d f 正定的充要条件为： i 0, i 1,2,, n
(3) 非退化线性替换不改变二次型的正定性.
AX 证明：设正定二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) X
经过非退化线性替换X＝CY化成：
f ( x1, x2 ,, xn ) Y (CAC )Y g ( y1, y2 ,, yn )
§5.4 正定二次型
一 、正定二次型
1、定义：实二次型 f ( x1, x2 ,, xn )若对任意一组不全为零 的实数c1,c2,…cn，都有：
f (c1, c2 ,, cn ) 0
则称f 为正定二次型。
2 如，二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xi 是正定的； i 1 n
又由于C可逆， 0 0 ，所以 X 0 0, Y 即 c1 , c2 ,, cn不全为0。
g (k1, k2 ,, kn ) f (c1, c2 ,, cn ) 0
g ( y1, y2 ,, yn )正定.
反之，实二次型 g ( y1, y2 ,, yn ) 可经过非退化线性替换
k k
x1 x ( x1 , x2 ,, xk ) A(1,2,, k ) 2 x k
i 1 j 1
对任意一不全为零的数 c1 , c2 ,, ck , 有：
f k (c1, c2 ,, ck ) f (c1, c2 ,, ck ,0,,0) 0
Y C -1 X
变到实二次型：f ( x1, x2 ,, xn ),
同理，若g正定，则f正定。 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性。
r (4) n元实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 正定的充要条件为： ( f ) p n
