湘教版九年级数学下册(课件)15二次函数的应用

11．(十堰中考)某超市销售一种牛奶，进价为每箱 24 元，规定售价不低于 进价．现在的售价为每箱 36 元，每月可销售 60 箱．市场调查发现：若这 种牛奶的售价每降价 1 元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱牛奶降价 x 元(x 为正整数)，每月的销量为 y 箱． (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围； (2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)已知一边长为 x cm，则另一边长为(10－x) cm.则 y＝x(10－x)，化简 可得 y＝－x2＋10x；
(2)y＝10x－x2＝－(x2－10x)＝－(x－5)2＋25，所以当 x＝5 时，矩形的面积 最大，最大为 25 cm2.
7．已知 0≤x≤21，那么函数 y＝－2x2＋8x－6 的最大值是( C )
12．(泰安中考)如图是将抛物线 y＝－x2 平移后得到的抛物线，其对称轴为 x＝1，与 x 轴的一个交点为 A(－1,0)，另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C.
(1)求抛物线的函数表达式； (2)若点 N 为抛物线上一点，且 BC⊥NC，求点 N 的坐标； (3)点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y＝32x＋32的图象上一点，若四边 形 OAPQ 为平行四边形，这样的点 P、Q 是否存在？若存在，分别求出点 P、 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)设抛物线的解析式是 y＝－(x－1)2＋k.把(－1,0)代入得 0＝－(－1－ 1)2＋k，解得 k＝4，则抛物线的解析式是 y＝－(x－1)2＋4，即 y＝－x2＋2x ＋3；
(2)作 EH⊥CD，垂足为 H，∵△CDE 是等边三角形，∴CH＝DH＝2，∴ EH＝ 42－22＝2 3，∴S△CDE＝12×4×2 3＝4 3，又∵x＝－2ba＝4 时，y 最大值为 32，∴整个金属框的面积为(4 3＋32)m2.

(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关 键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键 是：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
4a+2b=10
a=4 b=-3
所以a的值为4，b的值为-3
小结 拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
即y=200x2+400x+200(X>0)
3、有一个矩形，它的长与宽的和为30cm，设 长为L，矩形面积为S，则S与L的函数关系是 _S_=_-L_2_+_3_0_L (0<L<30)
概念引入
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都 是二次。
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0

解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=-1， ∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1

利用二次函数的 图象和性质求解
实际问 题的解
练一练 1.如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图， 已知悬索桥两端主塔高100m，主塔之间的距离为900m，试建立适 当的直角坐标系，①求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
以桥面所在直线为x轴，桥面的垂直平分线为y轴，建立直
角坐标系.设抛物线解析式为 y ax 2
y 1 3502 60.49m 2025
量x的取值范围是：-450≤x≤450.
当x=450－50=400 y 1 4002 79.01m
2025
知识点❷
例2、某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手
时距地面
20 9
米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时
解：如图，建立直角坐标系.
则点C的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
y
B(0,3.5)
以点A表示运动员投篮球的出手处.A点坐标为（-2.5，m）
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k
即y=ax2+k.而点B、C在这条抛物线上，所以有
A，
2.25a+k=3.05，
已知主塔高100m，主塔间距离900m，因此A（450，100）
在抛物线上，由此得出
②求距离桥两端主
y
A（450，100）
100 a 4502 1
解得 a 2025
塔分别为100m,50m处
垂直钢索的长.
o
∴函数表达式为 y 1 x2 当x=450－100=350
x
2025
由于主塔间距离为900m,因此自变
3.5m

巩固提升
解：（1）可卖出千克数为500-10（x-50）=1000-10x， y与x的函数表达式为y=（x-40）（1000-10x）
=-10x2+1400x-40000， （2）当 x=－ b 70 时，y有最大值．
2a
答：商店销售单价应定为70元时，销售利润最大．
课堂小结 用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题一般步骤：
巩固提升
3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场 分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单 位每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的 函数表达式（不必写出x的取值范围）； （2）商店销售单价应定为多少、销售利润最大？
Dx
答：绳子最低点到地面的距离为0.2米．
巩固提升
2、小红想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形 ，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面 积和为多少？ 解：设一个正方形的边长为a cm，则另一个正方形的边长为 =（18-a）cm．则两个正方形的面积和为： S=a2+(18-a)2=2a2-36a+324(0＜x＜18)． 将上式进行配方得：S=2(a-9)2+162(0＜x＜18)． 当a=9 cm时，S最小，最小值为162 cm2.此时，她将彩带二等分． 答：她应将彩带分成相等的两段剪，此时的面积和为162 cm2．
新知讲解
例 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具， 如果以单价 30 元销售， 那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验， 提高 销售单价会导致销售量的下降， 即销售单价每上涨 1 元， 月销 售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时， 该店能在一个 月内获得最大利润？

由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是：
2.45≤x≤2.45.
–3 –2
y
–1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
A
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】
现价 涨价
进价/元 20 20
–3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
已知水面宽 4 m 时， 拱顶离水面高 2 m， 因此点 A（2，－2）在抛物线
度不计）
83 4
这时高为
3 =2m.
2
则当窗框的宽为 4 m，高为2m时，窗框的透光面积
3 最大，最大透光面积为
8
m2.
3
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】

2(x 25)2 2 502 4
2(x 25)2 1250
当x=25时，S达到最大值1250
答：与已有墙面相邻的每一面墙的长度为25米，另一 面墙的长度为50米时，矩形植物园的面积最大，达到 1250㎡
2019/11/22
在本小节开头掷铅球的例子中，求铅球在空中达到的最大高度
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
准备在校园里利用围墙的一 段，再砌三面墙，围成一个矩形植 物园如图所示，现在已备足可以砌 100米长的墙的材料，怎样砌法， 才能使矩形植物园的面积最大？
设与已有墙面相邻的每一面墙的长度
都为x m，则与已有墙面相对的一面墙 的长度为（100－2x）米，于是矩形植
y 1 x2 9 x 1 40 20
a 1 0 40
y

4



1 40
1

9 20
2

1 81 10 400
40 81 400 400
2



1 40

1
1
20
20

121 400
1

121 20
物园的面积S为
s x(100 2x),0 x 50,
即 s 2x2 100x, 0 x 50,
所求的问题就是：当x等于多少时，二次函数①达到最大值？
只要先配方，求出顶点坐标， 就能解决这个问题．
2019/11/22
s 2x2 100x
（2 x2 50x 252 252 )
20 1

6.05cm
2019/11/22 20

E有对称轴l （与y轴重合）
E开口向上
象
图形F也是抛物线 点O '（1，0）是F的顶点 直线l'（过点O '与y轴平行）
是F的对称轴 F也开口向上
讲授新课
问题1 抛物线F 是哪个函数的图象呢？
在抛物线 y 1 x2 上任取一点 P(a, 1 a 2 ) ，它在向右
2
2
平移1个单位后，P的像点Q的坐标是什么？
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
总结：
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
注意符号不要 弄错了！
∴在对称轴左侧,即当x<-2时,y随x的增大而减小,
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
∵-5<-3,∴y1>y2.
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
今后在画 y a( x h)2 的图象时，你知道怎 么画吗？
( D)
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
图4－1
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
2．二次函数y＝－(x－1)2的图象的顶点坐标是( B )
A．(1，－1)
B．(1，0)
C．(0，－1)
D．(－1，0)
3．已知二次函数y＝－(x＋2)2，下列说法正确的是( A )

实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各 个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂
亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最 大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
探究 你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线， 所以应当是个二次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数图象是 这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)， 因此这个二次函数的
形式为 y ax2 (a 0)
-2 -1 -2
-4
12
A
如何确定 a 是多少？ 已知水面宽 4 m 时，
-2 -1
12
拱顶离水面高 2 米，
-2
A
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，
由此得出 2 a 22，解得 a 1 .
-4
因此，y 1 x2
2
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是
2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
设最多可安装 n 扇窗户， ∴1.5n + 0.8(n﹣1) + 0.8×2 ≤10.14， 解得 n ≤ 4.06．则最大的正整数为 4． 答：最多可安装 4 扇窗户.
5. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似

教学目标 1．理解具体情景中的二次函数意义． 2．掌握二次函数的概念． 3．能够列出简单变量之间的二次函数关系式．
教学重点和难点 重点：二次函数的概念． 难点：在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式 ．
一、课前预习 阅读教材第2～3页内容，了解本节课的主要内容．
二、情境导入
设矩形花圃垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为xm，先取x的
一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2
，试将计算结果填写在下表的空格中.
AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长(m)
12
面积y(m2)
48
AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长(m)
12
面积y(m2)
48Leabharlann 1.x的值是否可以任意取？有限定范围吗？ 2．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形 的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出 这个函数的关系式， 问题： (1)当AB＝xm时，BC长等于多少m? (2)面积y等于多少？y＝x(20－2x)
五、课堂小结 这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
点评： 1．二次函数的定义及一般形式； 2．在实际问题中写二次函数关系式时注意自变量的取值范 围．
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式；
（2）a,b,c为常数，且 a≠0；
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： – 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2