为B-S模型)。

后来人们发现从期权市场数据计算出的波动率表现出波动的聚集性和微笑现象，这表明B-S模型计算的期权价格与实际市场表现存在一定偏差。

为了解决这些偏差，许多学者对B-S模型进行了改进，如Merton[2]和Kou[3]等学者在标的资产的动态模型中引入跳跃风险，建立的跳扩散模型(Jump-Diffusion，简记JD模型)，并给出了类似B-S 模型的期权定价公式；另外，Heston[4]、 Hull和 White[5]以及Stein 和Stein[6]等学者设定资产的波动率是随机变化的，以资产波动率的随机变化过程来刻画波动的聚集性和微笑现象，建立了随机波动率模型(Stochastic Volatility，简记SV模型)。

随后，Chen和Scott[7]、Bates[8]、邓国和和杨向群[9]等学者发现把跳跃因素和波动率随机化结合起来能更好地刻画金融市场波动的聚集性和微笑现象。

亚式期权(Asian options)是一种路径依赖型期权(Path-dependent options)，它的最终收益依赖于期权有效期标的资产价格的平均值，该平均值可以是资产价的几何平均和算术平均，记为标的资产价格从0时刻到T时刻的平均值，则算术平均(JT)离散情形连续情形，几何平均(JT)亚式期权可以根据到期日的收益分成两类[10]37-39，218-288：固定执行价格亚式期权：C(S,T)=(JT-K)+或(K-JT)+，浮动执行价格亚式期权：C(S,T)=(ST-JT)+或(JT-ST)+.由于亚式期权的价格比标准化的欧式期权的价格便宜，所以在金融市场上，它倍受投资者的青睐。

期权定价方法介绍期权定价是金融市场中的一个重要问题，它涉及到对未来资产价格的预测和衡量。

在金融市场中，期权是一种金融工具，它赋予持有人在未来某个时间点或在某一特定条件下购买或出售某一资产的权利。

期权定价的目标是确定合理的期权价格，这样既能满足买方和卖方的需求，又能保证市场的合理运行。

期权定价的方法可以分为两大类：基于风险中性定价原理的方法和基于实证观察的方法。

基于风险中性定价原理的方法是最经典也是最常用的期权定价方法。

它的核心思想是在一个假设的风险中性世界中，市场上的期权价格应该与其未来现金流的贴现值相等。

这种方法常用的模型有著名的Black-Scholes模型和Cox-Ross-Rubinstein树模型。

Black-Scholes模型是以Fisher Black、Myron Scholes和Robert C. Merton的名字命名的，它是一个基于几个假设和方程组的数学模型。

该模型假设市场的价格变动服从几何布朗运动，因此可以通过随机过程和微分方程的方法来描述资产价格的变动。

在这个模型中，期权的定价公式由一条偏微分方程给出，其中的关键参数包括标的资产价格、执行价格、剩余存续期时间、无风险利率和波动率等。

Cox-Ross-Rubinstein树模型是一种离散时间的模型，它基于二叉树的概念来建立期权定价模型。

在这个模型中，时间被离散化，并且将每一个时间段内的市场价格划分为上涨和下跌两种情况。

通过这种方式，可以构建一颗二叉树来模拟资产价格的变动。

然后使用回归的方法来计算期权的价格，即由期权到期时不同可能情况下的支付确定期权价格。

除了基于风险中性定价原理的方法之外，还有一些基于实证观察的方法可供选择。

这些方法主要是通过历史数据的分析和统计模型的建立来估计期权价格。

这些方法的优势在于它们不依赖于任何特定的假设，而是直接利用市场数据来计算期权价格。

然而，这些方法往往需要大量的数据和复杂的计算，因此计算量相对较大。

股票价格遵循O-U过程的几何型亚式期权定价刘兆鹏;张增林【摘要】讨论了股票价格过程遵循指数O-U(ORNstein-Uhlenback)过程的几何型亚式期权的定价问题,利用鞅方法,给出了具有固定执行价格的几何平均亚式期权的定价公式.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)003【总页数】3页(P258-260)【关键词】几何型亚式期权;Ornstein-Uhlenback过程;鞅方法【作者】刘兆鹏;张增林【作者单位】宿州学院,数学与统计学院,安徽,宿州,234000;宿州学院,数学与统计学院,安徽,宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】F830.91;O211.6亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的新型期权之一。

它与标准的欧式期权不完全相同，其在期权到期日的收益不仅取决于标的资产到期日的价格，还依赖于在整个期权有效期内原生资产所经历的价格平均值。

一种为算术平均;另一种为几何平均。

亚式期权是一种强路径有关期权，相对于标准欧式期权，亚式期权比较便宜，对某些公司更有吸引力，它在许多金融领域有着广泛的应用，因此其定价也具有重要意义［1－3］。

此处选择能反映股票预期收益率波动变化的指数O－U 过程来刻画股票价格的变化规律，利用等价鞅测度法，给出了具有固定执行价格的几何型亚式期权的精确定价公式。

1 亚式期权定价模型考虑一个连续时间无套利的完备金融市场，假定市场存在两种资产:一种是无风险资产，如债券;另一种是风险资产（或股票）。

给定一个满足通常条件滤子流{Ft}t≥0的完备概率空间（Ω，F，（Ft）t≥0，P）。

股票价格过程S（t）遵循广义O-U过程:其中σ（t）为股票的波动率，μ（t）为股票的期望回报率，μ（t）和σ（t）充分光滑使得方程（1）有严格唯一正解，并且 S ＞0，α 为常数。

{W（t），0≤t≤T}是定义（Ω，F，（Ft）t≥0，P）在上的标准 Brown 运动。

依赖时间参数的几种有固定执行价格的亚式期权定价朱利芝;余君武【摘要】In the paper, the time - dependent parameters of the underlying asset, i. e. the riskless interest rate, expected rate of return of the underlying asset,volatility and dividend yield are considered, the use of the Asian option pricing model has been established to discuss Capped calls, Deductible Calls, Asset - or - Nothing and Bi - direction options etc, we obtain the corresponding option pricing analytic formula.%本文在假定标的资产模型依赖时间参数（即无风险利率，标的资产的期望收益率，波动率及红利率），利用已建立的亚式期权定价模型，讨论了上限型期权、抵付型期权、双向型期权等，得到相应的期权定价解析公式．【期刊名称】《数学理论与应用》【年(卷),期】2012(032)002【总页数】6页(P14-19)【关键词】亚式期权;上限型期权;抵付型期权;欧式双向期权【作者】朱利芝;余君武【作者单位】湖南科技大学数学与计算科学学院,湘潭411201;湖南科技大学数学与计算科学学院,湘潭411201【正文语种】中文【中图分类】F830.91亚式期权(Asian options)是几种最常见的新型期权中的一种，由于它首先由日本金融市场创造并使用，故被称为亚式期权，它主要在场外交易，在股票、商品、利率、外汇及能源，尤其是电力工业上有广泛应用.亚式期权是损益基于均值的依赖路径的期权，用该平均值代替常规期权中的敲定价格或到期的资产价格来决定是否执行期权，以及执行期权时的收益大小，是现代金融市场中应用广泛的一种奇异型期权.即期权价格不仅取决于到期日的标的资产价格，而且依赖于标的资产价格的变化路径.它在到期日的收益依赖于期权整个有效期内标的资产的平均价格.文献［1－5］中都对有固定执行价格的亚式期权进行研究，得出了相应的亚式期权定价解析公式，本文在等价鞅测度法下对欧式亚式数据买权，几何平均亚式资产或无偿买权，几何平均亚式抵付型期权，几何平均亚式上限型期权，几何平均亚式双向型期权，局部支付型权证，降低权利金的创新权证等进行研究，给出了在依赖时间参数下相应几何亚式期权定价公式.在连续市场上，设(Ω，Ft，F，P)为概率空间(Ω，F，P)带一σ代数流的概率空间，其中Ft=σ(W1(s)，s≤t)，{W1(t)，0≤t≤T}为布朗运动.假设金融市场上仅有两种资产，一种是无风险资产如债券，其价格过程满足dB(t)=r(t)B(t)dt，B(T)=1，r(t)为无风险利率.一种是风险资产如股票，其价格过程满足方程，dS(t)=S(t)［μ(t)－q(t)］dt+S(t)σ(t)dW1(t)(1)其中μ(t)，q(t)，σ(t)分别为风险资产的期望收益率，红利率，波动率，假定r(t)，μ(t)，q(t)，σ(t)＞0它们均为非随机函数且满足令由Girsanov定理知W(t)是概率测度P的等价概率测度Q下的标准布朗运动，且满足则(1)式变为且有则x的期望，方差为μx，σx2，引理2.1［1］依赖时间参数和连续红利率下有固定执行价格几何平均亚式看涨期权定价公式引理2.2［1］依赖时间参数和连续红利率下几何平均亚式看跌期权定价公式定理3.1 依赖时间参数和连续红利率且履约价为K，到期日为T，几何平均亚式资产或无偿买权在t时刻的期权定价公式为证明几何平均亚式抵付型期权(Deductible Calls)为履约价格定理3.2依赖时间参数和连续红利率且履约价为K，到期日为T，几何平均亚式抵付型期权在t时刻的期权定价公式为其中证明:上限型期权(Capped Calls)定理3.3 依赖时间参数和连续红利率下上限型期权(Capped Calls)几何平均亚式看涨期权定价公式证明:双向型亚式期权定理3.4依赖时间参数和连续红利率下双向型几何平均亚式期权定价公式证明:局部支付型权证或买权在到期时的价值以公式表示如下:此处α代表支付报酬的斜度(α=1，α＜1，α＞1)定理3.5依赖时间参数和连续红利率下局部支付型权证或买权几何平均亚式期权定价公式证明:此种权证可由局部支付型权证内的α加以变化，而拼凑在一起降低权利金的权证创新.定理3.6依赖时间参数和连续红利率下降低权利金的创新权证几何平均亚式期权定价公式【相关文献】［1］詹惠蓉，程乾生.亚式期权在依赖时间的参数下的定价［J］.管理科学学报，2004，7(5):24－36.［2］杜雪樵，沈明轩.依赖时间参数下几何平均亚式期的定价［J］.合肥工业大学学报(自然科学版)，2007，6:206－208.［3］罗庆红，杨向群.几何型亚式期权的定价研究［J］.湖南文理学院学报(自然科学版)，2007.3:5－7.［4］魏正元.欧式加权几何平均亚式期权的定价［J］.重庆工学院学报，2004，1:44－46.［5］陈松男.金融工程学［M］.复旦大学出版社，2002:11.。

亚式期权模型评价一、亚式期权商品说明亚式期权与一般期权之不同，在于其「平均」之概念。

其方式可分为资产价格平均（Average Rate Options: ARO ）或履约价平均（Average Strike Options: ASO ）两种，以前者较为常见，其到期之报酬是由过去标的资产之平均价格与履约价格之差别而定，而非一般期权由标的资产到期价格与履约价格而定。

由于平均价格之波动性低于标的资产价格，故亚式期权之价格较一般期权为低。

以下列出各种亚式期权之到期报酬支付形式：资产价格平均：看涨：]0,)),0(([K T F AverageMax - 看跌：]0)),,0(([T F Average K Max -履约价平均： 看涨：)0)),,0(([T F Average F Max T-看跌：]0,)),0(([T F T F AverageMax - 其中T F ＝标的资产到期价格K =履约价 T =期权到期日二、亚式期权定价模型与模型测试 （一)亚式期权之定价模型亚式期权之平均方式又可分为「几何平均」与「算数平均」。

假设资产价格呈log-normal 分布时，由于log-normal 分布之几何平均本身亦为log-normal 分布，故几何平均亚式期权可依据Black-Scholes 模型加以更改，得到良好的公式解。

但一般实务上仍以算数平均期权较为常见，由于log-normal 分布之算数平均不为log-normal 分布，算数平均期权之评价较为困难。

因计算过程繁复，算数平均亚式期权难以用数值法评价，也难以找出精确的公式解，一般都以近似之方法求出逼近之公式解，或是使用如Monte Carlo simulation 等模拟法。

考虑标的物动态0),(≥+=T T dW F dt F dF T T T σμ这里μ是一固定数)(T W 是一个标准布朗运动，σ是一个波动度常数 这里 0t 式开始平均标的物的时刻，设定 T t t ≤≤0我们把观察期分成 n t t t ,...,,21。

期权定价—期权定价公式什么是期权定价？期权定价是指确定期权在市场上的合理价格的过程。

期权是一种金融工具，它授予买方在未来某一特定时间点购买或出售标的资产的权利，而不是义务。

期权的价格取决于多种因素，包括标的资产价格、行使价格、到期时间、无风险利率和波动率等。

期权定价的目标是确定一个公平的市场价格，使得买卖双方在交易中均获得合理回报。

对于买方来说，期权的价格应该对应于未来可能获得的收益；对于卖方来说，期权的价格应该对应于承担的风险以及可能获得的收益。

期权定价公式的重要性期权定价公式是用于计算期权合理价格的数学模型。

它基于一些假设和前提条件，通过对相关变量进行运算，得出期权的价格。

期权定价公式对于市场参与者来说具有重要意义，它为投资者提供了一个参考，可以帮助他们做出更明智的投资决策。

期权定价公式的提出可以追溯到20世纪70年代初，当时经济学家Fischer Black 和 Myron Scholes 提出了著名的Black-Scholes模型。

该模型基于一些假设，包括期权在到期前不支付股息、标的资产价格在特定时间内的变动是连续且满足几何布朗运动以及市场不存在无风险套利机会等。

Black-Scholes模型是第一个用于计算期权价格的理论模型，它提供了一个简单而有效的方法来评估期权的价格。

在此之后，许多其他的期权定价模型相继被提出，如Binomial模型、Trinomial模型、Monte Carlo模拟和Heston模型等。

这些模型都是基于不同的假设和计算方法，用于满足不同的情景和需求。

期权定价公式的基本要素期权定价公式通常包括以下几个基本要素：1.标的资产价格（S）：标的资产是期权所关联的基础资产，它可以是股票、商品、外汇等。

标的资产价格是期权定价的一个重要变量，它代表了期权的内在价值。

2.行使价格（X）：行使价格是期权合约约定的价格，买方可以在到期时基于该价格购买或者出售标的资产。

行使价格与标的资产价格之间的差异会影响期权的价值。

人民币外汇美式及亚式期权套期保值应用介绍内容提要目前，期权已成为国内企业使用较多的一种外汇套保工具。

文章基于服务实体经济汇率风险管理的实务经验，简单介绍利用美式期权、亚式期权进行套期保值的特点，分析其适用情景、运用要点。

文章通过具体案例对新工具和传统套保工具做出对比分析。

目前，国内外汇市场已形成涵盖远期、外汇掉期、货币掉期和期权（普通欧式期权及其组合）的衍生品产品体系，为市场主体管理外汇风险提供了重要支持。

其中，期权已成为企业使用较多的一种外汇套保工具。

2021年，企业利用期权产品管理汇率风险的规模约3,446亿美元，同比增长25%,占企业外汇衍生产品交易总量的26%,体现了企业汇率风险中性的经营理念进一步增强，对人民币汇率波动的适应能力有所提升。

在充分调研市场需求的基础上，2022年5月20日，国家外汇管理局发布《关于进一步促进外汇市场服务实体经济有关措施的通知》（汇发（2022）15号），对企业外汇市场新增人民币外汇普通美式期权、亚式期权及其组合产品，进一步丰富市场主体的交易工具，从而更好地服务中小微企业外汇风险管理。

一、美式期权、亚式期权套期保值应用本次新增的人民币外汇普通美式期权、亚式期权是在普通欧式期权的基础上，针对某些要素和条件做了一些变换,从而期权特点、适用情景和运用提示也相应发生了变化，具体如下。

（一）期权特点普通美式期权的和普通欧式期权的唯一差异体现在行权的时段上，即美式期权的买方可以在到期日或到期日之前任何一天或到期日前约定的时段行权，而欧式期权只能在到期日当天行权，故而美式期权的行权时间更灵活。

基于此，若将美式期权的价值看做两部分：欧式期权部分和由于增加提前行权权利而需要支付的权利金，那么如果提前行权不是最优选择的话，买方并不需要为提前行权支付权利金，此时美式期权价格等于欧式期权。

从理论定价的角度看，低利率货币的看涨期权和高利率货币的看跌期权提前行权不如继续持有，因为利差隐含的汇率走势的期望有利于这两种期权的买方。

2023-11-04CATALOGUE目录•期权定价模型概述•经典期权定价模型•期权定价的随机过程基础•期权定价理论的扩展与应用•期权定价的风险与回报分析•期权定价理论的发展趋势与挑战01期权定价模型概述期权定义期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权利。

期权特性期权具有非线性收益特性，买方收益曲线为非线性，卖方收益曲线为线性。

期权定义与特性期权所涉及的资产，可以是股票、商品、外汇等。

标的资产期权的到期时间，一般为未来某一具体日期。

到期日期权的行权价格，即买卖标的资产的价格。

行权价期权的行权方式，包括美式和欧式两种。

行权方式期权定价模型的基本概念期权定价模型的种类与分类期权的持有者只能在到期日行权。

欧式期权美式期权看涨期权看跌期权期权的持有者可以在到期日及之前任何时间行权。

赋予持有者在未来某一时期以指定价格购买标的资产的权利。

赋予持有者在未来某一时期以指定价格出售标的资产的权利。

02经典期权定价模型Black-Scholes模型通过构造一个包含股票和债券的组合，推导出欧式期权价格所满足的微分方程。

利用已知的债券价格和股票价格，通过求解微分方程得到期权价格。

假设股票价格服从几何布朗运动，且无风险利率和波动率均为常数。

二叉树模型基于离散时间框架，模拟股票价格的变化过程。

假设股票价格只能向上或向下移动，且移动的幅度和概率均已知。

通过反向推导的方式，计算出期权的预期收益，并利用无风险利率折现得到期权的现值。

期权定价的数值方法有限差分法通过求解偏微分方程的数值近似解，得到期权价格。

网格法通过在期权收益函数中构造网格，计算网格点对应的期权价值，并利用无风险利率折现得到期权的现值。

蒙特卡洛模拟法通过模拟股票价格的随机过程，计算出期权的预期收益，并利用无风险利率折现得到期权的现值。

03期权定价的随机过程基础随机过程一组随机变量，每个变量对应一个时间点。

随机过程的分类根据性质不同，随机过程可分为平稳和非平稳、确定性和随机性等。

亚式期权论文：亚式期权概念及定价简析摘要：给出了亚式期权的基本概念并讨论了亚式期权的几种定价方法的优劣。

关键词：亚式期权；monte carlo；模拟；简析一、引言比标准欧式期权或美式期权和看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权。

大多数新型期权在场外交易，它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。

本文的第一个目的，就是介绍新型期权的一种—亚式期权，这类期权在场外市场广受欢迎，但此类期权较难定价，本文的第二个目的，给出常见的亚式期权的定价方法并作一定的比较。

二、基本概念亚式期权是市场上常用金融工具, 其到期收益函数与一特定时段内标的资产的某种形式的平均息息相关,即依赖于标的资产价格的某种平均值。

可以是一段时间内的连续平均值,也可以是若干个时间点的离散平均值;可以是算术平均,也可以是几何平均. 每一个确定的平均类型都对应着两种亚式期权的形式,即平均资产价格与平均敲定价格,它们都具有欧式期权风格. 不同的是前者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代资产本身的价格;而后者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代合约的敲定价格.与普通的期权类似,每种亚式期权都具有看涨和看跌两种交易情形。

以连续情形的标的资产价格平均值为例,用a 表示算术平均值, g表示几何平均值, s t表示时刻t的资产价格,服从几何布朗运动，则对于算术平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max ( a - k ,0) ,开始时刻的期权价格为对于几何平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max( g - k ,0) ,开始时刻的期权价格为亚式期权的优点是可以缓解市场的投机行为，且相对于普通期权，价格较便宜，常利用其对冲指定时期的风险。

但亚式期权的定价仍是个公开问题。

假定标的资产价格s服从对数正态分布,一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布,而相应算术平均没有可以解析处理的特性,故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。

金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究一、概述金融衍生产品是现代金融市场的重要组成部分，其定价问题一直是金融数学、金融工程领域的研究热点。

美式期权与亚式期权作为两种常见的金融衍生产品，其定价问题具有广泛的应用背景和重要的理论价值。

美式期权赋予持有人在期权有效期内任何时间执行合约的权利，而亚式期权则以其有效期内某一特定方式确定的平均价格为基础进行定价。

这两种期权因其独特的性质和复杂的定价机制，在金融市场中占据重要地位。

随着计算机技术的飞速发展和数值方法的不断完善，越来越多的学者开始关注并使用数值方法来研究美式与亚式期权的定价问题。

数值方法不仅可以处理复杂的金融模型，还可以提高定价的准确性和效率。

对美式与亚式期权定价的数值方法进行研究，不仅有助于推动金融衍生产品定价理论的发展，还能为金融机构提供有效的风险管理工具和投资决策支持。

本文旨在探讨美式与亚式期权定价的数值方法，并对比分析各种方法的优缺点。

我们将对美式与亚式期权的基本概念、性质及定价原理进行简要介绍。

我们将重点介绍几种常用的数值方法，包括有限差分法、蒙特卡洛模拟法、二叉树法等，并详细阐述这些方法在美式与亚式期权定价中的应用。

我们将通过实际案例或仿真实验来验证这些数值方法的有效性和实用性，并给出相应的结论和建议。

通过对美式与亚式期权定价的数值方法研究，我们期望能够为金融机构提供更准确、高效的定价工具，同时也为金融衍生产品定价理论的发展做出贡献。

1. 金融衍生产品概述金融衍生产品，作为现代金融市场的重要组成部分，其出现与发展极大地丰富了投资与风险管理的工具。

它们是基于传统金融工具如股票、债券、货币、利率等派生出来的金融产品，其价值依赖于这些基础资产的价格变动。

衍生产品主要包括远期、期货、期权和互换等四大类，它们具有杠杆效应、高风险性、灵活性等特点，能满足投资者不同的风险偏好和收益需求。

期权作为一种特殊的衍生产品，在金融市场中具有广泛的应用。

一种亚式风格可重置执行价格期权设计陈鹏;李笋【摘要】本文设计了一种亚式风格的可重置执行价格期权；严格证明了可重置执行边界的存在性，以及连续区域与重置区域的单连通性；利用 Hartman-Watson 分布，写出了可重置期权的定价公式，并利用此公式给出了可重置执行边界的一种新的数值算法。

%This paper designed one kind of resettable strike price options with Asian style,and proved strictly the exist-ence of resetting boundary and the simple connectedness of continuation region and resetting region.Making use of Hartman-Watson distribution,the pricing formula of resettable strike price options was written out,and a new numerical algorithm for resetting boundary utilizing this formula was given.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P30-34)【关键词】市场流动性;亚式可重置期权;重置执行边界;重置执行红利;新型递归积分法【作者】陈鹏;李笋【作者单位】湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082;湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】F224.71 引言当今世界，金融衍生产品主要以美式产品为主，因为它们比欧式品有更大的交易灵活性，受到越来越多投资者青睐．美式产品很丰富，除了传统的普通美式看涨、看跌期权，人们创造了各种奇异性的美式期权．比如，在金融期权领域有：美式亚式期权［1］、俄罗斯期权［2］、美式巴黎期权［3］、以色列期权［4］、不列颠期权［5］、各种抵押贷款等［6］；在实物期权领域有各种早期执行机会［7］、变更条约条款［8］等．尽管美式品日益成为主流，但部分投资者，仍然会选择欧式品，比如大宗原料、能源进出口条约，因为这里头很大部分购买者是风险对冲者，他们不关心价格的波动，只要能对冲掉风险就好；而另一部分人是纯正的期权投资者，甘愿暴露在价格波动的风险下，但又承担不了美式期权昂贵的价格．以普通欧式看涨为例，若在接近到期日前资产价格S远低于执行价格K，则欧式期权价值几乎为零，因为市场翻转的机会不大．纯正的看涨权购买者陷入流动性风险，因为想卖掉期权也很难．为增加市场流动性，金融工程师们设计了诸如shout floor［9］，reset strike put（call）［10］，multiple reset rights［11］，geometric average trigger reset options［12］、the British put option等等具有内生可抗流动性风险条款的新期权．这些期权中大部分本质上来说是另外一种美式期权，只不过它赌的不完全是资产在未来某一个时刻价格，还有随机化的参数．这样的期权具有更大的奇异性，需要更多的定价技巧．本文设计的新期权属于可变更合约条款类期权，这一类产品设计思想是通过改变原始合约条款中的某些参数值，赋予投资者更多的选择权利．在香港市场上常见的产品有shout floor、reset strike put（call），其中，reset strike put就是在普通看跌期权基础上，让期权购买者在合约期限内有限次改变交割价格的一种新期权，它能让已经进入“死态”的期权“复活”，所以比普通的看跌权更昂贵．重置条款既可以是手动的，也可以是自动的［8，12］，后者本质上还是欧式权，而前者却是美式权．重置条款也可以选择其他参数，比如延长交易时间，这在实物期权领域很常见；利率相关产品也可以考虑更改借贷款利率．［9－11］考虑了将交割价格置换为当前价格的设计，本文设计的新期权在文献［10］基础上扩展，将交割价格置换为过去一段时间的平均值，这样可以减少将来后悔的可能，这正是亚式风格期权设计的思想．新产品能继承文献［10］中产品关于增强市场流动性的功能，同时，因为是亚式设计，故比reset strike call更便宜［3］．这就是本文选题的出发点．本文采用手动停止设计，本质是美式期权．2 模型假设假设市场上存在两种可交易资产，风险资产和无风险资产．无风险资产Bt一般假定就是货币市场账户，它的动力学方程为：其中，r为存款利率，即无风险利率，设为一常数；风险资产St表示股票价格，对应的动力学方程满足：其中，q，σ，分别表示常数红利，波动率和风险中性测度Q下标准布朗运动．以修正后dB＊t ＝dt为计价单位，St的贴现值过程在风险中性测度Q下是一个鞅，对应的风险中性概率空间表示为：＝Ft：t≥｛｝0满足通常条件．设t∈，令，则＝S0．因为任何普通看涨、看跌期权的执行价格往往参考当前股价，所以若设计一份可重置执行价格期权，则其原始执行价格可以认为就是S0．若当前时刻为t，设只有一次重置机会且期权还未被重置，则，亚式风格可重置执行价格看涨期权的原始执行价格可以由≤τ≤T－t置换，其中，停时τ由投资者手动设定，在文献［7］中也出现过自动设定停止条件的设计；若期权已经被重置则可归结为t之前较早时刻未被重置的情况．所以，根据风险中性定价理论，t时刻已知当前股价为S，历史累计股价为I的情况下，根据文献［11］亚式风格可重置执行价格看涨期权的价格因该是令其中，Kt＝因此，令＝expdQ；因为在测度Q下是个鞅，则由贝叶斯法则有所以在式（1）之中，新测度下Kt动力学方程为其中，是新测度下标准布朗运动．故Kt的无穷小生成算子为为体现初值影响，Kt也表示为（t），根据此式，容易验证Kt为下马尔科夫过程．在式（1）中令：因此，可见只需要考虑最优停止问题（3）就可以了．根据标准最优停止理论［2］，有限时间内最优停止问题最优停时总是存在（不排除平凡解存在）．C与D分别表示连续区域与执行区域：现在为了估计可能存在的最优重置边界位置，考察H （t，k）在偏微分算子作用下的符号，为此分别计算三个偏导数：易见：当且仅当＞1．若（t0 ，k0 ）满足此简单不等式，则考虑其一极小领域，由函数连续性，在此领域内，此不等式也成立，故由伊藤公式知道（t0 ，k0 ）一定属于连续区域C．接下来的定理严格证明连续区域C与重置执行区域D都是单连通集，若最优重置边界存在，则是唯一的．文献［13］给出了反例说明当最优停止问题的payoff不是简单分段线性函数时，C与D有可能非单连通，所以下面的定理是很有意义的．类似的问题，严格证明只在文献［6，14］中见到过．3 重要结论3．1 最优重置执行边界存在性与唯一性首先证明唯一性，再说明存在性的条件．定理1 设0≤k2＜k1＜∞，若（t，k2 ）属于连续区域C，则（t，k1）也属于连续区域C；C与D都是单连通区域，所以如果执行边界非平凡（存在）则是唯一的．证明利用（2）式及Kt的马尔科夫性，正部定义由假设属于连续区域C，就有：所以，所以，由此可知，（t， k1 ）也属于连续区域C，C必是单连通的，执行区域D亦同．因此执行边界若存在必唯一．证毕．问题（3）中最优重置执行边界K＊（）t一定存在．为此，只需说明式（3）中的最优停止问题不是平凡解（类似的文献［15，16］得到了平凡解），也就是说最优停时不会取在期末T（因为H（t，k（t））不是上鞅所以很容易排除最优停时取为t的情况）．要说明这一点还是利用伊藤公式：根据文献0，可知当T足够大且τ逼近T时＜1；故上式积分小于零，根据上一节末的说明有成立，这里τ取确定时间．所以，T足够大时候最优停止边界K＊＊（）t一定存在；若T不是够大，则投资者必定会在指标k落在K＊＊（）t之上进行置换，故对应的执行边界K＊（）t会高于K＊＊（）t．综上所述，对任意T，最优重置执行边界K＊（）t总会存在．根据文献［2］，最优重置时刻就是3．2 定价公式类似于文献［5］，V（t，k）必须满足的偏微分方程组为：＊对k＝k＊（t），t∈［0，T］；（瞬时停止）＊对k＝k＊（t），t∈［0，T］；（光滑拟合）式（4）中光滑拟合条件成立证明不同于美式亚式期权［1］：可先证左导数相等；然后，因为H 是光滑的故V也是光滑的，故V右导数也存在且光滑拟合条件成立．这一点也不同于普通美式看跌期权，因为普通看跌美式payoff不是光滑函数，不能保证其价值函数在C∪D内是光滑的．根据伊藤公式及式（4）有：其中，Ms，0≤s≤T－t为测度下鞅．令s＝T－t，两边取期望，就有问题（3）的定价公式：其中，上式中f（u，s，a）与 Hartman－Watson分布有关，表示（S，I）的联合密度函数，详情参考文献［1，17，18］，式（5）最后一项可以理解为重置执行红利．3．3 重置执行边界数值算法美式期权的最优停止边界计算方法有很多种，大致分为两类：数值计算与解析逼近，详情参考文献［19－24］不管哪一种都依赖于相应随机过程转移概率密度函数．考虑到本产品涉及随机过程很难得到解析的简单转移概率密度函数［18］，且为首次提出的新概念，故采用数值计算方法，希望获得稳妥可靠的数值解，以获得业内认可．类似的产品采用递归积分法［1］，注意到式（5）右侧出现三重积分，且f（u，s，a）形式复杂，故不能像普通美式期权直接计算数学期望值，而是通过Kolmogorov向后、向前方程间接算出式（5）中两个期望在节点处的值，然后再用递归积分法从后往前逐一算出最优重置边界在节点处的值．积分方程解的唯一性及数值算法的收敛性有待于进一步严格证明．由式（5）和（4）中光滑拟合条件有下式成立：其中，，根据文献［25］第8章，满足偏微分方程：同理，对于普通美式看跌及美式亚式期权都会有一个类似于式（6）的非线性积分方程存在，但他们都采用了瞬时停止条件，那是因为它们更简单．而本产品payoff的导数比payoff本身更简单，所以采用光滑拟合条件．将［0，T］n等分，步长取h＝T／n，ti＝i＊h，i＝0，…，n；将积分方程式（6）离散化：因为K＊（tn）＝K＊（T）＝T；故依次令i＝n－1，n－2，…，1；利用上式递归算出k＊（t）曲线位置．参考文献［1］G PESKIR ，N UYS．On Asian Options of American type［C］／／Exotic Option Pricing and Advanced Levy Models．Eindhoven：John Wiley，2005：217－235．［2］G PESKIR，A N SHIRYAEV．Optimal stopping and freeboundaryproblems［M］．Lectures in Mathematics ETH Zur－ich：Birkhauser，2006．［3］郭宇权．金融衍生产品数学模型［M］．第2版．北京：世界图书出版公司北京公司，2010：243．［4］Y KIFER．Game options［J］．Finance and Stochastics，2000，4（4）：443－463．［5］G PESKIR，F SAMEE．The british put option 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