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原子物理学 第三章

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原子物理3第三章详解

原子物理3第三章详解


为 mv） ，就有一定的波长λ和频率 的波与之相对应，这种与
实物粒子相对应的波叫物质波（或德布罗意波），这些量之间
的关系与光波相类似为： 粒子性
P
Hale Waihona Puke h波动性E h
h
P
h
h
P
mv
… … 著名的德布罗意关系式。
——德布罗意波波长
（2）德布罗意波长的计算:
（a）若 v << c 则有
h m0v
3.1 波粒二象性及实验验证 1、经典物理中的波和粒子
•波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传播方式。
•在经典物理中，无法同时用波和粒子这两个概念去描述 同一现象。
•粒子可视为质点，具有完全的定域性，其位置、动量 可精确测定。 •波具有空间扩展性，其特征量为波长和频率，也可精确测定。
2.光的波粒二象性
里德伯给出的经验公式：
RhcZ *2 En n2
En
Rhc
n
2
Rhc n*2
Z *
T
Z 2R n2
R
(
n Z
)2
R n2
Z* 是价电子感受到的原子实的有效电荷，对于氢原子Z*=1， 对于碱金属原子，由于原子实极化和轨道贯穿效应的存在， 使得Z*>1.
因为Z*>1，所以n*<n。令n*=n-△
路易.德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一 样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光 才具有的，实物粒子也具有二象性。
德布罗意说道：“整个世纪（十九世纪）以来，在辐 射理论（光学）中，比起波动的研究方法来，是过于忽视了 粒子的研究方法；在实物粒子的理论上，是否发生了相反的 错误呢？是不是我们把关于“粒子”的图象想的太多，而过 分地忽视了波的图象？”
原子物理第三章

原子物理第三章


3
1. 中心力场薛定谔方程及其解
假设氢原子核不动（原点）
电子的静电势能 中心力场 设 r , V =0 球对称性 采用球坐标系描 述粒子的位置
e V (r ) 4 0 r
1
2
4
1 2 1 ＝ 2 r 2 sin r r r r sin 2 1 2 2 2 r sin
2 2m d e l (l 1) rR 2 E rR 0 2 2 dr 4 0 r r r 得 令 Rr r 2 2 2m d e l l 1 r 2 E r 0 2 2 dr 4 0 r r 2
（3.1.8a）
方程（3.1.8a）在 r 时解的渐进行为
E>0 方程
d 2m r 2 E r 0 2 dr
2
10
其一般解为
r c1e c2e
ikr
ikr
即
r 1 exp ikr exp it
1
若乘以与时间有关的因子
1 ikr ikr Rr c1e c2e r
4 0
r
He
3a0 3 a0 2 2 4
25
3. 原子波函数的宇称
波函数的宇称: 波函数空间反演的对称性（对坐标 原点反演）
空间反演变化：对函数作 r－r 变换 ˆ 宇称算符 ˆ P p (r) (r)
再一次运算
ˆ P
2 ˆ p (r ) (r )
的本征值 = 1
2 2
2 l 2
同样，方程两边等于同一常数 l(l+1) 才成立 右边
《原子物理学》(褚圣麟)第三章 量子力学初步

《原子物理学》(褚圣麟)第三章 量子力学初步


波程差：
n 2 d sin ( 2 n 1) 2
当 2 d sin n 时加强----布拉格公式。
第3章 量子力学初步
可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。
对于通过电压V加速的电子：

1 . 225 nm V ( 伏特 )
n 1, 2
第3章 量子力学初步
1．实验装置
第3章 量子力学初步
2．实验结果 (1)当V不变时，I与的 关系如图 不同的，I不同；在有 的上将出现极值。
(2)当不变时，I与V的 关系如图 当V改变时，I亦变；而 且随了V周期性的变化
V
第3章 量子力学初步
3．实验解释 晶体结构：
第3章 量子力学初步
又

d


2x

p x p


2x
2x p x p h
x p x h / 2
x p x h / 2
第3章 量子力学初步 狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝 宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了 变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子
p / 2
E t / 2
第3章 量子力学初步 三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子 例1： 设电子与 的子弹均沿x方向运动， m 0 . 01 kg 测定x 坐标所能达到的最大准确度。 0 .01 % ， 精确度为 m / s ，求 x 500
dW ( x , y , z , t ) ( x , y , z , t ) dV
讨 论
1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一 2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率 3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验
杨福家-原子物理-第四版-第三章

杨福家-原子物理-第四版-第三章


波长的测定
拍频： 1 2 观察一个拍的时间： 1 则
t 1
或
t 1
又
x V t
=
V
即
x 1 V

,
V

2

2
如果两者频率相等， 则没有拍出现。但 是要完全肯定没有 拍现象出现，必须 观察无限长时间才 行，而此时所测量 的波已经在空间无 限扩展。
不仅辐射具有二象性 ，而且一切实物粒子也具 有二象性。
《原子物理学》(Atomic Physics)
第三章 量子力学导论
注意：这一假设建立了对实物粒子的一种新的图象 ，这种图象既允许它.表现微粒性，又允许它表现出 波动性。这种波称为“物质波”或“德布罗易波” 。
从经典物理看来，简直是荒谬和不可思议，看来提出这种 想法没有一定的气魄是不行的。德布罗意回忆说：“我当 时只不过是一种想法，不过尚没有诞生，而且觉得这种想 法不敢讲出去”。
事实上，原子 是稳定的，辐射电 磁波的频率也只是 某些确定的值．
《原子物理学》(Atomic Physics)
第三章 量子力学导论
1913年玻尔提出了自己的原子结构假说
1、定态条件 —不同的轨道对应着 不同的状态，在这些状态中，尽 管电子在做变速运动，却不辐射 能量；
2、频率条件 —原子在不同的状态 之中具有不同的能量，当电子从 一个轨道跃迁到另一个轨道时， 会以电磁波形式放出或者吸收一 定的能量；
《原子物理学》(Atomic Physics)
第三章 量子力学导论
第三章 量子力学导论
《原子物理学》(Atomic Physics)
第三章 量子力学导论
主要内容：
1、玻尔理论的困难 2、波粒二象性 3、不确定关系 4、波函数及其统计解释 5、薛定谔方程 6、量子力学问题的几个简例 7、量子力学对氢原子的描述
原子物理学第三章

原子物理学第三章


电子排布
电子排布规律
根据泡利不相容原理、能量最低原理和洪特规则，电 子在原子中以特定的方式排列。
能级
电子在不同的能级上运动，离原子核越远的能级具有 越高的能量。
电子跃迁
当电子从一个能级跳到另一个能级时，会吸收或释放 能量。
原子半径与电离能
原子半径
原子半径描述了原子的大小，通常以原子的最外层电子到原子核 的距离来衡量。
当原子中的电子从较高能级跃迁到较 低能级时，释放光子并形成光谱。
线光谱与连续光谱
线光谱
由特定频率的光子组成，通常对应于原子中电子的特定跃迁 。
连续光谱
由多种频率的光子组成，通常对应于原子中电子的多个跃迁 。
原子能级与光谱项
原子能级
原子中的电子在不同能级上运动，每个能级都有特定的能量。
光谱项
描述原子能级跃迁的能量差，与光谱线的频率和波长相关。
原子物理学第三章
目录
• 原子结构 • 原子光谱 • 原子核 • 量子力学初步 • 原子能级与跃迁
01 原子结构
原子核与电子
原子核
原子核是原子的核心部分，由质 子和中子组成，负责产生原子的 大部分质量。
电子
电子围绕原子核运动，其数量决 定了元素的化学特性。电子的数 量和排列方式决定了元素的化学 特性。
当质子数过多或过少时，原子核 不稳定，容易发生放射性衰变。
放射性衰变是指原子核自发地转 变为另一种原子核的过程，同时
释放出射线。
原子核反应与核能
原子核反应是指原子核之间或原子核与粒子之间的相互作用，可以释放出巨大的能 量。
核能是通过将一个重核分裂成两个轻核或通过将轻核聚合成一个重核来释放能量。
核能的利用已经成为了现代能源的重要来源之一，如核能发电和核武器等。
原子物理课件cap3

原子物理课件cap3


波的特性：
• 广延性，周期性,迭加性，能产 生干涉、衍射、偏振等现象。
2.光的波粒二象性
1672年牛顿(英)提出光的微粒说。1678年惠更斯(荷兰) 提出光的波动说。此后，两种学说长期论战。 光的波粒二象性 波动性：干涉、衍射、偏振 粒子性：热辐射,光电效应,散射等
• 19世纪初，菲涅尔、夫琅和费、杨氏等人通过光的干涉、 衍射实验证实光的波动性。 • 19世纪末麦克斯韦和赫兹证明光是电磁波。 • 20世纪初，爱因斯坦于1905年用光的量子说解释了光电 效应，提出光子的能量为 E h h p 并于1917年指出光子有动量 • 可见，光在传播时显示波性，在传递能量时显示粒子性。 (两者不会同时出现)
实验原理及实验内容
2．实验结果 (1)当U不变时，I 与的关系如图 不同的，I不同； 在有的上将出现 极值。 (2)当不变时，I与 U的关系如图 当U改变时，I亦变 ；而且随了U周期 性的变化
理论解释 晶体晶面为点阵结构,德 布罗意波散射和X射线的 衍射完全类似,它也满足 布拉格公式 两反射的电子束,其相干加 强条件
2Δ 2d sin( / 2) cos( / 2) k
显然有：d sin = k 这正是X射线衍射的布拉 格公式 与实验结果相符
2eU h 利用 和 v m mv 0
kh 1 得：sin d 2emU
代入 d =0.215nm, U=54V 得： =51º
如右图，如果电子确有波动性，则 射入晶体表面时就会发生衍射现象。
§3-1玻尔理论的局限性
玻尔量子理论首次打开了认识原子 结构的大门，取得了很大的成功。 但是它的局限性和存在的问题也逐 渐为人们所认识。 玻尔理论将微观粒子视为经典力学 中的质点，把经典力学的规律用于 微观粒子，使其理论中有难以解决 的内在矛盾，故有重大缺陷。
原子物理3

原子物理3


19世纪末的三大发现 揭开了近代物理的序幕
1895年的X射线 1896年放射性元素 1897年的电子的发现
早期量子论 量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义 相对论相结合
四、德布罗意波和量子态
v 质量为 m 的粒子以速度 匀速运动时，具有能
量 E 和动量 p ；从波动性方面来看，它具有波长
和频率 ，这些量之间的关系遵从下述公式：
E mc2 h
p mv h

具有静止质量 m0 的实物粒子以速度 v 运动，
则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：
的精密度的极限。还表明
px 0 x 位置不确定
x 0 px 动量不确定
pyqy 2
pzqz 2
pxqx 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
二、测不准关系式的理解 1、 用经典物理学量——动量、坐标来描写微 观粒子行为时将会受到一定的限制 。 2、 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应 该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
例3 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子 枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后 的横向速度的不确定量。
解： 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx 2mx 0.58m s
v 2eU 6 107 m/s m
pdp m
E vp
Et vpt pq
2
mv
原子物理学课件第三章详解演示文稿

原子物理学课件第三章详解演示文稿

粒子在匣中的动能为mv2/2，运动周期为T＝2d/v
第十三页，共74页。
按照物质波的观点，物质波来回反射形成驻波，驻波波长满足
d n / 2 nh / 2 p n 1,2, (12 - 13)
于是粒子的动量为
p nh / 2d (12 - 14)
动能为
Ek p2 / 2m n2h2 / 8md 2 (12 - 15)
第二十三页，共74页。
1. 波函数的统计诠释
宏观世界中采用经典物理中的“决定性观念”或者说“严格的因 果律”解决物理问题。经典力学中，一个受到已知力的系统的运 动方程及初始条件知道后，就可以求出物体任何时刻的运动状态
微观世界中，遇到的问题将与宏观世界中的截然不同，对 此，经典物理学中的观点也不再成立。
关于光的本性历史上曾经一直存在两种观点，一是牛顿 1672年提出的光的微粒说；另一种是荷兰的惠更斯(C. Huygens)1678年提出的光的波动说。两种观点都能说明光的 某种特性，但都不能完全解释光的性质。
后来，1905年爱恩斯坦提出光的量子说，并成功地解释了光电效 应，1917年他又提出光子也具有动量的观点，从而认为光是粒子
原子物理学课件第三章详解演 示文稿
第一页，共74页。
优选原子物理学课件第三章
第二页，共74页。
实际问题上，它无法解释氢原子光谱的强度及精细结构；无法 解释复杂程度仅高于氢原子的氦原子光谱；无法说明原子如何 组成分子及构成液体和固体的；等等
因此玻尔理论也称为“旧量子理论”，而只有完全抛弃经典理论的 约束，才能对这些问题进行解释，这就是量子理论。量子力学对原 子问题的处理开辟了一个新的门径。
性和波动性的矛盾统一体，及光具有波粒二象性，并由爱因斯
坦关系式描述为：
原子物理第三章

原子物理第三章

E k T ~ 0.011eV k B 2
T = 83 K
3

hc
2Mc E
k
2
~ 0.14nm
O. Carnal and J. Mlynek, Phys. Rev. Lett. 66(1991) 2689
冷原子干涉仪
T = 100 nK
Ek 3 3 k BT 8.62 105 eV K 107 K ~ 1.3 1011 eV 2 2
hc
2
复合常数
2 0.511 106 eV 100eV
0.123nm
hc 1240eV nm
1 nm = 110-9 m
氢原子的驻波解释
Standing Waves
Electron Standing Waves in Hydrogen
2 r n ,
n 1, 2,3,
h
p
h是一个普适的常数，称为普朗克常数。 h = 6.62610-34 Js
博士论文(导师郎之万，答辩主席佩兰)
Einstein wrote shortly afterwards: "I believe it is a first feeble ray of light on this worst of our physics enigmas".
X射线不带电、很强的穿透性、直 线传播、使照相底片感光、使气 体电离奇特性质等。
The Nobel Prize in Physics 1901
X射线是电磁波
晶体衍射
(波长10-3 nm~1nm)
1912年，劳厄建议，鉴于晶体内部原子间距与X 射线的波长数量级相同，同时规则排列，可以当 作三维光栅，做晶体衍射实验。
原子物理学 第三章量子力学导论

原子物理学 第三章量子力学导论


光既可以显示波的特性， 又能显示粒子的特性
第三章：量子力学导论
第二节：波粒两象性
1、德布罗意假说 (L.De Broglie)
德布罗意


“整个世纪以来，在光学上比起波动的研究方 法，是过于忽略了粒子的研究方法，在实物理论 上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把粒 子的图象想的太多，而过分忽略了波的图象？” “所有的物质粒子（mo不等于零）都具有波粒二 象性，任何物质粒子都伴随着波，而且不可能将 物体的运动和波的传播分开。
第三章：量子力学导论
任何表达式中，只要有普朗克常量的出 现，就必然意味着这一表达式的量子 力学特征
第三章：量子力学导论
德布罗意关系式的实验验证—戴维孙－革末实验
德布罗意指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电 子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925年戴维孙－ 革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观 察到电子的衍射图象（如图）
粒子的特性：

定域性，占据一定的空间， 有确定的质量、动量和电荷 粒子和粒子之间是分离的。 粒子的运动有确定的轨道。 波的特性：

广延性，周期性,迭加性，能 产生干涉、衍射、偏振等现 象。
第三章：量子力学导论
第二节：波粒两象性
特征量 质量 动量 电荷
粒子 完全定域性
特征量
波
波长 频率
1、粒子总可以看 成是质点 2、根据牛顿力学 ，有严格的因果 律
第三章：量子力学导论

de Broglie将Einstein的光量子概念推 广，提出了物质波的概念(1924年) 所有的波都具有粒子性 所有的粒子都具有波动性 不能将物质的运动和波的传播分开。
德布罗意关系式：
原子物理第三章习题答案

原子物理第三章习题答案

原子物理第三章习题答案第三章量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----=?==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E==焦耳151083410986.110/1031063.6---?==。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meV h 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--?=?=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--?=?=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----?==3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。

因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-?-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。

试证明之。

证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。

所以，可以将上式的根式作泰勒展开。

只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm h c m eV eVm h -?-=-=λ 由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得：ολA V V)10489.01(25.126-?-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

原子物理学三章课后习题答案

第一章．原子的基本状况1. 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭C'放射的，其动能为7.68×106电子伏特.散射物质是原子序数Z=79的金箔.试问散射角θ=1500所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：222cot42Mv b Zeθπε= 而动能212k E mv =则20222cot442k E Mv b b Ze Zeθπεπε== 由此，瞄准距离为20cot 24kZe b E θπε=其中：79Z =12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅191.6021910e C -=⨯0150θ=, 0cotcot 750.26802θ==3.14159π=6197.687.6810 1.6021910k E MeV J -==⨯⨯⨯得到：219215022126190cot 79(1.6021910)cot 4(4 3.141598.854210)(7.6810 1.6021910)k Ze b m E οθπε---⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯153.969710m -=⨯2.已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+,试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 2min0211()(1)4sin k Ze r E θπε=+ 其中，0150θ=, 0sinsin 750.965932θ==把上题各参数代入，得到192min12619179(1.6021910)1(1)4 3.141598.8542107.6810 1.60219100.96593r m ---⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯143.014710m -=⨯4. 钋放射的一种α粒子的速度为71.59710⨯米/秒，正面垂直入射于厚度为710-米、密度为41.93210⨯3/公斤米的金箔。

原子物理学课件--第三章

原子物理学课件--第三章
3.2.1.实验装置
电炉O: 原子气体; 气体过狭缝S1, S2: 原子束; 原子束过 磁场区SN(磁场沿z方向); 到达相片P: 记录原子位置
原子物理学课件--第三章
3.2.2.实验原理(1)
• 电炉O: 氢原子气体
– 温度T时, 热平衡速度
Ek
12mvx2
3KT 2
– T = 7x104 K Ek = 9.0eV < 10.2eV (氢第一激发能)
角速度 转动(近动) 拉莫尔角速度 e B
2me
拉莫尔频率 /2 e B 4m 原子物理学课件--第三章 e
3.1.2.磁矩的量子表示式
• 电子轨道运动的磁矩 L L l(l 1) ,l 0,1,
l l(l1)2em el(l1)B
; e 2me
Lz ml , ml 0, 1, 2, l
场; 或外磁场较弱, 此时J 绕外磁场旋 进.
外磁场较强时, S与L绕外磁场旋 进, L-S耦合不成立
– 只考虑单电子原子.
多单电子原子g因子:
gJ
3 2
1 2
Sˆ2 Jˆ2
Lˆ2
Sˆ , Lˆ , Jˆ : 原子自旋,原子轨道和原子总角动量
原子自旋, 轨道和总角动量由所有电子相应量耦合成
原子物理学课件--第三章
ˆj2
sˆ2 lˆ2 2sˆˆj
3.3.3.单电子 g 因子表达式(8)
• 轨道磁矩,自旋磁矩电子总磁矩(4)
J gl ˆj2 2 lˆˆj22sˆ2gs ˆj2 2 sˆˆj22lˆ2 ˆjB j ˆ jgj B , j,z m jgj B 单电子 g 因子
ˆj2 lˆ2 sˆ2
• 轨道磁矩,自旋磁矩电子总磁矩(2)

原子物理学(第三章)

λ=
h h = p mv
（4）
人们称同实物粒子联系着的波为德布罗意波。
3
原子物理学
第三章 量子力学初步
3.1
物质的二象性
3、德布罗意波的实验验证 实物粒子的波动性已由实验证实。戴维孙和孔斯曼 在德布罗意的确建议提出以前，在1921到1923年间就观 察到，电子被多晶体的金属表面散射时，在某几个角度 上散射较强，当时未有合适的解释。其实这已经显示了 电子的波动性。
原子物理学
第三章 量子力学初步
原子结构按电子的轨道运动来描述在原子物理的发展中是一 个重要的成就，但也有其局限性（正如第二章所述）。量子 力学对原子问题的处理开辟了一个新的门径。1924年德布罗 意从光的二象性推断微粒的波动性。在这个基础上，薛定谔 在1925年发现了一个描述原子的新理论，称做波动力学。同 年海森伯独自提出了矩阵力学。这两种理论在数学形式上差 别较大，而结论却相同，实质上是相同的理论。现在的量子 力学融合了原来薛定谔和海森伯的理论以及其他好多人的贡 献，成为微观体系的基本理论。
h ∆E ∆t = ∆p∆q ≥ 2
10
原子物理学
第三章 量子力学初步
3.2 3、测不准关系的普遍原理
测不准原理
凡是经典力学中共轭的动力变量之间都有这个关系。除上面说到的 两式外，还有角动量和角移之间的测不准关系。现将各种测不准关系开 列在下面，其中动量和位置的关系分为三维的形式：
测不准原理来源于物质的二象性，既是微粒，又是波，这是微观物 质表现出来的性质。所以测不准原理是物质的客观规律，不是测量技术 和主观能力的问题。
33
原子物理学
第三章 量子力学初步
34
原子物理学
第三章 量子力学初步

原子物理学 第三章

数理学院
二 德布罗意波 实物粒子的二象性
例 在一束电子中，电子的动能为 德布罗意波长 ？
原子物理学

200eV ，求此电子的
解
1 2 v c, Ek m0 v 2
19
v
2 Ek m0
2 200 1.6 10 1 6 -1 v m s 8.4 10 m s 31 9.110 h 6.631034 -2 nm 8.67 10 nm v c 31 6 m0 v 9.110 8.4 10
2 2 u Vu Eu 2m
定态波函数
u ( x, y , z )
u
2
性质
1）能量 E 不随时间变化；
2）概率密度
不随时间变化 .
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 可归一化
x, y, z u
2
dxdydz 1
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原子物理学
波函数的物理意义
(r , t )
qp 2
xpx 2 ypy 2 zpz 2
h 2π
P 2 Et 2
不确定关系
物理意义 1） 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测 量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 . 2） 不确定的根源是“波粒二象性”这是自然界的根 本属性 . 3）对宏观粒子，因 很小，所以 xp x 0 可 视为位置和动量能同时准确测量 .
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二 德布罗意波
实物粒子的二象性
原子物理学
德布罗意假设（1924 年 ） 德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 .
E h
德布罗意公式 注意
p
h

原子物理学第三章量子力学


|2
代表时刻
t
、在
r处
粒子出现的几率密度。
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理意义，有
物理意义的是波函数模的平方。从这点来说，物质波在本质上 与电磁波、机械波是不同的，物质波是一种几率波，它反映微 观粒子运动的统计规律。
注意：在空间某处 r附 近找到粒子的几率除和波函数平方
值大小有关外，还和这个区域的大小有关。
例题2.2 电视显象管中电子的加速度电压为10kV,电子 枪的枪口的直径为0.01㎝.试求电子射出电子枪后的横向 速度的不确定量。
解： 电子横向位置的不确定量
x
2mx
x 0.01cm
1.051034 J s 29.111031kg1104 m
1.05 1030 m s 0.58 m s
同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大值处， 找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒子的几率最小。
28
在空综间合某以处上的，波波r 动函和数粒子观的(点r平, t，)方得正到比：于在粒某子时在刻该t， 时刻、该地点出现的几率。
玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：
波函数模的平方
|
(r , t)
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形式描 述粒子的量子运动状态。
30
根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。
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微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数 正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的 概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质 运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是 一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状， 也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率 分布。

原子物理学 第3章

分裂及值计算可能的后谱线与原谱线的 2P 频率差 M 3/2 3/2,1/2,-1/2,-3/2
M 2g 2
2S 1/2 M g 1 1
6/3,2/3,-2/3,-6/3 1 -1
(M2g2 − M1g1 )
∆v=ν
M 2g 2 - M 1g 1 =
-5/3，-3/3，-1/3，1/3，3/3，5/3 ， ， ， ， ，
−5
γH geB νL = = 2π 4πm
5 11
只考虑轨道运动 g＝1
ν L1 = 7×10 (1 s) ν L2 = 7×10 (1 s)
me Z 15 1 (ν L经典＝ 2 3 = 6.56×10 ) s 4ε0 h
4 2
四.拉莫尔旋进的应用 1. 拉莫尔旋进是物质具有抗磁性的根源。 . 拉莫尔旋进是物质具有抗磁性的根源。 2. 原子核也具有磁矩，在外磁场中会产生 . 原子核也具有磁矩， 旋进。 旋进。 测定核子旋进角速度， 测定核子旋进角速度，便可确定外磁场 ---核子旋进磁力仪的原理。 ---核子旋进磁力仪的原理。 核子旋进磁力仪的原理 3. 原子在静磁场中做拉莫尔旋进，再外 . 原子在静磁场中做拉莫尔旋进， 加适当的交变磁场，便产生顺磁共振。 加适当的交变磁场，便产生顺磁共振。
(-5/3，-3/3，-1/3，1/3，3/3，5/3)Be/4πm ， ， ， ， ，
589.0nm的谱线分裂为 条 的谱线分裂为6条 的谱线分裂为
2P 1/2
M M2g2
1/2,-1/2 1/3,-1/3 1 -1
2S 1/2
M1g1
M2g2 - M1g1 = -4/3，-2/3，2/3，4/3 ， ， ， ν ∆v = (-4/3，-2/3，2/3，4/3)Be/4πm ， ， ，
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二 德布罗意波 实物粒子的二象性
例 在一束电子中，电子的动能为 德布罗意波长 ？
原子物理学

200eV ，求此电子的
解
1 2 v c, Ek m0 v 2
19
v
2 Ek m0
2 200 1.6 10 1 6 -1 v m s 8.4 10 m s 31 9.110 h 6.631034 -2 nm 8.67 10 nm v c 31 6 m0 v 9.110 8.4 10
普朗克 能量子假说
不确定关系
谱线的 自然宽度
它能解释谱线的自然宽度
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原子物理学
互补原理
1927年Bohr提出，又被称为并协原理 对微观现象的描述，一些经典概念的 任何一种确定的应用，都会预先排除 另外一些经典概念的同时应用，而这 另外一些概念在其他方面却是阐明现 象所同样必需的。
Bohr的互补板凳
2

2

2

xpx 2
9 2
原子在一次能级跃迁过程中发射一个光子或说发出一列波.
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x 为波列长度，光子的位置不确定量也就是波列的长度.
三 不确定关系 谱线的自然宽度
原子物理学
原子中某激发态的平均寿命为
t 108 s
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三 不确定关系
原子物理学
E h
t E 2
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二 德布罗意波
实物粒子的二象性
原子物理学
德布罗意假设（1924 年 ） 德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 .
E h
德布罗意公式 注意
p
h

E h
h h p mv m m0 1）若 v c 则
若
v c则 m m0
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度， 因此宏观物体仅表现出粒子性 .
电子作轨道运动，受到向心力，有向心加速度而不辐 射能量、稳定。
me vr n n 1,2 ,3.
2. 对定态间发射和跃迁的原因不清楚, 过程描写含糊.
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原子物理学
Rutherford 提的问题 “当电子从一个能态跳到另一个能态时，您必须 假设电子事先就知道他要往哪儿跳”
多 种 频 率 的 光 入 射
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻 近出现的概率成正比的 . 概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能精 确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率 .
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三 不确定关系
原子物理学
用电子衍射说明不确定关系 定 电子经过缝时的位置不确 .
x b
x
b ph

一级最小衍射角
E3 E2 ? E1
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原子物理学
Schrödinger 提的问题
电子从 E1 到 E2过程的速度不可能是无 限大 ----？
E2 ?
“ 糟透的跃迁”
E1
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原子物理学
•无法解释氦光谱 •无法解释氢原子谱线强度、氢原子精细结构 •无法解释分子的组成 •无法解释原子如何形成液体、固体
“这一理论还是十分初步的， 许多基本问题还有待解决” 放弃Bohr理论？回到经典物理？
概率振幅
Born解释
2 * ( r , t ) ( r , t ) ( r , t )
概率密度
本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的强度） 代表时刻t、在空间 r点处，单位体积元中微观粒子出现的几率， Born 1954年获得诺贝尔物理学奖 Born解释为量子力学的基本原理之一！！
原子物理学
第三章 量子力学简介
§11 Bohr理论的困难
Bohr理论的功绩
•量子定态得到实验验证 •成功解释了氢光谱之谜 •理论上计算出Rydberg常量 •解释预告了类氢离子的光谱 •说明特征X射线光谱 •部分阐明了元素周期表
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原子物理学
Bohr理论缺限： 1. 概念上难以解释为什么氢原子中核与电子静电相互作 用是有效的, 而电子在定态时发射电磁波的能力却消失了.
sin b

b
y
o
电子经过缝后 x 方向动量 不确定
ph
p x p sin p
h p
h p x b
电子的单缝衍射实验
xpx ~ h
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精确推导可得
xpx 2
三 不确定关系
原子物理学
海森伯于 1927 年提出不确定原理
对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的 动量来描述 .
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二 德布罗意波 实物粒子的二象性
德布罗意波的统计解释
原子物理学
经典粒子 不被分割的整体，有确定位置和运动轨道 ； 经典的波 某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波 具有相干叠加性 . 二象性 要求将波和粒子两种对立的属性 统一到同一物体上 . 1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 .
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h mv
h L mvr n 2π
原子物理学
• 对波粒二象性的理解
(1) 粒子性 • 不是经典的粒子,抛弃了“轨道”概念 • “原子性”或“整体性” (2) 波动性 • “弥散性”“可叠加性”“干涉”“衍射”“偏振” • 具有频率和波矢 • 不是经典的波 不代表实在的物理量的波动 在微观上，如电子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为： 1.4 102 nm
2
dV 中的粒子的概率为
Ψ dV ΨΨ*dV
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
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Ψ dV 1
2
( 束缚态 )
四 量子力学简介
原子物理学
2 . 薛定谔方程（1925 年） 若粒子在势能为V 的势场中运动
2
P E V 2m
2
含时薛定谔方程
2 V i 2m t
2 2 u Vu Eu 2m
定态波函数
u ( x, y , z )
u
2
性质
1）能量 E 不随时间变化；
2）概率密度
不随时间变化 .
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 可归一化
x, y, z u
2
dxdydz 1
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原子物理学
波函数的物理意义
(r , t )
r , t 无实际物理意义，一般不可以直接测量 2 r , t 有物理意义

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原子物理学
波函数应满足的条件：
（１）自然条件：单值、有限、连续 （２）归一化条件： 粒子在空间各点的几率总和 应为l，即 （3）态叠加原理： 若体系具有一系列不同的可能状态，1, 2· · · ， 则它们 的线性组合=C11,+C22+· · · 也是该体系的一个可能的状态。 其中C1, C2 · · · 为任意复常数。
qp 2
xpx 2 ypy 2 zpz 2
h 2π
P 2 Et 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ不确定关系
物理意义 1） 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测 量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 . 2） 不确定的根源是“波粒二象性”这是自然界的根 本属性 . 3）对宏观粒子，因 很小，所以 xp x 0 可 视为位置和动量能同时准确测量 .
2 2 2 2 2 2 2 x y z
拉普拉斯算子
粒子在恒定势场中的运动
V V ( x, y, z )
i 2πEt / h
( x, y, z, t ) u( x, y, z) (t ) u( x)e
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四 量子力学简介
原子物理学
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
y ( x, t ) A cos 2π (t )
x
y ( x, t ) Re[ Ae
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i 2 π (t )
x


]
四 量子力学简介
原子物理学
2）量子力学波函数（复函数）
描述微观粒子运动的波函数
微观粒子的波粒二象性
自由粒子能量 和动量 和波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 .平面单色波波列 无限长 ，根据不确定原理 ，粒子在 x方向上的位置 完全不确定 .
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二 德布罗意波 实物粒子的二象性
原子物理学
从德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件. 解 两端固定的弦，若其长 度等于波长则可形成稳定的驻波. 将弦弯曲成圆时
2π r 2π r n n 1,2,3,4,
电子绕核运动德布罗意波长
2π rmv nh
角动量量子化条件
h
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三 不确定关系
原子物理学
例：氦氖激光器所发红光波长为 632.8nm ，谱线宽 9 度 10 nm，求当这种光子沿 方向传播时，它的 坐标的不确定量多大？
x
x
解：光子具有波粒二象性 数值关系
p x
h
px h
(632.8 10 ) x x 18 4 π 4π 4π 10 x 3.18104 m 31.8km
原子物理学
双缝衍射图
D
K
P
M
U
应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人 宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜.
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原子物理学
4 Davisson-Germer实验
1925年 Davisson-Germer 研究 电子在镍中的散射实验，偶然观察到 电子在镍晶体中的衍射现象。