卫星变轨问题——方法指导

第八讲：卫星变轨问题和双星问题一、卫星相遇问题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为ωa ，b 卫星的角速度为ωb .若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示．当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示．当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝2π时，两卫星再次相距最近．二、卫星变轨问题1．变轨分析(1)卫星在圆轨道上稳定运行时， G Mmr 2＝m v 2r＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . (2)当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加．(3)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，例题、如图所示，北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速周运动，且轨道半径为r ，某时刻工作卫星1、2分别位于轨道上的A 、B 两个位置，若两卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力。

下列判断正确的是（ ）例题、如图所示，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M ，（M ＞＞m 1，M ＞＞m 2）．a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ：T b ＝1：k ．（k ＞1，为正整数）从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则（ ）A ．a 、b 距离最近的次数为k 次B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次C ．a 、b 、c 共线的次数为2k 次轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小．2．三个运行物理量的大小比较(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3. 三、多星模型1．定义绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．A ．这两颗卫星的加速度大小相等，均为22gR rB ．卫星1出A 位置运动到B 位置所需的时间是3rr R gC ．这两颗卫星的机械能一定相等D ．卫星1向后喷气就一定能够追上卫星22．特点(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L2＝m 1ω21r 1， Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2. (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2. (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . 3．两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.针对训练题型1：相遇问题1．如图所示，A 和B 两行星绕同一恒星C 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，某一时刻两行星相距最近，则（ ）A ．经过T 1+T 2两行星再次相距最近B ．经过两行星再次相距最近C ．经过两行星相距最远D ．经过两行星相距最远【解答】解：根据万有引力提供向心力，列出等式：＝mω2rω＝所以ωA＞ωBA行星的周期为T1，B行星的周期为T2，所以T1＝T2＝两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上。

答案 BC
题组一 天体运动规律得理解及应用
答案 ACD
题组二 “赤道物体”与“同步卫星”以及“近地卫星”得区别 3、关于近地卫星、同步卫星、赤道上得物体,以下说法正确得就是( ) A、都就是万有引力等于向心力 B、赤道上得物体与同步卫星得周期、线速度、角速度都相等 C、赤道上得物体与近地卫星得轨道半径相同但线速度、周期不同 D、同步卫星得周期大于近地卫星得周期
12、如图,质量分别为m与M得两个星球A与B在引力作用下都绕O点做匀速圆周 运动,星球A与B两者中心之间得距离为L、已知A、B得中心与O三点始终共线,A 与B分别在O得两侧、引力常量为G、 (1)求两星球做圆周运动得周期; (2)在地月系统中,若忽略其它星球得影 响,可以将月球与地球瞧成上述星球A与 B,月球绕其轨道中心运行得周期记为T1、 但在近似处理问题时,常常认为月球就是绕 地心做圆周运动得,这样算得得运行周期 记为T2、已知地球与月球得质量分别为 5、98×1024kg与7、35×1022kg、求T2与T1两者平 方之比、(结果保留3位小数)
答案 D
②求 g＝GRM2 ，
(2)天体运动得向心力来源于天体之间得万有引力,即
GMr2m＝mvr2＝mrω2＝m4Tπ22r＝ma.
例1 如图就是发射地球同步卫星得简化轨道示意图,先将卫星发 射至距地面高度为h1得近地轨道Ⅰ上、在卫星经过A点时点火实 施变轨,进入远地点为B得椭圆轨道Ⅱ,最后在B点再次点火,将卫星 送入同步轨道Ⅲ、已知地球表面重力加速度为g,地球自转周期为 T,地球得半径为R,求: (1)近地轨道Ⅰ上得速度大小; (2)远地点B距地面得高度、
答案 Lm2
Lm1
m1＋m2 m1＋m2
4π2L3 Gm1＋m2
双星问题 4、 现代观测表明,由于引力作用,恒星有“聚集”得特点,众多得 恒星组成了不同层次得恒星系统,最简单得恒星系统就是两颗互 相绕转得双星,事实上,冥王星也就是与另一星体构成双星,如图所 示,这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀 速转动,这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起,现测出双星 间得距离始终为L,且它们做匀速圆周运动得半径r1与r2之比为 3∶2,则( )

如果 卫 星 的速 率 在某 点 （ 极短 时间内） 发 生 了 变化 ，
卫 星不再 沿原 轨道 运 动 ， 而开 始 在 新轨 道 上 运 动 ， 这
种 现象我 们 称 之 为 卫 星 的变 轨 运 动 ， 这个 速 率 变 化
点 叫做变 轨 点 。
以图 １为例 ， 发 射地 球 同 ． Ｑ
，
增 加 到
、～ 一 ，
幽１
心力 ， 即 Ｆ需一Ｆ供， 亦 即
卫 星 不 再 沿 圆 轨 道 Ｉ运
动， 卫星从 Ｐ 点开 始沿椭 圆轨 道 Ⅱ运动 ， 这 种情 况 是 在稳 定 的轨道 上做 匀速 圆周运 动 。
＋ — ＋ — ＋ — ＋ — ＋ ＿ ｛＋ — ｑ
ｃ．
。．
斋 ， 即 选 项 Ｂ 正 确 。
点拔 ： 一个 天 体环 绕 另一 天体 运动 中， 它们 间 的
万 有 引 力 齐． 当向心 力． 对 干 天体 赤 道 熹 面 １ －随 天 体 自
答案与提 示 ： １ ． Ａ 提示： 在 南极 支持 力 Ｆ＝ ＝ ＝
ＧＭ ｍ
，
、
卫星做 匀速 圆周 运 动 、 近心 运动、 离 心 运 动
的 条 件
卫 星开始 做离 心运 要 向 心力 ， 向心 力 的来 源是 地球 对卫 星 的万有 引力 Ｆ 若 地球 质量 为 Ｍ ，
二、 卫 星 在 某 点 速 率 变 化 引 起 变 轨 运 动 正在 做匀 速 圆周 运 动 或椭 圆轨 道 运 动 的卫 星 ，
，
在 赤 道 处 警一 等 Ｒ 。
（ 责任 编 辑 赵 平）
这 种 性 格 的 人 还 常 常 会 有饮 食 习惯 不规 律 、 睡 眠 障碍 等 问题 ， 这 些都 会 导 致 他 们 体 内生 产 高 于 正 常值 的 胃 酸 ， 严 重

的线速度决定着卫星的动能，即 Ek=
可以简记为：高轨低速小动能 高轨低速小动能， 高轨低速小动能，高轨高势大周期. 具体含义是卫星的运行轨道越高， 具体含义是卫星的运行轨道越高，卫星的线速度、 卫星的线速度、角速度、 角速度、向心加速度、 向心加速度、卫星所在位置处的重力加速度， 卫星所在位置处的重力加速度， 就越小； 就越小；卫星的动能越小， 卫星的动能越小，卫星的重力势能就越大， 卫星的重力势能就越大，卫星运行周期也越大， 卫星运行周期也越大，反之则反.
【解析】 由开普勒定律知，对绕同一中心天体的所 有卫星，轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次 方的比值都相等，即
R3 =k，知周期减小，则半径减 T2
2π ，知角速度增大，D 选 T
GM ，得轨道高度降低，卫星的线速度增大，故动 r
小，A 选项正确；由 ω= 项错误；根据 G
能将增大，所以 B 选项正确；卫星由于摩擦阻力做 功，利用控制变量，假设轨道高度不变，只能是速 度减小，提供的引力大于卫星所需要的向心力，故 卫星将做近心运动，即轨道半径将减小，故 C 项正 确； 航天员在“天宫一号”中处于失重状态， 而这恰好 是航天员受地球引力全部用于做圆周运动的向心力 导致的完全失重状态，D 选项错误． 答案 BC 【调研 2】2008 年 9 月 25 日至 28 日我国成功实 施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次 出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点 343 千 米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为 343 千米的 圆轨道， 在此圆轨道上飞船运行周期约为 90 分钟． 下 列判断正确的是 ( ) A．飞船变轨前后的机械能相等 B． 飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状 态 C． 飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运 动的角速度 D． 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于 变轨后沿圆轨道运动的加速度 【解析】飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所 以 A 项不正确．飞船在圆轨道上时万有引力来提供 向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B 项正 确．飞船在此圆轨道上运动的周期 90 分钟小于同步 卫星运动的周期 24 小时，根据 T=