一般线性规划问题
1. 线性规划的条件：
① 决策变量有没有---------------------必须有
②
目标函数和约束条件是不是决策变量的线性表达式------------------必须是
③ 决策变量非负条件是否满足-------------必须满足
④ 目标函数是否表现出极大化或极小化------必须表现
2. 线性规划的表达式
目标函数：
xcxcxcnnzMaxMin•••2211)(
约束条件：
bxaxaxann11212111)(•••
bxaxaxann22222121)(•••
bxaxaxann33223131)(•••
.............. bxaxaxannnnn)(221n1•••
非负性约束：
0,,0,021•••xxxn
问题重述
某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如表17所示。储蓄所可以雇用全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h的午餐时间。储蓄所每天可以雇用不超过3名的半时服务员，每个半小时服务员必须连续工作4h，报酬40元。（1）问该储蓄所应如何雇用全时和半时两类服务员。（2）如果不能雇用半时服务员，每天至少增加多少费用。（3）如果雇用半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
表16 每天不同时间段所需要的服务员数量
时间段/时 9-10 10-11 11-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17
服务员数量/人 4 3 4 6 5 6 8 8 附表为储蓄所每天每个时段所需的服务员数量，建立数学模型，解决如下问题：
对储蓄所的雇用选择数学模型进行分析，特别说明怎么样建立一个能够说明全时服务员雇用人数、半时服务员雇用人数及储蓄所支付工资最少的方案，并阐明这样建立模型的理由。
规划模型
模型假设：
11x：甲中的A
12x：甲中的B
13x：甲中的C
213x：乙中的A
223x：乙中的B
233x：乙中的C
313x：丙中的A
323x：丙中的B
333x：丙中的C
模型求解：
建立模型方程：
Max
z=0.0611x+1.412x+1.913x+0.45213x0.95223x1.45233x-0.05313x+0.45323x+0.95333x
ST: 11x+213x+313x<=2000
12x+223x+323x<=2500
13x+233x+333x<=1200
0.4 11x-0.612x-0.613x>=0
-0.211x-0.212x+0.813x<=0
0.85213x0.15223x-0.15233x>=0 -0.6213x-0.6223x+0.4233x<=0
-0.5313x-0.5323x+0.5333x<=0
（1）、在LINGO软件中输入如下程序：
model:
max=0.9*x11+1.4*x12+1.9*x13+0.45*x21+0.95*x22+1.45*x23-0.05*x31+0.45*x32+0.95*x33;
x11+x21+x31<2000;
x12+x22+x32<2500;
x13+x23+x33<1200;
0.4*x11-0.6*x12-0.6*x13>0;
-0.2*x11-0.2*x12+0.8*x13<0;
0.85*x21-0.15*x22-0.15*x23>0;
-0.6*x21-0.6*x22+0.4*x23<0;
-0.5*x31-0.5*x32+0.5*x33<0;
end
（2）、运行下面的程序，得到如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 6160.000
线性规划的数学模型及其标准形式
线性规划问题是工作和生活中最常见的问题，也是运筹学中最简单和最基础的问题。因此，研究现线性规划在经济中的应用问题必须对线性规划的概念和数学模型的掌握和了解是十分必要的。下面让我们对线性规划的数学模型加以介绍。
线性规划的数学模型
在许多实际问题中总是存在着已知量和未知量，若将这些量之间的依赖关系用数学式子表示出来，那么就称这些式子为实际问题的数学模型，或者说数学模型就是描述实际问题共性的抽象的数学形式，线性规划的数学模型包含两个组成部分，一是目标函数，二是约束条件，目标函数是一个由欲达到最优目的的有关量所构成的关系式，根据研究的目标是最大还是最小，在目标函数前面冠以“max”或“min”；约束条件是欲达到预期目的所受到的现实客观环境的制约，将这种制约用不等式或不等式表示，即为约束条件，以后减记..st；是“subject
to“的缩写。
研究数学模型有助于认识这类问题的性质和寻求它的一般解法，但线性规划问题涉及到的实际问题是非常广泛的，我们只能先从其中某些典型的实际问题开始，不能面面俱到，但这些问题的做法都是类似的，下面我们通过例题研究线性规划的数学模型。
例 1 某工厂有生产甲，乙两种产品的能力，且生产一吨甲产品需要3个工日和0.35吨小麦，生产一吨乙产品需要4个工日和0.25吨小麦，该厂仅有工人12人一个月只能出300个工日，小麦一个月只能进12吨，并且还知道生产一吨甲产品可盈利80（百元），生产一吨乙产品可盈利90（百元）。那么，这个工厂在一个月中应如何根据现有条件安排这两种产品的生产，使之获得最大盈利？建立数学模型。
解：设1x，2x分别表示一个月生产甲，乙两种产品的数量，则最大盈利为：
1280Sxx
工日的约束为1234300xx，原料小麦的约束为120.350.2521xx，那么该问题的数学模型即为：
12121212max8090,..34300,0.350.2521,,0Sxxstxxxxxx
1 第一章 线性规划模型
一、 线性规划模型的建立
例1某工厂A有生产甲，乙二种产品的能力，且生产一吨甲产品需要3个工日和0.35吨小麦。生产一吨乙产品需要4个工日和0.25吨小麦。该厂仅有工人12人，一个月只能出300个工日，小麦一个月只能进21吨，并且还知生产一吨甲产品可盈利80（百元），生产一吨乙产品可盈利90（百元）。那么，工厂A在一月中应如何安排这两种产品的生产，使之获得最大的利润？
由以上条件可列表如下：
产品
资源 甲 乙 总和
工日 3 4 300
小麦 0.35 0.25 21
盈利 80 90
问题一的数学模型:
设1x,2x分别表示一月中生产甲，乙二种产品的数量，称之为决策变量。所得利润为z，问题一的目标是使得总利润函数219080xxz有最大值。
工日的约束为：3004321xx
原料小麦的约束为：2125035021x.x.
于是问题一可归结为求目标函数在约束条件下的最大值问题，显然目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数，即可建立以下线性规划模型
02125035030043908021212121x,xx.x.xx.t.sxxzmax (1.1)
2 1.1 线性规划模型的一般形式
n,,jxm,,ib,xa.t.sxczminmaxjinjjijniii2102111 （m个约束） (1.2)
矩阵形式
0Xb,AX.t.sXczminmaxT (1.3)
其中Tnx,x,xX21为决策向量，Tncccc,,21为目标函数的系数向量，Tmb,b,bb21为常数向量，nmijaA为系数矩阵。
1.2 线性规划模型的标准形
