高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入本章概览素材
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第3章 数系的扩充与复数的引入
本章概览
内容提要
本章的主要内容是复数的有关概念，复数代数形式的运算以及数系的扩充等.
1.数集的扩充过程是
自然数集（N）→整数集（Z）→有理数集（Q）→实数集（R）→复数集（C）.
数集的每一次扩充，都使数集本身能适合更多种代数运算.
2.形如a+bi的数叫做复数，其中a、b∈R，i2=-1.当b=0时为实数，当b≠0时为虚数，当b≠0且a=0时为纯虚数. 全体复数所组成的集合称为复数集，记为C，即C={z|z=a+bi,a,b∈R}.
3.任一复数z=a+bi（a、b∈R）和复平面内的一点Z(a,b)对应，且是一一对应；任一复数z=a+bi（a、b∈R)与它对应的点所在平面内的一个向量OZ对应（O是坐标原点），且也是一一对应.
4.引进i2=-1后，复数的四则运算就可按实数的运算法则同样地进行，并且也满足关于加法、减法的运算律.复数的加、减、乘、除（除数不为0）运算的结果仍是复数.
5.本章中的常用结论
（1）共轭复数的常用性质：
设z=a+bi（a、b∈R），则
①z+z=2a;②z-z=2bi（纯虚数或零）；③（z）=z.
（2）共轭复数的代数运算：
①2121zzzz(可推广到任意有限个复数相加的情形)；②2121zzzz；③2121zzzz（可推广到任意有限个复数相乘的情形）；④nn)z(z；⑤2121zz)zz(（z2≠0）.
（3）共轭复数与模的关系：
zz=|z|2=|z|2.
(4)判断一个复数是纯虚数，可以从下面几个方面去思考：
①实部为0且虚部不为0，则z为纯虚数；②z+z=0且z≠0,则z为纯虚数；③若z为虚数，则z-z为纯虚数；④若z≠0且|z-a|=|z+a|(a∈R+)，则z为纯虚数；⑤若z为纯虚数，则可得z=ki（k∈R且k≠0）.
（5）判断一个复数是实数，可从如下几个方面思考：
①z的虚部为0，则z∈R;②z=zz∈R;③z+z∈R;④zz=|z|2∈R;⑤z1、z2为纯虚数，则z1·z2∈R.
学法指导
我们把一个数集连同相应的运算及结构叫作一个数系.本章内容——复数的引入实现了
中学阶段数系的最后一次扩充.
数系扩充的过程体现了数学发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中，将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.
在有关复数内容的学习过程中，切实注意：
1.复数的定义；
2.复数相等的概念及其充要条件；
3.复数的运算法则.
