非线性微分方程

第六章 非线性微分方程和稳定性在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.§6.1 引言考虑微分方程(,)d f t dt=xx (6.1)其中函数(,)f t x 对n D R ∈⊆x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ϕ=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ϕ-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)Tn x x =x 的范数取1221()nii x ==∑x .如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足01δ-<x x就有0001(,,)(,,)t t t t ϕε-<x x x对一切t ≥t 0成立，则称(6.1)的解01(,,)t t x ϕ=x 是稳定的.否则是不稳定的.假设01(,,)t t ϕ=x x 是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要0x 满足011δ-<x x就有0001lim((,,)(,,))0t t t t t ϕ→∞-=x x x则称(6.1)的解01(,,)t t ϕ=x x 是渐近稳定的.为了简化讨论，通常把解01(,,)t t ϕ=x x 的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)t t t =x x x ,01()(,,)t t t ϕϕ=x 作如下变量代换.令()()y t t ϕ=-x (6.2) 则d dt y =()()(,())(,())d t d t f t t f t t dt dtϕϕ-=-x x (,())(,())(,)df t t f t t F t ϕϕ=+-=y y于是在变换(6.2)下，将方程(6.1)化成(,)d F t dt=yy (6.3)其中(,)(,())(,())F t f t t f t t ϕϕ=+-y y .这样关于(6.1)的解()t ϕ=x 的稳定性问题就化为(6.3)的零解y =O 的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(6.1)的零解x =O 的稳定性，即假设(,)f t O O ≡，并有如下定义:定义6.1 若对任意0ε>和00t ≥，存在0(,)t δδε=，使当0δ<x 时有 00(,,)t t ε<x x (6.4)对所有的0t t ≥成立，则称(6.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的. 定义6.2 若(6.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0, 使当01δ<x 时有00lim (,,)0t t t →∞=x x则称(6.1)的零解是渐近稳定的.例1 考察系统⎪⎩⎪⎨⎧-==x dtdyydt dx的零解的稳定性.解 对于一切0t ≥，方程组满足初始条件0(0)x x =,22000(0)(0)y y x y =+≠的解为 0000()cos sin ()sin cos x t x t y ty t x t y t=+⎧⎨=-+⎩ 对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有112222220000122200[()()][(cos sin )(sin cos )]()x t y t x t y t x t y t x y δε+=++-+=+<=故该系统的零解是稳定的.然而，由于112222220lim[()()]()0t x t y t x y →∞+=+≠所以该系统的零解不是渐近稳定的.例2 考察系统dxx dtdy y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 的零解的稳定性.解 在0t ≥上，取初值为00(0,,)x y 的解为：00()()ttx t x e y t y e--⎧=⎨=-⎩ 其中22000x y +≠对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有1122222222122200[()()]()()(0)t t x t y t x ey ex y t δε--+=+≤+<=≥故该系的零解是稳定的. 又因为1122222222lim[()()]lim()0t t t t x t y t x ey e --→∞→∞+=+=可见该系统的零解是渐近稳定的.例3 考察系统dxx dtdy y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 的零解的稳定性.解 方程组以00(0,,)x y 为初值的解为00()()ttx t x e y t y e ⎧=⎨=⎩(0)t ≥ 其中2200x y +≠. 111222222222220[()()]()()t t t x t y t x e y e x y e +=+=+由于函数e t 随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意0ε>，不管12220()x y +取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证1222[()()]x t y t +小于预先给定的正数ε，所以该系统的零解是不稳的.例4 考虑常系数线性微分方程组dxAx dt= (6.5)其中n x R ∈,A 是n ×n 阵.证明，若A 的所有特征根都具严格负实部，则(6.3)的零解是渐近稳定的.证明 不失一般性，我们取初始时刻00t =,设Φ(t )是(6.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足0(0)x x =的解()x t 可写成0()()x t t x =Φ (6.6)由A 的所有特征根都具负实部知lim ()0t t →∞Φ= (6.7)于是知存在t 1>0，使t >t 1时()1t Φ<.从而对任意0ε>，取0δε=则当00x δ<时，由(6.6)有00()()x t t x x ε≤Φ≤<, 1t t >(6.8)当t ∈[0,t 1]时, 由解对初值的连续相依性, 对上述0ε>，存在δ1 >0，当01x δ<时()x t O ε-<, 1[0,]t t ∈取01min{,}δδδ=，综合上面讨论知，当0x δ<时有()x t ε<, [0,]t ∈+∞即0x =是稳定的.由(6.7)知对任意0x 有0lim ()0t t x →∞Φ=，故0x =是渐近稳定的.。

非线性微分方程的近似解法
非线性微分方程的近似解法有多种，比如准则近似法、加权法、谱正
则近似法、最小二乘法、Adomian分解法、拉格朗日-奥尔德尼法、局部
拟合法等等。

准则近似法是基于一组谐振函数和它们的线性组合构造近似解的方法。

加权法又称多项式拟合法，是一种优化方法，基于给定的一组观测数据，建立一个最优的函数拟合模型，以此解决数值求解的问题。

谱正则近似法是把离散的谱系数和给定的函数值满足最小二乘法引入
一组约束条件，可以由此求得一个接近给定函数的正弦级数的近似解。

最小二乘法是一种误差平方和函数的极小化最优化方法，可以用来求
解非线性方程组。

Adomian分解法是一种将非线性方程化为线性方程组来求解的方法。

拉格朗日-奥尔德尼法是一种最优化方法，常用于求解连续可微分的
非线性优化问题。

局部拟合法是一种在计算上求解非线性方程的方法，要求该方程的解
函数在有限个指定点上满足拟合条件。

非线性微分方程是指其中的变量（或变量的函数）的次数大于一。

这些方程通常比线性微分方程（其中变量的次数为一）更难解决。

举个例子，下面是一个非线性微分方程的例子：
y'' + y^3 = 0
在这个方程中，y'' 表示y 的二次导数，y^3 表示y 的立方。

这是一个非线性微分方程，因为y 的次数为三。

要解决非线性微分方程，通常需要使用迭代方法，例如牛顿迭代法或二分法。

还有一些数值解法，例如Runge-Kutta 方法或常微分积分法，可以用来解决非线性微分方程。

尽管非线性微分方程很难解决，但它们在许多领域都非常重要，例如生物学、化学和物理学。

非线性微分方程解的稳定性非线性微分方程解的稳定性是数学物理等多个学科面对微分方程解时所要考虑的重要问题。

一、非线性微分方程解的稳定性1. 含有稳定性的概念非线性微分方程求解的稳定性是指改变求解方法或迭代步长时，得到的求解结果的差异是限定的范围，从而确定所使用的解法或迭代过程的可靠性。

2. 非线性微分方程求解的稳定性判断求解非线性微分方程的稳定性主要判断其所使用的解法的收敛性以及使用的迭代步长的可靠性。

二、影响非线性微分方程解稳定性的因素1. 微分方程本身特征由于求解非线性微分方程的过程是多参数的复杂迭代运算，它本身的复杂性也影响了求解的稳定性。

如方程的阶数较高、参数较多等，它们会加大求解过程的难度，影响对结果的准确性及稳定性。

2. 求解方法的限制由于当下的求解方法还不能充分支撑求解非线性微分方程解过程，因而会造成求解结果的不稳定性。

3. 天气因素除了方程本身及求解方法等原因之外，天气因素也会直接影响非线性微分方程求解的稳定性，对天气变化的相关参数实时的监测和分析，及时调整迭代过程的参数设置，也是影响求解稳定性的一个重要因素。

三、维持非线性微分方程解稳定性1. 加强数值分析求解非线性微分方程时可以使用更加先进、准确的数值分析技术，分析问题的不确定性等，进行参数预估，从而可以稳定微分方程求解的结果。

2. 针对性修改求解方法多种求解方法可以在一定程度上修正或调节求解结果的不稳定性，以及减轻重要的误差，从而避免非线性微分方程求解的稳定性出现明显的变化。

3. 建立状态变化分析模型根据各参数的变化和影响，建立状态变化分析模型，可以更好地把握系统的运行情况变化，从而保证非线性微分方程解的稳定性。

四、总结微分方程求解的稳定性是指求解结果随参数变化或求解方法变化的差异，其稳定性的确定及提高是面对此类问题必须认真考虑的，应通过加强数值分析，针对性修改求解方法，建立状态变化分析模型等多种方法，以确保非线性微分方程求解的稳定性及准确性。

一阶非线性微分方程组的解法微分方程是数学的一个重要分支，其应用范围十分广泛，并在物理、生物、工程等领域中扮演着重要的角色。

在微分方程的解法中，一阶非线性微分方程组是比较常见的一类。

一阶非线性微分方程组的一般形式如下：$$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=f(x,y) \\ \frac{dy}{dt}=g(x,y)\end{cases}$$其中，$x(t)$和$y(t)$是未知函数，$f(x,y)$和$g(x,y)$是已知函数。

解决这类方程组的关键在于找到它的特解或通解。

一、变量分离法对于一些简单的非线性微分方程组，我们可以采用变量分离法来求解。

具体步骤如下：1. 使方程组两边同时乘以一个合适的函数，使其变为可变量分离的形式。

例如，对于方程组$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=x^2y \\\frac{dy}{dt}=2xy^2 \end{cases}$，我们可以同时乘以$\frac{1}{x^2}$，得到$\begin{cases} \frac{1}{x^2}\frac{dx}{dt}=y \\ \frac{1}{y^2}\frac{dy}{dt}=2x \end{cases}$。

2. 将方程组变为可变量分离的形式后，我们可以对两个方程分别进行变量分离。

例如，对于上述式子，我们将第一个方程分离出来，得到$\frac{1}{x^2}\frac{dx}{dt}=y$，对两边同时积分得到$\ln|x|=-\frac{1}{2}y^2+C_1$。

同样地，将第二个方程分离出来，得到$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dt}=2x$，对两边同时积分得到$\ln|y|=x^2+C_2$。

3. 求解常数。

将上述两个式子联立，消去$\ln|x|$和$\ln|y|$，得到$(\ln|x|)^2=4(\ln|y|)+C_3$。

移项后可得到$\frac{x^2}{y^2}=C$，其中$C=e^{C_3}$。

第二章控制系统的数学模型第3讲非线性微分方程的线性化王燕舞为什么要进行线性化？严格的说，几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程，即输入、输出和扰动等之间的关系都是非线性的。

非线性微分方程的求解和控制系统性能研究非常复杂，而线性化后的模型可借助叠加原理的性质，简化系统分析。

因此，研究非线性微分方程的线性化具有较强的工程实用价值。

什么是非线性数学模型的线性化？在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法。

符合什么条件的系统可以进行线性化呢？▪条件1: 小偏差理论或小信号理论。

在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点附近作小范围的变化时，就满足这个条件。

▪条件2: 在工作点附近存在各阶导数或偏导数。

如何进行线性化呢？假设微分方程模型中包含非线性函数f(x)如图所示。

设y=f(x)，假设系统在工作点(x 0, y 0), y 0=f(x 0) 附近变化，且在该工作点处各阶导数均存在，在(x 0, y 0)附近将y 展开成泰勒级数：)()()()(000xx x x x f x f x f y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==若偏差Δx=x-x 0很小，可忽略级数中高阶无穷小项，上式化为)()()()()()(00000x xK x f x x x x x f x f x f y -+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+≈=K 表示y=f(x)曲线在(x 0,y 0)处切线的斜率。

因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。

yy=f(x)y 0x 0x ⋯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+20022)()(!21x x x x x f xK x f x f y y y ∆=-=-=∆)()(00如何进行线性化呢？小偏差法：在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中的高阶项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。

液位流体过程。

如图，Q1为流入量，也是输入量；Q 2为流出量；h 为液位高度，为系统输出；C 为液缸的截面积。