函数图象与性质的综合应用(一)

第一讲代数小题之函数的图像与性质综合知识讲解：【例题1】答案：D思路：根据奇函数，画出函数图像，结合图像分析不等式大于等于0的条件解析：f(x)是奇函数，所以f(x)在(-∞，0)上单调减，在(0，+∞)上单调递减，且f(2)=f(-2)=0，由xf(x-1)>=0可得，x>0时，f(x-1)>=0,因为f(2)=0，由单调性可得0<=x-1<=2,所以1<=x<=3,当x<=0时，f(x-1)<=0,由f(-2)=0结合单调性，可得-2<=x-1<=0,所以-1<=x<=0,综上，答案为D总结：利用奇函数分析对称区域得单调性，再通过对变量的分类讨论去解不等式【例题2】思路：由偶函数判断f(x)的对称性，由图像平移、f(x+1)的单调性、f(x)的对称性判断出f(x)的单调性，结合条件画出f(x)的图像，根据图像求出不等式的解集解析：因为f(x+1)是偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1)，所以f(x)的图像关于直线x=1对称，f(x+1)在(-∞,0)上减，所以f(x)在(-∞,1)上减，在(1,+∞)上增，且f(2)=f(0)=0,画出函数图像，当x>1时，f(x)<=0,1<x<=2,当x<1时，f(x)>=0,x<=0，但是由于f(x+1)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),所以x不能取1，综上，解集为(-∞,0)U(1,2] 总结：利用偶函数结合平移的特性分析原来函数的图像，再根据原函数的图像去解不等式【例题3】答案：A思路：首先分析函数的对称性，再求出函数的就行，将不等式转换为自变量的不等式进行求解解析：f(x)的定义域为(-1,1),f(-x)+f(x)=0,所以f(x)是奇函数，又因为f(x)=ln(-1-2/(x-1))+sinx在(-1,1)是单调增的，所以f(a-2)+f(a^2-4)<0可以转换为-1<a-2<1,-1<a^2-4<1,a^2-4<2-a,解得√3<a<2,选A总结：本题主要考察函数的概念与性质，对数与对数函数，三角函数以及解不等式。

中考数学函数的图象与实际应用综合问题【方法归纳】利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义．利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题．常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式．【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0);(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．【真题再现】1．（2015·北京·中考真题）有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是____；（2）下表是y与x的几组对应值.求m的值：（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象：（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,32)，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：_________.2．（2016·北京·中考真题）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x >0，下表是y与x的几组对应值.小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象;（2）根据画出的函数图象，写出：①x=4对应的函数值y约为________；②该函数的一条性质：__________________．3．（2017·北京·中考真题）如图，P是弧AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N.已知AB =6cm，设A 、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为____________cm.⌢与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上4．（2018·北京·中考真题）如图，Q是AB⌢于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，一动点，连接PQ并延长交ABP，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳·二模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；(3)求所画图象对应的函数表达式；(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．2．（2022·北京四中模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O 为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；(3)落点P与坡顶C之间的距离为m．3．（2022·北京北京·二模）某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如下：小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小景的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m；(3)结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m．4．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离水面的高度为h米．请解决以下问题：(1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．(2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．(3)求表格中m的值．(4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升0.4米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中√10≈3.2）5．（2022·北京·二模）某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．请解决以下问题：(1)如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是______，点C的坐标是______，水流轨迹抛物线的对称轴是______．(2)求出水柱最高点P到地面的距离．(3)在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应小于多少米？请说明理由．6．（2022·北京门头沟·二模）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．请你解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；(3)求起跳点A距离地面的高度；(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？7．（2022·北京顺义·二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离AE=x米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF=y米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：(1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；(3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．8．（2022·北京市十一学校模拟预测）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米．4①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应前进多②现将发球机向下平移了1516少米？9．（2022·北京昌平·二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：(1)该喷枪的出水口到地面的距离为________m；(2)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图像；(3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为________m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________m（精确到1m）10．（2022·北京海淀·二模）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表：(1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)由图表中的信息可知：①该型汽车车速越大，刹车距离越（填“大”或“小”）；②若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为km/h；(3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过m．11．（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）12．（2022·北京市十一学校二模）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米；(3)求出y与x的函数解析式；(4)判断排球能否过球网，并说明理由．13．（2022·北京大兴·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的喷水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条曲线．现有一个垂直于湖面的喷水枪，在距喷水枪水平距离为x米处，水柱距离湖面高度为y米．经测量得到如下数据：请解决以下问题：(1)如下图，在平面直角坐标系xOy描出了上表中y与x各对对应值为坐标的点．请根据描出的点，画出这条曲线；(2)结合所画曲线回答：①水柱的最高点距离湖面约______米；②水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为______米；(3)若一条游船宽3米，顶棚到湖面的高度2米，为了保证游客有良好的观光体验，游船需从喷泉水柱下通过，如果不计其他因素，根据图象判断______（填“能”或“不能”）避免游船被喷泉喷到．14．（2022·北京丰台·一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：根据上述信息，解决以下问题：(1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d 函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=；(3)能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．15．（2022·北京一七一中一模）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面__________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米.8①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应后退多②现将发球机向上平移了58少米？16．（2022·北京市燕山教研中心一模）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在湖面上距水枪水平距离为d米的位置，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)以水枪与湖面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水枪所在直线为y轴，在下边网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．(2)请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点的坐标．(3)湖面上距水枪水平距离为3.5米时，水柱距离湖面的高度m=____________米．(4)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的游船能从喷泉下方通过．游船左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，若游船宽（指船的最大宽度）为2米，从水面到棚顶的高度为2.1米，要求是游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．请问公园该如何调节水枪高度以符合要求？请通过计算说明理由．17．（2022·北京·东直门中学模拟预测）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．18．（2022·北京门头沟·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．19．（2022·北京房山·一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．20．（2022·北京通州·一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．21．（2022·北京朝阳·一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h 米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求h关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．22．（2022·北京西城·一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．23．（2022·北京东城·二模）小强用竹篱笆围一个面积为9平方米的矩形小花园，他考虑至少4需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．(1)建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式__________；(2)列表：根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如下表：表中a=________，b=________；(3)描点、画出函数图象：,b)补充完整，并根据描出的如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点(2,a)，(92点画出该函数的图象；。

二次函数图象性质与综合应用（44题）一、单选题A．抛物线的对称轴为直线C．A，B两点之间的距离为2．（2023·浙江台州·统考中考真题）抛物线若120x x+<，则直线A．4个4．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过为自变量）与x轴有交点，则线段A．4个B6．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数函数值y均为正数，则aA ． ． ． ． ．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数2y ax bx =++轴交于点()()3,0,1,0AB −0；②若点()12,y −和(50a b c −+=；④4a c + ）A．1个B．212．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数()1,0，对称轴为直线=1x−，2A．1个B．213．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数A．点(1,2)在该函数的图象上B．当1−≤≤时，a=且13xC．该函数的图象与x轴一定有交点解；③若()11,t −，()24,t 是抛物线上的两点，则12t t <；④对于抛物线，223y ax bx =+−，当23x −<<时，2y 的取值范围是205y <<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题417．（2023·四川宜宾物线与y 轴的交点B①当31x −≤≤时，1y ≤；②当ABM 的面积为32③当ABM 为直角三角形时，在AOB 内存在唯一点1893+．三、解答题(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出PBC的最大面积及此时点(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线=时，求CD的长；①当CD CE②若CAD，CDE，CEF△的面积分别为，ABC外接圆的圆心为(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =−<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．27．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P −，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．28．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m −和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =−时，求a 和b 的值；时，求OBD与△(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值． (2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．(1)求点A，B的坐标；(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D．如图标及PDDB的最大值；≌；．求证：ACB BDEx(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1−、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上． ①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m −是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．38．（2023年重庆市中考数学真题（A 卷））如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++过点()1,3，(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，点E，求PDE△周长的最大值及此时点(3)在（2）中PDE△周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．40．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A −、()2,0B ，且经过点()2,6C −．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．41．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．42．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =−−的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥−，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．43．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数2(42)(96)44y a x a x a =++−−+（实数a 为常数）的图象为图象T ．(1)求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；(2)是否存在整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．44．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+−与x 轴交于(4,0)(2,0)A B −、两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA 标；(3)设直线135 :4l y kx k=+−交抛物线于点M、N，求证：无论存在一点E，使得MEN∠为直角．。