高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.1数系的扩充与复数的引入复数的确立素材

1 高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教材习题点拨 北师大版选修2-2

教材习题点拨

练习(P101)

1.解:(1)1＋2i实部为1,虚部为2,它是虚数;

(2)21+23i实部为2121,虚部为23,它是虚数;

(3)（3-1）i实部为0,虚部为3-1,它是纯虚数;

(4)0实部为0,虚部为0,它是实数.

思路分析:依据有关复数的基本概念去判断.

2.解:(1)（-2x+3)+(y-4)i=0.4,23,4,032yxyx

(2)(3x-2y)+(x+2y)i=3-6i.852,43,62,323yxyxyx

思路分析:(1)复数为零的充要条件是它的实部和虚部都为0.(2)两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等.

3.解:A点表示的复数是4+3i,B点表示的复数是-3+2i,C点表示的复数是-4-3i,D点表示的复数是-3i,E点表示的复数是3-2i.

思路分析:复平面内的点和复数是一一对应的,复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部.

4.答案:(1)b=0;(2)a=0;(3)b>0;(4)a<0.

思路分析:(1)点Z位于实轴上,必然是复数的虚部为零;(2)点Z位于虚轴上,必然是复数的实部为零;(3)点Z位于实轴上方,必然是复数的虚部大于零;(4)点Z位于虚轴左方,必然是复数的实部小于零.

5.解:(1)|z1|=2212)5(=13;(2)|z2|=41)5(422;(3)|z3|=22)1()3(=2.

思路分析:利用公式|z|=22ba计算即可.

习题51(P102)

A组

1.解:(1)复数（m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为实数的充要条件是:m2-3m-4=0,可以得出m=4或m=-1;

(2)复数(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为纯虚数的充要条件是:m2-2m-3=0且m2-3m-4≠0,可以得出m=3; 2 (3)复数(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为零的充要条件是:m2-2m-3=0且m2-3m-4=0,可以得出m=-1.

(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版

数系的扩充和复数的概念

教学目标

重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.

难点:虚数单位i的引进以及对复数概念的理解．

知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i及i与实数的运算规律

能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。

教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.

自主探究点：如何运用实数与虚数单位i的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件.

考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。

易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。

拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.

一、 引入新课

求下列方程的解:

(1)24x 2(2)40x (3)310x 2(4)20x 2(5)10x．

学生分析各题的解：(1)2x；(2)22xx或;1(3)3x；(4)22xx或；(5)实数集内无解.

通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.

如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。

【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．

二、探究新知

1.复习已学过的数系

问题1:数，是数学中的基本概念。到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?

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学习目标

理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：复数的定义

问题：方程210x的解是什么？

为了解决此问题，我们定义21iii，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .

新知：形如abi的数叫做复数，通常记为zabi（复数的代数形式），其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集|,CabiabR叫做复数集.

试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23i，84i，83i，6，i，29i，7i，0

反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z的实部，

叫做复数z的虚部.

对于复数(,)abiabR当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当

时，它是纯虚数；

探究任务二：复数的相等

若两个复数abi与cdi的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.

abi=cdi  ；

abi=0  .

注意:两复数 比较大小.

※ 典型例题

例1 实数m取什么值时，复数1(1)zmmi是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

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变式：已知复数22276(56)()1aazaaiaRa，试求实数a分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

例2已知复数abi与3(4)ki相等，且abi的实部、虚部分别是方程2430xx的两根，试求：,,abk的值.

练2. 已知i是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)zmimii，当m取何实数时，z是：

1 高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入例题与探究 北师大版选修2-2

高手支招3综合探究

1.含有参数形式的复数何时表示实数、虚数、纯虚数.

此类问题是涉及到复数的分类及各自概念,在理解的基础上注意它们的联系与区别,以此作为判断它们为实数、虚数、纯虚数的条件.

复数z=a+bi当且仅当b≠0时为虚数,当且仅当b=0时为实数,当且仅当a=0,b≠0为纯虚数,当且仅当a=0,b=0时为0.

下面以3m+9+(m2+5m+6)i,m为何值时表示实数、虚数、纯虚数为例说明.

(1)若表示实数则:m2+5m+6=0(即虚部必须为零);

(2)若表示虚数则:m2+5m+6≠0(即虚部不能为零);

(3)若表示纯虚数则:3m+9=0且m2+5m+6≠0(即实部必须为零,虚部不能为零).

2.两个复数相等的充要条件及应用时应特别注意的问题.

因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量相等来理解.在向量坐标表示中,两个向量相等则对应坐标要相等.

两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等.

在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a、b、c、d∈R,即当a、b、c、d∈R时,a+bi=c+di.,dbca但忽略条件后,则不能成立,因此解决复数相等问题,一定要把复数的实部与虚部分离出来.再利用复数相等的充要条件,化复数问题为实数问题.

3.复系数一元二次方程根的问题与实系数一元二次方程根的问题.

利用复数相等可解决复系数方程根的问题,如果复系数方程有实根,我们将其中的未知数视为等式中的一个实数,将方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.这里要特别注意,方程有实根务必注意不能用判别式Δ≥0来处理方程的根的问题,否则出错.

如果复系数一元二次方程无实根,则同样不能用Δ<0来处理.此时,方程有复数根,可设方程的根为z=m+ni(m,n∈R),然后,化简方程,使方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.