高三数学下册知识点临考复习题25

一、单选题1. 正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）A．B．2C．D．2. 我国古代数学巨著《九章算术》第三章中的“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是指按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如甲､乙､丙三人分配奖金的衰分比为20%，若甲分得奖金10000元，则乙､丙分得奖金分别为8000元和6400元.现有三名技术人员，，攻克了一项技术难题.若，，按照一定的“衰分比”分配奖金共75880元，其中拿到了28000元，则“衰分比”为（）A．20%B．15%C．25%D．10%3. 下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是A．B．C．D．4. 的展开式中项的系数是（）A．3B．12C．17D．355. 已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为5，且，则焦点到准线的距离是（）A．2B．3C．4D．56. 已知集合则集合的元素个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7. 已知函数，则下列说法错误的是（）A．的一条对称轴为B．C．的对称中心为D．的最大值为8. 在数列中，．若命题，命题是等比数列，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要二、多选题9.已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）A．B．C．D．10.已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（ ）A．B．C．D．11. 已知角，且点在直线上，则（ ）A．B．C．D．12.设集合，，若，则（ ）．A ．2B ．1C．D．13. 函数（且）的图象可以是（ ）A．B．C．D．14. 已知直线，，若，则的值为（ ）A．B．C ．或D ．或415.记数列的前n项和为，若，则（ ）A．B．C．D．16. 已知函数，.若函数只有一个极大值和一个极小值，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．17. 《九章算术》成书于公元一世纪左右，经历代各家的不断增补和修订，而逐渐成为现今定本，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年）刘徽为《九章》所作注本.书中阐述：将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“堑堵”中，，，分别为，上的点，下列结论正确的是（ ）A ．四棱锥为“阳马”B．若，，则四面体为“鳖臑”C．当，分别为，的中点时，四面体为“鳖臑”D ．若，则当时，四面体为“鳖臑”，且体积的最大值为三、填空题18.已知正四面体的棱长为3，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ）A．四边形的周长为定值B ．当时，四边形为正方形C ．当时，截球所得截面的周长为D ．四棱锥的体积的最大值为19. 分别对函数的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来倍，得到的图象；②先将其上各点的横坐标变为原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到的图象，以下结论正确的是（ ）A．B．为图象的一个对称中心C ．直线为函数图象的一条对称轴D．的图象向右平移个单位长度可得的图象20. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）A．B．C ．排气12分钟后浓度为D ．排气32分钟后，人可以安全进入车库21. 若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有性质.下列函数中具有性质的有（ ）A．B．C．D．22.对于数列，若，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．数列是等差数列C．数列是等差数列D．23.已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）A ．关于对称B ．关于点对称C．D．24. 设a ，，数列满足，，，则下列说法不正确的是（ ）A ．当时，B ．当时，C ．当时，D ．当时，25.若二项式的展开式共项，则展开式的常数项为__________.26. 已知函数，则____________．27. 强基联盟体中，，，四所兄弟学校开展选考7个学科教研交流活动．，，每校承担两个学科，校承担技术学科，校不承担物理化学两个学科，校不承担政治历史两个学科，则这次教研交流活动不同的安排方案共有___________种．四、解答题五、解答题28.已知（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.29. 已知，求下列各式的值(1)；(2)30. 已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.31.已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．32. 化简：．33. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.34. 某数学小组从医院和气象局获得今年1月至6月份每月20日的昼夜温差和患感冒人数人的数据，画出折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；建立y 关于x 的回归方程精确到，预测昼夜温差为时患感冒的人数精确到整数．参考数据：，，，．参考公式：相关系数：，回归直线方程是，，35. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.（2）从被抽取的数学成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括分）的人数为（以该校学生的成绩的频率估计概率），求的分布列和数学期望.36. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式：，其中.参考数据：0.010.050.012.7063.841 6.63537. 2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权.在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺.这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次y（单位亿）的数据如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代号t123456旅游人次y1.7 1.972.240.94 2.543.15(1)求y与t的相关系数（精确到0.01），并回答y与t的线性相关关系的强弱；(2)因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估计值.附注：参考数据：，，，，.参考公式：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，38. 某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；六、解答题若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?39. “学习强国”APP 是由中宣部主管以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC 端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”APP 的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP 上所得的分数统计如表（1）所示：表（1）分数人数501002030(1)现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数分别在和上的概率；(2)为了调查“学习强国”APP 得分情况是否受到所在单位的影响，研究人员随机抽取了机关事业单位党员以及国有企业党员作出调查，得到的数据如表（2）所示；机关事业单位党员国有企业党员分数超过80220130分数不超过808070判断是否有99%的把握认为“学习强国”APP 得分情况受所在单位的影响．附：，其中0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82840. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD 为梯形，，，，，点E 在线段AB 上，且，F 为BC的中点．(1)求证：平面；(2)若直线与平面ABCD 所成角的大小为45°，求二面角的余弦值．41. 已知三个平面两两相交，有三条交线，求证：三条交线交于一点或互相平行．42. 如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，，点在底面上的投影为点.(1)求证：平面平面.(2)求二面角的余弦值.七、解答题43. 在四棱锥中，底面梯形中，，AC 与BD 交于M 点，，、为正三角形，，连接.(1)求证：面；(2)设PB 与面ABCD所成角为，且，求四棱锥的体积.44.如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，是菱形，分别是的中点，，．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．45.若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上的最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为(1)若，求集合；(2)若，求集合；(3)设为大于1的常数，若，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列．46. 从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．(1)估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；(2)若要从体重在，，三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在内的概率．47. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中k为工厂工人的复工率().A公司生产t万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）对任意的(万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).48. 某公司为了让职工业余时间加强体育锻炼，修建了一个运动俱乐部，公司随机抽查了200名职工在修建运动俱乐部前后每天运动的时间，得到以下频数分布表：表一（运动俱乐部修建前）时间（分钟）人数36588125表二（运动俱乐部修建后）时间（分钟）人数18638336(1)分别求出修建运动俱乐部前和修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间（同一时间段的数据取该组区间的中点值作代表）﹔(2)运动俱乐部内有一套与室温调节有关的设备，内有2个完全一样的用电器A，只有这2个用电器A都正常工作时，整套设备才正常工作，且2个用电器A是否正常工作互不影响.用电器A有M，N两种品牌，M品牌的销售单价为1000元，正常工作寿命为11个月或12个月（概率均为）；N品牌的销售单价为400元，正常工作寿命为5个月或6个月（概率均为）.现有两种购置方案：方案1：购置2个M品牌用电器﹔方案2：购置1个M品牌用电器和2个N品牌用电器（其中1个N品牌用电器不能正常工作时则使用另一个N品牌用电器）.试求两种方案各自设备性价比（设备正常运行时间与购置用电器A的成本比）的分布列，并从性价比的数学期望角度考虑，选择哪种方案更实惠?49. 某产品每件成本元，买方收货前要进行质量检测，检测方案规定：每件产品随机检测件，若合格，按一等品付款，每件售价元；若检测到次品，在剩余的产品中再随机检测件，若合格则按一等品付款，每件售价元；若仍然检测到次品，按二等品付款，每件售价元.检测后的合格品需要重新包装，每件需花费元；次品不再出售.若出售后发现一件一等品为次品需换货并支付售价的倍赔款；根据以往统计数据可知，该产品的次品率为（按每件有件次品计算）.（1）求该产品检测为一等品的概率；（2）为加大检测力度，质检部门提出新的检测方案：每件产品随机检测件，若全部合格，按一等品付款；若检测到次品，在剩余的产品中再随机检测件，若全部合格按一等品付款；若仍然检测到次品，按二等品付款.根据件产品净利润，试比较原检测方案合理还是新检测方案合理.50. 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合，(反比例函数模型可用转化为线性回归模型；指数函数模型可转化为和x的线性回归模型)现已求得：用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数；（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本.参考数据：，，，，，，(其中，参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，相关系数51. 在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．(1)求的概率分布；(2)求的数学期望（保留小数点后两位）．参考数据：．。

一、单选题1. 已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（）A．B．C．D．2. 函数在上单调递减，则的最大值是（）A．1B．C．D．43. 欧拉公式（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将表示的复数记为z，则的值为（）A．B．C．D．4. 设集合，.若，则实数n的值为（）A．B．0C．1D．25. 如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6. 银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息.某人在银行贷款金额为A元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款1次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止.若月利率p固定不变，按“复利”计算本息和，分n个月还清(贷款1个月后开始第1次还款)，则此人每月还款金额为（）A．元B．元C．元D．元7. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则前10项的和为A．10B．8C．6D．-88. 某学校、两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如图，①班数学兴趣小组的平均成绩高于班的平均成绩；②班数学兴趣小组成绩的众数小于班成绩的众数；③班数学兴趣小组成绩的极差大于班成绩的极差；④班数学兴趣小组成绩的中位数大于班成绩的中位数.其中正确结论的编号为二、多选题A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③9. 设全集为，，，那么集合等于（ ）A．B．C．D．10. 已知直线：与圆：相交于，两点，若，则圆的标准方程为A．B．C．D．11. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．12.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．213. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．14.给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ）A．B．C．D．15. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，则实数的最大值是（ ）A．B．C．D．16. 某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖则他获得奖次的不同情形种数为 A ．9B ．12C ．18D ．2417.设函数向左平移个单位长度得到函数，若在上恰有2个零点，3个极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递减B ．的取值范围为C ．若的图象关于直线对称，则D ．在区间上存在最大值18.数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n 项和，则下列结论正确的是（ ）三、填空题四、解答题A ．数列的第项为B ．数列的第2023项为C ．数列的前项和为D．19.已知数列满足，，则（ ）A．B．C．D．20.已知函数的定义域为，，则（ ）．A．B．C ．是偶函数D ．为的极小值点21. 定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）A ．对任意的，有B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立C．若与垂直，则与共线D．若与共线，则与的模相等22. 对于一个事件E ，用表示事件E 中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D 中，，，则（ ）A ．A 与D 不互斥B ．A 与B 互为对立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立23. 以下说法正确的有（ ）A ．经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点B ．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第三四分位数为9C ．已知，，，则D ．若随机变量，则取最大值的充分不必要条件是24. 命题：是的充要条件；命题：函数在不是单调函数，则下列命题是真命题的是（ ）A．B．C．D．25.已知向量，若，则__________．26.若曲线上的点P与曲线上的点Q 关于坐标原点对称，则称P ，Q 是，上的一组奇点.若曲线（且）与曲线有且仅有一组奇点，则的取值范围是___________.27. 已知球的半径等于1，则该球的体积等于______.28. 已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷五、解答题29. 已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.30. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？31. 已知，求下列各式的值(1)；(2)32.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.33. 化简求值：（1）（2）已知，，求的值；34. 某中学高一期中考试结束后，从高一年级1000名学生中任意抽取50名学生，将这50名学生的某一科的考试成绩作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图）．（1）由于工作疏忽，将成绩[130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）（2）若规定考试分数不小于120分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出3名学生，参加学习经验交流会．设X 表示参加学习经验交流会的学生分数不小于130分的学生人数，求X 的分布列及期望；（3）视样本频率为概率．由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右．试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）35. 一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据如下表所示：温度21232527293235产卵个数个711212466115325(1)画出散点图，根据散点图判断与哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可､不必说明理由）；(2)根据（1）的判断结果及表中数据.建立关于的回归方程.（附：可能用到的公式，可能用到的数据如下表所示：27.43081.290 3.612147.7002763.764705.59240.180（对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.）36. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾， 5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值参考公式：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82837. 每年的3月21日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为很多现代人的诉求．某市健康研究机构于2018年3月14日到3月20日持续一周，通过网络调查该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间（单位：小时），共有500人参加调查，其中年龄在区间的有200人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表：(1)根据上表，在给定坐标系中画出这500名市民日平均睡眠时间的频率分布直方图；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；，其中．38. 已知国家某级大型景区对拥挤等级与每日游客数量（单位：百人）的关系有如下规定：当时，拥挤等级为“优”；当时，拥挤等级为“良”；当时，拥挤等级为“拥挤”；当时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：六、解答题（1）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；游客数量（单位：百人）天数1041频率（2）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率．39. 如图1所示，在边长为3的正方形中，将沿折到的位置，使得平面平面，得到图2所示的三棱锥．点分别在上，且，，．记平面与平面的交线为l．(1)在图2中画出交线l ，保留作图痕迹，并写出画法．(2)求二面角的余弦值．40. 如图，三棱柱中，为的中点,为的中点.（1）求证：直线平面；（2）若三棱柱是正三棱柱，,求到平面的距离.41. 函数是定义在上的奇函数，且．(1)求实数的值；(2)用定义证明函数在上是增函数；(3)解关于的不等式．42. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，当直线过点时，点到的准线的距离之和为，线段的中点到轴的距离是4.(1)求抛物线的方程；(2)当时，设抛物线在点处的切线交于点，求证：.43. 已知函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)设直线l 为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值；(3)当时，设，，求证：.七、解答题44.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.45. 已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.46. 某中学为了响应国家双减政策，开展了校园娱乐活动．在一次五子棋比赛活动中，甲、乙两位同学每赛一局，胜者得1分，对方得0分，没有平局．规定当一人比另一人多得5分或进行完10局比赛时，活动结束．假设甲、乙两位同学获胜的概率都为，且两人各局胜负分别相互独立．已知现在已经进行了3局比赛，甲得2分，乙得1分，在此基础上继续比赛．(1)只有当一人比另一人多得5分时，得分高者才能获得比赛奖品，求甲获得比赛奖品的概率；(2)设X 表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X 的分布列及数学期望．47. 某村为巩固脱贫成果，积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销售，现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了件作为样本检测其质量指标值（质量指标值越大，质量越好），检测结果如下表所示：指标区间频数甲种生产方式乙种生产方式已知每件中药半成品的等级与纯利润间的关系如下表所示：指标区间等级二级一级特级纯利润（1）将频率视为概率，分别估计甲、乙两种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率；（2）从平均数的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．48. 九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手，对开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处．同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜．据明代杨慎《丹铅总录》记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关换，解之为二，又合而为一”．后来，以铜或铁代替玉石．甲、乙两位同学进行九连环比赛，每局不存在平局．比赛规则规定，领先3局者获胜．若比赛进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜．已知甲同学每局获胜的概率为，且每局之间相互独立．现比赛已经进行了2局，甲同学2局全输．(1)由于某种原因，比赛规则改为“五局三胜制”，试判断新规则对谁更有利，并说明理由；(2)设比赛总局数为，求随机变量的分布列及期望．49. 某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率.50. 为丰富社区群众的文化生活，某社区利用周末举办羽毛球比赛．经过抽签，甲乙两人进行比赛，比赛实行三局两胜制（若某人胜了两局则为获胜方，比赛结束）．根据以往数据统计，甲乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为，每局比赛相互独立．(1)求甲获胜的概率；(2)比赛规则规定：比赛实行积分制，胜一局得3分，负一局得1分；若连胜两局，则还可获得5分的加分．用X表示甲乙比赛结束后甲获得的积分,求X的分布列和数学期望．51. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．。

高三数学复习[导学单25-26] 对数一、复习目标：1、理解对数意义，掌握积、商、幂的对数的性质会用计算器求对数；2、探求换底公式并掌握其基本运用，体会变换思想。

二、复习导学：☆知识梳理：1、积、商、幂的对数的性质；2、换底公式的基本运用。

☆典型例题。

[例1]已知x 21+x 21-=3，则32232322-+-+--x x x x =_______________。

[例2]lgtan10+ lgtan20+ lgtan30+…+ lgtan880+ lgtan890。

[例3] (1)已知log 23=a,log 37=b ，试用a,b 表示log 4256。

(2)已知log x a=2, log x b=3, log x c=6，求log abc x 的值。

[例4]已知x 满足ax 2+a 6≤a 2+x +a 4+x (a>0,a ≠1)，函数y=log a x a 21*log 1a (ax)的值域为[-81,0]，求a 的值。

☆及时巩固。

1、若f (512-x )=x -2，则f(625)=_______________。

2、设log 1627=a ，用a 表示log 616=_______________。

3、(1)已知2x+5y=20，求lgx+lgy 的最大值；(1) 已知lgx+lgy=2，求yx 11+的最小值。

4、在直角三角形中，a,b 为直角边，c 为斜边。

求证：log )(b c +a+log )(a c -a=2 log )(b c +a*log )(a c -a 。

5、若a 21+a21-=4，求21212323----a a a a 。

6、设不等式2log 212x+9og 21x+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f(x)=(log 22x )( log 28x )的最大值和最小值。

7、若函数y=lg(3-4x+x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f(x)=22+x -3*4x 的最值及相应的x 值。

一、单选题1. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下扇形统计图：则下面结论中的是（ ）A ．新农村建设后，种植收入略有增加B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入不变D ．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降不正确2. 已知函数是奇函数，且在区间单调递减，则在区间上是（ ）A．单调递减函数，且有最小值B．单调递减函数，且有最大值C．单调递增函数，且有最小值D．单调递增函数，且有最大值3. 在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为A．B．C．D．5.如图，在长方体中，，M 、N分别是、的中点.则直线与是（）A ．相互垂直的相交直线B ．相互垂直的异面直线C ．相互不垂直的异面直线D ．夹角为60°的异面直线6.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若，且双曲线的焦距为，则该双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．7.是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）A．B．C．D．8. 函数的大致图象是（ ）二、多选题A．B．C．D．9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则（ ）．A．B．C．D．10. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．11. 过三点A （0，0），B （0，2），C （2，0）的圆M 与直线的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．相切或相离12. 设、、均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）A．B．C．D．13. 已知点F 为双曲线的右焦点，A ，B 两点在双曲线上，且关于原点对称，M 、N 分别为的中点，当时，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B．C．D ．214. 如图，在△ABC中，，，设，，则（ ）A．B．C．D．15. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）A．B．C．D．16. 对于直线m ，n 和平面，，的一个充分条件是（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，17. 已知为坐标原点，抛物线的准线为，与交于，两点，与交于，两点，则（ ）A ．当时，B．当时，的半径为C．当时，D．当时，的半径为18. 在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，过，，三点作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（）A．异面直线与直线所成角的正切值为B．截面为六边形C．若，截面的周长为D．若，截面的面积为19. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（）A．异面直线与所成角的正切值为B．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为20. 我们约定双曲线与双曲线为相似双曲线，其中相似比为.则下列说法正确的是( )A．的离心率相同，渐近线也相同B．以的实轴为直径的圆的面积分别记为，则C．过上的任一点引的切线交于点，则点为线段的中点D．斜率为的直线与的右支由上到下依次交于点、，则21. 已知,,其中，则以下结论正确的是（）A．若，则B．若，则或C ．若，则D．若，则22. 已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．数列为单调递增的等差数列D．满足不等式的正整数n的最小值为6323. 下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（）A．B．C．D．24. 已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（）A．为函数的一个周期B．函数的值域为C ．函数在上单调递减D．函数在内有4个零点三、填空题四、解答题五、解答题25.若函数是偶函数，当时，，则满足的实数取值范围是________．26. 函数 的零点所在的区间为(k ，k +1)，则k =________．27.已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程：__________.28.已知，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．29. 求值.（1）；（2）.30. 设分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i ）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线的距离；（ii ）求点到直线的距离的最大值.31. （1）求值：；（2）已知，求的值.32.已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．33. 已知为锐角，，求的值.34. 2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在内，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．(1)已知该省对本省每家企业每年的环保奖励（单位：万元）与考核评分的关系式为（负值为企业上缴的罚金）．试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；(2)在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机2家企业座谈环保经验，求抽取的2家企业全部为考核评分在内的企业的概率．35. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB1＝BB1＝2.（1）过B1作出三棱柱的一个截面，使AB与截面垂直，并给出证明；（2）过C作平面α//平面AB1C1，且平面α∩平面ACC1A1＝l，求l与平面BCC1B1所成角的正弦值.36. 某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：身高分[145,155)[155,165)[165,175)[175,185]组男生频15124数女生频71542数(1)在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；(2)估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)现从身高在这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率.37. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试成绩的众数；（2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）.六、解答题38. 如图是一个正方体的平面展开图，设在该正方体中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，的中点，平面EFG平面ABB 1A 1=EH，且.（1）作出线段EH ，判断直线EH 与直线FG 的位置关系并证明；（2）求直线DH 与平面EFGH 所成角的正弦值.39.画出函数的图象，并写出该函数的单调区间与值域40. 在①；②；这两个条件中任取一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目在中，角所对的边分别为，为的面积，已知_________．(1)求证：；(2)若，且，求的值．41. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的最小值，并证明：当时，．（其中e 为自然对数的底数）42. 已知抛物线的焦点为，准线为，上的动点到点与到直线的距离之和的最小值为3．(1)求的方程；(2)过点作直线交于另一点，过点作的切线，点在上．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．①点在上；②直线与相切；③点在直线上．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．43. 如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点.七、解答题（1）求证：平面平面；（2）求四面体的体积.44. 如图，在四棱锥中，平面，，．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)设点为的中点，点为中点，求证平面．45. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，若在射线上，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：点在定直线上．46. 乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”(1)逐个无放回取两个球，记事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判断事件A 与事件B 是否相互独立；(2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X ，求随机变量X 的分布列及期望．47. 某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：员工编号12345678910年薪（万元）4658951(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为，求的分布列和期望；(3)已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，万元，6万元，万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，其中为样本均值.48. 年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.(1)求的值(2)求、的值(3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案：方案一：奖励现金红包元.方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）.求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由.附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数.方案二奖励元元元概率49. 2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界.某学校为了让学生们更好地了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛.比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功.每过一关可一次性获得分别为1、2、3分的积分奖励，高二（一）班对三关中每个问题回答正确的概率依次为，且每个问题回答正确与否相互独立.(1)记表示事件“高二（一）班未闯到第三关”，求的值；(2)记表示高二（一）班所获得的积分总数，求的分布列和期望.50. 某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A､B､C三道工序，三道工序相互独立.工序A的加工成本为70元/件，合格率为，合格品进入工序B；工序B的加工成本为60元/件，合格率为，合格品进入工序C：工序C的加工成本为30元/件，合格率为.每道工序后产生的不合格品均为废品.（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；（2）已知坯件加工成本为A､B､C三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望.51. 随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式；线性回归方程，其中。

函数的图象目录第一部分：基础知识 (2)第二部分：高考真题回顾 (3)第三部分：高频考点一遍过 (6)高频考点一：画出函数的图象 (6)高频考点二：函数图象的识别 (10)高频考点三：函数图象的应用 (12)角度1：研究函数的性质 (12)角度2：确定零点个数 (14)角度3：解不等式 (15)角度4：求参数的取值范围 (16)第五部分：新定义题（解答题） (24)①0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−−→=-向右平移（个单位②0)()(+)a a y f x y f x a >=−−−−−−−→=向左平移（个单位A ．25e 5e 2x xx --+C ．25e 5e 2x xx -++【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．2y =【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;．．．．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,2x xf x x x π-⎡=-∈-⎢⎣)()()()()33cos 33x x x xx x f x --=--=--，()x 为奇函数，排除BD ；(1)在给出的坐标系中作出(y f x =(2)根据图象，写出()f x 的单调区间；(3)试讨论方程()0f x a -=的根的情况【答案】(1)作图见解析(2)减区间为(),1∞-，增区间为[1,+∞(3)答案见解析（2）根据（1）中的函数图象知，函数（2）把2log y x =的图象先关于如图所示：练透核心考点1．（2024上·贵州六盘水·高一统考期末）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()22f x x x =-．(1)求()1f -的值，并作出函数()f x 在区间[]3,3-上的大致图象；(2)根据定义证明()f x 在区间[]1,3上单调递增．【答案】(1)()11f -=-，图像见解析(2)证明见解析【分析】（1）由偶函数可得()()11121f f -==-=-，可以先画出0x >时的图象，然后利用关于y 轴对称画出另一半即可.（2）由函数单调性的定义证明即可.【详解】（1）因为函数()f x 是偶函数，所以()()11121f f -==-=-，作出图象如图所示：（2）[]12,1,3x x ∀∈，且12x x <，有()()()2212112222f x f x x x x x -=---()()()1212122x x x x x x =-⋅+--()()12122x x x x =-⋅+-，由1213x x ≤<≤得12120,20x x x x +-<>-，所以()()121220x x x x -⋅+-<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间[]1,3上单调递增.2．（2024上·广东广州·高一统考期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()()2f x x x =+.(1)画出函数()f x 的图象，并写出()f x 的单调区间；(2)求出()f x 的解析式.【答案】(1)图象见解析；增区间为[]1,1-，减区间为(][),1,1,-∞-+∞；(2)()222,0+2,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩【分析】（1）先作出函数()y f x =在区间(],0-∞上的图象，结合奇函数的对称性可得出该函数在区间()0,+∞上的图象，根据图象可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）设0x >，可得出0x -<，由奇函数的性质得出()()f x f x =--，可得出函数()y f x =在()0,∞+上的解析式，进而可得出该函数在R 上的解析式.【详解】（1） 函数()y f x =是R 上的奇函数，其图象关于原点对称，且当0x ≤时，()()222f x x x x x =+=+，则函数()y f x =的图象如下图所示：由图象知，()f x 增区间为[]1,1-，减区间为(][),1,1,∞∞--+（2）设0x >，则0x -<，则()()()22+2f x f x x x x x =--=-+=-.．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的判断可排除，根据3x >以及0【详解】因为()f x ⎛= ⎝，定义域为R ，))3113221x x x -⎛=-+ +⎝(321121x x x ⎫+--+⎪+⎭)x ()31321x x x ⎫⎪⎭-+为偶函数，排除CD ；0时，1122x-3x <时，x 0<，．．．．【答案】B【分析】根据函数奇偶性即可排除，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】2()(1)cos 31x f x x =-⋅+的定义域为R ，)()221cos 1cos 3131x x x x x x f -⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-+⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，π时，()π2π1cos 31f ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=，故排除A.故选：B.练透核心考点2024上·贵州毕节·高一统考期末）函数ln ||cos x xx⋅=的图象大致为（．．．．【答案】A【分析】判断函数的图象问题，可从函数定义域，函数的奇偶性，函数图象的趋势或者特殊点的函数值进行判断是否符合题意.．．．．【答案】B【分析】根据函数的单调性以及特殊点的函数值求得正确答案.【详解】设()()22x x f x -=+的定义域为{}|0x x ≠，()(222ln x x x f -=+⋅=是偶函数，图象关于y 轴对称，选项错误.例题2．（2024·四川·校联考模拟预测）函数A ．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的判断可排除，根据3x >以及0【详解】因为()f x ⎛= ⎝，定义域为R ，))3113221x x x -⎛=-+ +⎝显然()g x 与()h x 的交点个数为1例题1．（2024·全国·高三专题练习）设奇函数()()0f x f x x--≥，的解集为（故不等式()()0f x f xx--≥，即结合()f x的示意图可得它的解集为故选：D．例题2．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）()()f x f x由图易知，当1x>时，(f{1x x<-∣或1}x>，故选：D.由图象可知，方程()10f x -=只有一个实数根，则所以实数m 的取值范围为(]2,3.故答案为：(]2,3例题2．（2024上·重庆·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数(1)在给出的坐标系中作出(y f x =(2)根据图象，写出()f x 的单调区间；(3)试讨论方程()0f x a -=的根的情况【答案】(1)作图见解析(2)减区间为(),1∞-，增区间为[1,+∞(3)答案见解析（2）根据（1）中的函数图象知，函数（3）根据图象可知，当()0,2a ∈时，函数()f x 的图象与函数此时方程()0f x a -=有两个不同的根当(),0a ∞∈-时，函数()f x 的图象与函数()0f x a -=．．．．【答案】D【分析】先得到()f x 为偶函数，排除，再计算出()1ln 20f =>，得到正确答案【详解】()sgn x 定义域为R ()()sgn sgn x x -=-，．．．．【答案】B【分析】根据函数奇偶性即可排除，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】2()(1)cos 31x f x x =-⋅+的定义域为R ，)()221cos 1cos 3131x x x x x x f -⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-+⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，π时，()π2π1cos 31f ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=，故排除A.．．．．【答案】A【分析】根据函数解析式判断函数奇偶性，排除C,D 两项，再利用特殊值检验排除【详解】∵()()()sin 2x x f x f x ---=，即()f x 为奇函数，排除5．（2022下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）时，()f x x =，若在区间(1,1-A ．10,⎛⎫ ⎪B ．1,1⎛ 显然()2y m x =+过定点(2,0-故选：C 【点睛】思路点睛：首先根据函数递推关系，推出函数解析式，对于函数零点问题一般是转化为两个函数的交点问题，作出函数图象利用数形结合的思想计算即可6．（2024上·北京平谷·高一统考期末）已知函数故答案为：1. 7．（2023上·新疆阿克苏(1)求()f x解析式；(2)求不等式()0f x≥的解集【答案】(1)()2 xf x⎧=⎨8．（2023上·湖南永州·高一湖南省祁阳县第一中学校考阶段练习）已知2()2f x x x =-．(1)求出0x <时()f x 的解析式，并作出()f x 的图象；(2)根据图象，写出(1)()0x f x ->的解集．【答案】(1)2()2f x x x =+，0x <，函数的图象见解析；(2)(2,0)(0,1)(2,)-+∞ ．【分析】（1）直接由偶函数的性质求得0x <时()f x 的解析式，并据此画出函数图象.（2）根据图象将不等式等价转换为10()0x f x ->⎧⎨>⎩或10()0x f x -<⎧⎨<⎩，结合图象即可得解.【详解】（1）根据题意，设0x <，0x ->，则22()()2()2f x x x x x -=---=+，又由()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，所以0x <时，2()2f x x x =+，()f x 的图象如图所示：（2）由图象可知，不等式(1)()0x f x ->，等价于10()0x f x ->⎧⎨>⎩或10()0x f x -<⎧⎨<⎩，由图象解得：2x >或20x -<<或01x <<，所以不等式的解集为(2,0)(0,1)(2,)-+∞ ．函数()log b y g x x =-，在(]0,3x ∈化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

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1高三数学下册知识点总结及考试习题高中数学第九章—立体几何考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．2多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．(3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．(4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．3（5）会用反证法证明简单的问题．（6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图．（9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．（B）．直线、平面、简单几何体考试内容:平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．4平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．5考试要求:（1）掌握平面的基本性质.会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。

一、单选题1. 若集合，则（）A．B．C．D．2. 已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（）A．-3B．-1C．1D．33. 已知等比数列满足，则A．1B．2C．D．4. 欧拉公式(i为虚数单位)是由瑞士著名的数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.已知函数其图象的相邻两条对称轴之间的距离为．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是（）A．函数的周期为B．函数的图象关于点对称C．函数在上有且仅有1个零点D．函数在上为减函数6. 已知函数，且，则（）A．﹣16B．16C．26D．277. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8. 若实数满足，则（）A．B．C．D．9.已知直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．10. 已知,则（）A．B．C．D．11. 在中，内角的对边分别为，若，，，则的面积为（）A．B．C．D．1二、多选题12.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左、右两支于两点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．13. 设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．14. 已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（ ）A ．，且B．，且C ．，且D ．，且15.若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）①的一个周期为2②③的一条对称轴为④A ．1B ．2C ．3D ．416.若，则（ ）A．B．C．D．17. 日本导演竹内亮拍摄的记录片《后疫情时代》是继《南京抗疫现场》､《好久不见，武汉》之后，又一部以中国抗疫为主题的记录片力作.该片以南京马拉松比赛､无人配送､网络直播等为切入点，真实记录了中国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先恢复增长，成为世界经济体中的亮点”.片中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效益.2020年全年总收入与2019年全年总收入相比增长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比例.已知该公司这两年的年利润率相同，注：年利润率=(全年总收入-全年总成本)/全年总收入.下列说法错误的是（ ）A ．该公司2020年原材料费用等于2019年工资金额与研发费用的总和B ．该公司2020年研发费用是2019年工资金额､原材料费用､其他费用三项的总和C ．该公司2020年其他费用占2019年工资金额的D ．该公司2020年设备费用是2019年原材料费用的两倍18. 下列说法中的是（ ）正确三、填空题A．B ．若且，则C ．若非零向量且，则D ．若，则有且只有一个实数，使得19. 已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，那么下列各式中一定成立的是（ ）A ．ac （a -c ）>0B ．c （b -a ）<0C．D．20. 已知随机变量X 服从正态分布N （100，102），则下列选项正确的是（ ）（参考数值：随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）A ．E （X ）＝100B ．D （X ）＝100C ．P （X ≥90）＝0.8413D ．P （X ≤120）＝0.998721.已知函数，则（ ）A ．当时，的定义域为RB．一定存在最小值C．的图象关于直线对称D ．当时，的值域为R22. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ）A ．在上单调递减B．时，恒成立C ．是函数的一个单调递减区间D ．是函数的一个极小值点23. 在棱长为2的正方体中，M 为中点，N 为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论错误的是（ ）A．B ．三棱锥的体积为C ．线段最小值为D ．的取值范围为24. 已知曲线与曲线相交于不同两点，曲线在A ，B 点处切线交于点，设，则（ ）A．B ．存在a 值，使得有极大值C ．对任意a 值有极小值D．25.在中，，，则______．26. 从某校随机抽取100名学生进行参加社区服务的次数调查，发现他们的次数都在10~30次之间，进行适当的分组后，绘制如图所示的频率分布直方图，则直方图中a 的值为__________.2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷四、解答题27. 给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行﹔②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；③设为平面，若，则；④设为平面，若，则．其中所有正确命题的序号为_______________________．28. 在边长为4的菱形ABCD 中，∠A =60°，点P 为CD的中点，则________．29. 我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设，表示数列的前n 项之和，则使不等式成立的最大正整数n 的值是_______30.已知数列满足，则的值是__________．31. 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为__________.32.已知抛物线的焦点为，经过的直线，与的对称轴，交于，两点，点在的准线上，若为等腰直角三角形，则______．不垂直33. 已知为锐角，，求的值.34. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．35.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.36. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.37. 已知函数f (t )=（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．五、解答题38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39.已知函数（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）作出函数在一个周期内的图象．40. 在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？并画出它们的图形：(1)；(2).41. 设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：第天高度作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数．（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．42. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点.(1)求三棱锥B 1－A 1BE 的体积；(2)试判断直线B 1F 与平面A 1BE 是否平行，如果平行，请在平面A 1BE 上作出与B 1F 平行的直线，并说明理由.43. 随着工作压力的增大，很多家长下班后要么加班，要么抱着手机，陪伴孩子的时间逐新减少，为了调查A 地区家长陪伴孩子的时间，研究人员对200名家长一天陪伴孩子的时间进行统计，所得数据统计如图所示.六、解答题（1）求这200名家长陪伴孩子的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；（2）若按照分层抽样的方法从陪伴时间在的家长中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求至少有1人陪伴孩子的时间在的概率；（3）为了研究陪伴时间的多少与家长的性别是否具有相关性，研究人员作出统计如下表所示，判断是否有99%的把握认为陪伴时间的多少与家长的性别有关.男性女性陪伴时间少于60分钟5030陪伴时间不少于60分钟5070附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82844. 有一种画椭圆的工具如图1所示.定点是滑槽的中点，短杆绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为.以为原点，所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求曲线的方程；（2）在平面直角坐标系中，过点的动直线与曲线交于､两点，是否存在异于点的定点，使得平分？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.45. 已知锐角三角形ABC 中，，．（1）求证：；（2）若AB 边上的高为2，求边AB 的长．46. 如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点.七、解答题（1）求证：平面平面；（2）求四面体的体积.47. 如图，在四棱锥中，,侧面为等边三角形.(1)证明:⊥平面;(2)求四棱锥体积.48. 已知函数且）为定义在R 上的奇函数(1)利用单调性的定义证明：函数在R 上单调递增；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围．49.已知的三个内角的对边分别为.(1)若，求证：；(2)若，且的面积，求角.50. 如图1，在边长为3的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，，.（如图2）（Ⅰ）若为中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求与平面所成角的正切.51. 网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：123452.63.14.5 6.88.0(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额．附：，，．参考数据：，，，．52. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.(1)若选择方案一，求甲获胜的概率；(2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.53. 甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立.(1)求甲夺得冠军的概率；(2)比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.54. 生产某种特殊零件的废品率为（），优等品的概率为0.4，若20个此特殊零件中恰有4件废品的概率为，设的最大值点为．(1)求；(2)若工厂生产该零件的废品率为．（ⅰ）从生产的产品中随机抽取个零件，设其中优等品的个数为，记，，已知时优等品概率最大，求的最小值；（ⅱ）已知合格率为，每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．55. 在十四运射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示：甲9.810.31010.59.9乙10.29.910.110.210.1(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；(2)根据（1）的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛？56. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛､竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3八、解答题题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为，.(1)若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；(2)当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛.57. 芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素．根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x （亿元）与收益y（亿元）的数据统计如下：(1)根据折线图的数据,求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到整数部分);(2)为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时,国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元时公司的实际收益．附:其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．参考数据,．58. 已知函数，(1)求函数的最小正周期与单调递增区间；(2)若时，函数的最大值为，求实数的值.59. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据：，）60.已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为、，直线恰好经过椭圆：的右顶点和上顶点．（1）求直线的方程及椭圆的方程；（2）若椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率，点A ,B分别在椭圆和上,（为原点），求直线的方程．61. 如图，设底面半径为的圆锥的顶点、底面中心依次为、，为其底面的直径．点位于底面圆周上，且．异面直线与所成角的大小为．（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．62. 已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.。

题组层级快练(二十五)1．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是( )A ．{x|x ≠π4}B ．{x|x ≠－π4}C ．{x|x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x|x ≠k π＋3π4，k ∈Z }答案 D 解析 y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.2．函数y ＝2sin(π6－2x)(x ∈[0，π])的增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]答案 C解析 ∵y ＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为[π3＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为[π3，5π6]．3．已知函数f(x)＝2sin(x ＋θ＋π3)(θ∈[－π2，π2])是偶函数，则θ的值为( )A ．0 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B解析 因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )．又因为θ∈[－π2，π2]，所以θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意，故选B. 4．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x －π)＝f(x)的函数是( )A ．f(x)＝sinxB ．f(x)＝sinxcosxC ．f(x)＝cosxD ．f(x)＝cos 2x －sin 2x答案 D解析 因为对任意x ∈R 有f(x)＝f(－x)且f(x －π)＝f(x)，所以f(x)为偶函数且f(x)的最小正周期为π.故A ，C 错．B 项中，f(x)＝sinxcosx ＝12sin2x 为奇函数，故B 错，D 项中，f(x)＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ，满足条件，故选D.6．(2017·北京朝阳区期末)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，设a ＝f(π7)，b ＝f(π6)，c ＝f(π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D ．b<c<a 答案 B解析 f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π3)，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f(π7)<f(π6)，而c ＝f(π3)＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f(π7)，所以c<a<b.7．函数f(x)＝tan(2x －π3)的单调递增区间为( )A ．[k π2＋π6，k π2＋2π3](k ∈Z )B ．(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )C ．[k π2－π12，k π＋5π12](k ∈Z )D ．(k π＋π6，k π＋2π3)(k ∈Z )答案 B解析 由－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－π12<x<k π2＋5π12(k ∈Z )．故选B.8．设f(x)＝xsinx ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)>f(x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 12>x 22答案 D9．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 A解析 依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.10．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是( )A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]答案 C解析 由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.11．(2017·辽宁大连模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f(x)取得最大值，下列说法正确的是( )A ．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B ．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D ．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 答案 A解析 因为f(x)的最小正周期为6π，所以ω＝13.因为当x ＝π2时，f(x)有最大值，所以13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )．因为－π<φ≤π，所以φ＝π3.所以f(x)＝2sin(x3＋π3)，由此函数验证易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没有单调性，在区间[4π，6π]上是增函数．故选A.12．(2016·天津，文)已知函数f(x)＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，18]B ．(0，14]∪[58，1)C ．(0，58]D ．(0，18]∪[14，58]答案 D解析 f(x)＝12(1－cos ωx)＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin (ωx －π4)，当ω＝12时，f(x)＝22sin(12x －π4)，x ∈(π，2π)时，f(x)∈(12，22]，无零点，排除A 、B ；当ω＝316时，f(x)＝22sin(316x －π4)，x ∈(π，2π)时，存在x 使f(x)＝0，有零点，排除C.故选D. 13．若y ＝cosx 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________． 答案 －π<α≤0 14．将函数y ＝sin (ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________． 答案 12解析 注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝23π－(－43π)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.15．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx的初相是________． 答案 23π解析 f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)． 16．(2016·北京)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间．答案 (1)1 (2)[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )解析 (1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin (2ωx ＋π4)，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依意题，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x ＋π4)．函数y ＝sinx 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f(x)的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．17．(2016·天津，理)已知函数f(x)＝4tanxsin(π2－x)cos(x －π3)－ 3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间[－π4，π4]上的单调性．答案 (1){x|x ≠π2＋k π，k ∈Z } T ＝π (2)增区间[－π12，π4]，减区间[－π4，－π12]解析 (1)f(x)的定义域为{x|x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f(x)＝4tanxcosxcos(x －π3)－3＝4sinxcos(x －π3)－3＝4sinx(12cosx ＋32sinx)－3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减．18．(2016·山东，文)设f(x)＝23sin(π－x)sinx －(sinx －cosx)2. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y ＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g(x)的图像，求g(π6)的值．答案 (1)增区间[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )(2) 3解析 (1)f(x)＝23sin(π－x)sinx －(sinx －cosx)2＝23sin 2x －(1－2sinxcosx) ＝3(1－cos2x)＋sin2x －1＝sin2x －3cos2x ＋3－1＝2sin(2x －π3)＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f(x)的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )．(或(k π－π12，k π＋5π12)(k ∈Z ))(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x －π3)＋3－1，把y ＝f(x)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin(x －π3)＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sinx ＋3－1的图像，即g(x)＝2sinx ＋3－1. 所以g(π6)＝2sin π6＋3－1＝ 3.1．(2017·南昌大学附中)设f(x)＝sin (ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( )A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝0答案 D解析 f(x)＝sin (ωx ＋φ)是偶函数，有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝±ωsinωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.2．已知函数f(x)＝cos 2π3·cos(π2＋2x)，则函数f(x)满足( )A ．f(x)的最小正周期是2πB ．若f(x 1)＝f(x 2)，则x 1＝x 2C ．f(x)的图像关于直线x ＝3π4对称D ．当x ∈[－π6，π3]时，f(x)的值域为[－34，34]答案 C解析 因为f(x)＝－12(－sin2x)＝12sin2x ，其最小正周期T ＝2π2＝π，所以A 项不正确；B项显然不正确；由2x ＝π2＋k π，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数f(x)的图像的对称轴为x ＝3π4，所以C 项正确；当x ∈[－π6，π3]时，2x ∈[－π3，2π3]，所以－34≤12sin2x≤12，所以D 项不正确．故选C. 3．已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π答案 C解析 f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2(sin ωx ×32＋cos ωx ×12)＝2sin (ωx ＋π6)， 令f(x)＝1，得sin (ωx ＋π6)＝12.∴ωx 1＋π6＝π6＋2k π或ωx 2＋π6＝5π6＋2k π.∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω(x 2－x 1)＝2π3，∴ω＝2，∴T ＝2πω＝π. 4．(2015·天津，文)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 答案π2解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π4)，因为函数f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)＝2sin (ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2. 5．(2017·重庆南开中学月考)函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx 的最小正周期为( ) A ．2π B.3π2 C ．πD.π2答案 A解析 f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx cosx ·cosx ＝2cos(x －π3)，则T ＝2π.6．函数g(x)＝sin 22x 的单调递增区间是( ) A ．[k π2，k π2＋π4](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π4](k ∈Z )C ．[k π2＋π4，k π2＋π2](k ∈Z )D ．[k π＋π4，k π＋π2](k ∈Z )答案 A7．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增答案 B解析 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π. 令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z .则y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z . 令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎡⎦⎤π12，712π，故B 正确． 画出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．8．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A.9．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( ) A ．π，[0，π] B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]答案 C解析 由f(x)＝12sin2x ＋12(1－cos2x)＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得到函数f(x)的一个单调增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.10．已知函数f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ，则函数f(x)的图像( )A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点(π8，－24)对称C ．最小正周期为2πD ．在区间(0，π8)上为减函数答案 A解析 化简f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ＝(22cosx －22sinx)·sinx ＝24(sin2x ＋cos2x －1)＝12sin(2x ＋π4)－24，则该函数图像的对称轴为直线x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，A 正确；其对称中心(－π8＋k π2，－24)，k ∈Z ，B 不正确；其最小正周期为π，C 不正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，D 不正确，故选A. 11．若将函数f(x)＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f(x)＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将其图像向右平移φ个单位得到g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像．∵g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像关于y 轴对称，即函数g(x)为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 因此当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.。

题组层级快练(二十五)1．(2014·福建文)将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法准确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对．2．要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案 A解析 因为y ＝sin2x ＝cos(π2－2x )＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π4)]，所以只需把函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位长度，就能够得到y ＝cos2x 的图像．3．若把函数y ＝f (x )的图像沿x 轴向左平移π4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图像，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin(2x －π4)＋1B ．y ＝sin(2x －π2)＋1C ．y ＝sin(12x ＋π4)－1D ．y ＝sin(12x ＋π2)－1答案 B解析 将y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin2x 的图像，再将所得图像向上平移1个单位，得到y ＝sin2x ＋1的图像，再把函数y ＝sin2x ＋1的图像向右平移π4个单位，得到y ＝sin2(x －π4)＋1的图像，即函数f (x )的图像，所以f (x )＝sin2(x －π4)＋1＝sin(2x －π2)＋1，故选B.4．函数y ＝cos(4x ＋π3)图像的两条相邻对称轴间的距离为( )A.π8B.π4C.π2D ．π答案 B解析 函数y ＝cos(4x ＋π3)图像的两条相邻对称轴间的距离为半个周期，即T 2＝2π42＝π4.5．将函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图像解析式是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin4xD ．f (x )＝cos4x答案 A解析 y ＝sin(2x ＋π4)→y ＝sin(x ＋π4)→y ＝sin(x －π4＋π4)＝sin x .6．(2013·山东理)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin(2x ＋π4＋φ)，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.7.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图像如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．5 3 AD ．10 A答案 A解析 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴ω＝2πT＝100π.∴T ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A.8．(2013·福建文)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)(－π2<θ<π2)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P (0，32)，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6答案 B解析 因为函数f (x )的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)．又函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin[2(x －φ)＋π3]的图像，所以sin(π3－2φ)＝32，所以φ可以为5π6，故选B.9．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图像如图所示，要得到函数y ＝sin(12x ＋π12)的图像，则需将函数y ＝sin ωx 的图像向________平移________个单位长度．答案 左，π6解析 由图像知函数y ＝sin ωx 的周期为T ＝3π－(－π)＝4π， ∴ω＝2πT ＝12，故y ＝sin 12x .又y ＝sin(x 2＋π12)＝sin 12(x ＋π6)，∴将函数y ＝sin 12x 的图像向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝sin(x 2＋π12)的图像．10．(2014·重庆文)若将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案22解析 将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.11．若y ＝A sin(ωx ＋θ)(A >0，ω>0，|θ|<π2)的图像如图所示，则y ＝________.答案 2sin(2x ＋π6)解析 由题图知周期T ＝1112π－(－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2，且A ＝2.∴y ＝2sin(2x ＋θ)．把x ＝0，y ＝1代入上式得2sin θ＝1， 即sin θ＝12.又|θ|<π2，∴θ＝π6.即y ＝2sin(2x ＋π6)．12．(2013·新课标全国Ⅱ文)若函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图像重合，则φ＝________.答案5π6解析 将y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位后得到y ＝cos[2(x －π2)＋φ]的图像，化简得y＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin(2x ＋φ－π2)．由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，结合－π≤φ<π知φ＝5π6.13.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.答案 3解析 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知：T2＝(－π3)－(－23π)＝π3，∴T ＝23π. ∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.14．若函数y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图像恰好关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值是________．答案5π12解析 y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6，则2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为φ>0，所以φ的最小值为5π12.15．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图像关于点(π4，0)对称；②图像关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数，所有正确结论的编号为________．答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图像关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin(2x ＋π3)．当x ＝π3时，f (π3)＝0，∴函数图像关于点(π3，0)对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋ k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．16．(2015·江西景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)＋a 的最大值为2.(1)求实数a 的值及f (x )的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f (x )在[0，π]上的图像．答案 (1)a ＝－1，T ＝π (2)略解析 (1)f (x )＝4cos x (sin x cos π6＋cos x sin π6)＋a＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1，最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π2＝π.(2)列表如下：2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )12－21画图如下：17.(2015·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示．(1)试确定函数f (x )的解析式；(2)若f (α2π)＝13，求cos(2π3－α)的值．答案 (1)f (x )＝2sin(πx ＋π6) (2)－1718解析 (1)由图像知，f (x )max ＝A ＝2，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 4＝56－13＝12，所以T ＝2，∴ω＝2πT ＝2π2＝π，故函数f (x )＝2sin(πx ＋φ)． 又∵f (13)＝2sin(π3＋φ)＝2，∴sin(π3＋φ)＝1.∵|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴－π6<π3＋φ<5π6.故π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin(πx ＋π6)． (2)∵f (α2π)＝13，即2sin(π·α2π＋π6)＝2sin(α2＋π6)＝13，∴sin(α2＋π6)＝16.∴cos(π3－α2)＝cos[π2－(π6＋α2)]＝sin(π6＋α2)＝16.∴cos(2π3－α)＝cos[2(π3－α2)]＝2cos 2(π3－α2)－1＝2×(16)2－1＝－1718.1．如图是周期为2π的三角函数y ＝f (x )的图像，那么f (x )可以写成( )A ．sin(1＋x )B ．sin(－1－x )C ．sin(x －1)D ．sin(1－x ) 答案 D解析 设y ＝sin(x ＋φ)，点(1,0)为五点法作图的第三个点，∴由sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y ＝sin(x ＋π－1)＝sin(1－x )． 2．要得到函数y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位答案 C3．为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图像，只需将函数y ＝sin2x 的图像( ) A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位答案 A解析 本题主要考查三角函数的平移，首先是化为同名函数．y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋5π6)．4．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A5．如图的函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π8B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案 C解析 A ＝2，T ＝7π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π，ω＝2，当x ＝－π8时，y ＝0.6．将函数y ＝sin(－2x )的图像向右平移π3个单位，所得函数图像的解析式为________．答案 y ＝sin(23π－2x )7.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则f (π24)＝________.答案3解析 由图像知T 2＝38π－π8＝π4，T ＝π2，ω＝πT ＝2,2×π8＋φ＝π2＋k π，φ＝π4＋k π，k ∈Z .又|φ|<π2，∴φ＝π4.∵函数f (x )的图像过点(0,1)，∴f (0)＝A tan π4＝A ＝1.∴f (x )＝tan(2x ＋π4)．∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.。