【教案】 二次函数与一元二次方程(3)

人教版九年级上数学第22章二次函数 22.2二次函数与一元二次方程（教案）

一、教学内容

人教版九年级上数学第22章二次函数 22.2二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系

- 二次函数的标准形式

- 二次函数图像与一元二次方程的解的关系

2. 二次函数的图像

- 开口方向与开口大小

- 对称轴与顶点

- 图像与x轴的交点

3. 一元二次方程的解法与应用

- 直接开平方法

- 配方法

- 公式法（韦达定理）

- 图像法

4. 实际问题中的应用

- 抛物线与坐标轴的交点问题

- 抛物线与直线的交点问题

- 最值问题

- 优化问题

5. 综合练习

- 理论知识巩固练习

- 实际问题解决练习

- 拓展提高练习

二、核心素养目标

1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，培养数学抽象和逻辑推理能力。

2. 通过分析二次函数图像，提升直观想象和数据分析的能力。

3. 掌握一元二次方程的多种解法，培养问题解决和数学运算的能力。

4. 将二次函数和一元二次方程应用于实际问题，增强数学建模和数学应用的意识。

5. 在小组讨论和问题解决过程中，培养合作交流、批判性思维和创新意识。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 二次函数与一元二次方程的关系：理解二次函数图像与一元二次方程解的关系，掌握二次函数标准形式及其图像特征。

- 举例：y=ax²+bx+c=0与y=ax²+bx+c的关系，如何通过二次函数图像求解一元二次方程的根。

- 二次函数图像的性质：掌握开口方向、开口大小、对称轴、顶点、与坐标轴的交点等概念。

- 举例：如何通过二次函数的一般式判断图像的开口方向和顶点位置。

- 一元二次方程的解法：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法（韦达定理）解一元二次方程。

- 举例：求解x²-5x+6=0，展示不同解法并比较各自优劣。 - 实际问题中的应用：学会将实际问题抽象为二次函数与一元二次方程模型，解决最值、交点等问题。

初三数学教案二次函数与一元二次方程

初三数学教案：二次函数与一元二次方程

一、教学目标

1. 理解二次函数的基本概念和性质。

2. 掌握二次函数的图像、顶点、对称轴等相关知识。

3. 熟练运用一元二次方程解题方法，包括配方法、求根公式等。

4. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学准备

1. 教学工具：投影仪、黑板、白板、教学PPT等。

2. 教学素材：相关教材、试题、例题、习题。

三、教学过程

1. 引入

（可以在黑板上绘制二次函数的图像）

本节课我们将学习二次函数与一元二次方程的知识。二次函数在数学中有着重要的作用，它的图像形状是一条抛物线。我们先来看一看二次函数的图像。

（通过PPT展示二次函数的图像，引导学生观察顶点、对称轴等） 在图像中，我们可以观察到二次函数的图像是关于一条垂直线对称的，这条垂直线被称为对称轴。图像的最高点或最低点叫做顶点。

2. 二次函数的基本概念和性质

（在黑板上记录二次函数的基本定义和性质，并通过PPT进行讲解和说明）

二次函数的基本定义：二次函数是一种具有公式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

性质1：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

性质2：对称轴的方程为x = -b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a)，f(-b/(2a)))。

性质3：二次函数的图像关于对称轴对称。

通过讲解和示例，让学生掌握二次函数的基本概念和性质。

3. 二次函数的图像及其应用

（以一些具体的图像和问题为例，让学生分析和讨论）

请观察下列二次函数的图像，请描述它们的开口方向、顶点等特点，并讨论它们在实际中的应用。

例：f(x) = x^2

例：f(x) = -2x^2 + 4x - 1 通过分析和讨论，引导学生深入理解二次函数图像的特点和应用。

4. 一元二次方程的解法

（通过例题和习题，让学生熟练掌握一元二次方程的解题方法）

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二次函数与一元二次方程、不等式

【教材分析】

三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

【教学目标】

课程目标

1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。

3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养

1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；

2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；

3．数学运算：解一元二次不等式；

4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；

5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

【教学重难点】

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；

难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。

【教学准备】

【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

【教学过程】 2 / 7

一、情景导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察。研探。

二、 预习课本，引入新课

阅读课本，思考并完成以下问题

1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。

2．解一元二次不等方的步骤？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

21.3二次函数与一元二次方程教学设计

课题 21.3二次函数与一元二次方程 单元 第21章 学科 数学 年级 九年级

学习

目标 一、知识与技能：

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

二、过程与方法

经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。

三、情感态度和价值观

在探究作二次函数与一元二次方程之间的内在联系；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。

重点 教学重点：

二次函数与一元二次方程的联系．

难点 二次函数与一元二次方程的关系综合解题．

教学过程

教学环节 教师活动 学生活动 设计意图

导入新课 第1课时

回顾旧知，引出问题：

1、一元二次方程x2-2x-3=0的根为：______

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△

=______。

当△﹥0方程根的情况是：

_______________；当△=0时，方程

_________________； 当△﹤0时，方程

___________。

3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条______，它与x轴的交点有几种可能的情况？

4.一次函数与一元一次方程的关系：一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标就是

一次方程kx+b=0的解。

那么，二次函数与一元二次方程有什么关系呢？ 学生利用已学知识思考并解答问题，根据老师的进一步引导，自然而然思考：二次函数与一元二次方程有什么关系呢？同时对旧知的应用也能激发学生对该问题的思考。 通过联系已学知识的，巩固旧知的应用，自然过渡学生对新知的问题的思考，并能主动思考，从而进入新知学习。