谈谈数学思维灵活性的培养
龙川县铁场中学戴彩华
在数学的教学中，培养学生数学思维的灵活性是极其重要的，学生有了这种思维品质，在遇到较难的数学问题时，就有多向、变通等解决问题的对策。如何才能更好地培养学生思维灵活性呢？我在教学实践中作了一些探索：
一、引导学生思维发散，培养思维灵活性。
发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、
适应未来生活所应具备的能力。在数学教学中，注意引导学生思维发散
通过一题多解、一题多思、一题多变等方式，提高学生思维的灵活性。
l 、一题多解，培养思维的灵活性。在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维的灵活性。
例：已知实数x,y 满足:(x + y) 2+ (y - 3) 2= 4 , 请学生用不同的方法求x + y 的最大值和最小值。
学生提供的不同的解法为:
(1) 数形结合法: 设x + y = t 则由圆心(- 1,3) 到直线x + y = t 的距︱-1+3-t
︱
离d = ︱︱≤2 ，从而x + y 的最大值和最小值分别是2+2 2 和2-2 2 。
(2) 三角换元法: 设x = - 1 + 2cosa,y = 3 + 2sina, a ∈[ 0 ，2π], 则有x + y = 2 + 2(cosa + sina) =2 + 2 2 sin(a+ π4 ). 当sin(a+ π4 )= ±1时，x + y 取得最大值和最小值，分别是 2 + 2 2 和2 - 2 2
(3) 均值不等式法:利用基本不等式︱a + b ︱≤2(a2 + b2 ) 得
︱(x+1)+(y-3) ︱≤2[(x+1) 2 + (y-3) 2 ] =2 2 即︱x+y-2 ︱≤2 2 于是可知x + y 的最大值和最小值分别是2 + 2 2 和2 - 2 2 。
用一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
2、一题多思，培养思维的灵活性。
牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生思维品质。
例:已知： sin sin 13 (1) ，cos cos 14 (2) ，由此可得到哪些结 论？ 让学生进行探素，然后相互讨论研究，各抒己见。
想法一： (1) 2＋(2) 2可得cos( ) 263 (两角差的余弦公式)
288
想法二： (1) ×(2) ，再和差化积：
结合想法一可知： sin(
sin(
)
24 25 )[cos(
) 1] 112
12 想法三：
(1) 2-(2) 2
再和差化积： 2cos(
)[cos(
) 1]
7 144
结合想法一可知：可得 cos(
)
7
25
想法四； (1)
，再和差化积约去公因式可得： tg
4
，进而用万能公式
可
(2) 2 3
求： sin( )、 cos( )、tg( ) 。
则 sin( ) 、 cos( ) 、 tg( ) 均可求。
通过一题多思，不但能开阔学生的解题思路，而且启发学生建立了课 本例题，习题之间的联系，使学生在做题时做到“遇新题，忆旧题，多思 考，善联想、多变换、找规律”。从而培养了学生的思维灵活性。
3 、一题多变，培养学生的灵活性。 一题多变是指改变原来例题中的某些条件或
结论，使之成为一个新例 题。对问题的条件和结论进行发散，进而从不同角度和用不同知识来解决 问题。
例: 求函数 y = x 2 - 4x + 3 (x ∈R)的最小值为 __________
我将条件进行如下变式：
① 变区间：将区间“ (x ∈R)”变为“ -1≤x ≤4”或“ -1≤x ≤0” 或“3≤x ≤4”；
想法五：
由 sin 2 cos 2
1消去 得： 4sin
3cos
25 24
想法六： (1)-(2)
消去 可得 4sin
25
3cos 24 (消参思想)
(1)+(2) 并逆用两角和的正弦公式： 并逆用两角差的正弦公式： 想法七： (1) ×3-(2) ×4： 3sin
4cos
sin(
2k
sin( 4)
sin( 4)
sin( 4)
4cos 3sin
sin( 4)
72
24 2 24
4
sin( ) 0( arctg ) ， (与已知矛盾舍去)或
即 2sin
2 2 2k 2 (k
cos 0 2
Z)
②变系数：将“系数4”变为“ a”即“ y x2 ax 3 ”；
③变自变量：将“ x”变为“ sinx ”即“ y sin2 x 4sinx 3”；④变系数、自变量：将“ y x2 4x 3 ”变为“ y sin2 x asin x 3 ” 在这种由简到繁的变式中，学生对二次函数求最值的理解更深刻了，增强了学生解综合题的能力，其思维的灵活性得到了提高。
二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养。
思维的灵活性、广阔性、敏捷供、深刻性、独创性和批判性等几个方面是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中，思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。所以，思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高。
1、思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。
例：方程sinx ＝lgx 的解有（）个。（A）1（B）2（C）3（D）4 学生
习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无措。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组y y l s g in x x的
公共解。运用数形结合思想转化为求函数图象交点问题，寻求几何性质y与lg x 代数
方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。
2 、思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质。要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知识，寻找解答关键。
例：已知抛物线在y 轴上的截距为3，对称轴为直线x＝－1，在x 轴上截得线段长为4，求抛物线方程。
解法一：截距为3，可选择一般式方程：y ax2 bx c（a 0），显然有c＝3，利用
其他条件可列方程组求a，b 值。
解法二：由对称轴为直线x＝－1，可选择顶点式方程：y a（x m）2 k（a 0）显然有m＝－1，利用其他条件可列方程组求a，k 的值。另外，由图象对称性可知x 轴上交点为（l ，0）和（－3，0）。
解法三：由截距为3，即过三点（0，3）、（l ，0）和（－3，0）, 可选择一般式方程：y ax 2 bx c（a 0），代入点坐标，列方程组求a，b，c 值。
解法四：由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式
x1＝－3，x2＝1。由截距y a（x x1）（x x2）（a 0）（必须与x 轴有交点），显然；
3，可求 a 值。
2，
在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔性 的基础上，充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。
3 、思维的敏捷性指思维活动的速度。它的指标有二个：一是速度， 二是正确
率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活 由于高考的时间有限，是否有其他更简单的、快速的解法呢？选择题 重结果不重过程，引导学生思考，得另一种解法。 解法二：特殊值法，当 x 1 3 时，
x 2
3
,x 3
9
,x 4 15
,x 5 33
,x 6 63
1 2
2 3
4 4
8 5
16 6
32
由此可推测 lim x n 2 ，故选 B ． 此题解法充分体现了思维灵活性，以简驭繁，用
x
特殊化思想求解， 解题迅速、正确。
4、思维的独创性指思维活动的独创程度，具有新颖善于应变的特 点。思维
的灵活性为思维的独创性提供了肥沃的土壤，为解题“灵感”的 闪现提供了燃料。
在教学实践中，我常发现，学生提出富有个性的见解的时候 , 往往是 “思维火花”闪烁的时候．
例：求值： sin 2100 sin 2 500 sin 100 sin500 一般解法： 左 1 1(cos200 cos100 0 ) sin100 sin 500
性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。
2(x n1
例：已知数列 x n 满足 x 2
2
x1
， x n x n 2) ， n 3,4, ．若 lim x n
x
则 x 1 (
A ．3
2 解法
一：∵
B ．
C ．
D ．
x n
2(x n1
x n 2 ) ，∴ x n n1
1 1
2(x
2)，即
x n x n 1
x n 1 x n 2
1
，
2
x n 1 x
是以( x 2
x 1 )为首项，
令
b n x n 1
x n ，则 b n b 1q n 1
(x 2
x n x 1 (x 2 x 1)
x
1
( x 21 ) ( x1 1
2
x 1 x 1
(x 3
1
2
)2
x 1 (
2 1 ( 1)n 1
2
1
x 2) ? (x 1
2
)2 x 1
21
1
2 1 x 1 )( ) 2 x n 1) 1
n1
? ( )n 1x 1
2
为公比 6 的等比数列，
n1 1 n 1 ( 12)n x 1
2x 1 3(
1)n 1 x 1 2) 3
∴ lim x n
x
1 ( 2) lim
2x1
( 1)n 1 x1
2x1
2 ，∴ x1 3
，故选
B.
x
3 2 3
3
0 0 1 0 0
1 cos600cos400( cos600cos400)
2
3
4
独特灵活的解法：令x sin 2100 sin2 500 sin 10 0 sin 50 0，
2 0 2 0 0 0 0 1
y cos2 100cos2 50 0cos100 cos500，则x y 2 cos400，x y cos400
2 即2x 3，则原式3
24
构造对偶式求解，思维灵活颇有独创性。
灵活的构想独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。我在教学中比较注重学生解题思路的独创性、新颖性的肯定和提倡，充分给予尝试、探索的机会，以活跃思维、发展个性。
5 、思维的批判性指思维活动中独立分析的程度，是否善于严格地估计思维材料和仔细地检查思维过程。我在数学教学中，鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见，注意引导和启发，提倡独立思考能力的培养。
35
例：⊿ ABC中，sinA ，cosB ，求cosC
5 13
大部分学生如此解：由sin A 3可得cosA 4；由cosB 5 6 7 8 9 10 11可得sinB 12 13 14，进
5 5 13 13
而可求cosC 16或cosC 56。
65 65
有学生提出异议：由sin A 3 2可知： A 3或A ，同理可知 B 。
3 4 15
由 A B 知： A 3不可能！即cosA 4取不到。故只有一解cosC 15。
4 5 65
学生对结论的可靠程度进行怀疑，在独立分析的基础上，灵活运用三
角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围，严密论证了三角函数值取
值的可能性。
三、灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导。
教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维
灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生
注人灵活思维的活力。
“导入出新”——良好的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入可
以激发学习兴趣和热情。以“创设情境”，“叙述故事”、“利用矛
盾”、“设置悬念”、“引用名句”、“巧用道具”等新颖多变的教学手
5 2 4 4 4
“错解剖析”——提供给学生题解过程，但其中有错误的地方。让学生反串角色，扮演教师批改作业。换一个角度来考察学生的知识掌握情况，寻找错误产生的原因，从而更好的加深对知识的掌握。
“例题变式”——从例题入手，变换条件寻求结论的不同之处；变换结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，寻求多题一解；变换问题的思考角度，寻求一题多解；??以“变”来培养学生灵活的思维。
“编制试卷”——列出考查知识点、考查重点、试题类型，让学生自己编制一份测验试卷．并给出解答。使学生站在老师的角度体验出题心理，更好的掌握知识结构和思维方式。
“撰写小论文”——根据学习体会、解题经验、考试心得等等，撰写学科研究性小论文。选择比较好的指导修改并编辑出版，激励学生善于进行总结，培养良好的思维品质。
以上只是我在培养学生思维灵活性方面的一些实践和体会，在今后的教学工作中，我将不断地探索。
几年来，所教学生在经过有目的的培养后，思维品质都有了很大的提高。相应的，学生的学习质量也有了很大提高。许多学生进入大学、甚至走上工作岗位后，常常来信谈及虽然数学知识有许多已经遗忘，但老师教的数学思维方式却常令他们在工作、学习、生活中得益。
2004年12 月段，使学生及早进入积极思维状态。