--中考压轴题--1.4因动点产生的平行四边形问题含答案

1.4 因动点产生的平行四边形问题

成都市中考第28年题 例1 20172－2ax－3a（a＜＝ax0）与x轴交于A、B两点1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yyy轴负半轴交于点C，与抛物线的＝kxb：在点B的左侧），经过点A的直线l与A（点＋另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

5，求a的面积的最大值为的值； E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE点（2） 4

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

图1 备用图

例2 2017年陕西省中考第24题

2＋bx＋c经过A(－3,0)和Bx如图1，已知抛物线C：y＝－(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

图1

例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题

2＋bx＋c经过A(0, 1)、y1，已知抛物线＝－xB(4, 3)两点． 如图（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

图1

例4 2017年福州市中考第21题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

动点之平行四边形问题(含特殊四边形)

【例5】(2019·广东中考模拟)如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A(3，3)，AC⊥OA与x轴的交点为C．动点M以每秒3个单位长度由点A向点O运动．同时，动点N以每秒3个单位长度由点O向点C运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动．

(1)写出∠AOC的值；

(2)用t表示出四边形AMNC的面积；

(3)求点P的坐标，使得以O、N、M、P为顶点的四边形是特殊的平行四边形？

【答案】(1)30°；(2)2963(02)4tt；(3)333P3tt,t22.

【解析】(1)如图1中，作AH⊥OC于H．在Rt△AOH中，解直角三角形求出∠AOH即可解决问题．

(2)作MK⊥BC于K．根据S四边形AMNC＝S△OAC﹣S△OMN，计算即可．

(3)分别考虑以OM，ON，MN为平行四边形的对角线，利用平行四边形的性质求解即可．

【详解】解：(1)如图1中，作AH⊥OC于H．

∵A(3，3)，

∴OH＝3，AH＝3，

∴tan∠AOH＝AHOH＝3，

∴∠AOH＝60°，

∵OA⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∴∠ACO＝30°．

(2)作MK⊥BC于K．

在Rt△AOH中，∵OH＝3，∠OAH＝30°，

∴OA＝2OH＝23，

在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝23，

∴AC＝3OA＝6，

∵OM＝3t，

∴MK＝OM•sin60°＝32t，

∴S四边形AMNC＝S△OAC﹣S△OMN

＝12•OA•AC﹣12•ON•MKa

＝12×23×6﹣12×3t×32t

＝63﹣94t2(0＜t＜2)．

(3)当四边形CNMP1是平行四边形时，P1(32t﹣3t，32t)．

当四边形ONP2M是平行四边形时，P2(32t+3t，32t)．

当四边形OMNP3是平行四边形时，P3(3t﹣32t，﹣32t)．

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

因动点产生的平行四边形问题

例 1 2012年福州市中考第21题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．

请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.

思路点拨

1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．

2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．

满分解答

（1）QB＝8－2t，PD＝43t．

（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．

5.因动点产生的平行四边形问题

1.如图，抛物线214yxbxc与x轴交于5,0A、1,0B两点，过点A作直线ACx轴，交直线2yx于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点A关于直线2yx的对称点A的坐标，判定点A是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：（1）∵抛物线214yxbxc与x轴交于5,0A、1,0B两点

∴25504104bcbc解得154bc

∴抛物线的解析式为21544yxx

（2）

过点A作AEx轴于E，AA与OC交于点D

∵点C在直线2yx上，5,10C

∵点A和A关于直线2yx对称，OCAA，ADAD

5,10,OAAC

222251055OCOAAC

1122OACSOAACOCAD，

25,45ADAA

在RtAEA和RtOAC中

90AAEAAC，

90ACDAAC

AAEACD

又90AEAOAC，AEAOAC∽

AEAEAAOAACOC，即4551055AEAE

4,8,3AEAEOEAEOA

点A的坐标为3,4

当3x时，21533444y ∴点A在该抛物线上

（3）存在

理由：设直线CA的解析式为ykxb

则51034kbkb解得34254kb

∴直线CA的解析式为32544yx

设215,44Pxxx，则325,44Mxx

PMAC∥