圆锥曲线试题及答案

椭圆

一、选择题

1．(2012·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )

A.

x 216＋y 2

12

＝1 B.

x 2

12

＋y 28

＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 2

12＋y 2

4＝1 解析：选C.由题意知椭圆的焦点在x 轴上，

故可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)．

由题意知⎩⎪⎨⎪⎧

2c ＝4，a

2

c

＝4，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

c ＝2，

a 2

＝8，

∴b 2

＝a 2

－c 2

＝4，故所求椭圆方程为x 28＋y 2

4

＝1.

2．(2011·高考浙江卷)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2

－y 24

＝1有公共

的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB

三等分，则( )

A ．a 2＝132

B ．a 2

＝13

C ．b 2＝12

D ．b 2

＝2

解析：选C.由题意知，a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4

＝0，双曲

线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4

＝0，

∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2

－5＝2

3

a ， 解得a 2＝112，

b 2

＝12

.

3．椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点

P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )

A ．(0，

2

2

] B ．(0，1

2]

C ．[2－1,1)

D ．[1

2

，1)

解析：选D.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝a －ex 0.又点F 在AP 的垂直平分线上，∴a －ex 0＝

a 2

c

－c ，因此x 0＝a ac －a 2＋c 2

c 2

.

又－a ≤x 0

c 2

∴－1≤e 2＋e －1e 2

<1.又0

2

≤e <1.

4．已知椭圆x 24＋y 2

3

＝1的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B

的动点P ，若直线PA 的斜率k PA ＝1

2

，则直线PB 的斜率k PB 为( )

A.34

B.32 C ．－34 D ．－32

解析：选D.设点P (x 1，y 1)(x 1≠±2)，

则k PA ＝

y 1x 1＋2，k PB ＝y 1

x 1－2

， ∵k PA ·k PB ＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21

x 21－4＝31－

x 21

4

x 2

1－4＝－3

4

，

∴k PB ＝－34k PA ＝－34×2＝－3

2

，故应选D.

5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，以其左焦点F 1(－c,0)为圆心，以a －c 为半径作圆，

过上顶点B 2(0，b )作圆F 1的两条切线，设切点分别为M ，N .若过两个切点M ，N 的直线恰好经过下顶点B 1(0，－b )，则椭圆E 的离心率为( )

A.2－1

B.3－1

C.5－2

D.7－3

解析：选B.由题意得，圆F 1: (x ＋c )2＋y 2＝(a －c )2

. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，

则切线B 2M ：(x 1＋c )(x ＋c )＋y 1y ＝(a －c )2

，

切线B 2N ：(x 2＋c )(x ＋c )＋y 2y ＝(a －c )2

. 又两条切线都过点B 2(0，b )，

所以c (x 1＋c )＋y 1b ＝(a －c )2，c (x 2＋c )＋y 2b ＝(a －c )2

.

所以直线c (x ＋c )＋yb ＝(a －c )2

就是过点M 、N 的直线．

又直线MN 过点B 1(0，－b )，代入化简得c 2－b 2＝(a －c )2

， 所以e ＝3－1. 二、填空题

6．(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，

F 2在x 轴上，离心率为2

2

.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C

的方程为__________．

解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1，

由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝1

2

.

由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，

故a ＝4.∴b 2

＝8.

∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2

8＝1.

答案：x 216＋y 2

8

＝1

7．(2011·高考江西卷)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2

＝1