2019届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试数学(文科)试题(解析版)
- 格式：doc
- 大小：2.10 MB
- 文档页数：16
第 1 页 共 16 页 2019届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试数学（文科）试题
一、单选题
1．已知集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：，且，所以，得，所以，所以 ．
【考点】集合的交集、并集运算．
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：要使函数有意义,有,解得且,选C．
【考点】函数的定义域．
3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． y=lnx B． C． y=sinx D． y=cosx
【答案】D
【解析】
选项A：的定义域为（0,+∞），故不具备奇偶性，故A错误；
选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；
选项C：是奇函数，故C错；
选项D：是偶函数， 第 2 页 共 16 页 且，，故D项正确.
【考点】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.
4．在△ABC中，sin2A=sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosA，确定A的度数．
【详解】
已知等式利用正弦定理化简得：b2+c2﹣a2-bc=0，即b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理得：cosA==，
∵A为三角形的内角，
∴A=60°，
故答案为：B
【点睛】
此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
5．已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)且a∥b，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由已知得，再求的值.
【详解】
因为a∥b，所以，所以.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查向量平行的坐标表示和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的第 3 页 共 16 页 掌握水平和分析推理能力.
6．在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A． 直角三角形 B． 等腰三角形 C． 等腰直角三角形 D． 正三角形
【答案】A
【解析】
先化简sin Acos B＝sin C，即得三角形形状.
【详解】
由sin Acos B＝sin C得
所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π），
所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=,
所以三角形是直角三角形.
故答案为：A
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7．在△ABC中，有如下三个命题：①；②若D为BC边中点，则；③若，则△ABC为等腰三角形．其中正确命题的序号是( )
A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③
【答案】D
【解析】
由平面向量的加法运算判断①②正确；利用向量的数量积运算得到|AB|=|AC|判断③正确．
【详解】
由向量的运算法则知+==﹣，
∴++=，命题①正确；
∵D为BC边中点，
∴+=， 第 4 页 共 16 页 则=（+），命题②正确；
由（+）•（﹣）=0，
得，即，
∴|AB|=|AC|，
∴△ABC为等腰三角形，命题③正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量的加法运算与数量积运算，是中档题．
8．下列命题中，真命题是( )
A． ∃x0∈R， B． ∀x∈(0，π)，sin x>cos x
C． ∀x∈(0，＋∞)，x2＋1>x D． ∃x0∈R，＋x0＝－1
【答案】C
【解析】
根据同角三角函数的平方关系，我们可以判断A的正误；正弦函数和余弦函数的图象与性
质，我们可以判断B的真假；二次方程的判别式，可以判断C的正误；利用二次方程的判
别式判断得D正误.
【详解】
对于A，由同角三角函数和平方关系，我们知道∀，所以A为假
命题；对于B，取特殊值：当时x=时，sinx=cosx=，所以B为假命题；对于C，一元二
次方程根的判别式△=1﹣4=﹣3＜0，所以原方程没有实数根，所以C为真命题；对于D,判
别式，所以D错误.
故答案为：C 第 5 页 共 16 页 【点睛】
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中利用函数的性质，逐一分析四个结论的正
误是解答本题的关键．
9．如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A、B两点之间的距离为60 m,则树的高度为(
)
A． (30+30)m B． (30+15)m C． (15+30)m D． (15+15)m
【答案】A
【解析】试题分析：在中，
,由正弦定理得:,树的高度为, 故选A.
【考点】1、仰角的定义及两角和的正弦公式；2、阅读能力、建模能力及正弦定理的应用.
【思路点睛】本题主要考查仰角的定义及两角和的正弦公式、阅读能力、建模能力及正弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是将现实生活中的“树高”问题转化为书本知识“三角函数”的问题.
10．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则 ( )
A． a＜b＜c B． a＜c＜b
C． b＜a＜c D． c＜a＜b
【答案】B
【解析】 第 6 页 共 16 页 由于
故 的零点 ．的零点
；
的零点
由于函数 均是定义域上的单调增函数，
故选B
11．点P是曲线上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为( )
A． 1 B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：曲线是的图象，对函数求导，令，那么，解得（舍去），，当时，，切点为，可得与直线y=x-2平行的切线方程为，两平行线间距离，即为所求最小距离，由两平行线间的距离公式可得．
【考点】1．导数的运算；2．两平行线间的距离公式；3．数形结合．
12．设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A． (－∞，－1)∪(0，1) B． (－1，0)∪(1，＋∞)
C． (－∞，－1)∪(－1，0) D． (0，1)∪(1，＋∞)
【答案】A
【解析】试题分析：令，则当x>0时，，则在上单调递减；又为奇函数，所以为上偶函数，且，因此当时，，当时，，由偶函数性第 7 页 共 16 页 质知当时，，当时，，从而的取值范围是（一∞，一1）（0，1），选A．
【考点】函数性质综合应用
二、填空题
13．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________
【答案】
【解析】试题分析：在中，由正弦定理得.所以答案应填：．
【考点】1、正弦定理；2、三角形内角和定理．
14．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.
【答案】
【解析】
直接利用向量的垂直的充要条件列出方程求解即可．
【详解】
向量，，
因为，=（2λ+3，3），=（﹣1，﹣1）
则（2λ+3）（﹣1）+3（﹣1）=0，
解得λ=﹣3．
故答案为：-3
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件的应用，基本知识的考查．
15．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；第 8 页 共 16 页 ③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数，所有正确结论的编号为________．
【答案】②④
【解析】
∵T＝π，∴ω＝2．
又2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ＋．
∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．
由图象及性质可知②④正确．
16．已知函数f(x)＝x3－2x2＋x＋a，g(x)＝－2x＋，若对任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
分别求出g（x），f（x）的最大值和最小值，得到不等式组，解出即可．
【详解】
问题等价于f（x）的值域是g（x）的值域的子集，
显然，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（2）=，g（x）min=g（4）=﹣；
对于f（x），f′（x）=3x2﹣4x+1，令f′（x）=0，解得：x=或x=1，
x，f′（x），f（x）的变化列表如下：
x ﹣1 （﹣1，） （，1） 1 （1，2） 2
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） a﹣4 递增 +a 递减 a 递增 a+2
∴f（x）max=a+2，f（x）min=a﹣4，
