圆锥曲线技巧---齐次化处理一、解答题1．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【答案】M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．【解析】试题分析：由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决．解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，设，OA、OB的斜率分别为k OA、k OB．∴由OA⊥AB，得①依点A在AB上，得直线AB方程②由OM⊥AB，得直线OM方程③设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式，可得﹣•（﹣）+=﹣x 2+，整理得④由③、④两式得由①式知，y A y B =﹣16p 2∴x 2+y 2﹣4px=0因为A 、B 是原点以外的两点，所以x ＞0所以M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．考点：轨迹方程；抛物线的应用．2．已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的焦点是(、，且椭圆经过点2)2。
（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．【答案】（1）2214x y +=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设出椭圆方程，由题意可得223a b -=，再由椭圆的定义可得2a=4，解得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意．不妨设直线l 的方程为x=ky+m ，代入椭圆方程，消去x ，运用韦达定理和由题意可得MA ⊥MB ，向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得65m =或m=2，即可得到定点试题解析：（1）椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>∴223a b -=，24a =+=+=所以所求椭圆C 的方程为2214x y +=（2）方法一（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意.（2）不妨设直线l 的方程为x ky m =+．由22,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224kmy y k +=-+……①,212244m y y k -=+………②因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=．由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=- ，得1212(2)(2)0x x y y --+=．将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=.………③将①②代入③，得225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =（舍）．综上，直线l 经过定点6(,0).5方法二证明：(1)当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5.（2）当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M .由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(41)84120k x kmx m +++-=.2216(41)0k m ∆=-+>1228,41km x x k -+=+……①21224441m x x k -=+…….②由题意可知0MA MB ⋅=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=- 1122,.y kx m y kx m =+=+可得1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=.整理得221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++=③把①②代入③整理得222121650,41k km m k ++=+由题意可知22121650,k km m ++=解得62,.5m k m k =-=-（i ）当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉.（ii ）65m k =-时，即6(5y k x =-，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意.综上所述，直线l 过定点6(,0)5考点：1.椭圆方程；2.直线和椭圆相交的综合问题3．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.【答案】（1）2212y x -=；（2）36(1)02x y ---=，或36(1)02x y +--=..【解析】试题分析：（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得221,2a b ==，即可求出1C 的方程；（2）由（1）知2C的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+，显然，l 不是直线y=0.设l 的方程为1122(,),(,)A x y B x y由22{163x my x y =++=得22(2)30m y ++-=，因1122),,)AP x y BP x y == 由题意知0AP BP ⋅=，所以12121212))40x x x x y y y y -++-++=，将韦达定理得到的结果代入12121212))40x x x x y y y y -++-++=式整理得22110m -+=，解得12m =-或3612m =-+，即可求出直线l 的方程.（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为00x y -，切线方程为000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=.（2）由（1）知2C的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+，显然，l 不是直线y=0.设l 的方程为1122(,),(,)A x yB x y由22{163x my x y =++=得22(2)30m y ++-=，又12,y y是方程的根，因此1221222{32y y m y y m +=-+-=+①②，由1122x my x my =+=+得12122221212122()2{66()32x x m y y m m x x m y y y y m +=++=+-=++=+③④因1122),,)AP x y BP x y =-= 由题意知0AP BP ⋅=，所以12121212))40x x x x y y y y -++++=⑤，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+-=，解得3612m =-或3612m =-+，因此直线l的方程为(1)02x y ---=，或(1)02x y +--=.考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.4．（2015•山西四模）分别过椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）左、右焦点F 1、F 2的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，且满足k 1+k 2=k 3+k 4，已知当l 1与x 轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）．（2）存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E的方程为．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．5．已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】(1)221 4x y+=.(2)证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，2），（t，2-）.则1222122k k t t-++=-=-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++-=由题设可知()22=16410k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+()()12121221kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.即()()22244821104141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即()1122m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.6．已知点P 3(1,2-是椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之和为1，问:直线l 是否过定点?证明你的结论【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 过定点(40)-，．证明见解析.【分析】（1）由椭圆定义可知2a =，再代入P 3(1,2-即可求出b ，写出椭圆方程；（2）设直线l 的方程y kx m =+，联立椭圆方程，求出k 和m 之间的关系，即可求出定点.【详解】（1）由12||||4PF PF +=，得2a =，又312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在椭圆上，代入椭圆方程有221914a b+=，解得b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，11()A x y ，，11()B x y -，，11121332211y y k k x ---+==+，解得14x =-，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由2234120y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(34)84120k x kmx m +++-=，122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，22430k m ∆=-+>．由121k k +=，整理得12125(21)()2402k x x k m x x m ⎛⎫-++-++-= ⎪⎝⎭，即(4)(223)0m k m k ---=．当32m k =+时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当4m k =时，22430k m ∆=-+>有解，此时直线l ：(4)y k x =+过定点(40)-，．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.7．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()0,1A -，且离心率为22．（1）求椭圆E 的方程；（2）若经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．【答案】（1）2212x y +=；（2）所以直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．【分析】（1）运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，进而得到椭圆方程；（2）把直线PQ 的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【详解】解：（1）由题意知22c a =，1b =，结合222a b c =+，解得a =，∴椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题设知，直线PQ 的斜率不为0，则直线PQ 的方程为(1)1y k x =-+(2)k ≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0+--+-=k x k k x k k ，由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -+=+，1222(2)12k k x x k-=+，从而直线AP 与AQ 的斜率之和：121212121122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)()2(2)x x k k k k x x x x +=+-+=+-4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-．所以直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．8．已知椭圆方程为2218y x +=，射线y =（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．（1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ.【分析】(1)设0k >,求得M 的坐标,则可表示出AM 的直线方程和BM 的直线方程,分别与椭圆的方程联立求得A x 和B x ,进而求得AB 的斜率;(2)设出直线AB 的方程与椭圆方程联立消去y ,利用判别式大于0求得m 的范围,进而表示出三角形AMB 的面积,利用m 的范围确定面积的最大值.【详解】（Ⅰ）斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M（2，2）．直线MA 方程为22()2y k x -=-，分别与椭圆方程联立，可解出22482A k x k -=-+，同理得，直线MB 方程为22(2y k x -=--．2224282B k x k +=-+∴A B AB A By y k x x -==-.（Ⅱ）设直线AB方程为y m =+，与2218y x +=联立，消去y得216x +2(8)0m +-=．由∆＞0得一4＜m ＜4，且m ≠0，点M 到AB 的距离为3md =．3AB ===设△AMB 的面积为S ．∴()22222211116||162432322S AB d m m ⎛⎫==-≤⋅= ⎪⎝⎭．当m =±max S =．【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生分析问题和解决问题的能力.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.9．已知椭圆两焦点分别为F 1、F 2、P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；（3）求△PAB 面积的最大值．【答案】（1）(．（2．（3.【解析】【分析】（1）根据121PF PF ⋅= ，用坐标表示，结合点P （x ，y ）在曲线椭圆22124x y +=上，即可求得点P 的坐标；（2）设出BP 的直线方程与椭圆方程联立，从而可求A 、B 的坐标，进而可得AB 的斜率为定值；（3）设AB的直线方程：y m =+，与椭圆方程联立，可确定m -＜，求出P 到AB 的距离，进而可表示△PAB 面积，利用基本不等式可求△PAB 面积的最大值．【详解】（1）由题可得(10F，(20F ，设P 0（x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）则()100PF x y =--，()200PF x y =- ，∴()22120021PF PF x y ⋅=--= ，∵点P （x 0，y 0）在曲线上，则2200124x y +=，∴220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =则点P的坐标为(1．（2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k （k ＞0），则BP的直线方程为：()1y k x =-．由()221124y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得())22222)40k x k k x k ++-+-=，设B （x B ，y B ），则((222222211222B B k k k k k x x k k k ---+===+++，，同理可得2222A k x k +-=+，则22A B x x k-=+，()()28112A B A B k y y k x k x k -=----=+．所以AB的斜率A B AB A By y k x x -==-为定值．（3）设AB的直线方程：y m =+．由22124y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22440x m ++-=，由()22)1640m =--＞，得m -＜P 到AB的距离为d =则12PAB S AB d =⋅==≤=．当且仅当(2m =±∈-取等号∴△PAB．【点睛】本题以椭圆的标准方程及向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积计算及利用基本不等式求最值，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行解题．10．已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点为，且过点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 作倾斜角互补的两条不同直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率是定值.【答案】（Ⅰ）22142y x +=;（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）设椭圆C 的方程为：()222210y x a b a b+=＞＞，利用已知条件，求出a ，b ，即可得出椭圆C 的方程；（2）设出直线PA 、PB 的方程与椭圆方程联立，求出A ，B 的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB 的斜率为定值．【详解】（Ⅰ）设椭圆方程为22221y x a b+=（0a b >>）则有22211a b +=又222a b =+∴222112b b +=+∴4220b b --=解得22b =∴24a =∴椭圆C 的方程为22142y x +=或解：椭圆的另一焦点为(0,由24a ==得2a =又c =∴22b =∴椭圆C 的方程为22142y x +=（Ⅱ）依题意，直线PA ，PB 都不垂直于x 轴设直线PA方程为()1y k x -=-，则直线PB方程为()1y k x =--由()22124y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22222))40k x k k x k ++-++-=∵22(2)412A k x k -⋅=+∴22(2)42A k x k +-=+同理22(2)42B k x k --=+∴(2)(2)()2A B A B A B AB A B A B A By y kx k kx k k x x k k x x x x x x -+---+-===---故直线AB 的斜率是定值【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．11．已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅= ，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值．【答案】（1）(；（2）证明见解析．【分析】（1）由已知可解出椭圆方程，然后设出()00P x y ，，结合121PF PF ⋅= ，即可解出点P 的坐标；（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA ，PB 斜率互为相反数，设PB 的直线方程为()1y k x -=-，与椭圆方程联立，即可解出222222B k x k--=+，同理可得222222A k x k +-=+，然后解出A B y y -，即可算出AB 的斜率AB k =【详解】解：（1）设椭圆的方程为22221y x a b+=，由题意可得b =，22c a =，即a =，222a c -=c ∴=，2a =∴椭圆方程为22142y x +=，∴焦点坐标为(0，(0，，设()0000(00)P x y x y >>，，，则()100PF x y =--，()200PF x y =- ，()22120021PF PF x y ∴⋅=--= ， 点P 在曲线上，则2200142y x +=，220042y x -∴=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(；（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA ，PB 斜率互为相反数，设PB 的斜率为(0)k k >，则PB的直线方程为()1y k x -=-，由()221124y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得())22222)40kx k k x k ++-+--=，设(),B B B x y，则(2222222122B k k k x k k --=-=++，同理可得2222A k x k +-=+，则22A B x x k-=+，()()28112A B A B k y y k x k x k -=----=+，所以AB的斜率A BABA By ykx x-==-【点睛】本题考查了椭圆的方程和性质，考查椭圆和直线的位置关系，属于较难题．12．如图，椭圆C ：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】试题分析：（1）由题意将点P（1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB 的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解：（1）椭圆C ：经过点P（1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA 的斜率k 1=，直线PB 的斜率为k 2=所以k 1+k 2=+=2×=2k 3，故存在常数λ=2符合题意考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．视频13．如图，椭圆C:22221x y a b +=（a ＞b ＞0）经过点P （2,3），离心率e=12，直线l 的方程为y=4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过（0,3）的任一弦（不经过点P ）．设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得12311k k k λ+=？若存在，求λ的值．【答案】（Ⅰ）216x +212y =1（Ⅱ）2【解析】试题分析：（Ⅰ）通过将点P （2，3）代入椭圆方程，结合离心率计算即得结论；（Ⅱ）分AB 斜率存在、不存在两种情况讨论，结合韦达定理计算即得结论试题解析：（Ⅰ）由已知得22222491,1,2a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a=4，．所以椭圆C 的方程为216x +212y =1．（Ⅱ）当直线AB 不存在斜率时，A （，B （），M （0,4），此时k2=302-=32-，k 1=302---=32+，k 3=4302--=-12，11k +21k =-4，可得λ=2．当直线AB 存在斜率时，可设为k （k≠0），则直线AB 的方程为y=kx+3．设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），联立直线AB 与椭圆的方程，得221,16123,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，化简整理得，（4k 2+3）x 2+24kx-12=0，所以x 1+x 2=22443k k -+，x 1x 2=21243k -+，而11k +21k =1123x y --+2223x y --=112x kx -+222x kx -=12121222()x x x x kx x -+=24k k-．又M 点坐标为（1k ,4），所以31k =1243k --=12k k -．故可得λ=2．因此，存在常数2，使得11k +21k =3k λ恒成立．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的右顶点为（2，0），离心率为32，P 是直线x ＝4上任一点，过点M （1，0）且与PM 垂直的直线交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若P 点的坐标为（4，3），求弦AB 的长度；（3）设直线PA ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1+k 3＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2；（3）存在，λ＝2，计算见解析【分析】(1)根据题意可知c ，再由离心率公式可得a ，然后根据222b a c =-得出b ，即可得椭圆的方程；(2)根据P 点的坐标写出直线AB 方程，与椭圆联立解得,A B 坐标，利用两点间距离公式即可求得弦AB 的长度；(3)先假设存在，后分直线AB 斜率存在和不存在两种情况进行求解，直线AB 斜率不存在时容易的R λ∈,直线AB 斜率存在时，设,A B 点坐标，与椭圆联立，再分别求出123,,k k k ，进行化简整理即可得到λ的值.【详解】（1）由题知2a =，32c e a ==，c ∴=，2221b a c =-=，∴椭圆方程为2214x y +=．（2）(1,0)M Q ，(4,3)P 1MP k ∴=，∵直线AB 与直线PM 垂直，∴1AB k =-，∴直线AB 方程0(1)y x -=--，即1y x =-+，联立22114y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2580x x -=0x ∴=或85,(0,1)A ∴，83,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，||AB∴=（3）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=．当直线AB 的斜率不存在时，其方程为1x =，代入椭圆方程得31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛- ⎝⎭，此时(4,0)P ，易得1320k k k +==,当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y代入椭圆方程得（1+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣4＝0，12x x ∴+22814k k =+，21224414k x x k-=+，直线PM 方程为()11y x k =--，则34,P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭21k k=-,11134y k k x +=-,23234y k k x +=-,132k k k λ+=,121233144y y k k x x k λ++⎛⎫+=- ⎪--⎝⎭，即()()()()12211233()4444y x y x k k x x k λ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭=---，化简得：()()1221121212324416x y x y x x k k x x x x k λ+++-=--++，将12x x +22814k k =+，21224414k x x k -=+，()111y k x =-，()221y k x =-，代入并化简得：2k k λ-=-2λ∴=．综上：2λ=．【点睛】本题考查的是椭圆标准方程基本量的运算以及椭圆的几何性质、直线与椭圆的应用和圆锥曲线中的定值问题，是难题.15．已知椭圆C:22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，0）、F 2，0）.点M （1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m≠3）.过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点，设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，试求m，n满足的关系式.【答案】（1）2213x y+=；（2）m－n－1＝0【解析】试题分析：（1）利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；（2）设出过M的直线l的方程，将l与椭圆C联立，得到两交点坐标关系，然后将k1＋k3表示为直线l斜率的关系式，化简后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的关系式.试题解析：（1）由题意，c，b＝1，所以a=故椭圆C的方程为221 3x y+=（2）①当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，代入椭圆得，y＝±3不妨设A（1，63），B（1，－63）因为k1＋k3＝66 223322-++＝2又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1所以m，n的关系式为23nm--＝1，即m－n－1＝0②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x－1）将y＝k（x－1）代入221 3x y+=，整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则22 121222633,3131k kx x x xk k-+==++又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）所以k 1＋k 3＝121221121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x x x x x ----+--+=----＝12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+----++＝121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++-++＝222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++--⨯+++＝222(126)126k k ++＝2所以2k 2＝2，所以k 2＝23n m --＝1所以m ，n 的关系式为m －n －1＝0综上所述，m ，n 的关系式为m －n －1＝0.考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，16．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(F F 、，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N (3，2)，记直线AN 、BN 的斜率分别为k 1、k 2,求证：k 1+k 2为定值．【答案】(1)22 1.3x y +=(2)见证明【分析】（1）根据几何条件得,a b 即可，（2）先考虑斜率不存在时特殊情况，再考虑斜率存在情况，设直线方程以及交点坐标，化简12k k +，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理代入化简即得结果.【详解】(1)依题意，222,c a b =-=由已知得1b OM ==,解得a =所以椭圆的方程为22 1.3x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，由221,1,3x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得61,.3x y ==±设126622331,,1,,23322A B k k 则-+⎛⎫⎛-+=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1,y k x =-代入221,3x y +=化简整理得()2222316330.k x k x k +-+-=依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()1122,,(,),A x y B x y 则22121222633,.3131k k x x x x k k -+==++又()()11221,1,y k x y k x =-=-故()()()()()()1221121212122323223333y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----=()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦-++=22222222226336122246313131633933131k k k k k k k k k k k ⎡⎤--⨯+⨯-⨯+⎢⎥+++⎣⎦--⨯+++=()()2212212621k k +=+为定值.综上，12k k +为定值2.【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.17．已知椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且该椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1×k2的值．【答案】（Ⅰ）+y2=1（Ⅱ）【解析】试题分析:（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；从而求椭圆E的方程；（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，点N的纵坐标为0，故不成立；当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；联立方程得（+4）y2﹣=0；从而解得y M=；可得M（，），N（，）；从而可得（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，从而解得．解：（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；解得，a2=4，b2=1；故椭圆E的方程为+y2=1；（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，直线MN与y轴垂直，则点N的纵坐标为0，故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；由得，（+4）y2﹣=0；解得，y M=；∴M （，），同理N （，），由直线MN 与y 轴垂直，则=；∴（k 2﹣k 1）（4k 2k 1﹣1）=0，∴k 2k 1=．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．18．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆的左顶点，点B 为上顶点，|AB |且|AF 1|+|AF 2|＝4.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2作直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记AM 、AN 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1+k 2＝3，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）310x y +-=【分析】（1）依题意得到关于a 、b 的方程组，解得即可；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线l 的方程为1x my =+，联立直线与曲线方程消元，列出韦达定理，由123k k +=，即1212322y y x x +=++，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）依题意可得()()4a c a c ⎧++-=⎪=解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩23143x y +=（2）由（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程得231143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+因为111x my =+，221x my =+，所以122834x x m +=+，212212434m x x m -+=+因为123k k +=，即1212322y yx x +=++，所以()()121212122336120my y y y x x x x ++--+-=代入得22222961248233612034343434m m m m m m m ---+⨯+⨯-⨯-⨯=++++解得3m =-即l ：310x y +-=【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.19．设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）y ＝x ＋7..【分析】（1）设,A B 两点坐标，代入抛物线方程相减后可求得AB 的斜率；（2）由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可求得切点M 坐标，设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，代入抛物线方程可得AB 中点为(2,2)N m +，AM ⊥BM 等价于12MN AB =，这样可求得m 值．【详解】解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，22121244x x y y ==，，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-.(2)由24x y =，得2x y '=.设M (x 3，y 3)，由题设知312x =，解得x 3＝2，于是M (2，1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入24x y =得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，1,22x =±从而12AB x =-=由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1)m +，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题时设直线方程方程为y ＝x ＋m 是解题关键．通过它与抛物线方程联立，可得AB 中点N 的横坐标，从而得MN ，而AM ⊥BM 等价于12MN AB =，因此可求得m ．本题解法中没有用到特殊方法，求切点坐标，求直线方程，求弦长等都是最基本的方法，务必牢固掌握．20．椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点P 是圆()2220x y rr +=>上异于点(),0A r -和(),0B r 的任一点，直线AP 与椭圆E 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆E 交于点S ，T .设O 为坐标原点，直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率分别为OM k ，ON k ，OS k ，OT k .问：是否存在常数r ，使得OM ON OS OT k k k k +=+恒成立？若存在，求r 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，r =.【分析】（1）由已知条件列出关于,,a b c 的方程组，解之可得椭圆标准方程；（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，设直线AP 方程为()y k x r =+，()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入OM ON k k +，同理用1k-代替k ，r -代替r ，得OS OT k k +，由两者相等可求得r ．【详解】（1）设椭圆焦距为()20c c >，由22212b c a c a ⎧+=⎪⎪=⎨=，解得2a =，b =.∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，设直线AP 方程为()y k x r =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由22()143y k x r x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()()222223484120k x k rx k r +++-=.∴2122834k r x x k -+=+，2212241234k r x x k-=+.①又()()12121212N O O M k x r k x r y y k k x x x x +++=+=+()1212122kx x kr x x x x ++=，②从而①代入②得2263OM ON k k k k r -+=-.又AP BP ⊥，以1k -替代k ，以r -替代r ，同理可得2263OS OTk k k r k +=-，∴22226633k k k r r k-=--，∴()()22130k r +-=对0k≠恒成立，解得r =或r =，经检验，此时0∆>，因此存在r =.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系．在直线与椭圆相交问题中常常采用设而不求的思想方法．本题考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．21．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点2)2，设椭圆Γ的上顶点为B ，右顶点和右焦点分别为A ，F ，且56AFB π∠=．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线:(1)l y kx n n =+≠±交椭圆Γ于P ，Q 两点，设直线BP 与直线BQ 的斜率分别为BP k ，BQ k ，若1BP BQ k k +=-，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．【详解】（1）因为椭圆Γ过点22，所以222112a b +=①，设O 为坐标原点，因为56AFB π∠=，所以6BFO π∠=，又||BF a ==，所以12b a =②，将①②联立解得21a b =⎧⎨=⎩（负值舍去），所以椭圆Γ的标准方程为2214x y +=．（2）由（1）可知(0,1)B ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ．将y kx n =+代入2214xy +=，消去y 可得222(14)8440k x knx n +++-=，则22222(8)4(14)(44)16(41)0kn k n k n ∆=-+-=-+>，122814kn x x k -+=+，21224414n x x k -=+，所以122121************11()()2(1)()BP BQy y x kx n x x kx n x kx x n x x k k x x x x x x --+-++-+-++=+==222224482(1)8(1)214141444(1)(1)114n knk n k n k k k n n n n k --⋅+-⋅-++====--+-++，所以21n k =--，此时2216[4(21)1]640k k k ∆=---+=->，所以k 0<，此时直线l 的方程为21y kx k =--，即(2)1y k x =--，令2x =，可得1y =-，所以直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点26,13M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆的方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为1k ，2k ，若1214k k =-，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）直线PQ 过定点()1,0.【分析】（1）根据点在椭圆上以及离心率列出方程组，求解出22,a b 的值则椭圆方程可求；（2）考虑直线PQ 的斜率是否存在，若斜率存在，设出直线PQ 的方程y kx m =+以及点,P Q 的坐标，根据1214k k =-求解出,k m 之间的关系从而确定出定点坐标；若斜率不存在可直接进行验证，即可得到最终结果.【详解】（1）因为椭圆过点,13M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭且离心率为12，所以22222811312a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）因为()2,0A -，设()()1122,,,P x y Q x y ，当直线的斜率存在时，设直线:PQ y kx m =+，因为223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，又因为1214k k =-，所以()()()()()()22121212121212121212222244kx m kx m k x x km x x m y y x x x x x x x x +++++⋅===-+++++++，所以222222222241283414121612164k m k k m m k m m km k --++=---++，所以2220m mk k --=，所以()()20m k m k -+=，所以2m k =或m k =-，当2m k =时，():2PQ y k x =+，此时过点()2,0A -不符合题意，当m k =-时，():1PQ y k x =-，此时过定点()1,0；当直线的斜率不存在时，:1PQ l x =，所以,P Q 坐标为331,,1,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()3312212124APAQkk -⋅=⋅=-----，满足要求，综上可知：直线PQ 过定点()1,0.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合问题，涉及椭圆方程求解以及椭圆中直线过定点问题，主要考查学生的转化与计算能力，难度较难.23．已知圆22:(1)16D x y ++=，圆C 过点(1,0)B 且与圆D 相切，设圆心C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点(2,0)A -，,P Q 为曲线E 上的两点（不与点A 重合），记直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若122k k =，请判断直线PQ 是否过定点.若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=(2)见解析【分析】（1）结合题意发现圆心C 的轨迹是以D ，B 为焦点的椭圆，建立方程，即可．（2）设出直线PQ 的方程，建立方程，将直线方程代入椭圆方程，结合根与系数关系，得到m ，k 的关系式，计算定点，即可．【详解】（1）设圆C 的半径为r ，依题意，|CB |＝r ，|CD |＝4－r ，进而有|CB |＋|CD |＝4，所以圆心C 的轨迹是以D ，B 为焦点的椭圆，所以圆心C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）设点P Q 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，设直线PQ 的方程为y kx m =+（直线PQ 的斜率存在），可得()()()()1212222kx m kx m x x ++=++，整理为：()()()2212122480k x x km x x m -+-++-=，。
