离散数学数学归纳法

离散数学证明方法有哪些离散数学作为一门重要的数学学科，是许多计算机科学领域的基础概念和技术。

在离散数学中，证明是一项至关重要的任务，因为它可以确保我们得出的结论是准确的，并且在实际应用中具有可靠性。

因此，了解离散数学证明方法是十分必要的。

离散数学证明方法可以分为以下几种：1. 归纳法证明归纳法证明是一种常用的证明方法，适用于证明某种结论对于所有自然数n都成立。

归纳法证明需要两个步骤：首先，证明基础情况。

这意味着我们需要证明当n=1时，结论是正确的。

其次，证明归纳情况。

这意味着我们需要证明如果结论对于某个正整数k成立，那么它对于n=k+1也成立。

举一个例子，我们想要证明对于所有正整数n，都有1+2+3+...+n=(n+1)n/2。

首先，我们证明当n=1时，结论成立。

即1=（1+1）x 1/2。

其次，我们假设结论对于所有n<=k成立，我们需要证明它对于n=k+1也成立。

这里，我们可以将1+2+3+...+k的和替换为(k+1)k/2，将结论转化为(k+1)k/2+(k+1)=(k+2)(k+1)/2。

这个等式显然成立，所以我们可以得到结论对于所有正整数成立。

2. 反证法证明当我们遇到一个表面上很显然的结论，却无法直接证明时，我们可以考虑使用反证法证明。

这种方法通常与条件陈述相关。

我们首先假设结论是错误的，然后通过这个假设推出一个与已知条件相矛盾的情况。

这说明了我们的初始假设是错误的，即结论是正确的。

例如，我们想要证明所有整数都是有理数。

我们可以假设存在一个整数x，它不是有理数。

这意味着x不能表示为一个整数除以一个整数。

但是，这与有理数的定义相矛盾，因为有理数可以表示为两个整数之间的比例。

因此，我们可以得出结论：所有整数都是有理数。

3. 直接证明法直接证明法是一种简单明了的证明方法，适用于证明给定条件下是否成立某种结论。

这种证明方法通常采用了逻辑推理和已知数学定理。

例如，我们想要证明如果两个整数都是偶数，那么它们的和也是偶数。

用数学归纳法证明离散数学的有关结论第9卷第2期北京印刷学院2001年6月V o1.9No.2JournalofBeingI~stituteofGraphicCommunicationJtm.2001文章编号:1004—8626(2001)02—002303用数学归纳法证明离散数学的有关结论程晓锦,徐秀花(北京印刷学院电子工程系,北京102600)摘要:鉴于涉及自然数,应用数学归纳法证明了离散数学有关集合中关系及其性质,树及其性质等结论.由于降低了证明过程的复杂性,使推理过程更严谨,清晰,简单.关键词:数学归纳法;离散数学;自然数;析中囝分类号:0158文献标识码:A数学归纳法是数学证明的一种重要工具,对于1o(奠基)P()在一1时成立,与自然数有关的命题,一般都可以用数学归纳法加2.(归纳)在P()(是任意自然数)成立的假以证明.数学归纳法有多种形式:第一数学归纳法,定下,可以推出P(k+1)成立,则P()对一切自第二数学归纳法,反向归纳法,二重归纳法,等等.然数都成立.离散数学以离散问题为研究对象,其中很多的结论根据撮小数原理(自然数的良序原理):N的任均与自然数有关.本文应用第一数学归纳法和第二一空子集中,必有最小数.可得数学归纳法,来证明离散数学中的某些结论.定理2(第二数学归纳法)设P()是关于自然数的命题,若1数学归纳法1.(奠基)P()在一1时成立,2o(归纳)在P)(1≤≤,是任意自然意大利数学家皮亚诺(G.Peano)提出了有关数)成立的假定下,可以推出P(k+1)成立,则自然数的公理.P()对一切自然数都成立.集合Ⅳ的元素叫做自然数,如果Ⅳ的元素问有一个基本关后继"(用"+"表示)并满足下列2应用数学归纳法证明离散数学的公理:有关结论I1∈N;I对任何n∈N,有唯一的∈Ⅳ{2.1集合中关系及其性质I对任何n∈N,不是1;定义1从集合A到集合B的一个关系R是Ⅳ对任何n,b∈N,若与b相同,则n等A×B的一个子集,当A—B时,称R是^上的关于6(记为d一6);系.V(归纳公理)若M亡N,且利用集合论的方法,可将R表示成l.1∈MR一{(,)l∈A,Y∈B).2.对任何n∈M,若∈M,则M—N.定义2设R是一个从x到y的关系,是一根据数学归纳法,有个从y到Z的关系,则R与的复合关系定义为定理1(第一数学归纳法)设P()是关于自R.S一{(,z)l∈Z,至少存在一个∈y,然数的命题,若有,)∈R,(,)∈).收稿日期;2000—12-O1l艇j.1:北京印刷学院2001缸根据上面的定义,容易得到定理3设R,s,分别表示从x到y,y到z,z到LT的关系,则有(R.S).T—R.(S.).上述定理说明关系的复合运算满足结合律.因此,对于x上的关系R,R与自身的复合R.R可记为R,R.RR可记为R.故而,可以用下面的方式来定义关系的幂:定义3设有一个集合x上的关系,则R可定义如下(1)R一R;(2)R一R利用第一数学归纳法,容易证明如下性质.定理4R是x上的一个关系,则有.=(1)(R)一R册(2)证明任取m∈N,对施行归纳法.首先证明式(1)1.当n一1时,一R.R—R(由定义3)2.假设一时式(1)成立,即R=Rm+当一是+1时,R.R一R,(.R)一(.)R一.R—R….即当一五+1时,a:R叶.综上所述,对任意自然数,有.=R用同样的方法,可以证明式(2)成立.求关系的闭包运算作为二元关系中的重要运算,它是二元关系的扩充,以保证其具有某种性质. 关于传递闭包运算,有如下的定义.定义4设R是x上的一个关系,则R的传递闭包是一个满足下列条件的关系:(1)是传递的}(2)RfR;(3)设R是传递的,且]R,则必有]R.可用f(R)表示R的传递闭包.对于X上的关系R,有如下定理.定理5设R是x上的关系,则(R)=U一RURURUR.U…证明用第一归纳法先证明U(R).(1)当一1时,根据传递闭包定义,Rt(R);(2)假定≥1时,R(R).设(z,)∈",因为R一.R,故必有某个c∈X,使,)∈,(c,)∈R.由归纳假设,有(,c)∈(R), (c,)∈(R),即(z,)∈t(R),所以R三(R).故对任意的自然数,有R三(R),因而UR三f(R)l一1再证(R)UR.设(z,)∈U,(,)∈U,则必存在整数?一1一1 S,使得,)∈,(,)∈,这样,(z,)∈Rl.,即,(z,)∈U,【1所以,U是传递的.由传递闭包的定义,可知(R)一UR.2.2树及其性质树,是图论中的重要概念,在计算机算法设计中占有非常重要的地位下面主要用数学归纳法证明树的性质.定义5树是不含回路的连通图.如果一棵树有个结点,tn条边,则称之为(,m)树定理6在(,m)树中,tn—一1.利用第二数学归纳法可证明此定理证明任取自然数tn,对旅行归纳(1)当=1时,则此树无边,即m一0,结论成立.(2)假设对所有≤,结论成立.当=+1时,设G为(,m)树.由于G不含任何回路,故从G中删去一边后,变成两个互不连通的子图.而每个子图则是连通的,故每个子图均为树设它们分别是(,m)树及(啦,m)树,则&lt;≤,啦&lt;≤,由归纳假设可得第2期程晓锦,棣秀花:用数学归纳法证明离散数学的有关结论25m一n一1,m一n一1证明对分支点数目n进行归纳.又因为当"一1时,E一2,I一0,故E—I+2n成"一+啦,m—ml+m2+1,立.故有m一"+一1一"一1,即当"一^+1假设"一k一1时成立,即E一+2(k一1)a 时,结论成立.当"一^时,若删去一个分支点,该分支点与根的因此,对任意的",(",m)树满足m一"一1通路长度为z,且的两个儿子是树叶,得到新下面利用第一数学归纳法证明完全二叉树的T.将T与原树比较,它减少了两片长度为z+1性质的树叶和一个长度为的分支点,因为有(^一定义6在根树中,若每个顶点的出度小于或1)个分支点,故等于m,则称这棵树为m叉树,如果每个顶点的出E一J+2(k一1)度恰好等于m或0,则称这棵树为完全m叉树,当但在原树中,有m一2时,称为二叉树.E—E+2(z+1)一z—+z+2,为了讨论二叉树的性质,先给出通路长度的概1=1+1,念.代入上式,得定义7在根树中,一个结点的通路长度,就E—一2—1一+2(k一1),是从树根到此结点的通路的边数.其中,分支结点即的通路长度称为内部通路长度,树叶的通路长度称E—+2n.为外部长度.定理7若完全二叉树有"个分支点,且内部综上所述,利用数学归纳法证明与自然数有关通路长度的总和为,外部通路长度的总和为E,则的命题,可降低证明过程的复杂性,使推理过程简E—J+2"单,清晰,也保证了推理的严谨性.参考文献:[1]徐癌磐.离散散学导论[M].北京:高等教育出版社,1991.[2]左孝瘟,等.离散数学[M].上海:上海科学技术文献出版社.1982 ConclusionsonProvingDiscreteMathmaticsbyMathmaticInductionCHENGXiao-蜘,XUXiu-hua(BeiitngI~stituteofGtaphicCommunicationBeng102600,China)Abstract:Inviewofthefactrelatingtonaturalnumber,sonlepropertiesaboutrelation0l1aseta ndsome propertiesabouttreeindiscretemathmaticsareprovedbymathmaticinduction.Asthecompl exityofthepro-cessisreduced,itoffersmoreaccuracy,clarityandsimplenesstoinference.Keywords:mathmatieinduction,discretemathmatics,naturalnumber,tree。

注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。

也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。

选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。

如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。

关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。

当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。

蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。

离散数学证明方法有哪些离散数学中的概念和定理偏多，思维较抽象，证明强调技巧性但改变不多。

下面我给大家整理了关于离散数学证明方法，盼望对你有协助!1离散数学证明方法离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中根底理论的核心课程。

离散数学以探究离散量的构造和相互间的关系为主要目标，其探究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。

2离散数学证明方法干脆证明法干脆证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有一样的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。

干脆证明法有两种思路，第一种是从确定的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，那么可以先从确定条件遵照定理推出一些中间的条件(这一步可能是没有目的的，要看看从确定的条件中能够推出些什么)，接着，选择可以推出结论的那个条件接着往下推演;另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看从哪些条件可以得出这个结论(这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件)，以此类推始终到确定的条件。

通常这两种思路是同时进展的。

反证法反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在”等的题目。

它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着依据这个否命题和确定条件进展推演，直至推出与确定条件或定理相冲突，那么认为假设是不成立的，因此，命题得证。

构造法证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出冲突，也可以干脆构造出这么一个例子就可以了。

这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。

值得留意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比拟隐藏罢了，像证明两个集合等势，事实上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以干脆构造出这个双射。

数学归纳法数学归纳法是证明与自然数有关的题目，而且这一类型的题目可以递推。

离散数学公式范文离散数学是一门关于离散结构及其运算规则的数学课程。

它研究的对象包括离散对象（如集合、图、函数等）和离散运算（如关系、代数运算等），以及这些对象和运算之间的关系和性质。

离散数学具有广泛的应用领域，如计算机科学、信息技术、电子通信等。

本文将介绍一些离散数学中常用的公式及其应用。

一、集合公式1.交集运算：对于集合A和B，它们的交集记作A∩B，定义为A和B 中都包含的元素所组成的集合。

A∩B={x，x∈A且x∈B}2.并集运算：对于集合A和B，它们的并集记作A∪B，定义为A和B 中所有元素所组成的集合。

A∪B={x，x∈A或x∈B}3.差集运算：对于集合A和B，它们的差集记作A-B，定义为属于A 但不属于B的元素所组成的集合。

A-B={x，x∈A且x∉B}4.对称差运算：对于集合A和B，它们的对称差记作A△B，定义为属于A或属于B但不同时属于A和B的元素所组成的集合。

A△B={x，(x∈A且x∉B)或(x∉A且x∈B)}二、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，用于证明一类命题对于所有正整数成立。

它的基本思想是通过证明基本情况成立，然后证明如果对于一些正整数n成立，则对于n+1也成立，从而得出结论对于所有正整数成立。

数学归纳法的三个步骤：1.基础步骤：证明当n取最小值时命题成立。

2.归纳假设：假设当n=k时命题成立，即P(k)成立。

3.归纳步骤：证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。

三、逻辑公式逻辑公式是描述命题之间关系的数学表达式。

常用的逻辑公式有如下几种：1.否定：对于命题p，它的否定记为¬p，表示p是假的。

2.合取：对于命题p和q，它们的合取记为p∧q，表示p和q同时为真时整个表达式才为真。

3.析取：对于命题p和q，它们的析取记为p∨q，表示p和q至少有一个为真时整个表达式才为真。

4.蕴含：对于命题p和q，它们的蕴含记为p→q，表示如果p为真，则q也为真；如果p为假，则整个表达式为真。

离散数学章节总结离散数学章节总结第⼀章[命题逻辑]1.逻辑运算1.否定:Negation? NOT2.交:Conjunction AND3.并:Disjunction OR4.蕴含:Implication IMPLIES5. Biconditional ? IFFXOR2.逆/否/逆否1.逆:converse2.否:inverse3.逆否:conytrapositive3.问题的⼀致性[逻辑等价]→q 等价于?p q 等价于? q→?p2. p q 等价于?p→qp q 等价于?( p→?q)3.(p→q)(p→r) 等价于p→(q r)(p→r)(q→r) 等价于(p q)→r(p→r)(q→r)等价于(p q) →r4.证明等价: 真值表逻辑符号证明找反例(假设左为假右必为假假设右为假左必为假)[ 谓词逻辑]1.量词存在任意量词顺序不能随机改变不全为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x )没有⼀个为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) [ 推理][ 证明]1.证明⽅法:直接证明间接证明反证列举证明(列举所有情况) 构造证明(构造出满⾜结论的元素)2.证明步骤:正向证明反向证明第⼆章[ 集合及运算]1.特殊集合: R Q Z ⽆穷/有限集2.集合表述⽅法: 列举法描述法图表法3.集合运算: 交/并/补/差/取⼦集P(S)/元素数|S|/乘积P ×Q /BA B A B A B A ?=??=? n i iA 1= X A A ∈ ni iA 1= XA A∈容斥原理A i i =1n=Ai1≤i ≤n ∑-A iAj1≤inA ii =1n4.证明集合相等:1.证明互为⼦集 2.从属表 3.逻辑证明[ 函数]1.函数的定义2.术语：定义域，值域，象，原象，范围， (a)/f(A)第五章[序、归纳]1.序：在某种关系下存在最⼩元素则为well-ordered2.第⼀数学归纳法：basic step P(C)成⽴and inductive step P(k)→P(k+1)3.第⼆数学归纳法:basic step:P(c)成⽴ and inductive step: 任意k⼩于等于nP(k) 成⽴→P(n+1) [递归]1.递归：以相同形式⽤⼩的项来定义的⼤的项不能⼀直递归下去（存在初始项）必须存在可以直接解决问题的⼀项①basic step:原有元素② recursive step:原有元素如何产⽣新元素2.字符串的定义：空字符，回⽂3.结构归纳：⽤于证明递归结构对所有元素都成⽴：①basic step:原有元素成⽴②recursive step:⽤递归式导出的新元素成⽴[递归算法]1.定义：把问题转化为相同形式但值更⼩的算法2.递归算法有初始步骤（是可终⽌的）并且递归时⾄少改变⼀个参数值使之向初始步骤靠拢3.递归时间复杂度⾼，可以⽤⾮递归（loop或 stack）来代替[程序的正确性]1.测试与证明：证明更有说服⼒2.证明：①程序会终⽌②（部分正确）程序只要可以终⽌得出的结论都是正确的正确的程序：对任意可能的输⼊都有正确的输出部分正确，完全正确triple：P{S}QP: precondition S: assertion Q:postconditionP{S}Q:当PQ正确时为部分正确当证明了S的可终⽌性为完全正确4.程序的基本语句：赋值，命题，条件，循环5.弱化结论：P{S}R R→Q：P{S}Q强化条件Q→R R{S}P：Q{S}P复合：P{S1}R R{S2}Q: P{S1;S2}Q第六章[加法乘法原理]1.加法乘法原理：⽅法不重复，互不影响，做1or2 m+n 做1and2 mn2.容斥原理：⽅法有重叠：|A B |=|A ||B ||A B |3.包含条件的问题。

离散数学知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。

下面就来对离散数学中的一些重要知识点进行总结。

一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。

集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

集合的表示方法有列举法和描述法。

集合之间的关系包括子集、真子集、相等。

集合的运算有并集、交集、补集等。

集合的并集是由属于两个或多个集合中的所有元素组成的集合。

交集则是由同时属于两个或多个集合的元素组成的集合。

补集是在给定的全集 U 中，不属于某个集合 A 的元素组成的集合。

集合的运算遵循一些基本的定律，如交换律、结合律、分配律等。

这些定律在解决集合相关的问题时非常有用。

二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。

关系可以用集合的形式表示，也可以用关系矩阵和关系图来表示。

关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

不同性质的关系在实际应用中有着不同的意义。

等价关系是一种特殊的关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。

等价关系可以将集合中的元素进行分类，形成等价类。

偏序关系也是一种常见的关系，它具有自反性、反对称性和传递性。

偏序关系可以用来描述元素之间的顺序关系，例如在集合的包含关系中。

三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。

函数的类型包括单射函数、满射函数和双射函数。

函数的复合是将两个函数依次作用，得到一个新的函数。

函数的逆是在函数是双射的情况下存在的，并且逆函数的复合等于原函数。

四、图论图是由顶点和边组成的结构。

图可以分为无向图和有向图。

图的基本概念包括顶点的度、路径、回路、连通性等。

图的存储方式有邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵适合表示稠密图，而邻接表适合表示稀疏图。

图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。

这两种算法在图的处理中经常被用到，例如寻找图中的路径、判断图的连通性等。

总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数2种不同的关系；为mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn2种不同的关系，有m n种不同的函数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3. 判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶avb≥aA^b≤b 对偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b => c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律a^a=a 对偶ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；。

1. 在使用数学归纳法证明n 2≥n 对所有自然数n 成立时，基例通常设定为什么？ • A. n =1 • B. n =0 • C. n =2 • D. n =−1 参考答案: A解析: 基例是数学归纳法证明中的第一步，通常选择最小的自然数n =1作为基例进行验证，因为自然数是从1开始的。

2. 数学归纳法的归纳步骤中，假设P (k )为真，之后我们要证明的是什么？ • A. P (k +1)为真 • B. P (k −1)为真 • C. P (2k )为真 • D. P (k/2)为真 参考答案: A解析: 归纳步骤中，我们从假设P (k )为真出发，目的是要证明P (k +1)也为真。

3. 用数学归纳法证明∑2i−1n i=1=2n −1，在归纳步骤中，当n =k 时，该等式为2k −1。

则n =k +1时等式左边添加的项是什么？ • A. 2k+1 • B. 2k • C. 2k−1 • D. 2k+2 参考答案: B解析: 当n =k +1时，等式的左边是从i =1累加到k +1，因此，与n =k 时相比，等式左边新增添的项是2k 。

4. 数学归纳法中，如果在归纳步骤中无法直接从P (k )推导出P (k +1)，通常会采用什么方法？ • A. 反证法 • B. 直接证明 • C. 构造证明• D. 归纳假设的增强 参考答案: D解析: 当直接从P (k )推导P (k +1)困难时，增强归纳假设（也称为强归纳法）是一个有效策略，它利用多个前项的假设来证明后项。

5. 哪个选项正确描述了数学归纳法的强形式？ • A. 假设P (k )为真，证明P (k +1)为真 • B. 仅证明基例情形• C. 假设所有小于n 的P (k )为真，证明P (n )为真 • D. 证明P (k )和P (k +1)为真 参考答案: C解析: 强形式的数学归纳法假设从基例到当前项的所有前项命题均为真，以此为基础来证明当前项命题的正确性。

离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。

它包括了许多重要的概念和技术，是计算机科学、通信工程、数学和逻辑学等领域的基础。

本文将对离散数学的一些核心知识点进行总结，包括命题逻辑、一阶逻辑、图论、集合论和组合数学等内容。

1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学的一个重要分支，研究命题之间的逻辑关系。

命题是一个陈述语句，要么为真，要么为假，而且不能同时为真和为假。

命题逻辑包括逻辑运算和逻辑推理等内容，是离散数学的基础之一。

1.1 逻辑运算逻辑运算包括与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）和双条件（↔）等运算。

与、或和非是三种基本的逻辑运算，蕴含和双条件则是基于这三种基本运算得到的复合运算。

1.2 逻辑等值式逻辑等值式是指在命题逻辑中具有相同真值的两个复合命题。

常见的逻辑等值式包括德摩根定律、双重否定定律、分配率等。

1.3 形式化证明形式化证明是命题逻辑的一个重要内容，研究如何利用逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。

形式化证明包括直接证明、间接证明和反证法等方法，是离散数学中的常见技巧。

2. 一阶逻辑一阶逻辑是命题逻辑的延伸，研究命题中的量词和谓词等概念。

一阶逻辑包括量词、谓词逻辑和形式化证明等内容，是离散数学中的重要部分。

2.1 量词量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用来对命题中的变量进行量化。

全称量词表示对所有元素都成立的命题，而存在量词表示至少存在一个元素使命题成立。

2.2 谓词逻辑谓词逻辑是一阶逻辑的核心内容，研究带有量词的语句和谓词的逻辑关系。

谓词是含有变量的函数，它可以表示一类对象的性质或关系。

2.3 形式化证明形式化证明在一阶逻辑中同样起着重要作用，通过逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。

一阶逻辑的形式化证明和命题逻辑类似，但更复杂和抽象。

3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质。

图是由节点和边组成的数学对象，图论包括图的表示、图的遍历、最短路径、最小生成树等内容，是离散数学中的一大亮点。