2015年陕西高考数学(理科)试题与答案

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

理科数学

一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的 . ）

1. 1.设集合M { x | x2 x} ，N { x | lg x 0}，则 M N （ ）

A ．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D ．( ,1]

【答案】 A

试题分析：

x x 2

x0,1 ， x lg x 0 x 0 x 1 ，所以

0,1 ，故选．

A

考点： 1、一元二次方程； 2、对数不等式；3、集合的并集运算．

【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属

于基础题型，难度不大。

2. 某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师

的人数为（）

A．167B．137C．123D．93

【答案】 B

考点：扇形图．

【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。

3. 如图，某港口一天 6时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin( x ) k ，据此函数

6

可知，这段时间水深（单位： m）的最大值为（ ）

A ．5 B．6 C．8 D．10

【答案】 C

试题分析：由图象知：

ymin

2 ，因为

ymin

3k ，所以

3 k

2 ，解得：

k

5 ，所以这段时

间水深的最大值是 ymax 3 k 35 8 ，故选 C．

考点：三角函数的图象与性质．

【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要

求，但作为基础题型，难度不大。

4. 二项式(x 1)n(n N ) 的展开式中x2的系数为 15，则n （ ）

A ．4 B ．5 C．6 D ．7

【答案】 C

考点：二项式定理．

【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于

基础题型。

5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A ．3 B ．4 C．24 D．34

【答案】 D

试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为 1，母线长为 2 ，所以该几何体

的表面积是1 2 1 1 2 2 2 3 4 ，故选 D．

2

考点： 1、三视图； 2、空间几何体的表面积．

【分析及点评】 三视图以及体积、面积求值几乎每年必考，今年也不例外，题目设置与往年没有改

变，难度不大，变化也不大。

6. “sin cos ”是“ cos 2 0 ”的（ ）

A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条

件

【答案】 A 试题分析：因为 cos2 cos2 sin 2 0 ，所以 sin cos 或 sin cos ，因为

“ sin cos ” “ cos2 0 ”，但“ sin cos ” “ cos 2 0 ”，所以“ sincos ”

是“ cos 20 ”的充分不必要条件，故选A．

考点： 1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．

【分析及点评】本题主要将三角函数与命题进行了简单结合，一方面要求学生三角恒等变化要特别

熟悉，另一方面对命题的各种类型都要熟悉。但是，题目设置不算复杂，与往年基本相同。

7. 对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ）

A ．| a b | | a ||b | B．| a b | ||a | | b ||

C．(a b)2| a b |2 2 2

D．(a b)(a b) a b

【答案】 B

考点： 1、向量的模；2、向量的数量积．

【分析及点评】作为数学中很重要的一中工具，向量几乎每年必考，但是基本分布在两个位置，选填和圆锥曲线，但是选择题中一般难度都不会太大，以基础考核为主。

8. 根据右边的图，当输入 x 为 2006 时，输出的y （ ）

A．28 B．10 C． 4 D． 2

【答案】 B

试题分析：初始条件： x 2006 ；第1次运行： x 2004 ；第2次运行： x 2002 ；第3次运行：

x 2000 ； ；第 1003 次运行：x 0；第 1004 次运行：x 2 ．不满足条件 x 0? ，停止运

行，所以输出的 y 32 1 10 ，故选B．

考点：程序框图．

【分析及点评】框图问题是高考中一个热点问题，尤其是循环结构，要求学生有良好的逻辑分析能力，

此题难度不大，主要还是以基础为主。

9. 设f ( x) ln x,0 a b ，若p f ( ab ) ，q f (a b ) ， r 1 ( f (a) f (b)) ，则下列关系

2 2

式中正确的是（ ）

A ．q r p B ．q r p C．p r q D．p r q

【答案】 C

考点： 1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．

【分析及点评】本题主要考察了函数单调性的应用以及基本不等式。要求学生一方面数学函数单调性以及不等关系的转化，另一方面对基本不等式的基本结构以及成立条件都要熟悉。

10. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ， B 两种原料．已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料

的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3万元、4 万元，则该企业每天可

获得最

大利润为（

）

A．12 万元B．16 万元C．17 万元D．18 万元

甲乙原料限额 A(吨)3212

B(吨)128

【答案】 D

试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y吨，则利润z3x4 y

3x 2 y12

x 2 y8

由题意可列，其表示如图阴影部分区域：

x 0

y 0

当直线 3x 4 y z 0 过点 A(2,3) 时，z取得最大值，所以zmax 3 2 4 318，故选D．

考点：线性规划．

【分析及点评】本题主要考察线性规划及其应用，一方面对线性问题转化要求较高，另一方面对函数，

尤其是变量关系的表示有较高要求。对文科生而言，难度较大。

11. 设复数 z ( x 1) yi ( x, y R) ，若 | z | 1 ，则 y x 的概率为（ ）

3 1 1 1 C． 1 1 1 1 A ．

2 B ．

2

2 D．

4 4 2

【答案】 B

试题分析： z (x 1) yi | z | ( x 1)2 y 2 1 ( x 1)2 y 2 1

如图可求得 A(1,1)， B(1,0) ，阴影面积等于 1 121 1 1

4 1

4 2 2

1

1 1，故选 B． 若 | z | 1 ，则 y x 的概率是4 2

12 4 2

【分析及点评】本题主要将复数问题和几何概型进行了融合，并且对两者都有较高要求，较之往年，

题目较为新颖。

考点： 1、复数的模；

2、几何概型．

12. 对二次函数 f (x) ax2 bx c （a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有

一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）

A．-1 是 f ( x) 的零点 B．1是 f (x) 的极值点

C．3 是 f ( x) 的极值 D . 点 (2,8) 在曲线 y f (x) 上

【答案】 A

考点： 1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．

【分析及点评】本题属于函数综合问题，要求学生对函数及其应用有较高的要求，极点、零点作为很

多学生常常混淆的概念，在同一问题中出现，要求学生一方面对基本概念必须熟悉，另一方面对常见

的零点和极点的判断方法有一定的了解。

二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）

13. 中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．

【答案】 5

【解析】

试题分析：设数列的首项为a1，则 a1 2015 2 1010 2020 ，所以 a1 5 ，故该数列的首项为5 ，

所以答案应填：5 ．

考点：等差中项．

【分析及点评】本题主要考察了等差数列，对等差数列的相关性质有较高要求。

14. 若抛物线y2 2 px( p 0) 的准线经过双曲线 x2 y2 1的一个焦点，则p=．

【答案】 2 2

考点： 1、抛物线的简单几何性质； 2、双曲线的简单几何性质．

【分析及点评】本题将抛物线和双曲线进行综合，一方面要求学生对两者概念务必熟练，对参数及其

以及也能很好掌握，但是在本题中，两者的融合方式较为简单，属于基础简单题型。

15. 设曲线y ex在点（0,1）处的切线与曲线 y 1 ( x 0) 上点p处的切线垂直，则 p 的坐标

x

为 ．

【答案】 1,1

试题分析：因为 y ex，所以 y ex，所以曲线 y ex在点 0,1 处的切线的斜率 k1 y x 0 e0 1 ，

x0 , y0 1

，因为 y 1 1 1

设的坐标为 （ x0 0 ），则y0 ，所以 y

x 2，所以曲线 y 在点

x0 x x

处的切线的斜率 k2 y x x 1 ，因为 k 1 k 2 1，所以 1 1 ，即x2 1 ，解得 x 1 ，

0 2 2 0 0

x0 x0

因为 x 0 ，所以 x

01 ，所以 y

0 1 ，即 的坐标是 1,1 ，所以答案应填： 1,1 ．

0

考点： 1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．