第 32 卷 第 3 期2019 年 3 月江西电力职业技术学院学报Journal of Jiangxi Vocational and Technical College of ElectricityVol.32 No.3Mar.2019
线性规划问题数学建模方法及MATLAB
程序设计与实现
农建诚
（广西现代职业技术学院，广西 河池 547000）
摘 要：线性规划（Linear Programming）问题是指在一定限制条件下实现的最优化解决方案，例如最低成本、最小投资等。借助MATLAB数学软件可以达到对线性规划问题较易求解的目标，从而更好地解决生产实践中的最优化问题。关键词：线性规划；数学建模；MATLAB中图分类号：O242 文献标识码：B 文章编号：1673-0097(2019)03-0035-02
Mathematical Modeling Method of Linear Programming Problem and
Design and Implementation of MATLAB Program
NONG Jian-cheng
(Guangxi Modern Vocational and Technical College, Hechi 547000, China)
Absrtact: Linear Programming refers to the optimal solution under certain restrictions, such as the lowest cost, the lowest investment, etc. With the help of MATLAB mathematical software, we can achieve the goal of solving the linear programming problem more easily, so as to better solve the optimization problem in production practice.Keywords: Linear Programming; Mathematical Modeling; MATLAB
-1- 第一章 线性规划
§1 线性规划
在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear
Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义
例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用BA、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用CBA、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？
上述问题的数学模型：设该厂生产1x台甲机床和2x乙机床时总利润最大，则21,xx应满足
（目标函数）2134maxxxz (1)
s.t.（约束条件）0,781022122121xxxxxxx （2）
这里变量21,xx称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
matlab linprog函数用法
介绍
在数学建模和优化问题中，线性规划是一种常见的数学方法。Matlab提供了一个名为linprog的函数，用于解决线性规划问题。linprog函数可以帮助我们找到一组变量的最优解，以使得目标函数在一组线性约束条件下达到最小或最大值。
本文将详细介绍linprog函数的用法，包括输入参数的解释、输出结果的解释以及一些示例代码。希望通过本文的学习，读者能够掌握linprog函数的使用方法，并能够灵活运用于实际问题中。
linprog函数的语法
linprog函数的基本语法如下所示：
[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
下面对每个参数进行详细解释：
• f：一个n×1的向量，表示目标函数的系数。
• A：一个m×n的矩阵，表示不等式约束的系数。
• b：一个m×1的向量，表示不等式约束的右侧常数。
• Aeq：一个p×n的矩阵，表示等式约束的系数。
• beq：一个p×1的向量，表示等式约束的右侧常数。
• lb：一个n×1的向量，表示变量的下界。
• ub：一个n×1的向量，表示变量的上界。
• x0：一个n×1的向量，表示变量的初始值。
• options：一个结构体，用于指定求解器的选项。
输出结果解释
linprog函数的输出结果包括五个变量，分别是x、fval、exitflag、output和lambda。
• x：一个n×1的向量，表示最优解。
• fval：一个标量，表示目标函数在最优解处的取值。 • exitflag：一个整数，表示求解器的退出状态。
• output：一个结构体，包含求解器的详细输出信息。
• lambda：一个结构体，包含最优解的约束条件的拉格朗日乘子。
示例代码
下面通过几个示例代码来演示linprog函数的用法。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学建模方法，用于求解线性约束条件下的最优解。整数规划（Integer Programming）是线性规划的一种扩展形式，要求变量取整数值。
在Matlab中，可以使用优化工具箱中的函数来求解线性规划和整数规划问题。以下将详细介绍如何使用Matlab进行线性规划和整数规划的求解。
1. 线性规划问题的求解步骤：
a. 定义目标函数：首先，需要定义线性规划问题的目标函数。目标函数可以是最小化或者最大化某个线性表达式。
b. 定义约束条件：其次，需要定义线性规划问题的约束条件。约束条件可以是等式或者不等式形式的线性表达式。
c. 构建模型：将目标函数和约束条件组合成一个线性规划模型。
d. 求解模型：使用Matlab中的优化工具箱函数，如linprog，对线性规划模型进行求解。
e. 分析结果：分析求解结果，包括最优解和对应的目标函数值。
2. 整数规划问题的求解步骤：
a. 定义目标函数和约束条件：与线性规划问题类似，首先需要定义整数规划问题的目标函数和约束条件。
b. 构建模型：将目标函数和约束条件组合成一个整数规划模型。
c. 求解模型：使用Matlab中的优化工具箱函数，如intlinprog，对整数规划模型进行求解。 d. 分析结果：分析求解结果，包括最优解和对应的目标函数值。
下面以一个具体的例子来说明如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题。
例子：假设有一家工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为200元。生产一个单位的产品A需要2小时，生产一个单位的产品B需要4小时。工厂的生产能力限制为每天最多生产10个单位的产品A和8个单位的产品B。求解如何安排生产，使得利润最大化。
