山西阳泉市2018-2019学年下学期高一数学期末试卷附答案详析
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山西阳泉市2018-2019学年下学期高一数学期末试卷一、单选题1．已知0a b <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2a ab <B ．C ．11a b>D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（ ）A ．11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或3．已知ABC ∆的三个内角之比为::3:2:1A B C =，那么对应的三边之比::a b c 等于（ ）A ．3:2:1B 2:1C D ．24．已知在等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7,则数列{}n a 的通项公式（ ） A ．B ．-1C ．+1D ．-35．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（0a ≠），那么{}n a （ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列6．设在ABC ∆中,角,AB C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．在ABC ∆中，角,B C 所对的边分边为,b c ，已知40,20,60b c C ===︒，则此三角形的解的情况是（ ） A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为（ ） A ．3里B ．6里C ．12里D ．24里9．在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A B C ． D ．10-10．已知数列{}n a 满足111222n n n a a a -+++=，*2,n n N ≥∈，且121,2a a ==，则16a =A ．4B ．5C ．6D ．8二、填空题11．已知1，a ，b ，c ，4成等比数列，则b =______. 12．若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为{02}x x <<，则m =__________ 13．已知()230n nS a a a a a =+++⋅⋅⋅+≠，则n S =______.14．在ABC ∆中，2a =，3b =，c =，则ABC ∆的面积等于______.15．设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为__________．16．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高 为17．设公比为q(q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．18．函数()211x y x x =<-的最大值为______.三、解答题19．若关于x 的不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围.20．等差数列{}n a 的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数.求此数列的公差d 及前n项和n S .21．如图，在ABC ∆中， 3B π∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =， 1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长.22．某厂生产A 产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件需另投人成本()C x 万元.当年产量不足80千件时，()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完. （1）写出年利润()L x 万元关于x 千件的函数关系式； （2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？23．已知数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n N a+=∈+. （1）求证：1na 禳镲睚镲铪是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足22n n nn nb a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .解析山西阳泉市2018-2019学年下学期高一数学期末试卷一、单选题1．已知0a b <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2a ab < B ．C ．11a b>D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】试题分析：若，那么，A 错；，B 错；是单调递减函数当时，所以，C.正确；是减函数，所以，故选C.【考点】不等式 2．不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（ ）A ．11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法即可得出． 【详解】 ∵11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴11023x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ 解得：1132x <<，即不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故选：A 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题，易错点是忘记把二次项系数化“+”.3．已知ABC ∆的三个内角之比为::3:2:1A B C =，那么对应的三边之比::a b c 等于（ ）A ．3:2:1B 2:1C D ．2【答案】D【解析】∵已知△ABC 的三个内角之比为::3:2:1A B C =,∴有2,3B C A C ==,再由A B C π++=,可得6C π=，故三内角分别为236A B C πππ===、、.再由正弦定理可得三边之比1::::1::222a b c sinA sinB sinC ===，故答案为2点睛：本题考查正弦定理的应用，结合三角形内角和等于π，很容易得出三个角的大小，利用正弦定理即出结果4．已知在等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7,则数列{}n a 的通项公式（ ） A ．B ．-1C ．+1D ．-3【答案】D【解析】试题分析：由于数列{}n a 是等差数列，所以26a a 与的等差中项是，故有，又有37a a 与的等差中项是，所以，从而等差数列的公差，因此其通项公式为，故选Ｄ．【考点】等差数列． 5．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（0a ≠），那么{}n a （ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】C【解析】试题分析：当1a =时，110a a =-=，11120,0n n n n n n a S S a S S ----=-==-=10n n a a -∴-=， ∴数列{}n a 是等差数列．当1a ≠时，11a a =-，1121112,n n n n n n n n n n a S S a a a S S a a -------=-=-=-=- 1nn a a a -∴=∴数列{}n a 是等比数列．综上所述，数列{}n a 或是等差数列或是等比数列 【考点】等差数列等比数列的判定6．设在ABC ∆中,角,AB C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】 B【解析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果. 【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.7．在ABC ∆中，角,B C 所对的边分边为,b c ，已知40,20,60b c C ===︒，则此三角形的解的情况是（ ） A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定【答案】C【解析】由三角形正弦定理sin sin b c B C =可知4020sin sin sin 60B B B =∴=o无解，所以三角形无解，选C.8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为（ ） A ．3里 B ．6里C ．12里D ．24里【答案】D 【解析】【详解】 设第一天走1a 里,则{}n a 是以1a 为首项,以12为公比的等比数列， 由题意得：1661 12378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-， 解得1192a =(里)，∴341111922428a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭(里). 故选D.9．在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A B C ． D ． 【答案】C【解析】试题分析：设,2,sin cos cosAD a AB CD a AC A ααββ=⇒==⇒====⇒cos()αβ=+=,故选C.【考点】解三角形.10．已知数列{}n a 满足111222n n n a a a -+++=，*2,n n N ≥∈，且121,2a a ==，则16a =A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】B 【解析】利用111222n n n a a a -+++=，121,2a a ==，依次求34,,......a a ，观察归纳出通项公式()2log 2n n a = ，从而求出16a 的值. 【详解】∵ 数列{}n a 满足111222n n n a a a -+++=，*2,n n N ≥∈，121,2a a ==，∴312 2228a ++==，∴326a =，∴32log 6a = ， 421log 62222a ++=，∴422648a =⨯-=，∴ 42log 83a ==，……， ∵121log 2a ==，222log 4a ==，32log 6a =，42log 83a ==，…….， 由此归纳猜想()2log 2n a n =，∴162log 325a ==．故选B ．【点睛】本题考查了一个教复杂的递推关系，本题的难点在于数列的项位于指数位置，不易化简和转化，一般的求通项方法无法解决，当遇见这种情况时一般我们就可以用“归纳”的方法处理，即通过求几项，然后观察规律进而得到结论．二、填空题11．已知1，a ，b ，c ，4成等比数列，则b =______. 【答案】2【解析】因为1，a ，b ，c ，4成等比数列，根据等比数列的性质，可得24b = ，再利用20a b => ，确定取值. 【详解】因为1，a ，b ，c ，4成等比数列， 所以24b = ，所以2b = 或2b =-， 又因为20a b => ，所以2b =. 故答案为:2 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题. 12．若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为{02}x x <<，则m =__________ 【答案】1【解析】根据二次不等式和二次方程的关系，得到0,2x x ==是方程2122x x mx -+=的两根，由根与系数的关系得到m 的值. 【详解】因为关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为{02}x x << 所以0,2x x ==是方程2122x x mx -+=的两根，()2240x m x +-=，由根与系数的关系得()242m --=，解得1m =【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题. 13．已知()230n nS a a a a a =+++⋅⋅⋅+≠，则n S =______.【答案】,1(1),11n n a a a a a=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩ 【解析】根据数列的通项，分当1a =和1a ≠时，两种情况讨论. 【详解】当1a =时 ，n S n =，当1a ≠时，{}na 是等比数列，所以(1)1n n a a S a-=-. 综上：,1(1),11n n n a S a a a a =⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩. 故答案为：,1(1),11n n a a a a a=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩ 【点睛】本题主要考查了数列的判断及求和，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 14．在ABC ∆中，2a =，3b =，c =，则ABC ∆的面积等于______.【答案】2【解析】先用余弦定理求得2221cos 22a b c C ab +-==-，从而得到n si C =三角形面积公式求解. 【详解】因为在ABC ∆中，2a =，3b =，c =由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==-所以sin C ==由正弦定理得1sin 2ABCS ab C ∆==【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为__________．【答案】-5【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【详解】由x ，y 满足约束条件2121,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得A （﹣1，1）．∴z ＝3x ﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5． 故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 16．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高 为 【答案】【解析】【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x ，则可知00tan 60=,t 2an 30=00200a ax-，a 表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．【考点】解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．17．设公比为q(q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________． 【答案】32【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子．即1112331111132{32a a q a q a a q a q a q a q +=++++=+，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：(舍去)18．函数()211x y x x =<-的最大值为______. 【答案】0【解析】根据1x < ，将函数转化211211==-++--x y x x x ，再利用基本不等式法求最值. 【详解】因为1x < ， 所以()()()211111112201111+-+===++=-++≤-=----x x x y x x x x x x ， 当且仅当111x x -=-即0x = 时，取等号. 故答案为：0【点睛】本题主要考查了函数的转化及基本不等式求最值的方法，还考查了转化化归和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题19．若关于x 的不等式23208kxkx +-<对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】30k-<≤ 【解析】对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对0k≠时，利用二次函数的图象进行分析求解.【详解】 当0k=时，不等式23320088kx kx +-<⇔-<对一切实数x 都成立， 所以0k =成立； 当0k ≠时，由题意得20,34(2)()0,8k k k <⎧⎪⎨∆=-⋅⋅-<⎪⎩解得：30k -<<；综上所述：30k-<≤.【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，注意运用分类讨论思想进行求解，同时也要结合二次函数的图象进行问题分析与求解.20．等差数列{}n a 的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数.求此数列的公差d 及前n项和n S .【答案】4d =-，2252=-n n n S 【解析】先设等差数列{}n a 的公差为,d d Z ∈ ，根据第6项为正数，从第7项起为负数，得到67a 00a >⎧⎨<⎩ 求d ，再利用等差数列前n 项和公式求其n S .【详解】设等差数列{}n a 的公差为,d d Z ∈ ，因为第6项为正数，从第7项起为负数，所以67a 00a >⎧⎨<⎩ ， 即23+5d 02360d >⎧⎨+<⎩， 所以232356d -<<- 又因为d Z ∈所以4d =-所以()21n 12522-=+=-n n na d n n S 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， 8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =， 1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠；（2）求,BD AC 的长.【答案】（1）14；（2）7. 【解析】试题分析：（I ）在ABD ∆中，利用外角的性质，得()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠即可计算结果；（II ）由正弦定理，计算得3BD =，在ABC ∆中，由余弦定理，即可计算结果．试题解析：（I ）在ADC ∆中，∵1cos 7ADC ∠=，∴sin ADC ∠= ∴()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠= （II ）在ABD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin AB BAD BD ADB⋅∠==∠ 在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 49AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=∴7AC =【考点】正弦定理与余弦定理．22．某厂生产A 产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件需另投人成本()C x 万元.当年产量不足80千件时，()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.（1）写出年利润()L x 万元关于x 千件的函数关系式；（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？【答案】（1）()2140250,0803100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）100 【解析】（1）由于每生产x 千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当0x 80<<时和当x 80≥时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.（2）根据（1）的利润函数为()2140250,0803100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当0x 80<<时，用二次函数法求最大值；当x 80≥时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x 的取值即为此时最大利润时的产量.【详解】（1）根据题意当0x 80<<时， ()221150102504025033=---=-+-L x x x x x x ，当x 80≥时， ()1000010000505114502501200⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭L x x x x x x ，综上：()2140250,0803100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ .（2）由（1）知()2140250,0803100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当0x 80<<时， ()221140250x 60)95033（=-+-=--+L x x x ，当60x = 时，()L x 的最大值为950万.当x 80≥时， ()10000120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x =即100x =时取等号，()L x 的最大值为1000万.综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，还考查了建模，运算求解的能力，属于骠题.23．已知数列{}n a 中，11a =，()*122nn na a n N a +=∈+.（1）求证：1na 禳镲睚镲铪是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足22n n n n nb a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析，21n a n =+（2）()11422-=-+n n T n 【解析】（1）由122n n n a a a +=+，两边取倒数，得到11112n n a a +-=，根据等差数列的定义证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列，，再利用通项公式求得1na ，从而得到n a ..（2）根据（1）的结论12221-+=⋅=⋅n n n n n n b a n ，再用错位相减法求其前n 项和.【详解】（1）因为122nn n a a a +=+，所以1212n n n a a a ++=，即11112n n a a +-=， 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，所以()11111122+=+-=n n n a a ，即21n a n =+. （2）由（1）知12221-+=⋅=⋅n n n n n n b a n 所以01211111123......2222-=⨯+⨯+⨯++⨯n n T n ① 两边同乘以12 得：12311111123......22222=⨯+⨯+⨯++⨯n n T n ②①-②得0123111111......222222=++++-⨯n n T n ，11121212n n n -=-- ，12(2)2n n =-+ ，所以()11422-=-+n n T n .【点睛】本题主要考查了数列的证明及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于难题.。
