2015年高考文科数学总复习知识点

2015年高考数学考前必看基本知识一、集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素。

2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。

原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.含n个元素的集合的子集个数为，真子集（非空子集）个数为－1；二、函数1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；2.函数的奇偶性（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)= ;（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则（可用于求参数）；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)≠0）;(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；（3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);（4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x= 对称；4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－ 2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数；（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数；5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域)；6.a≥f(x) 恒成立 a≥［f(x)］max,; a≤f(x) 恒成立 a≤［f(x)］min;7.（1） (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．(2013年高考江西卷)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，故此时不存在实数a 满足条件；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件，故选A.答案：A3．(2014年浙江五校联考)若函数f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D.()0，＋∞解析：根据题意知log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0. 答案：A4．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：利用正弦函数、指数函数、对数函数及分式型函数定义域的确定方法求解． 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.答案：D5．已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( ) A ．8 B ．9 C ．11D ．10解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11. 答案：C6．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足． ②f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )， x ＝1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0＝－f (x )， x >1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足． 答案：B 二、填空题7．(2013年高考安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析：设－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)8．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0，恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ， 即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1) 答案：(－1，2－1) 三、解答题10．(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 解析：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)设f (x )＝ax ＋b ，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则有a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 令x ＝－x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．11．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， (x ≥0)，－1 (x <0)，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解析：当x ≥0时，g (x )＝x 2，f [g (x )]＝2x 2－1， 当x <0时，g (x )＝－1，f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1 (x ≥0)，－3 (x <0).∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2，当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎨⎧(2x －1)2， (x ≥12)，－1， (x <12).12．(能力提升)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解析：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝030k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝115，b 1＝0∴y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝260k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110b 2＝－2，∴y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ， x ∈[0，30]2， x ∈(30，40).110x －2， x ∈[40，60]。

第一章 集合和简易逻辑一、考点：交集、并集、补集 概念：1、由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”（求公共元素）A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B}2、由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”（求全部元素）A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B}3、如果已知全集为U ，且集合A 包含于U ，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 的补集，记作A C u ,读作“A 补”A C u ={ x|x ∈U ，且x ∉A }解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现二、考点：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件A 和结论B 两部分构成，写成“如果A 成立，那么B 成立”。

1. 充分条件：如果A 成立，那么B 成立，记作“A →B ”“A 推出B ，B 不能推出A ”。

2. 必要条件：如果B 成立，那么A 成立，记作“A ←B ”“B 推出A ，A 不能推出B ”。

3. 充要条件：如果A →B,又有A ←B ，记作“A ←B ”“A 推出B ，B 推出A ”。

解析：分析A 和B 的关系，是A 推出B 还是B 推出A ，然后进行判断第二章 不等式和不等式组三、考点：不等式的性质1. 如果a>b ，那么b<a ；反之，如果b>a ，那么a<b 成立2. 如果a>b ，且b>c ，那么a>c3. 如果a>b ，存在一个c （c 可以为正数、负数或一个整式），那么a+c>b+c ，a-c>b-c4. 如果a>b ，c>0，那么ac>bc （两边同乘、除一个正数，不等号不变）5. 如果a>b ，c<0，那么ac<bc （两边同乘、除一个负数，不等号变号）6. 如果a>b>0，那么a 2>b 27. 如果a>b>0，那么b a >；反之，如果b a >，那么a>b解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面四、考点：一元一次不等式1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。

高考文科数学知识点总结归纳高考文科数学考试主要涉及以下几个知识点：1. 代数与函数：- 线性方程与线性不等式- 二次函数与一元二次方程- 指数与对数- 三角函数与三角方程- 复数与复数方程2. 数列与数学归纳法：- 等差数列与等比数列- 递推数列- 数学归纳法的应用3. 几何与向量：- 角的概念与性质- 三角形与四边形的性质- 圆的概念与性质- 直线与平面的方程- 向量的定义与运算4. 概率与统计：- 事件的概念与性质- 离散型随机变量与连续型随机变量- 概率的计算与性质- 统计的基本概念与方法下面对每个知识点进行进一步总结：1. 代数与函数：- 线性方程与线性不等式：高考文科数学中的线性方程与线性不等式主要涉及到一元一次方程与一元一次不等式的求解。

需要掌握将方程转化为标准形式、去括号、移项、合并同类项、整理得到方程的解，以及用图象法解不等式。

- 二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程是高考文科数学中重要的知识点。

需要掌握二次函数的顶点、对称轴、单调性、最值等性质，以及一元二次方程的求解方法，包括配方法、公式法、因式分解法等。

- 指数与对数：指数与对数是高考文科数学中的基本知识点，涉及到指数函数与对数函数的性质、指数方程与对数方程的求解方法，以及指数对数的换底公式等。

- 三角函数与三角方程：三角函数与三角方程是高考文科数学中的重要内容。

需要掌握三角函数的定义、性质与图象，以及三角方程的求解方法，包括基本解、通解等。

- 复数与复数方程：复数与复数方程是高考文科数学中的较为高级的知识点。

需要掌握复数的定义、运算与性质，以及复数方程的求解方法，包括一次解法与二次解法。

2. 数列与数学归纳法：- 等差数列与等比数列：高考文科数学中经常涉及到等差数列与等比数列的问题，需要掌握等差数列与等比数列的通项公式、求和公式以及相关性质。

- 递推数列：递推数列是高考文科数学中常见的一种数列，需要了解递推数列的定义、通项公式、前n项和以及性质。

选修4－5 不等式选讲[考纲要求] (1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|ax+b|≤|a|+|b|.②|a-b|≤|a -c|+|c-b|.③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x -a|+|x-b|≥c.(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明。

①柯西不等式的向量形式：βαβα⋅≥⋅②③(此不等式通常称为平面三角不等式。

)(3)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。

(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。

(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式(x>-1，x≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立。

(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式,柯西不等式求一些特定函数的极值。

(8)了解证明不等式的基本方法：比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。

[知识点梳理]1．两个实数大小关系的基本事实a >b ⇔________；a ＝b ⇔________；a <b ⇔________.2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a >b ，那么________；如果________，那么a >b .即a >b ⇔________.(2)传递性：如果a >b ，b >c ，那么________．(3)可加性：如果a >b ，那么____________．(4)可乘性：如果a >b ，c >0，那么________；如果a >b ，c <0，那么________．(5)乘方：如果a >b >0，那么a n ________b n (n ∈N ，n >1)．(6)开方：如果a >b >0，那么n a ________n b (n ∈N ，n >1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a ＋b |≤________.(2)性质2：|a |－|b |≤________.性质3：________≤|a －b |≤________.4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0a <0 |x |<a|x |>a(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法①|ax ＋b |≤c ⇔______________；②|ax ＋b |≥c ⇔______________.(3)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．5．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均．(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值；②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值．6．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3abc ，当且仅当________时，等号成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立．7．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．8．证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法由a >b >0⇔a b>1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的____________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．(6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．[考点题型剖析]题型一 含绝对值的不等式的解法【典型例题】例1-1解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.思维启迪 本题不等式为|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法．规范解答解 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .[4分]∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32. 同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32. 从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都大于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.[8分]所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.[10分] 方法二 当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32.[3分] 当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分]当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分] 综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.[10分] 方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －3，x ≤－1；－1，－1<x <1；2x －3，x ≥1.[3分]作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32. 从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，[8分] 即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.[10分] 温馨提醒 这三种方法是解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.例1-2(2012·课标全国)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．思维升华 解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．例1-3 (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 审题破题 (1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时去绝对值，利用函数最值求a 的范围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a|当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43.【变式训练】1． (2013·重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是____．答案 (－∞，8]解析 ∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8，∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8.2． (2013·江西)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．答案 [0,4]解析 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0|x －2|≤2得0≤x ≤4. ∴不等式的解集为[0,4]．3． (2012·山东)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.答案 2解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.4[2014·江西卷] x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________．答案 [0，2]5.不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为__________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32且x ≠－2. 解析 ∵|x ＋1||x ＋2|≥1，∴|x ＋1|≥|x ＋2|. ∴x 2＋2x ＋1≥x 2＋4x ＋4，∴2x ＋3≤0.∴x ≤－32且x ≠－2.6.已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－m .(1)当m ＝5时，求f (x )>0的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥2的解集是R ，求m 的取值范围．解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－x －1－x ＋2>5， 解得函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|>m ＋2，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2解集是R ，∴m ＋2≤3，m 的取值范围是(－∞，1]．7.已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解 方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．8.(2013·辽宁)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4. 当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a . 由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.9.[2011课标]选修4-5：不等式选讲 设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

高考文科数学总知识点高考文科数学是高中毕业生参加高考时必须考察的科目之一，它的考察对象包括数学的基本概念、运算规则、解题方法等等。

下面是高考文科数学的总知识点。

1.数与代数1.1 数的性质与运算1.2 代数运算与因式分解1.3 一元一次方程与一元一次不等式1.4 二次根式与二次方程1.5 高次方程与不等式1.6 数列的概念与性质2.函数2.1 函数的性质与图像2.2 一次函数与二次函数2.3 指数函数与对数函数2.4 三角函数3.几何3.1 点、直线和平面3.2 各种角的概念与性质3.3 三角形的概念与性质3.4 四边形的概念与性质3.5 圆的概念与性质3.6 空间几何4.概率与统计4.1 随机事件与概率4.2 统计的基本概念和方法4.3 相关系数与回归直线5.数学推理与证明5.1 几何证明5.2 数学归纳法5.3 数论证明以上是高考文科数学的总知识点，通过对这些知识点的掌握，考生能够在高考中取得较好的成绩。

高考数学的重点在于对基本概念的理解和解题能力的培养，所以考生在备考过程中要注重理论的学习和题目的练习。

同时，考生还要注重方法的灵活运用，多思考、多总结，提高解题的效率和准确性。

为了高效地备考数学，考生可以采取以下方法：首先，理论学习要扎实。

要充分理解并掌握每一个知识点，掌握其内在的联系和运用方法。

其次，进行大量的习题训练。

通过大量的练习，逐步提高解题的技巧和速度。

再次，注重错题的总结和订正。

对于做错的题目，要找出错因，加以总结和订正，避免同样的错误再次出现。

最后，要有计划地进行复习。

将所有的知识点进行系统的梳理，进行有针对性的复习，强化薄弱环节。

总之，高考文科数学是一门理论与实践相结合的学科，需要灵活运用所学知识进行解题。

通过系统的学习和大量的练习，考生一定能够取得令人满意的成绩。

希望大家都能在高考中取得优异的成绩，实现自己的理想！。

高考文科数学总复习知识点高三文科数学总复集合：集合的元素具有确定性、互异性和无序性特征。

常用的数集包括自然数集（或非负整数集）记为N，正整数集记为N或N+，整数集记为Z，实数集记为R，有理数集记为Q。

集合还有重要的等价关系，即A∩B=A当且仅当A∪B=B当且仅当A是B的子集。

一个由n个元素组成的集合有2个不同的子集，其中有2n-1个非空子集，也有2n-1个真子集。

函数：函数单调性的证明可以通过取值、作差、变形、定号和得出结论等步骤完成。

常用的结论包括：若f(x)为增（减）函数，则-f(x)为减（增）函数；增+增=增，减+减=减；复合函数的单调性是“同增异减”；奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

函数的奇偶性定义为f(-x)=f(x)时为偶函数，f(-x)=-f(x)时为奇函数。

需要注意的是，函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0.基本初等函数：指数函数的一般形式为x=a^n，其中n>1且n为自然数。

负数没有偶次方根，任何次方根都是正数，当n是奇数时，a^n=a，当n是偶数时，a^n=|a|。

对数的定义为若a=N，则b=log_a N，其中a为对数的底数，b为以a为底的N的对数，N为真数。

需要注意的是，负数和零没有对数，log_a 1=0且log_a a=1（a>0且a≠1）。

对数的运算法则包括log_a (MN)=log_a M+log_a N，log_a (M/N)=log_a M-log_a N，log_a M^n=nlog_a M，换底公式为log_a b=log_c b/log_c a。

指数函数和对数函数是互逆的，即a^log_a N=N。

b=(a。

a≠1,c。

c≠1,b>)，利用换底公式推导以下结论：logc a = 1n(1) loga bn = loga b (2) loga b = logb am改写为：假设b=(a。

高考数学基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 . 集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ；（2）集合与元素的关系用符号∈，∉表示.（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 .（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 . 注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xy z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合.（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值.二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 . （2）_}__________{_________=B A ；____}__________{_________=B A ； _}__________{_________=A C U（3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A ___；A B B A ___；B A B A ___；②⇔=A B A ；⇔=A B A ；⇔=U B A C U ；⇔=φB A C U ；③=B C A C U U ； )(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ；②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则=n ；若n 被3除余2，则=n ；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 .（2）B A 中元素的个数的计算公式为：=)(B A Card ；（3）韦恩图的运用：四、x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，若 ；则p 是q 的充分非必要条件B A _____⇔；若 ；则p 是q 的必要非充分条件B A _____⇔；若 ；则p 是q 的充要条件B A _____⇔；若 ；则p 是q 的既非充分又非必要条件___________⇔；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；注意：“若q p ⌝⇒⌝，则q p ⇒”在解题中的运用，如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件. 六、反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ⌝则p ⌝”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确.矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题.适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念： 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个. 函数)(x y ϕ=的图象与直线a x =交点的个数为 个.二、函数的三要素： ， ， .相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法：①)()(x g x f y =，则 ； ②)()(*2N n x f y n ∈=则 ； ③0)]([x f y =，则 ； ④如：)(log )(x g y x f =，则 ；⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数)(x f y =的定义域是]1,0[，求)()()(a x f a x f x -++=ϕ的定义域.⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定.如：已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S ；定义域为 .（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx b ax y ∈++=； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xk x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域. ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域. 求下列函数的值域：①])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=x b a b a bxa bx a y （2种方法）； ②)0,(,32-∞∈+-=x x x x y （2种方法）；③)0,(,132-∞∈-+-=x x x x y （2种方法）； 三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言.判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法.应用：比较大小，证明不等式，解不等式.奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系.f(x) －f(-x)=0⇔f(x) =f(-x) ⇔f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0⇔ f(x) =－f(-x) ⇔f(x)为奇函数.判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法应用：把函数值进行转化求解.周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+T)=f(x),则T 为函数f(x)的周期.其他：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+a)=f(x －a),则2a 为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式. 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律.常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数.如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象.（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意义.对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称.（注意：它是一个偶函数）伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换.一个重要结论：若f(a －x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；如：)(x f y =的图象如图，作出下列函数图象：（1）)(x f y -=；（2）)(x f y -=；（3）|)(|x f y =；（4）|)(|x f y =；（5）)2(x f y =；（6）)1(+=x f y ；（7）1)(+=x f y ；（8）)(x f y --=；（9）)(1x f y -=.五、反函数：（1）定义：（2）函数存在反函数的条件： ；（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；（4）求反函数的步骤：①将)(x f y =看成关于x 的方程，解出)(1y fx -=，若有两解，要注意解的选择；②将y x ,互换，得)(1x fy -=；③写出反函数的定义域（即)(x f y =的值域）.（5）互为反函数的图象间的关系： ；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数.如：求下列函数的反函数：)0(32)(2≤+-=x x x x f ；122)(-=x x x f ；)0(21log )(2>-+=x x x x f 七、常用的初等函数：（1）一元一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是增函数；当0<a 时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是 ；顶点为 ；两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是 ；与x 轴的交点为 ；顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是 ；顶点为 ；①一元二次函数的单调性：当0>a 时： 为增函数； 为减函数；当0<a 时： 为增函数；为减函数； ②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为h k x a y +-=2)(的形式，Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则0>a 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；0<a 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则0>a 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；0<a 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定.如：]1,1[,12-∈++=x x x y(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外.(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．]1,[,12+∈++=a a x x x y③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程0)(2=++=c bx ax x f 的两根为21,x x ；则：注意：若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，在令n x =和m x =检查端点的情况.（3）反比例函数：)0(≠=x x a y ⇒bx c a y -+= （4）指数函数：)1,0(≠>=a a a y x指数运算法则： ； ； .指数函数：y=xa (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a 的值有关，在解题中，往往要对a 分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图.（5）对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a指数运算法则： ； ； ；对数函数：y=x a log (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a 的值有关，在解题中，往往要对a 分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图.注意：（1）x a y =与x y a log =的图象关系是 ；（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较.（3）已知函数)2(log )(221++=kx x x f 的定义域为R ，求k 的取值范围.已知函数)2(log )(221++=kx x x f 的值域为R ，求k 的取值范围.六、)0(>+=k xk x y 的图象： 定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性：是增函数； 是减函数.七、补充内容：抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：①)()()(2121x f x f x x f +=+⇒正比例函数)0()(≠=k kx x f②)()()(2121x f x f x x f ⋅=+；)()()(2121x f x f x x f ÷=-⇒ ；③)()()(2121x f x f x x f +=⋅；)()()(2121x f x f x x f -=⇒ ； ④)2()2(2)()(212121x x f x x f x f x f -⋅+=+⇒ ； 五、数列本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前n 项和n S ，则其通项为⎩⎨⎧∈≥-==-).,2(),1(11N n n S S n S a n n n 若11S a =满足,121S S a -=则通项公式可写成1--=n n n S S a .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为)1(1)1(1≠--=q qq a S n n 及)1(1==q na S n ；已知n S 求n a 时，也要进行分类；③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的，特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.一、基本概念：1、 数列的定义及表示方法；2、 数列的项与项数；3、 有穷数列与无穷数列；4、 递增（减）、摆动、循环数列；5、 数列{a n }的通项公式a n ；6、 数列的前n 项和公式S n ；7、 等差数列、公差d 、等差数列的结构；8、 等比数列、公比q 、等比数列的结构；二、基本公式：9、一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n10、等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数.11、等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + S n =d n n na n 2)1(-- 当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式.12、等比数列的通项公式： a n = a 1 q n-1 a n = a k q n-k（其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0）13、等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --11 三、有关等差、等比数列的结论14、等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列.15、等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+16、等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ∙=∙17、等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列.18、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n -b n }仍为等差数列.19、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数组成的数列{a n ∙b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列.20、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.21、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.22、三个数成等差的设法：a-d ，a ，a+d ；四个数成等差的设法：a-3d ，a-d ，a+d ，a+3d23、三个数成等比的设法：a q，a ，aq ； 四个数成等比的错误设法：3a q , a q ，aq ，aq 3 （为什么？） 24、{a n }为等差数列，则{}na c (c>0)是等比数列. 25、{b n }（b n >0）是等比数列，则{logc b n } (c>0且c ≠1) 是等差数列.26. 在等差数列{}n a 中：（1）若项数为n 2，则 nd S S =-奇偶 n n a a S S 1+=奇偶（2）若数为12+n 则，1+=-n a S S 偶奇n n S S 1+=偶奇， )12(112+∙=++n a S n n 27. 在等比数列{}n a 中：（1）若项数为n 2，则 q S S =奇偶（2）若数为12+n 则，q S a S =-偶奇1四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.28、分组法求数列的和：如a n =2n+3n29、错位相减法求和：如a n =(2n-1)2n30、裂项法求和：如a n =1(1)n n + 31、倒序相加法求和：如a n =n nC 10032、求数列{a n }的最大、最小项的方法：① a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 如a n = -2n 2+29n-3② ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a (a n >0) 如a n =n n n 10)1(9+ ③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =1562+n n 33、在等差数列{}n a 中，有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：（1）当 1a >0，d<0时，满足的项数m 使得m s 取最大值.（2）当 1a <0，d>0时，满足的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用.六、平面向量1．基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.2． 加法与减法的代数运算： (1)n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．(2)若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ±b =（2121,y y x x ±±）．向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则.以向量AB =a 、AD =b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC =a +b ,=b －a ,=a －b 且有︱︱－︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱． 向量加法有如下规律：＋=＋(交换律); +(+c )=(+ )+c （结合律）； +0= ＋(－)=0.3．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量.(1)︱λa ︱=︱λ︱·︱a ︱;(2) 当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ=0时，λ=0．(3)若=（11,y x ），则λ·=（11,y x λλ）．两个向量共线的充要条件：(1) 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ．(2) 若=（11,y x ）,b =（22,y x ）则∥b 01221=-⇔y x y x ．平面向量基本定理：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使得a =1λe 1+ 2λe 2.4．P 分有向线段21P P 所成的比：设P 1、P 2是直线l 上两个点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ使P P 1=λ2P P ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比.当点P 在线段21P P 上时，λ＞0；当点P 在线段21P P 或12P 的延长线上时，λ＜0； 分点坐标公式：若P P 1=λ2P P ；21,,P P P 的坐标分别为（11,y x ）,（y x ,）,（22,y x ）；则⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y （λ≠－1）， 中点坐标公式：⎩⎨⎧+=+=222121x x x y y y ．5． 向量的数量积：（1）向量的夹角： 已知两个非零向量与b ，作=, =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量与b 的夹角.（2）两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ．其中︱b ︱cos θ称为向量b 在方向上的投影．（3）向量的数量积的性质： 若=（11,y x ）,b =（22,y x ）则e ·=·e =︱︱cos θ (e 为单位向量); ⊥b ⇔·b =0⇔02121=+y y x x （，b 为非零向量）;︱︱=2121y x a a +=∙; cos θ=b a b a ∙∙=222221212121y x y x y y x x +⋅++． (4)向量的数量积的运算律：·b =b ·;(λ)·b =λ(·b )=·(λb );(＋b )·c =·c +b ·c ．6.主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等.由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点.七、立体几何1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题.能够用斜二测法作图．．．．．．．. 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法.3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交.②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据.③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面（1）位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）（2）掌握平面与平面平行的证明方法和性质.（3）掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理.尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直.（4）两平面间的距离问题→点到面的距离问题→⎩⎨⎧体积法直接法 （5）二面角.二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形. ③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法.5．棱柱（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质.（2）掌握长方体的对角线的性质.（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质.（4）S 侧＝各侧面的面积和.思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？6．棱锥（1）棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）（2）相关计算：S 侧＝各侧面的面积和，V=31Sh 7．球的相关概念：S 球=4πR 2 V 球＝34πR 3 球面距离的概念8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）.掌握欧拉公式：V+F-E=2 其中：V顶点数E棱数F面数9．会用反证法证明简单的命题.如两直线异面.主要思想与方法：1．计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.二面角方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=S cosθ来计算（2）空间距离1）两点之间的距离；2）点到直线的距离；3）点到平面的距离；4）两条平行线间的距离；5）两条异面直线间的距离；6）平面的平行直线与平面之间的距离；7）两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.2．平面图形的翻折，要注意翻折．．前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.⑤平行转化⑥垂直转化八、平面解析几何（一）直线与圆知识要点1．直线的倾斜角与斜率k=tgα，直线的倾斜角α一定存在，范围是[0，π]，但斜率不一定存在.牢记下列图像.斜率的求法：依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标2．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义.3．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件.会判断两条直线的位置关系.（斜率相等还有可能重合）4．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念.5．点到直线的距离公式.6．会用一元不等式表示区域.能够解决简单的线性规划问题.7．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程.8．圆的标准方程：(x －a)2+(y －b)2=r 2圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件.圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x 掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系.会求圆的相交弦、切线问题. 圆锥曲线方程（二）圆锥曲线1.椭圆及其标准方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==为三角函数问题。

2015年高考数学基础知识点速记【集合部分】1、集合相关观念（1）集合性质：确定性、互异性、无序性（2）n 个元素集合有2n个子集，有21n-个真子集，有22n-个非空真子集（3）空集是任何一个集合的子集，是一切非空集合的真子集 （4）交集“”；并集“”；补集“AU C ”{|,} {|} {,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C【函数、导数】1、函数的单调性（1）设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数；],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.（2）设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性（1）定义：对于定义域内任意的x ，若)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；若)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f3、函数的周期性：若)()(x f T x f =+，则T 叫做这个函数的一个周期。

（差为定值想周期）（1）三角函数的最小正周期：||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；||:tan ωπω==T x y4、两个函数图象的对称性（和为定值想对称）（1）如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称⇔()y f x a =+是偶函数；（2）若都有()()x b f x a f +=-，那么函数()x f y =的图象关于直线2ba x +=对称； 5、极值、最值（极值点处的导数值为零，最值只在极值点处或端点处） 求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值；(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 6、图象变换问题（1）平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”； （2）对称变换：ⅰ))(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ))(x f y =x −−→轴)(x f y -=；ⅲ) )(x f y =y −−→轴)(x f y -=；ⅳ))(x f y =−→−=x y ()x f y =； （3）翻折变换：ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； （4）伸缩变换ⅰ）)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍； ⅱ）)()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍； 7、函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.(4)零点定理：若()y f x =在[,]a b 上满足()()0f a f b ⋅<，则()y f x =在(,)a b 内至少有一个零点。