【初中数学】因动点产生的平行四边形问题

精品文档 1 例 2014年河南省中考第23题

如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(5, 0)两点，直线334yx与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE＝5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14河南23”，拖动点P运动，可以体验到，PE与EF的比值，有两个时刻等于5．当点E′落在y轴上时，四边形PE′CE是菱形．

思路点拨

1．用含有m的式子表示PE、EF的长，注意EF存在两种情况．

2．第（3）题我们这样来思考：假如点E′落在了点C上方的某个位置，那么∠EC E′其实是确定的，作角平分线就得到了点P的位置．点P确定了，就可以确定点E、E′的准确位置．此时比较容易观察到菱形PE′CE．根据EC＝EP解方程的时候，转化为m的四次方程，把这个四次方程用开平方法转化为两个二次方程．解得到m的四个根．

这四个根的几何意义是当点E′在C上方时，角平分线所在直线与抛物线有两个交点；当点E′在C下方时，角平分线所在直线与抛物线也有两个交点．注意舍去x轴下方的解．

满分解答

（1）因为抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(5, 0)两点，

所以y＝－(x＋1)(x－5)＝－x2＋4x＋5．

（2）点P的横坐标为m，那么P(m,－m2＋4m＋5)，E(m,334m)，F(m, 0)．

所以22319(45)(3)244PEmmmmm．

若PE＝5EF，存在两种情况：

如图2，当E在F上方时，334EFm．解方程219325(3)44mmm，

得m＝2，或132m（点P在x轴下方，舍去）．

如图3，当E在F下方时，334EFm．解方程219325(3)44mmm，

得1692m，或1692m（点P在x轴下方，舍去）． 精品文档 2

图2 图3

（3）点P的坐标为111(,)24，或(4,5)，或(311,2113)．

考点伸展

第（3）题的思路是这样的：

如图4，当点E′落在y轴上时，四边形PE′CE是菱形．这是因为：

根据对称性，CE＝CE′，∠PCE＝∠PCE′．

又因为PE//CE′，所以∠PCE＝∠CPE′．所以∠PCE′＝∠CPE′．

所以CE′＝PE′．所以四边形PE′CE是平行四边形．

所以四边形PE′CE是菱形．

由E(m,334m)、C(0, 3)，得2222325()416ECmmm．而21924PEmm，由EP＝EC，可得两个方程：

解方程2195244mmm，得12m，或m＝4（如图4所示）．

解方程2195244mmm，得311m，或311m（点P在x轴下方，舍去）（如图5所示）．

图4 图5 精品文档 3 例 2014年连云港市中考第26题

已知二次函数y＝x2＋bx＋c，其图像抛物线交x轴于A(1, 0)、B(3, 0)两点，交y轴于点C．直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与A、B重合）．

（1）求此二次函数关系式；

（2）若直线l1经过抛物线的顶点D，交x轴于点F，且l1//l，则以C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由；

（3）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，联结OG、BE，试证明OG//BE．

动感体验

请打开几何画板文件名“14连云港26”，拖动点E在抛物线上运动，可以体验到，以C、D、E、F为顶点的四边形有四次机会成为平行四边形．

思路点拨

1．四个点C、D、E、F中，C、D是确定的，以CD为分类标准，分两种情况讨论平行四边形．CD为对角线时，CF//ED；CD为边时，CD//EF．

2．在坐标平面内，如果有平行线，那么构造直角边与坐标轴平行的直角三角形，通过三角比进行运算比较简便．

满分解答

（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A(1, 0)、B(3, 0)两点，

所以y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3．

（2）由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，得顶点D的坐标为(2,－1)．

如图1，如果CF//ED，过点E作x轴的垂线，过点D作x轴的平行线，两条直线交于点H，那么△EDH≌△CFO．所以EH＝CO＝3，DH＝FO．

设FO的长为m，那么点E的坐标可以表示为(2＋m, 2)．

将E(2＋m, 3)代入y＝(x－2)2－1，得m2－1＝2．解得m＝±3．

所以点E的坐标为(2＋3, 2)（如图1），或(2－3,2)（如图2）．

图1 图2

如图3，如果CD//EF，那么△EFN≌△CDM．

因此EN＝CM＝4，FN＝DM＝2．

设OF＝m，那么点E的坐标可以表示为(m－2, 4)．

所以(m－4)2－1＝4．解得m＝4±5． 精品文档 4 所以点E的坐标为(2＋5, 4)（如图3），或(2－5,4)（如图4）．

图3 图4

（3）如图5，设点E的坐标为(x, x2－4x＋3)．

过点G、E分别向y轴作垂线，垂足分别为G′、E′，那么''''CGCEGGEE．

所以233(43)1Gyxxx．解得yG＝x－1．

过点E作EK⊥x轴于K．

因为24313EKxxxBKx，1GAxOA，所以EKGABKOA．

因此tan∠EBK＝tan∠GOA．所以∠EBK＝∠GOA，OG//BE．

图5

考点伸展

第（3）题也可以这样思考：

如图5，设过点C(0, 3)的直线l的解析式为y＝kx＋3．

联立抛物线的解析式y＝x2－4x＋3，可以将点E的坐标表示为(k＋4, k2＋4k＋3)．

点G是直线x＝1和直线y＝kx＋3的交点，所以G(1,k＋3)．

于是243343EKkkkBKk，3GAkOA，所以EKGABKOA．

精品文档 5 例 2014年日照市中考第24题

已知抛物线23632yxbx经过A(2, 0)，顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求b的值，求出点P、B的坐标；

（2）如图1，在直线3yx上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14日照24”，拖动点D运动，可以体验到，四边形OPBD可以成为平行四边形．拖动点M运动，可以体验到，当△AMP≌△AMB时，点M落在∠BAP的平分线上．

思路点拨

1．有平行四边形，必然可以构造出两个全等的直角三角形，直角边与坐标轴平行．

2．△AMP与△AMB有公共边AM，如果△AMP≌△AMB，那么直线AM就是对称轴．

满分解答

（1）将A(2, 0)代入23632yxbx，

得232630b．解得43b．

所以2343632yxx23(812)2xx

3(2)(6)2xx23(4)232x．

因此(4,23)P，(6,0)B．

（2）如图2，过点P作PE⊥x轴，垂足为E．

由于tan∠OBP＝PEBE＝23364，所以BP与直线3yx平行． 精品文档 6 因此当BD//PO时，四边形OPBD为平行四边形．因此OD＝PB．

过点D作DF⊥x轴，垂足为F．

因为BP＝OD，所以DF＝PE＝23，OF＝BE＝2．

所以点D的坐标为(2,23)．

图2 图3 图4

（3）如图4，由A(2, 0)、(4,23)P、(6,0)B，

得AB＝4，AP＝222(23)4．所以AB＝AP．

因此∠BAP的平分线与抛物线的交点M，就满足△AMP≌△AMB．

考点伸展

第（3）题也可以用方程来解：

设点D的坐标为(,3)xx．由OD＝PB，得OD2＝PB2．

所以x2＋3x2＝16．解得x＝±2．

当x＝2时，如图2所示。

但是当x＝－2时，如图3所示，四边形ODPB是平行四边形，而不是四边形OPBD．

精品文档 7 例 2014年陕西省中考第24题

如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M′上下运动，可以体验到，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有四种情况．

思路点拨

1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．

2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．

3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．

4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．

满分解答

（1）将A(－3,0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

930,3.bcc 解得b＝－2，c＝3．

所以抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3．

（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．

（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．

因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．

那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：

抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；