06材料力学01梁的挠度

混凝土梁挠度计算方法及控制技术一、引言混凝土梁是建筑中常用的结构形式，其主要承受荷载的能力来自于混凝土本身的强度，而在运用混凝土梁进行建筑设计时，需要考虑到梁的挠度问题。

梁的挠度是指在承受荷载作用下，梁的形变程度。

如果梁的挠度过大，将会对建筑结构的稳固性和安全性产生影响。

因此，混凝土梁的挠度计算和控制技术是建筑设计中非常重要的一个环节。

二、混凝土梁挠度计算方法1. 梁的弯曲应力和挠度公式在混凝土梁受力时，可以根据材料力学原理，推导出梁的弯曲应力和挠度的公式。

具体公式如下：（1）弯曲应力公式σb = M*y/I其中，σb为梁的弯曲应力，M为梁的弯矩，y为梁截面离中性轴的距离，I为梁的惯性矩。

（2）挠度公式δ = 5*w*l^4/(384*E*I)其中，δ为梁的挠度，w为单位长度上的荷载，l为梁的跨度，E为混凝土的弹性模量，I为梁的惯性矩。

2. 梁的截面惯性矩的计算方法梁的惯性矩是梁截面上各点到中性轴距离的平方与对应的截面面积的乘积之和。

具体计算方法如下：（1）矩形截面的惯性矩计算公式I = bh^3/12其中，b为矩形截面的宽度，h为矩形截面的高度。

（2）圆形截面的惯性矩计算公式I = πr^4/4其中，r为圆形截面的半径。

（3）T形截面的惯性矩计算公式I = (b1*h1^3/12)+(b2*h2^3/12)+(h2*(a-b2)^3/12)其中，b1、h1分别为上部矩形截面的宽度和高度，b2、h2分别为下部矩形截面的宽度和高度，a为T形截面的总宽度。

3. 梁的弯矩计算方法梁的弯矩是指在承受荷载作用下，梁截面上的应力矩。

可以根据梁所受荷载的类型，采用不同的计算方法进行计算。

常见的荷载类型有集中荷载、均布荷载和三角荷载等，具体计算方法如下：（1）集中荷载的弯矩计算公式M = P*a其中，M为弯矩，P为集中荷载的大小，a为集中荷载离梁支点的距离。

（2）均布荷载的弯矩计算公式M = w*l^2/8其中，M为弯矩，w为单位长度上的荷载，l为梁的跨度。

《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在工程结构中，梁作为基本的结构构件，其承载能力和稳定性对于整个结构的性能起着至关重要的作用。

为了准确分析梁的受力行为和变形特性，必须对其挠度和转角问题进行深入研究。

本文将对梁的挠度和转角问题进行详细分析，并探讨其产生的原因和影响。

二、梁的挠度问题梁的挠度是指梁在荷载作用下发生的弯曲变形。

这种变形会影响梁的承载能力和使用功能。

梁的挠度问题主要涉及以下几个方面：1. 产生原因：梁的挠度主要由外力（如重力、风力、地震力等）和内部力（如弯矩、剪力等）共同作用产生。

这些力会使梁产生弯曲变形，从而导致挠度的产生。

2. 影响因素：梁的挠度受多种因素影响，如梁的跨度、截面尺寸、材料性能、支撑条件等。

跨度越大、截面尺寸越小、材料性能越差、支撑条件越差，梁的挠度就越大。

3. 分析方法：常用的梁挠度分析方法包括材料力学法和弹性力学法。

材料力学法基于实验数据和经验公式进行计算，而弹性力学法则通过建立微分方程进行求解。

这些方法可以帮助我们了解梁的挠度分布和变化规律。

三、梁的转角问题梁的转角是指梁在弯曲过程中，各截面相对于某一参考线（如中心轴）发生的转动角度。

转角对梁的受力特性和变形行为具有重要影响。

梁的转角问题主要涉及以下几个方面：1. 产生原因：梁的转角主要由弯矩引起。

当梁受到弯矩作用时，各截面会产生相对转动，从而形成转角。

2. 影响因素：与挠度类似，梁的转角也受跨度、截面尺寸、材料性能、支撑条件等因素的影响。

此外，荷载分布和作用位置也会对转角产生影响。

3. 分析方法：转角分析通常与挠度分析相结合，通过求解微分方程或使用有限元法等方法进行计算。

这些方法可以帮助我们了解梁的转角分布和变化规律，从而为结构设计提供依据。

四、解决方法与措施针对梁的挠度和转角问题，我们可以采取以下措施进行解决和预防：1. 优化设计：在结构设计过程中，应充分考虑梁的跨度、截面尺寸、材料性能等因素，合理设计梁的结构形式和尺寸，以减小挠度和转角的产生。

《材料力学》考试题集一、单选题1.构件的强度、刚度和稳定性________。

(A)只与材料的力学性质有关(B)只与构件的形状尺寸有关(C)与二者都有关(D)与二者都无关2.一直拉杆如图所示，在P力作用下。

(A) 横截面a上的轴力最大(B) 横截面b上的轴力最大(C) 横截面c上的轴力最大(D) 三个截面上的轴力一样大3.在杆件的某一截面上，各点的剪应力。

(A)大小一定相等(B)方向一定平行(C)均作用在同一平面内(D)—定为零4.在下列杆件中，图所示杆是轴向拉伸杆。

(A) (B) P(C) (D)5.图示拉杆承受轴向拉力P的作用，斜截面m-m的面积为A，则σ=P/A 为。

(A)横截面上的正应力(B)斜截面上的剪应力(C)斜截面上的正应力(D)斜截面上的应力6.解除外力后，消失的变形和遗留的变形。

(A)分别称为弹性变形、塑性变形(B)通称为塑性变形(C)分别称为塑性变形、弹性变形(D)通称为弹性变形7.一圆截面轴向拉、压杆若其直径增加—倍，则抗拉。

(A)强度和刚度分别是原来的2倍、4倍(B)强度和刚度分别是原来的4倍、2倍(C)强度和刚度均是原来的2倍(D)强度和刚度均是原来的4倍8.图中接头处的挤压面积等于。

P(A)ab (B)cb (C)lb (D)lc9.微单元体的受力状态如下图所示，已知上下两面的剪应力为τ则左右侧面上的剪应力为。

(A)τ/2 (B)τ(C)2τ(D)010.下图是矩形截面，则m—m线以上部分和以下部分对形心轴的两个静矩的。

(A)绝对值相等，正负号相同(B)绝对值相等，正负号不同(C)绝对值不等，正负号相同(D)绝对值不等，正负号不同11.平面弯曲变形的特征是。

(A)弯曲时横截面仍保持为平面(B)弯曲载荷均作用在同—平面内；(C)弯曲变形后的轴线是一条平面曲线(D)弯曲变形后的轴线与载荷作用面同在—个平面内12.图示悬臂梁的AC段上，各个截面上的。

(A)剪力相同，弯矩不同(B)剪力不同，弯矩相同(C)剪力和弯矩均相同(D)剪力和弯矩均不同13.当横向力作用于杆件的纵向对称面内时，关于杆件横截面上的内力与应力有以下四个结论。

结构与力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下关于结构力学的描述，哪一项是不正确的？A. 结构力学是研究结构在外力作用下的应力、应变和位移的学科B. 结构力学只研究静力平衡问题C. 结构力学是土木工程、机械工程等工程领域的重要基础学科D. 结构力学的研究对象包括梁、板、柱等构件答案：B2. 简支梁在均布荷载作用下的最大弯矩发生在：A. 梁的中点B. 梁的支点C. 梁的四分之一点D. 梁的任意点答案：B3. 在结构力学中，下列哪一项不是结构分析的基本原则？A. 力的平衡B. 力的可传递性C. 力的可加性D. 力的不可分解性答案：D4. 梁的剪力图和弯矩图的零点分别位于：A. 梁的支点B. 梁的中点C. 梁的四分之一点D. 梁的任意点答案：A5. 根据能量原理，下列哪一项不是结构力学分析中常用的方法？A. 虚功原理B. 虚位移原理C. 虚力原理D. 虚应力原理答案：C6. 在结构力学中，下列哪一项不是静定结构的特点？A. 内部无多余约束B. 内力可以通过静力平衡方程求解C. 内部有多余约束D. 变形可以通过几何方程求解答案：C7. 受弯构件的应力分布规律是：A. 线性分布B. 抛物线分布C. 正弦波分布D. 指数分布答案：B8. 梁的挠度计算公式中，下列哪一项是不需要的？A. 梁的截面惯性矩B. 梁的长度C. 梁的截面面积D. 梁的弹性模量答案：B9. 在结构力学中，下列哪一项不是结构稳定性分析的内容？A. 屈曲分析B. 振动分析C. 疲劳分析D. 极限承载力分析答案：C10. 根据材料力学，下列哪一项不是材料的基本力学性质？A. 弹性B. 塑性C. 韧性D. 硬度答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 梁的弯矩M可以表示为：\[ M = \frac{EI}{\rho^2} \]，其中E 是材料的弹性模量，I是截面的惯性矩，\(\rho\)是梁的________。

答案：曲率半径2. 根据结构力学，梁的剪力V和弯矩M之间的关系可以用微分方程表示为：\[ \frac{dV}{dx} = -M \]，其中x是梁的________。

材料力学第一章复习题1，下列结论中正确的是（）A,内力是应力的代数和B,应力是内力的平均值C应力是内力的集度D内力必大于应力2. 一对自平衡的外载产生杆件的哪种基本变形只对杆件的某一局部存在影响。

( )A 拉伸与压缩B 剪切C扭转D弯曲3，已设计好的构件，若制造时仅对其材料进行更换通常不会影响其( )A稳定性 B 强度C几何尺寸D刚度4. 根据均匀性假设，可认为构件的下列各量中的( )在各点处都相同A屈服极限B材料的弹性常数C应力D应变第二章轴向拉伸压缩与剪切挤压的实用计算1.塑性材料的极限应力是A屈服极限B强度极限c比例极限D弹性极限2.脆性材料的极限应力是。

A屈服极限B比例极限C强度极限D弹性极限3.受轴向拉压的杆件内最大切应力为80 Mpa，则杆内最大正应力等于A160Mpa B 80Mpa C40Mpa D20Mpa4.在低碳钢Q235的拉伸试验中，材料暂时失去了抵抗变形能力是发生在哪个阶段A弹性B屈服C强化D缩颈断裂5材料进入强化阶段卸载，在室温中放置几天再重新加载可以获得更高的()。

A比例极限B强度极限C弹性变形D塑性变形6直径为d的圆截面钢杆受轴向拉力作用，已知其纵向线应变为e，弹性模量为E，杆轴力大小为()。

填空题(5.0分)7.在连接件上，剪切面和挤压面分别（)于外力方向8.连接件剪切强度的实用计算中去，许用切应力是由( )9.插销穿过水平放置的平板上的圆孔，在其下端受拉力F作用。

该插销的剪切面面积和挤压面面积分别等于( a)。

填空题(5.0分)10.低碳钢拉伸试验中滑移线是( )造成的。

11.外力消失后，变形也消失,这种变形为( )12.当延伸率小于( )时为脆性材料，当延伸率大于( )时为塑性材料13.一个结构中有三根拉压杆，设由这三根杆的强度条件确定的结构许用载荷分别为F1、F2、F3，且F1<F2<F3，则该结构的实际许可载荷[F]为判断题(5.0分)14低碳钢的抗拉能力小于抗剪能力（）A对 B 错15. 试求图中1-1，2-2，3-3截面上的轴力，并作轴力图。

科学技术创新2018.06梁的挠度和转角问题分析王爽焦之森（齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院，黑龙江齐齐哈尔161000）对简支梁、外伸梁的变形问题的解析计算方法有很多种，常见的有积分法[1-5]、能量法[1-5]、叠加法[1-5]、奇异函数法[1-5]和共轭梁法[1-5]等，在用积分法求解简支梁、外伸梁的变形问题时须求解多个积分常数，计算繁琐；奇异函数法仍属于积分法，求解过程也须解积分常数；如果仅计算某一截面的位移，能量法较为简单，不过仍须进行积分计算[6]。

本文通过间接叠加法，来介绍简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的简单求解方法，即将简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题，转化为有初始转角的悬臂梁受载荷时的变形问题，使简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的求解过程的思维难度得到很大程度的降低，从而问题变得更容易理解。

1原理介绍与例题分析悬臂梁具有一个固定端，当悬臂梁受已经与水平线外荷载作用时，靠近固定端的载面不发生转动，转角为零。

如果有一个悬臂梁，在未荷载时，形成一个小的角度θB ，如图1所示。

图1有初始转角的悬臂梁x 轴为水平方向，梁轴线与x 轴成角θB ，即θB 为初始转角，此梁称为有初始转角的悬臂梁。

在未受荷载时，相对于x 轴，自由端已经有一挠度为θB l 。

根据叠加法，当加一静荷载F 时，自由端的挠度ω=θB l+Fl 33EI 转角为θB +Fl22EI。

应用初始转角悬臂梁概念，只要知道悬臂梁在集中力偶、集中力和均布载荷作用下自由端的挠度和转角公式，就可以通过叠加法，求解简支梁、外伸梁、的变形问题。

跨长l ，刚度EI 的悬臂梁在集中力偶Me ，集中力F ，均布荷载q 作用下，自由端的挠度和转角公式列出如下Mel 22EI ，Mel EI ，Fl 33EI，Fl 23EI ，ql 48EI ，ql 36EI。

下面举几个例子。

例1.如图例2-1所示简支梁端受集中力偶Me 作用，求端截面转角。

材料力学（土）笔记第五章 梁弯曲时的位移1．梁的位移——挠度及转角为研究等直梁在对称弯曲时的位移取梁在变形前的轴线为x 轴，梁横截面的铅垂对称轴为y 轴而xy 平面即为梁上荷载作用的纵向对称平面梁发生对称弯曲变形后，其轴线将变成在xy 平面内的曲线1AC B度量梁变形后横截面位移的两个基本量是挠度：横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x 轴方向的线位移ω转角：横截面对其原来位置的角位移θ 梁变形后的轴线是一条光滑的连续曲线，且横截面仍与该曲线保持垂直因此横截面的转角θ也就是曲线在该点处的切线与x 轴之间的夹角度量等直梁弯曲变形程度的是曲线的曲率梁的变形还受到支座约束的影响通常就用这两个位移量来反映梁的变形情况梁轴线弯曲成曲线后，在x 轴方向也将发生线位移 但在小变形情况下，梁的挠度远小于跨长，梁变形后的轴线是一条平坦的曲线横截面形心沿x 轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量，可略去不记因此在选定坐标后，梁变形后的轴线可表达为()f x ω=式中，x 为梁在变形前轴线上任一点的横坐标；ω为该点的挠度梁变形后的轴线称为挠曲线，在线弹性范围内，也称为弹性曲线上述表达式则称为挠曲线（或弹性曲线）方程由于挠曲线为一平坦曲线，故转角θ可表达为''tan ()f x θθω≈== 称为转角方程即挠曲线上任一点处的切线斜率'ω可足够精确地代表该点处横截面的转角θ 由此可见，求得挠曲线方程后，就能确定梁任一横截面挠度的大小，指向及转角的数值 正值的挠度向下，负值的挠度向上正值的转角为逆时针转向，负值的转角为顺时针方向2．梁的挠曲线近似微分方程及其积分为求得梁的挠曲线方程，利用曲率κ与弯矩M 间的物理关系，即 1M EIκρ== 式中曲率κ为度量挠曲线弯曲程度的量，是非负的这是梁在线弹性范围内纯弯曲情况下的曲率表达式在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩M 外尚有剪力S F 但工程用梁，其跨长l 一般均大于横截面高度的10倍剪力S F 对于梁位移的影响很小，可略去不计，故该式子依然适用式中的M 和ρ均为x 的函数，即1()()()M x x x EIκρ== 在数学中，平面曲线的曲率与曲线方程导数间的关系有'''23/21()(1)x ωρω=±+ 取x 轴向右为正，y 轴向下为正时曲线凸向上时''ω为正，凸向下时为负而按弯矩的正、负号规定，梁弯曲后凸向下时为正，凸向上为负，符号相反于是得到 '''23/2()(1)M x EIωω=-+ 由于梁的挠曲线为一平坦曲线，因此，'2ω与1相比十分微小可以略去不计故上式可近似的写为 ''()M x EIω=-上式略去了剪力S F 的影响，并略去了'2ω项 故称为梁的挠曲线近似微分方程若为等截面直梁，其弯曲刚度EI 为一常量，上式可改写为''()EI M x ω=-对于等直梁，上式进行积分，并通过由梁的变形相容条件给出的边界条件确定积分常数 即可求得梁的挠曲线方程当全梁各横截面上的弯矩可用单一的弯矩方程表示时，梁的挠曲线近似微分方程仅有一个 将上式的两端各乘以dx ，经积分一次，得'1()EI M x dx C ω=-+⎰再积分一次，即得12[()]EI M x dx dx C x C ω=-++⎰两式子中积分常数1C 、2C 可通过挠曲线的边界条件确定例如在简支梁中，左右铰支座处的挠度均等于零在悬臂梁中，固定端处的挠度和转角均等于零确定积分常数1C 、2C 后，就分别得到梁的转角方程和挠曲线方程从而可以确定任一横截面的转角和挠度1C 和2C 的几何意义 由于以x 为自变量，在坐标原点即0x =处的定积分恒等于零因此，积分常数'100x C EI EI ωθ===，20C EI ω=式中，0θ和0ω分别表示坐标原点处截面的转角和挠度若梁上的荷载不连续即分布荷载在跨度中间的某点处开始或结束，以及集中荷载或集中力偶作用处梁的弯矩需分段写出，各段梁的挠曲线近似微分方程也随之不同在对各段梁的近似微分方程积分时，均将出现两个积分常数为确定这些积分常数，除需利用支座处的约束条件外还需利用相邻两段梁在交界处位移的连续条件例如左、右两段梁在交界处的截面应具有相等的挠度和转角不论是约束条件和连续条件，均发生在各段挠曲线的边界处故均成为边界条件，即弯曲位移中的变形相容条件遵循两个原则①对各段梁，都是从同一坐标原点到截面之间的梁段上的外力列出弯矩方程所以后一段梁的弯矩方程包括前一段的弯矩方程的新增的()x a -项②对()x a -项的积分，以()x a -作为自变量于是由x a =处的连续条件，就能得到两段梁上相应的积分常数分别相等的结果 对于弯矩方程需分为任意几段的情况，只要遵循上述规则同样可以得到各梁段上相应的积分常数分别相等的结果从而简化确定积分常数的运算3．按叠加原理计算梁的挠度和转角梁在微小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系 在线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比当挠度很小时，曲率与挠度间呈线性关系梁的挠度和转角均与作用在梁上的荷载成线性关系在这种情况下梁在几项荷载（如集中力、集中力偶或分布力）同时作用下某一横截面的挠度或转角 就分别等于每项荷载单独作用下该截面的挠度或转角的叠加，即为叠加原理 已知梁在每项荷载单独作用下的挠度和转角表则按叠加原理来计算梁的最大挠度和最大转角将较为方便4．奇异函数·梁挠曲线的初参数方程5．梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施5.1 梁的刚度校核对于梁的挠度，其许可值通常用许可挠度与跨长之比值[]l ω作为标准 梁的刚度条件可表达为 max[]ll ωω≤ max []θθ≤ 一般土建工程中的构件，强度要求是主要的刚度要求一般处于从属地位但当对构件的位移限制很严，或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时刚度条件也可能起控制作用5.2 提高梁的刚度的措施由梁的位移表可见梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有关还与其弯曲刚度EI 成反比，与跨长l 的n 次幂成正比减小梁的位移，可采取下列措施①增大梁的弯曲刚度EI②调整跨长和改变结构5．梁内的弯曲应变能当梁弯曲时，梁内将积蓄应变能梁在线弹性变形过程中弯曲应变能V ε在数值上等于作用在梁上的外力所作的功W梁在纯弯曲时各横截面上的弯矩M 为常数，并等于外力偶矩e M当梁处于线弹性范围内e EI EI θρ=== θ与e M 呈线性关系直线下的三角形面积就代表外力偶所作的功W ，即12e W M θ=从而得纯弯曲时梁的弯曲应变能 12e V M εθ=即得2222e M l M l V EI EIε== 横力弯曲时，梁内应变能包含两个部分：与弯曲变形相应的弯曲应变能和与切应变形相应的剪切应变能对于弯曲应变能，取长为dx 的梁段，其相邻两横截面的弯矩应分别为()M x 和()()M x dM x +在计算微段的应变能时，弯矩的增量为一阶无穷小，可略去不计 计算器弯曲应变能为2()2M x dV dx EIε= 全梁的弯曲应变能则可通过积分求得为2()2l M x V dx EIε=⎰ 式中，()M x 为梁任一横截面上的弯矩表达式 当各段梁的弯矩表达式不同时，积分需分段进行梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可略去不计。