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第9章__梁的挠度和刚度计算在结构分析中，梁的挠度和刚度是非常重要的参数，它们能够帮助我们了解和评估梁的性能和稳定性。
本章主要介绍了梁的挠度和刚度的计算方法。
首先，我们需要了解梁的挠度是什么。
简单来说，梁的挠度指的是梁在承受荷载时的弯曲和垂直变形程度。
挠度大小反映了梁的柔软性和变形能力，对于结构工程来说，挠度必须在允许范围内，以保证结构的安全和稳定。
梁的挠度计算可以通过简化的工程解析方法或者数值计算方法来进行。
这里主要介绍两种常用的方法。
第一种方法是基于简化的工程解析方法，即梁的挠度计算公式。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到不同类型梁的挠度计算公式。
例如，对于简支梁，其挠度可以用以下公式计算：δ=(5*q*L^4)/(384*E*I)其中，δ是梁的最大挠度，q是梁的单位长度荷载，L是梁的长度，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
对于其他类型的梁，如悬臂梁、连续梁等，也有相应的挠度计算公式。
通过这些公式可以得到梁的最大挠度。
第二种方法是使用数值计算方法，主要是有限元法。
有限元法是一种通过将结构分割成若干小单元，然后进行位移解和力学分析的方法。
通过有限元软件，可以模拟梁在荷载作用下的变形情况，并得到挠度的数值解。
此外，在梁的挠度计算中，还需要考虑梁的边界条件。
梁的边界条件决定了梁的约束程度，也会影响梁的挠度大小。
常见的边界条件包括简支、悬臂、固支等。
在梁的刚度计算中，主要考虑的是梁的弯曲刚度和剪切刚度。
弯曲刚度指的是梁在弯曲过程中对外力的抵抗能力，可以用弯矩-曲率关系来表示。
剪切刚度指的是梁在受剪力作用下的变形能力，可以用剪力-变形关系来表示。
梁的弯曲刚度和剪切刚度分别可以通过以下公式计算：弯曲刚度：EI=M/θ剪切刚度：GA=T/ϕ其中，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩，G是梁的剪切模量，A是梁的横截面积，M是梁的弯矩，θ是梁的曲率，T是梁的剪力，ϕ是梁的剪应变。
通过计算弯曲刚度和剪切刚度，我们可以评估梁在荷载作用下的响应和变形情况，进一步判断结构的性能和稳定性。
第9章 钢筋混凝土构件的变形和裂缝9.1选择题1．下面的关于受弯构件截面弯曲刚度的说明错误的是（ D ）。
A ． 截面弯曲刚度随着荷载增大而减小；B ． 截面弯曲刚度随着时间的增加而减小；C ． 截面弯曲刚度随着变形的增加而减小；D ． 截面弯曲刚度不变；2．钢筋混凝土构件变形和裂缝验算中关于荷载、材料强度取值说法正确的是（B ）。
A ． 荷载、材料强度都取设计值；B ． 荷载、材料强度都取标准值；C ． 荷载取设计值，材料强度都取标准值；D ． 荷载取标准值，材料强度都取设计值；3．钢筋混凝土受弯构件挠度计算公式正确的是（ D ）。
A ．sk B l M S f 2=；B ．B l M S f k 2=；C ．sq B l M S f 2=；D ．B l M S f q 2=；4．下面关于短期刚度的影响因素说法错误的是（ B ）。
A ．ρ增加，sB 略有增加；B ．提高混凝土强度等级对于提高s B 的作用不大；C ．截面高度对于提高s B 的作用的作用最大；D ．截面配筋率如果满足承载力要求，基本上也可以满足变形的限值；5．《混凝土结构设计规范》定义的裂缝宽度是指：（ B ）。
A ． 受拉钢筋重心水平处构件底面上混凝土的裂缝宽度；B ． 受拉钢筋重心水平处构件侧表面上混凝土的裂缝宽度；C ． 构件底面上混凝土的裂缝宽度；D ． 构件侧表面上混凝土的裂缝宽度；6．减少钢筋混凝土受弯构件的裂缝宽度，首先应考虑的措施是（ A ）。
A ． 采用直径较细的钢筋；B ． 增加钢筋的面积；C ． 增加截面尺寸；D．提高混凝土强度等级；7．混凝土构件的平均裂缝间距与下列哪个因素无关（ A ）。
A．混凝土强度等级；B．混凝土保护层厚度；C．纵向受拉钢筋直径；D．纵向钢筋配筋率；8．提高受弯构件截面刚度最有效的措施是（ D ）。
A．提高混凝土强度等级；B．增加钢筋的面积；C．改变截面形状；D．增加截面高度；9．关于受弯构件裂缝发展的说法正确的是（ C ）。
第九章压杆稳定习题解之马矢奏春创作[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆, 按图a所示坐标系及挠度曲线形状, 试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时,用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同,式又是否相同.解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关, 与挠曲线的位置无关.因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系, 所以它们的挠曲线微分方程相同, 都是（c）、(d)的坐标系相同, 它们具有相同的挠曲显然, 这微分方程与（a）的微分方程分歧.临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两真个支领情况有关, 与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关.因此, 以上四种情形的临界力具有相同的公式,[习题9-2]图示各杆资料和截面均相同, 试问杆能接受的压力哪根最年夜, 哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？解：由这公式可知,和截面相同的压杆,平方成反比, 其中.（a（b（c（d（e（f故图e, 图f.[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接, 但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上,刚性地基上.2.螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时, 把它看作下端固定（固定于底座解：临界力与压杆两真个支领情况有关.因为(a)的下支座分歧于(b)的下支座, .(b)为一端固, 其临界力为：可是, (a), 它因此, ., 我们无妨设下支座（B）且无侧向位移, 则：解得：用试算法得：因此, 2.这与弹性支座的转动刚度C有关, C越小, .螺旋千斤顶的底座与空中不是刚性连接, 即不是固定的.它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止.当轴向压力不是很年夜, 或空中较滑时, 底座与空中之间有相对滑动, 此时, 不能看作固定端；当轴向压力很年夜, 或空中很粗拙时, 底座与空中之间无相对滑动, 此时, 可以看作是固定端.因此, 校核丝杆稳定性时, 把, 下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适.这种情况.譬因此, , 把它看作下端固定, 而是偏于危险.[习题9-4].[解]：设压杆向右弯曲.压杆处于临界状态时, 两真个竖向反力水平反力为0, 约束反力偶矩两端相等,, 下标end 的意思.若取下截离体为研究对象,逆转.则上述微分方程的通解为：.(a)把A 、B 的值代入（a ）得：因此：[习题9-5]长m 5的10号工字钢, 在温度为C 00时装置在两个固定支座之间, 这时杆不受力.已知钢的线膨胀系数107)(10125--⨯=C l α,GPa E 210=.试问当温度升高至几多度时, 杆将丧失稳定性？解：[习题9-6]两根直径为d 的立柱, 上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接, 如图所示.试根据杆真个约束条件, 分析在总压力F 作用下, 立柱可能发生的几种失稳形态下的挠曲线形状, 分别写出对应的总压力F 之临界值的算式（按细长杆考虑）, 确定最小临界力cr P 的算式.解：在总压力F 作用下, 立柱微弯时可能有下列三种情况： （a ）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲, 则1, 2两杆组成一组合截面.（c ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时cr P 最小：243128l Ed P cr π=.[习题9-7]图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成, 在B 点铰支, 而在A 点和C 点固定, D为铰接点, π10=d l .若结构由于杆件在平面ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力, 试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值.解：杆DB 为两端铰支, 杆DA 及DC 为一端铰支一端固定, 选取.此结构为超静定结构, 当杆DB 失稳时结构仍能继续承载, 直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力, 故[习题9-8]图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样资料的细长杆所组成.若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏, 试确定荷载F 为最年夜时的θ角（假设20πθ<<）.解：要使设计合理, 必使AB 杆与BC 杆同时失稳,即：[习题9-9]下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆, 由两根10号槽钢焊接而成, 如图所示, 并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.已知杆的资料为Q235钢, 强度许用应力MPa 170][=σ, 试求压杆的许可荷载.解：查型钢表得：[习题9-10]如果杆分别由下列资料制成：（1）比例极限MPa P 220=σ, 弹性模量GPa E 190=的钢；（2）MPa P 490=σ, GPa E 215=, 含镍3.5%的镍钢；（3）MPa P 20=σ, GPa E 11=的松木.试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度.解：（1）（2）（3）[习题9-11]两端铰支、强度品级为TC13的木柱, 截面为150mm ×150mm 的正方形, 长度m l 5.3=, 强度许用应力MPa 10][=σ.试求木柱的许可荷载.解：由公式（9-12a ）：[习题9-12]图示结构由钢曲杆AB 和强度品级为TC13的木杆BC 组成.已知结构所有的连接均为铰连接, 在B 点处接受竖直荷载kN F 3.1=, 木材的强度许用应力MPa 10][=σ.试校核BC 杆的稳定性.解：把BC 杆切断, 代之以轴力N,则由公式（9—12b ）得：因为st ][σσ<, 所以压杆BC 稳定.[习题9-13]一支柱由4根mm mm mm 68080⨯⨯的角钢组成（如图）, 并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.支柱的两端为铰支, 柱长m l 6=, 压力为kN 450.若资料为Q235钢, 强度许用应力MPa 170][=σ,试求支柱横截面边长a 的尺寸.解：（查表：,） , 查表得：Am 4 =mm[习题9-14]某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体, 并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求, 截面形式如图所示, 资料为Q235钢, MPa 170][=σ.若按两端铰支考虑, 试求杆所能接受的许可压力.解：由型钢表查得角钢： 得查表：故[习题9-15]图示结构中, BC 为圆截面杆, 其直径mm d80=；AC 边长mm a 70=的正方形截面杆.已知该结构的约束情况为A 端固定, B 、C 为球形铰.两杆的资料均为Q235钢, 弹性模量GPa E 210=, 可各自自力发生弯曲互不影响.若结构的稳定平安系数5.2=st n , 试求所能接受的许可压力.解：BC 段为两端铰支, 1=μ AB 杆为一端固定, 一端铰支, 7.0=μ故kN F 376][=[习题9-16]图示一简单托架, 其撑杆AB 为圆截面木杆, 强度品级为TC15.若架上受集度为的均布荷载作用, AB 两端为柱形铰, 资料的强度许用应力, 试求撑杆所需的直径d . 解：取m m -以上部份为分离体, 由, 有设, m 则求出的与所设基秘闻符, 故撑杆直径选用m.[习题9-17]图示结构中杆AC 与CD 均由Q235钢制成, C , D 两处均为球铰.已知mm, mm, mm ；,, ；强度平安因数, 稳定平安因数.试确定该结构的许可荷载.解：（1）杆CD 受压力3F F CD = 梁BC 中最年夜弯矩32F M B =（2）梁BC 中（3）杆CD（Q235钢的)100=P λ =（由梁力矩平衡得）故, 由（2）、（3）可知, kN F 5.15][=[习题9-18] 图示结构中, 钢梁AB 及立柱CD 分别由16号工字钢和连成一体的两根mm mm mm 56363⨯⨯角钢组成, 杆CD 符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.均布荷载集度m kN q /48=.梁及柱的资料均为Q235钢, MPa 170][=σ,GPa E 210=.试验算梁和立柱是否平安.解：（1）求过剩约束力CD F把CD 杆去失落, 代之以约束反力CD F .由变形协调条件可知,查型钢表得：16号工字钢的41130cm I z =, 3141cm W z =mm mm mm 56363⨯⨯L 形角钢的面积：2143.6cm A =, 417.23cm I z =, cm i z 94.1=（2）梁的强度校核)(8165.36kN R B = （↑）AC 段：x x Q 488165.36)(-=；2248165.36)(x x x M -=令 0488165.36)(=-=x x Q , 得：那时m x 767.0=,创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 CBx0 1 2 3 4 M 0.000 14.119 12.817 -22.367 12.817 14.119 0.000所以符合正应力强度条件, 即平安.（3）立桩的稳定性校核而且所以压杆会失稳.不服安.。
