2014年陕西高考理科数学试题及答案
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2014年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题目，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2014•陕西）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A
．[0，1]B
．[0，1）C
．（0，1]D
．（0，1）
2．（5分）（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x﹣）的最
小正周期是（）
A
．B
．πC
．2πD
．4π
3．（5分）（2014•陕西）定积分（2x+ex）dx的值为
（）A
．e+2B
．e+1C
．eD
．e﹣1
4．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）A
．an=2nB
．an=2（n﹣1）C
．a
n=2nD．an=2n﹣1
5．（5分）（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为
的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）
A
．B
．4πC
．2πD
．
6．（5分）（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方
形边长的概率为（）
A
．B
．C
．D
．
7．（5分）（2014•陕西）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A
．f（x）=xB
．f（x）=x3C
．f（x）=（）xD
．f（x）=3x
8．（5分）（2014•陕西）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性
的判断依次如下，正确的是（）A
．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假
9．（5分）（2014•陕西）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A
．1+a，4B
．1+a，4+aC
．1，4D
．1，4+a
10．（5分）（2014•陕西）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已
知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）
A
．y=﹣xB
．y=x3﹣xC
．y=x3﹣xD
．y=﹣x3+x二、填空题目（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小
题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=_________．
12．（5分）（2014•陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为
_________．
13．（5分）（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，
cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=_________．
14．（5分）（2014•陕西）观察分析下表中的数据：
多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）
三棱柱569
五棱锥6610立方体6812
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_________．
（不等式选做题）
15．（5
分）
（
2014•
陕西）设
a
，
b
，
m
，
n
∈
R
，且
a
2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为_________．
（几何证明选做题）
16．（2014•陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则
EF=_________．
（坐标系与参数方程选做题）
17．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，）到直
线ρsin（θ﹣）=1的距离是_________
．
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共
6小题，满分75分）18．（12分）（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
19．（12分）（2014•陕西）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，
BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
20．（12分）（2014•陕西）
在直角坐标系xOy中，已知
点A（1，1），B（2，3），
C（3，2），点P（x，y）在
△ABC三边围成的区域（含
边界）上．
（Ⅰ）若++=，求||；
（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求
m﹣n的最大值．
21．（12分）（2014•陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上
的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量
（kg）300500
概率0.50.5
作物市场价
格（元/kg）610
概率0.40.6
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
22．（13分）（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆
C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1
（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中
C1的离心率为．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点
P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直
线l的方程．
23．（14分）（2014•陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．
2014年陕西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题目，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）
考
点：交集及其运算．
专
题：集合．
分析：先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．
解
答：解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，
∴M∩N=[0，1）．
故选B．点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
2．（5分）
考
点：三角函数的周期性及其求法．
专
题：三角函数的图像与性质．
分
析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．
解
答：解：根据复合三角函数的周期公式得，
函数
f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．
点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．
3．（5分）
考点：定积分．
专
题：导数的概念及应用．
分
析：根据微积分基本定理计算即可
解
答：解：（2x+ex）dx=（x2+ex）=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．
点评：本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．
4．（5分）
考点：程序框图．专
题：算法和程序框图．
分
析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．
解
答：解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，
∴数列为公比为2的等边数列，∴an=2n．
故选：C．
点
评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）
考
点：球的体积和表面积．
专
题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．
解答：解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．
故选：D．
点
评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公
式和球的体积公式等知识，属于基础题．6．（5分）
考
点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：应用题；概率与统计；排列组合．
分
析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这
5
个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．
解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．
故选：C．
点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．
7．（5分）
考点：抽象函数及其应用．
专
题：函数的性质及应用．
分
析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．
