上海市普陀区2019届高三三模考试数学试题 含解析

2019年上海普陀区高考数学三模试题

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1.已知全集，集合，则______.

【答案】.

【解析】

【分析】

利用补集的概念得答案.

【详解】因为全集，集合，所以，

故答案是：.

【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.

2.四个数据：1，3，3，5的标准差是______.

【答案】.

【解析】

【分析】

先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差.

【详解】这组数据的平均数是：，

方差为，

标准差为，

故答案是：.

【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.

3.已知函数偶函数，且，则______.

【答案】5.

【解析】

【分析】

设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.

【详解】因为是偶函数，

所以设，

则，

即，

因为，所以，

即，

故答案是：5.

【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.

4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______.

【答案】

【解析】

试题分析：．

考点：抛物线及其性质．

5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为______.

【答案】.

【解析】

【分析】

根据一个半球的俯视图是半径为1的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球面和一个大圆的面积和求得结果.

【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1的圆，

所以该半球对应的球的半径为1，

所以该半球的表面积为，

故答案是：.

【点睛】该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式，属于简单题目.

6.对数不等式的解集是，则实数的值为______.

【答案】2.

【解析】

【分析】

先解出不等式，再结合已知解集，可得结果.

【详解】将对数不等式两边同时乘以，得，

即，

所以此不等式的解为：或，

因为其解集为，

所以，

故答案是：2.

【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目.

7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为______.

【答案】.

【解析】

【分析】

首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.

【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，

所以其公比满足，且，

所以，

当时，，

当时，，

所以首项的取值范围为，

故答案是：.

【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.

8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．

【答案】

【解析】

试题分析：，由正弦定理得.

考点：解三角形，三角形外接圆.

9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为______.

【答案】5.

【解析】

【分析】

首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值.

【详解】解方程，可得，

所以，所以，

所以，解得，

故答案是：5.

【点睛】该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式，属于简单题目.

10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.

【答案】4或7.

【解析】

【分析】

先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.

【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，

取到的一个数大于，另一个数小于，

比小的数有个，比大的数有个，

故一共有个基本事件，

由题意可得，

即，整理得，

解得或，

故答案是：4或7.

【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.

11.若，，，且，，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.

【详解】∵，

∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，

即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.

由可得.

故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.

再由，，，

所以和的范围都是，

由于函数x3+sinx在上单调递增，

故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，

所以，，∴，

则的值为.

【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______.

【答案】.

【解析】

【分析】

由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.

【详解】因为，，

所以，

所以直线的方程为，

设，所以，

因为恒成立，

所以恒成立，

所以，

因为在时小于等于0恒成立，

所以，

①当或时，显然成立；

②当时，，

所以由基本不等式得，

此时，

所以的最大值为，

故答案是：.

【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由得，即，

因为与均为单位向量，所以，

即，则，即成立，

反之，当时，，，

从而可以得到，

所以是的充要条件，

故选C.

【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，单位向量的模为1，向量夹角的余弦公式，属于简单题目.

14.设，则的值为（ ）

A. 2 B. 0 C. D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

分别令和即可求得结果.

【详解】

令，可得：

令，可得：

本题正确选项：

【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.

15.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进而得到直线与双曲线焦点的个数有1个或两个，从而得到结果.

【详解】因为，是关于的方程的两个实数根，

所以，

且，，

又因为，

所以直线的方程为：，

即，

即，即，

所以直线恒过点，

因为方程的两个实数根，

所以，解得或，

因为直线过点，且斜率为，

所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点，

所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的，

故选D.

【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目.

16.在平面上，，，.若，则 的取值范围是( )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先由0得，再由推理得，再计算2－，最后根据推理得 的取值范围.

【详解】∵，∴

＝＝0，

∴.

∵，

∴，

∴. ∴，

∵，

∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－，

∵，∴0≤，

∴0≤，

∴ ，即||∈.

故答案：D

【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键的地方有两点，其一是由0得，其二是由推理得，本题属于难题.