高考数学二轮复习 小题综合限时练(三

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第三天一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（2020·海南·高考真题）设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2．（2020·海南·高考真题）()()12i 2i ++=（）A ．45i +B ．5iC ．5i-D ．23i+【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.4．（2019·全国·高考真题）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．5．（2020·山东·统考高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x \的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i是虚数单位，若复数z与复数z0＝1－2i在复平面上对应的点关于实轴对称，则z0·z＝()A.5B.－3C.1＋4iD.1－4i解析因为z0＝1－2i，所以z＝1＋2i，故z0·z＝5.故选A.答案 A2.已知集合M＝{y|y＝4－x2}，N＝{x|y＝ln(x2－2x)}，则()A.M⊂NB.N⊂MC.M∩N＝∅D.M∪N≠R解析M＝[0，2]，N＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以M∩N＝∅.故选C.答案 C3.在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为()A.200B.100C.90D.70解析S＝10×（－20＋40）2＝100.故选B.答案 B4.我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值.如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n，落到正方形内的豆子数为m，则圆周率π的估算值是()A.nm B.2nm C.3nm.2mn解析设圆的半径为r，则P＝mn＝（2r）2πr2，得π＝2nm.故选B.答案 B5.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒ba ＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D6.若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为()A.0B.1C.32D.2解析 可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋12z ， 当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0，1)时，z 取得最大值2. 答案 D7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，则ω的一个可能值是( ) A.12 B.35 C.34D.32解析 由函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，得5π6＞π2ω，ω＞35，所以35＜ω≤34.故选C.答案 C8.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3 C.43π＋833D.43π＋8 3解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833.答案 A9.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC 面积的最大值为( ) A.2B. 2C.12D. 3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ， 所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B. 答案 B10.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且 x ≠0)的图象可能为( )解析 ∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D11.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若F A →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2B. 3C.2 2D. 5解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝ba x ②，联立①②，解得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ， 由F A →＝(2－1)AB→，得c ＝(2－1)ac c －a ，c ＝2a ，e ＝ 2.答案 A12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( ) A.[－2，2]B.[－2，2]∪[4，＋∞)C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3， 即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.如图，根据图中的数构成的规律，a 表示的数是________.1 2 2 3 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5……解析 数表的规律是每行从第二个数起一个数等于它肩上的两个数的乘积，所以a ＝12×12＝144. 答案 14414.实数x ，y 满足⎩⎨⎧y －2x ≤－2，y ≥1，x ＋y ≤4，则x 2＋y 2xy 的取值范围是________.解析 x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x .令k ＝yx ，则k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由图形可知13≤k ≤1，根据函数y ＝1k ＋k 的单调性得2≤k ≤103.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，10315.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO→＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.解析 由AO→＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°. 答案 90°16.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，则x n ＝________.解析 设因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1＝3n . 答案 3n。

小题强化练(三)一、单项选择题1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－8<x <2} B ．{0，1} C ．{1}D ．{0，1，2}2．已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则1＋z1－z ＝( )A.15＋25i B ．－15＋25iC.15－25i D ．－15－25i3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金棰由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为( )A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤4．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1，且AB ⊥BC ，点M 是A 1C 1的中点，则异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为( )A.13B.223C.324D.125．在区间[－2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( )A.14B.12 C ．1D ．26．已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)f (x ＋2)＝f (x )；(2)f (x －2)为奇函数；(3)当x ∈[0，1)时，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(x 1≠x 2)恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫－152，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112的大小关系正确的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫112>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫－152 B ．f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112>f ⎝⎛⎭⎫－152 C ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112 D ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f ⎝⎛⎭⎫112>f (4)7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点．设M 为抛物线上的动点，则|MO ||MF |的最大值为( )A. 3 B ．1 C.33D.2338．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到y ＝f (x )的图象．若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且f (x )的最大负零点在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6上，则φ的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤π6，π4 B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎦⎤π12，π4 D.⎝⎛⎭⎫π12，π2 二、多项选择题9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m ＞0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD.sin αtan α 10．(2019·湖南长沙一模)设a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面，下列结论不正确的是( )A ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bD ．若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥b11．已知函数f (x )＝2x －log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c12．已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝tan x三、填空题13．二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 9展开式中含x 3项的系数为________．14．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 2a 4＝16，S 3＝28，则当a 1a 2…a n 最大时，n 的值为________．15．如图，在△ABC 中，已知M 为边BC 上一点，BC →＝4BM →，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则CM ＝________；cos ∠BAC ＝________．16．已知扇形OAB 的圆心角∠AOB ＝90°，半径为2，C 是其弧上一点．若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ·μ的最大值为________．小题强化练(三)1．解析：选B.由A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}＝{x |－8<x <2}，得A ∩B ＝{0，1}，故选B.2．解析：选B.因为z ＝－1＋i ，所以1＋z 1－z ＝1－1＋i 1－（－1＋i ）＝i 2－i ＝i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－15＋25i.故选B. 3．解析：选B.由题意知金杖由粗到细每一尺构成一个等差数列，且首项a 1＝4，a 5＝2，则公差d ＝a 5－a 15－1＝－12.所以a 3＝a 1＋2d ＝4－1＝3，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝9，故选B.4.解析：选B.法一：由题知AA 1∥BB 1，则异面直线MB 与AA 1所成角为∠MBB 1，如图．又△BB 1M 为直角三角形，cos ∠MBB 1＝BB 1MB.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，由AB ⊥BC ，得B 1M ＝12A 1C 1＝22.故MB ＝22＋⎝⎛⎭⎫222＝32，所以cos ∠MBB 1＝BB 1MB ＝223，故选B.法二：以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，则M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，B (0，0，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，所以MB →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－2，AA 1→＝(0，0，2)．设异面直线MB 与AA 1所成角为θ，则cos θ＝|MB →·AA 1→||MB →||AA 1→|＝492×2＝223，所以异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为223，故选B.5．解析：选B.由直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点，得圆心到直线的距离d ＝|b |2≤a ，解得b ∈[－2a ，2a ]．又b ∈[－2，2]，且直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，所以由几何概型的概率计算公式可知P ＝2a －（－2a ）2－（－2）＝12，解得a ＝12，故选B. 6．解析：选C.由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，可知f (x )＝f (x －2)．又f (x －2)为奇函数，可知f (x )为奇函数．所以f ⎝⎛⎭⎫－152＝f ⎝⎛⎭⎫－152＋2×4＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫112－2×3＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又x ∈[0，1)时，f (x )单调递增，故奇函数f (x )在(－1，1)内单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)>f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112，故选C. 7．解析：选D.设抛物线上点M (m ，n )(m >0)，则n 2＝2pm ，可得|MO |＝m 2＋n 2＝m 2＋2pm .由抛物线的定义得|MF |＝m ＋p 2，所以|MO ||MF |＝m 2＋2pmm ＋p 2＝m 2＋2pmm 2＋pm ＋p 24＝1＋pm －p 24m 2＋pm ＋p 24.令pm －p 24＝t ，t >－p 24，则m ＝t p ＋p 4，所以|MO ||MF |＝1＋tt 2p 2＋3t 2＋9p 216＝1＋1t p 2＋32＋9p 216t≤1＋13＝233，当且仅当t p 2＝9p 216t ，即t ＝3p 24时，等号成立，故选D. 8．解析：选C.法一：函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到函数f (x )＝sin (2x －2φ)的图象，则当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2φ∈⎣⎡⎦⎤－2φ，π2－2φ.由函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，可知⎩⎨⎧－π2＋2k π≤－2φ，π2－2φ≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－k π≤φ≤π4－k π(k ∈Z )．又由0<φ<π2，可知0<φ≤π4①.函数f (x )的所有零点满足2x －2φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝12k π＋φ(k ∈Z )，由最大负零点在⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6内，得－5π12<12k π＋φ<－π6(k ∈Z )，即－5π12－12k π<φ<－π6－12k π(k ∈Z )，由0<φ<π2可知当k ＝－1时，π12<φ<π3②.由①②，φ的取值范围为⎝⎛⎦⎤π12，π4，故选C.法二：由题意得f (x )＝sin(2x －2φ)观察选项可取φ＝π3，可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，可知当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，函数f (x )先减后增，不符合题意，排除B ，D ；取φ＝π6，易得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k 2π(k ∈Z )，则函数f (x )取得的最大负零点为x ＝－π3∈⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6，符合题意，排除A ，故选C.9．解析：选CD.由已知得r ＝|OP |＝m 2＋1，则sin α＝m m 2＋1＞0，cos α＝－1m 2＋1＜0，tan α＝－m ＜0，所以sin x ＋cos α的符号不确定，sin α－cos α＞0，sin αcos α＜0，sin αtan α＝cos α＜0.故选CD. 10．解析：选BCD.由a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面知： 在A 中，若a ∥c ，b ∥c ，则由平行公理得a ∥b ，故A 正确； 在B 中，若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a ⊂α，故B 错误；在C 中，若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 平行或异面，故D 错误．11．解析：选ABC.由f (x )＝2x －log 12x ，可知函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．因为实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )，f (b )，f (c )可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，x 0>c ，D 不可能成立．12．解析：选AC.若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选AC.13．解析：二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫2x 9－r(－x )r ＝(－1)r ·29－r C r 9x 32r －9.令32r －9＝3，解得r ＝8，可知所求二项式展开式中含x 3项的系数为(－1)8·29－8C 89＝2×9＝18.答案：1814．解析：由数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝16，可得a 3＝4.又S 3＝a 3⎝⎛⎭⎫1q 2＋1q ＋1＝28，可得1q 2＋1q ＋1＝7，即⎝⎛⎭⎫1q －2·⎝⎛⎭⎫1q ＋3＝0，解得q ＝12⎝⎛⎭⎫q ＝－13舍去，故a n ＝a 3qn －3＝25－n.则a 1a 2…a n ＝24×23×…×25－n＝2（9－n ）n 2，可知当（9－n ）n2取得最大值时，a 1a 2…a n 取得最大值，此时整数n ＝4或5.答案：4或515．解析：因为在△AMC 中，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则有33＝12AM ·CM ·sin ∠AMC ＝12×2×CM ×32，所以解得CM ＝6. 因为BC →＝4BM →，所以BM ＝2，BC ＝8，因为∠AMB ＝π－∠AMC ＝2π3，所以由余弦定理可得AB ＝AM 2＋BM 2－2AM ·BM ·cos ∠BMA ＝22＋22－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， AC ＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC ＝22＋62－2×2×6×12＝27，所以cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12＋28－642×23×27＝－217.答案：6 －21716．解析：由题|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，且OA →·OB →＝0.由OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得OC →2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2OA →2＋2λμOA →·OB →＋μ2OB →2＝4λ2＋4μ2，可得4＝4λ2＋4μ2，即λ2＋μ2＝1，所以λ·μ≤λ2＋μ22＝12，当且仅当λ＝μ＝22时取得等号，故λ·μ的最大值为12.1答案：2。

限时练(一)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{x |x 2－2x ＜0}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，则M ∩N ＝( ) A.∅ B.{1}C.{0，1}D.{－1，0，1}解析 ∵M ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，∴M ∩N ＝{1}. 答案 B2.设(2＋i)(3－x i)＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A.5B.13C.2 2D.2解析 易得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(x ，y ∈R ). ∴⎩⎨⎧6＋x ＝3，3－2x ＝y ＋5，∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，故|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5. 答案 A3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 8＝0，S 11＝33，则公差d 的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ∵a 2＋a 8＝2a 5＝0，∴a 5＝0， 又S 11＝（a 1＋a 11）×112＝11a 6＝33，∴a 6＝3，从而公差d ＝a 6－a 5＝3. 答案 C4.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB.存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC.存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD.存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析 对于A ，a ∥α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以A 不是α∥β的一个充分条件.对于B ，a ⊂α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以B 不是α∥β的一个充分条件.对于C ，由a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α可得α∥β或α，β相交，所以C 不是α∥β的一个充分条件.对于D ，存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，如图，在β内过b 上一点作c ∥a ，则c ∥α，所以β内有两条相交直线平行于α，则有α∥β，所以D 是α∥β的一个充分条件.答案 D5.设双曲线的一条渐近线为方程y ＝2x ，且一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为( ) A.54x 2－5y 2＝1 B.5y 2－54x 2＝1 C.5x 2－54y 2＝1D.54y 2－5x 2＝1解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a 2＋b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝55，b ＝255，所以双曲线方程为5x 2－54y 2＝1. 答案 C6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则P (A |B )的值为( ) A.14B.34C.29D.59解析 ∵P (B )＝3344，P (AB )＝A 3344， 由条件概率P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝A 3333＝29.答案 C7.在如图所示的△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，CD 上，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则向量BE →·AB→＝( )A.9B.4C.－3D.－6解析 根据题意，AB ＝3，BD ＝2AD ，则AD ＝1， 在△ADC 中，又由AC ＝2，∠BAC ＝60°， 则DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠BAC ＝3， 即DC ＝3，所以AC 2＝AD 2＋DC 2， 则CD ⊥AB ，故BE →·AB →＝(BD →＋DE →)·AB →＝BD →·AB →＋DE →·AB →＝BD →·AB →＝3×2×cos 180°＝－6. 答案 D8.设定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x )＝f (4－x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，若a ＝f (2 022)，b ＝f (2 019)，c ＝f (2 020)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.c <a <bD.b <a <c解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (4－x )，则f (x )的周期为4，则a ＝f (2 022)＝f (2)，b ＝f (2 019)＝f (3)＝f (4－3)＝f (1)，c ＝f (2 020)＝f (0). 又当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，知f ′(x )＝1－e x <0. ∴f (x )在区间[0，2]上单调递减， 因此f (2)<f (1)<f (0)，即a <b <c . 答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·聊城模拟)已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x 23－y 2＝1 B.C 的离心率为 3C.曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D.直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析 ∵双曲线的渐近线为y ＝±33x ，∴设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0).又双曲线C 过点(3，2)，∴323－(2)2＝λ，解得λ＝1，故A 正确.此时C 的离心率为3＋13＝233，故B 错误.双曲线C 的焦点为(－2，0)，(2，0)，曲线y ＝e x －2－1经过点(2，0)，故C 正确.把直线方程代入双曲线C 的方程并整理，得x 2－6x ＋9＝0，所以Δ＝0，故直线x －2y －1＝0与双曲线C 只有一个公共点，所以D 错误.故选AC. 答案 AC10.(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ，x ∈R ，则( ) A.－2≤f (x )≤2B.f (x )在区间(0，π)上只有1个零点C.f (x )的最小正周期为πD.直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴解析 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，则－2≤f (x )≤2，A 正确；令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，则f (x )在区间(0，π)上有2个零点，B 错误；f (x )的最小正周期为π，C 正确；当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin(2×π3－π6)＝2，所以直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，D正确.故选ACD.答案ACD11.在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是()A.成绩在[70，80)的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5D.考生竞赛成绩的中位数约为75解析由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)的考生人数最多，所以A正确.不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000，所以B正确.考生竞赛成绩的平均数约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5，所以C正确.设考生竞赛成绩的中位数约为x0，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D错误.故选ABC.答案ABC12.下列结论正确的是()A.若a>b>0，c<d<0，则一定有b c> a dB.若x>y>0，且xy＝1，则x＋1y>y2x>log2(x＋y)C.设{a n}是等差数列，若a2>a1>0，则a2>a1a3D.若x∈[0，＋∞)，则ln(1＋x)≥x－1 8x2解析对于A，由c<d<0，可得－c>－d>0，则－1d>－1c>0，又a>b>0，所以－ad>－bc，则bc>ad，故A正确.对于B，取x＝2，y＝12，则x＋1y＝4，y2x＝18，log2(x＋y)＝log 252>1，故B 不正确.对于C ，由题意得a 1＋a 3＝2a 2且a 1≠a 3，所以a 2＝12(a 1＋a 3)>12×2a 1a 3＝a 1a 3，故C 正确.对于D ，设h (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，则h ′(x )＝11＋x －1＋x 4＝x （x －3）4（x ＋1），当0<x <3时，h ′(x )<0，则h (x )单调递减，h (x )<h (0)＝0，故D不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)与双曲线E ：x 2－y 2＝1的渐近线相切，则r ＝________.解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0.依题意，得r ＝21＋1＝1. 答案 114.已知等差数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2＋a 5＝24，S 3＝S 9，则a 6＝________，S n 的最大值为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由S 3＝S 9，得a 4＋a 5＋…＋a 9＝0，则a 6＋a 7＝0.又a 2＋a 5＝24，所以设等差数列{a n }的公差为d ，可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝0，a 1＋d ＋a 1＋4d ＝24，解得⎩⎨⎧a 1＝22，d ＝－4，所以a 6＝a 1＋5d ＝2，S n ＝－2n 2＋24n ＝－2(n －6)2＋72，故当n ＝6时，S n 取得最大值72. 答案 2 7215.若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝________. 解析 由已知得C 25·22＋a ·C 35·23＝20，解得a ＝－14. 答案 －1416.(2020·河南百校大联考)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的外接球的表面积为________.解析因为“牟合方盖”的体积为163，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4，所以正方体的内切球的体积V球＝π4×163＝43π.则内切球的半径r＝1，正方体的棱长为2.所以正方体的体对角线d＝23，因此正方体外接球的直径2R＝d＝23，则半径R＝ 3.所以正方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π(3)2＝12π.答案12π限时练(二)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z＝1－3i1＋i在复平面内对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析z＝1－3i1＋i＝（1－3i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝－1－2i，∴复数z在复平面内对应的点(－1，－2)在第三象限.答案 B2.若集合A＝{x|x(x－2)＞0}，B＝{x|x－1≤0}，则A∩(∁R B)＝()A.{x|x＞1或x＜0}B.{x|1＜x＜2}C.{x|x＞2}D.{x|x＞1}解析易知A＝{x|x＞2或x＜0}，∁R B＝{x|x＞1}，∴A∩(∁R B)＝{x|x＞2}.答案 C3.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：根据上表可得到回归直线方程y ^＝0.75x ＋a ^，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为( ) A.19.5万元 B.19.25万元 C.19.15万元D.19.05万元解析 易知x －＝4，y －＝16.8.∵回归直线y ^＝0.75x ＋a ^过点(4，16.8)，∴a ^＝16.8－4×0.75＝13.8，则y ^＝0.75x ＋13.8.故7月份的销售额y ^＝0.75×7＋13.8＝19.05(万元). 答案 D4.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A.－3 2B.3 2C.6D.－6解析 通项T r ＋1＝C r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 23－r(－x 4)r＝C r 3(2)3－r(－1)r x －6＋6r ， 当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6. 答案 D5.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 2＋b 3＋b 4＝9，则a 5＝( ) A.8B.16C.32D.64解析 由{a n }是等比数列，且b n ＝log 2a n ， ∴{b n }是等差数列，又b 2＋b 3＋b 4＝9，所以b 3＝3.由b 1＝log 2a 1＝1，知公差d ＝1，从而b n ＝n ， 因此a n ＝2n ，于是a 5＝25＝32. 答案 C6.(2020·青岛质检)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率是( ) A.112125B.80125C.113125D.124125解析 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相应独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫453＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝112125. 答案 A7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π，且x ≠0)的图象可能为( )解析 由f (－x )＝－f (x )及－π≤x ≤π，且x ≠0判定函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，B 选项；当x >0且x →0时，－1x →－∞，cos x →1，此时f (x )→－∞，排除C 选项，故选D. 答案 D8.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上的一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( ) A.13B.23C.1D.2解析 以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A (0，0)，B (3，0)，C (－1，3)，∵BD→＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，∴AD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，AB →＝(3，0)， 所以AB →·AD→＝3×13＋0×233＝1. 答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·淄博模拟)甲、乙、丙三家企业的产品成本(万元)分别为10 000，12 000，15 000，其成本构成比例如图，则下列关于这三家企业的说法正确的是( )A.成本最大的企业是丙B.其他费用支出最高的企业是丙C.支付工资最少的企业是乙D.材料成本最高的企业是丙解析 由扇形统计图可知，甲企业的材料成本为10 000×60%＝6 000(万元)，支付工资10 000×35%＝3 500(万元)，其他费用支出为10 000×5%＝500(万元)； 乙企业的材料成本为12 000×53%＝6 360(万元)，支付工资为12 000×30%＝ 3 600(万元)，其他费用支出为12 000×17%＝2 040(万元)；丙企业的材料成本为15 000×60%＝9 000(万元)，支付工资为15 000×25%＝ 3 750(万元)，其他费用支出为15 000×15%＝2 250(万元).所以成本最大的企业是丙，其他费用支出最高的企业是丙，支付工资最少的企业是甲，材料成本最高的企业是丙.故选ABD.答案 ABD10.(2020·海南模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则下列说法正确的是( )A.φ＝π6B.函数f (x )的最小正周期为πC.函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称D.函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12解析 由题意可知函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以－π2＋φ＝π6，所以φ＝2π3∈(0，π)，A 错误；f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2－π3，k ∈Z ，C 错误；令2k π＋π2≤2x ＋2π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知实数a >b >0，则下列不等关系正确的是( ) A.b a <b ＋4a ＋4B.lga ＋b 2>lg a ＋lg b2C.a ＋1b <b ＋1aD.a －b >a －b解析 对于A ，因为b a －b ＋4a ＋4＝b （a ＋4）－a （b ＋4）a （a ＋4）＝4（b －a ）a （a ＋4），又a >b >0，所以b a <b ＋4a ＋4，故A 正确；因为lg a ＋lgb 2＝lg ab ，又a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，由a >b >0，得a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ，即lg a ＋b 2>lg a ＋lg b2，故B 正确；因为a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＝(a －b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )＋a －b ab ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ，又a >b >0，所以a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a >0，即a ＋1b >b ＋1a ，故C 错误；因为a >b >0，所以a－b >0，则(a －b )2＝a ＋b －2ab ，而(a －b )2＝a －b ，即(a －b )2－(a －b )2＝2b －2ab ＝2(b －ab )，又a >b >0，所以b －ab <0，所以(a －b )2<(a －b )2，即a －b <a －b ，故D 错误.故选AB. 答案 AB12.(2020·临沂模拟)已知点P 在双曲线C ：x 216－y 29＝1上，点F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点.若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的是( ) A.点P 到x 轴的距离为203 B.|PF 1|＋|PF 2|＝503 C.△PF 1F 2为钝角三角形 D.∠F 1PF 2＝π3解析 由双曲线C ：x 216－y 29＝1可得，a ＝4，b ＝3，c ＝5，不妨设P (x P ，y P )，由△PF 1F 2的面积为20，可得12|F 1F 2||y P |＝c |y P |＝5|y p |＝20，所以|y P |＝4，选项A 错误.将|y P |＝4代入双曲线C 的方程x 216－y 29＝1中，得x 2P16－429＝1，解得|x P |＝203.由双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，4，可知|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫203－52＋（4－0）2＝133.由双曲线的定义可知|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝133＋8＝373，所以|PF 1|＋|PF 2|＝373＋133＝503，选项B 正确.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝373>2c ＝10>|PF 2|＝133，且cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝－513<0，则∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，选项C 正确.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝319481≠12，所以∠F 1PF 2≠π3，选项D 错误.故选BC. 答案 BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.某年级有1 000名学生，一次数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，P (95≤X ≤105)＝0.34，则该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为________.解析 ∵数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，∴考试成绩关于X ＝105对称.∵P (95≤X ≤105)＝0.34，∴P (X >115)＝12×(1－0.68)＝0.16，∴该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为0.16×1 000＝160. 答案 160 14.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，∴y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0.答案 2x －y ＋1＝015.已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n＋1成立的n 的最小值为________，此时S n ＝________.(本小题第一空3分，第二空2分)解析 所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1<12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3<12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6<12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10<12a 5＝60，不符合题意；……；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503<12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546>12a 28＝540，符合题意.故使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27. 答案 27 54616.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，有下列判断：①平面PB 1D ⊥平面ACD 1； ②A 1P ∥平面ACD 1；③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3；④三棱锥D 1－APC 的体积不变.其中，正确的是________(把所有正确判断的序号都填上). 解析 在正方体中，B 1D ⊥平面ACD 1，B 1D ⊂平面PB 1D ，所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1，所以①正确.连接A 1B ，A 1C 1，如图，容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，所以②正确.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角，在△A 1BC 1中，易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以③错误.VD 1－APC ＝VC －AD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1－APC 的体积不变，所以④正确. 答案 ①②④限时练(三)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·河南联检)已知集合A ＝{x ∈N |x 2<8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则B ∪(∁A C )＝( ) A.{2，3，4，5} B.{2，3，4，5，6} C.{1，2，3，4，5，6}D.{1，3，4，5，6，7}解析 因为A ＝{x ∈N |0<x <8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，所以∁A C ＝{1，4，5，6}，所以B∪(∁A C)＝{1，2，3，4，5，6}.故选C.答案 C2.若z＝(3－i)(a＋2i)(a∈R)为纯虚数，则z＝()A.163i B.6i C.203i D.20解析因为z＝3a＋2＋(6－a)i为纯虚数，所以3a＋2＝0，解得a＝－23，所以z＝203i.故选C.答案 C3.(2020·潍坊模拟)甲、乙、丙、丁四位同学各自对变量x，y的线性相关性进行试验，并分别用回归分析法求得相关系数r，如下表：哪位同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性？()A.甲B.乙C.丙D.丁解析由于丁同学求得的相关系数r的绝对值最接近于1，因此丁同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性.故选D.答案 D4.设a＝ln 12，b＝－5－12，c＝log132，则()A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析由题意易知－a＝ln 2，－b＝5－12，－c＝log32.因为12＝log33<log32<ln 2<1，0<5－12<4－12＝12，所以－b<－c<－a，所以a<c<b.故选B.答案 B5.(2020·青岛质检)已知某市居民在2019年用手机支付的个人消费额ξ(元)服从正态分布N(2 000，1002)，则该市某居民在2019年用手机支付的消费额在(1 900，2 200]内的概率为()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.A.0.975 9B.0.84C.0.818 6D.0.477 2解析 ∵ξ服从正态分布N (2 000，1002)，∴μ＝2 000，σ＝100，则P (1 900<ξ≤ 2 200)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋12[P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈0.682 7＋12(0.954 5－0.682 7)＝0.818 6.故选C. 答案 C6.设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，且AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为( ) A.2 2 B.2 3 C.±2 2D.±2 3解析 由题意知k ≠0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2p k y －p 2＝0.不妨设A (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，B (x 2，y 2).因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2.所以y 2＝－22p ，x 2＝p 4，所以k AB＝－22p －0p 4－p 2＝2 2.根据对称性，直线AB 的斜率为±2 2. 答案 C7.已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝( ) A.12B.1C.2D.3解析 设|OC→|＝r ，则OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，由已知，得OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC→＝－4OA →＋λOB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1.答案 B8.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝3BD，将△ADE 沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A－BCED体积最大时，二面角A－BC－D 的大小为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析因为AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形，过A作BC的垂线AH，垂足为H，交DE于O，∴当△ADE⊥平面BCED时，四棱锥A－BCED体积最大.由DE⊥AO，DE⊥OH，AO∩OH＝O，可得DE⊥平面AOH，又BC∥DE，则BC⊥平面AOH，∴∠AHO为二面角A－BC－D的平面角，在Rt△AOH中，由AOOH＝ADDB＝3，∴tan∠AHO＝AOOH＝3，则二面角A－BC－D的大小为π3.答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·济宁模拟)“悦跑圈”是一款社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2019年1月至2019年11月每月跑步的里程(十公里)的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是()A.月跑步里程数逐月增加B.月跑步里程数的最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程数相于6月至11月波动性更小，变化比较平稳 解析 根据折线图可知，2月跑步里程数比1月小，7月跑步里程数比6月小，10月跑步里程数比9月小，A 错误.根据折线图可知，9月的跑步里程数最大，B 正确.一共11个月份，将月跑步里程数从小到大排列，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，C 正确.根据折线图可知D 正确.故选BCD. 答案 BCD10.下列各式中，值为12的是( ) A.sin 15°cos 15°B.cos 2π6－sin 2π6C.1＋cos π62D.tan 22.5°1－tan 222.5°解析 sin 15°cos 15°＝sin 30°2＝14，排除A ；cos 2π6－sin 2π6＝cos π3＝12，B 正确；1＋cos π62＝1＋322＝2＋32，排除C ；tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°，得tan 22.5°1－tan 222.5°＝12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知{a n }是等比数列，若a 6＝8a 3＝8a 22，则( )A.a n ＝2n －1B.a n ＝2nC.S n ＝2n －1D.S n ＝2n ＋1－2解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 6＝8a 3，得a 3·q 3＝8a 3，则q 3＝8，所以q ＝2.又8a 3＝8a 22，则a 2·q ＝a 22，又a 2≠0，所以a 2＝2，即a n ＝a 2q n －2＝2n －1，所以a 1＝1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，故选AC.答案 AC12.数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n项和为S n，则下列结论正确的是()A.F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)B.S4＝F6－1C.S2 019＝F2 020－1D.S2 019＝F2 021－1解析根据题意有F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设a＝210＋1211＋1，b＝212＋1213＋1，则a，b的大小关系为________.解析法一由题意知，a－b＝210＋1211＋1－212＋1213＋1＝（210＋1）（213＋1）－（212＋1）（211＋1）（211＋1）（213＋1）＝3×210（211＋1）（213＋1）>0，故a>b.法二可考虑用函数的单调性解题.令f(x)＝2x＋12x＋1＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x＋1＋1，则f(x)在定义域内单调递减，所以a＝f(10)>b＝f(12).答案a>b14.(2020·深圳统测)很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123).已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为________.解析由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成的“递增型验证码”共有C410个，而首位数字是1的“递增型验证码”有C38个.因此某人收到的“递增型验证码”的首位数字是1的概率p＝C38C410＝415.答案4 1515.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的右焦点的坐标为________，离心率为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析如图，∵直线4x－3y＋20＝0过点F，∴F(－5，0)，半焦距c＝5，则右焦点为F2(5，0).连接PF2.设点A为PF的中点，连接OA，则OA∥PF2.∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，∴PF2⊥PF.由点到直线的距离公式可得|OA|＝205＝4，∴|PF2|＝2|OA|＝8.由勾股定理，得|FP|＝|FF2|2－|PF2|2＝6.由双曲线的定义，得|PF2|－|PF|＝2a＝2，∴a＝1，∴离心率e＝ca＝5.答案(5，0) 516.(2020·厦门质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在侧面D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为________.解析因为QB∥平面D1NT，所以点Q在过点B且与平面D1NT平行的平面内，如图，取DC的中点E1，取A1G＝1，则平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，交AD 的延长线于点E，连接EG，交DD1于点I.显然，平面BGE∩平面D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI.∵DE1綊12AB，∴DE1为△EAB的中位线，∴D为AE的中点.又DI∥AG，∴DI＝12AG＝1，∴GI＝（2－1）2＋32＝10.答案10限时练(四)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(∁R B)＝()A.[2，3)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴∁R B＝(－3，3)，则A∩(∁R B)＝(2，3).答案 B2.设x，y∈R，i为虚数单位，且3＋4iz＝1＋2i，则z＝x＋y i的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z＝3＋4i1＋2i＝（3＋4i）（1－2i）5＝115－25i，则z－＝115＋25i，z－对应点⎝⎛⎭⎪⎫115，25在第一象限.答案 A3.(2020·福建漳州适应性测试)如图是某地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法中正确的是()A.数列{a n}是递增数列B.数列{S n}是递增数列C.数列{a n}的最大项是a11D.数列{S n}的最大项是S11解析因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，所以{a n }不是递增数列，所以A 错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S 33＝S 34，所以数列{S n }不是递增数列，所以B 错误；因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{a n }的最大项是a 11，所以C 正确；由a n ≥0，知S n ＋1≥S n ，故数列{S n }的最大项是最后一项，所以D 错误.故选C. 答案 C4.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( ) A.112B.12C.13D.16解析 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n ＝C 24A 33＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m ＝A 33＋C 23A 22＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率p ＝m n ＝1236＝13. 答案 C5.(2020·荆门模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋12x 7的展开式中，有理项的项数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 7x7－r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x 7－3r 2，r ＝0，1，2，…，7.当r ＝1，3，5，7时，T r ＋1为有理项，共有4项.故选D. 答案 D6.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析 以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，A 1C →＝(0，2，－2)， ∴cos 〈AD →，A 1C →〉＝AD →·A 1C →|AD →||A 1C →|＝12，∴〈AD →，A 1C →〉＝π3. 答案 B7.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB→|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A. 3B.2 3C.2D.3解析 由OC→＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)， 所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)， 又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. 答案 D8.(2020·天津适应性测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －4x ，x >0.若函数F (x )＝f (x )－|kx －1|有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916解析 当k ＝12时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥2，1－12x ，x <2.作出函数y ＝f (x )与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1的图象，如图.此时两函数的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除B ，C.当k ＝－120时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－120x －1，x ≤－20，1＋120x ，x >－20，作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象，如图.由图可得函数y ＝f (x )的图象与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除A.故选D. 答案 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知0<c <1，1>a >b >0，则下列不等式成立的是( )A.c a <c bB.a a ＋c <b b ＋cC.ba c >ab cD.log a c >log b c解析 构造函数y ＝c x ，因为0<c <1，所以函数y ＝c x 是减函数，而a >b >0，根据指数函数的单调性得c a<c b，故A 正确；由题意得a ＋c a ＝1＋c a ，b ＋c b ＝1＋cb ，因为0<c <1，1>a >b >0，所以0<c a <c b ，即0<a ＋c b <b ＋c b ，取倒数得a a ＋c >b b ＋c ，故B 错误；由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <a b ，整理得ba c <ab c ，故C 错误；由已知得log a c >0，log b c >0，又0<log c a <log c b ，所以1log c a >1log c b ，则log a c >log b c ，故D 正确.故选AD.答案 AD10.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数f (x )的对称中心可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1 解析 由图象知A ＝3＋12＝2，B ＝3－12＝1，又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )，取k ＝0，有x ＝－π6；k ＝1，x ＝π3. 答案 CD11.对于函数f (x )＝ln xx ，下列说法正确的是( )A.f (x )在x ＝e 处取得极大值1eB.f (x )有两个不同的零点C.f (4)＜f (π)＜f (3)D.π4＜4π解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.∴f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝1e ，A 正确.令f (x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )有且仅有一个零点，B 错误.由f (x )在(e ，＋∞)上单调递减，得f (4)＜f (π)＜f (3)，则C 正确.因为f (4)＜f (π)，即ln 44＜ln ππ，所以ln 4π＜ln π4，则4π＜π4，D 错误.综上知，正确的为AC. 答案 AC12.(2020·烟台诊断)已知P 是双曲线C ：x 23－y 2m ＝1(m >0)上任意一点，A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点.设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1 B.双曲线C 的离心率为2C.函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点D.直线2x －3y ＝0与双曲线C 有两个交点解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2).由A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点，得B (－x 1，－y 1)，则x 213－y 21m ＝1，x 223－y 22m ＝1.两式相减，得x 21－x 223＝y 21－y 22m ，所以y 21－y 22x 21－x 22＝m 3.又直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，所以k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2×－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝m3.所以|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2m3，当且仅当|k 1|＝|k 2|时取等号.又|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，所以2m 3＝233，解得m ＝1.因此双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，则A 项正确.因为a ＝3，b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23＝233，则B 项不正确.双曲线C 的左、右焦点分别为(－2，0)，(2，0)，而当x ＝2时，y ＝log a (2－1)＝log a 1＝0，所以函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点(2，0)，则C 项正确.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 23－y 2＝1消去y ，得x 2＝－9，此方程无实数解，所以直线2x －3y ＝0与双曲线C 没有交点，则D 项不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和.已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________.解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4，即(2a 3－3d )2＝(a 3－2d )·(4a 3－2d ).又a 3＝5，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，解得d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. 答案 a n ＝2n －114.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________. 解析 由题意知，直线EF 的斜率存在且不为0，故设直线EF 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋p 2k 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，点M 为线段EF 的中点，得x 1＝p 22＝p 4.由|NF |＝x 2＋p 2＝12，得x 2＝12－p2.由x 1x 2＝p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－p 2＝p 24，得p ＝8或p ＝0(舍去).答案 815.(2020·长郡中学适应性考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面ABB 1A 1和面ABCD 内作弧MN 和NE ，并将两弧各五等分，分点依次为M ，P 1，P 2，P 3，P 4，N 以及N ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4，E .一只蚂蚁欲从点P 1出发，沿正方体的表面爬行至点Q 4，则其爬行的最短距离为________.(参考数据：cos 9°≈0.987 7，cos 18°≈0.951 1，cos 27°≈0.891 0)解析 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在平面ABB 1A 1和平面ABCD 内作弧MN 和NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面ABB 1A 1共面的位置，如图(1)，则∠P 1AQ 4＝180°10×8＝144°，所以P 1Q 4＝2sin 72°.将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，将ABB 1A 1绕AA 1旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，如图(2)，则∠P 1AQ 4＝90°5×2＋90°＝126°，所以P 1Q 4＝2sin 63°.因为sin 63°<sin 72°，且由诱导公式可得sin 63°＝cos 27°，所以最短距离为|P 1Q 4|＝2sin 63°≈2×0.891 0＝1.782 0.图(1)图(2)答案 1.782 016.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＜a ，x 2，x ≥a ，若函数f (x )在R 上是单调的，则实数a 的取值范围是________；若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，则实数a 的取值范围是________(本小题第一空2分，第二空3分).解析 令x ＋2＝x 2，得x ＝－1或x ＝2.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，若函数f (x )在R 上单调，只需a ≥2.若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，可得x 1＋2＋x 22＝0，即－x 22＝x 1＋2，即有a ＋2≤0，解得a ≤－2.答案 [2，＋∞) (－∞，－2]限时练(五)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z ＝i1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.12B.－12C.12iD.－12i解析 z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i 2＋12，∴z 的虚部为12.答案 A 2.已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x ＋1≥0，则A ∩B 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由x －2x ＋1≥0，得x ≥2或x ＜－1，则B ＝{x |x ≥2，或x ＜－1}，∴A ∩B ＝{2，3}，A ∩B 中有2个元素.答案 B3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x ≤0，2x ＋1，x ＞0，则f (－2)＋f (1)＝( )A.6＋32B.6－32C.72D.52解析 f (－2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝12，f (1)＝21＋1＝3.∴f (－2)＋f (1)＝3＋12＝72. 答案 C4.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.5解析 依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2. 答案 B5.(2020·天津适应性测试)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为36，E 为棱CC 1上的点，且CE ＝2EC 1，则三棱锥E －BCD 的体积是( )A.3B.4C.6D.12解析 ∵CE ＝2EC 1，∴V E －BCD ＝13×12×23×V ABCD －A 1B 1C 1D 1＝19×36＝4.故选B. 答案 B6.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )。

(限时：分钟)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) .已知集合＝{－－≤}，＝{(－)＞}，则∩＝( ).(，) .(，].(－，－) .[－，－)解析∵－－≤，∴－≤≤，∴＝[－，].又∵(－)＞，∴－－＞，∴＜－或＞，∴＝(－∞，－)∪(，＋∞).∴∩＝(，].故选.答案.若复数满足(－)＝，则的虚部为( ).－.－解析依题意得＝＝＝＋，因此复数的虚部为.故选.答案.在等比数列{}中，若、是方程－＋＝的两根，则的值是( ).±.－.±解析由题意可知＝，＝，或＝，＝.当＝，＝时，设公比为，则＝＝，∴＝，∴＝＝；同理可求当＝，＝时，＝.答案.将函数()＝的图象向右平移φ个单位长度后得到函数()的图象，若对于满足()－()＝的，，有－＝，则φ＝( )解析由题意知，()＝(－φ)，－≤()≤，又－≤()≤，若，满足()－()＝，则，分别是函数()，()的最值点，不妨设()＝－，()＝，则＝＋π(∈)，＝＋π(∈)，－＝(，∈)，又－＝，＜φ＜，所以－φ＝，得φ＝，故选.答案.如图，多面体－的底面为正方形，＝＝，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析注意，在平面上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除，选项，观察，选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则，的投影为虚线，故选.答案.已知直线＋＋－＝(＞)经过圆＋－－＝的圆心，则＋的最小值是( )解析依题意得，圆心坐标是(，)，于是有＋＝，＋＝(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当即＝＝时取等号，因此＋的最小值是.故选.答案.已知四面体－的四个顶点都在球的球面上，若⊥平面，⊥，且＝，＝＝，则球的表面积为( )π ππ π解析依题意记题中的球的半径是，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是、、，于是有()＝＋＋＝，π＝π，∴球的表面积为π.。

限时练(三)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知i为虚数单位，复数z满足i z＝1＋i，则z＝()．A．1＋i B. 1－i C. －1＋i D. －1－i解析由题意z＝1＋ii＝(1＋i)ii2＝1－i，则z＝1＋i.答案 A2．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()．A．1 B．3C．4 D．6解析符合题意的B有{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个．答案 C3．函数f(x)＝log2(4x＋1)的值域为()．A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)解析因为4x＋1＞1，所以f(x)＝log2(4x＋1)＞0.答案 B4．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0()．A．内切B．相交C．外切D．相离解析两圆圆心分别是(－2,0)，(1,1)，圆心距为d＝10，而两圆半径分别为2,1，显然10＞2＋1，故两圆相离．答案 D5．如图为长方体与圆柱构成的组合体的三视图，则该几何体的体积为()．A ．64＋32πB ．64＋64πC ．256＋64πD ．256＋128π解析 由题意，V ＝8×8×4＋π×42×4＝256＋64π. 答案 C6．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N ＋)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则 log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )． A.15 B ．－15 C ．5D ．－5解析 由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N ＋)可以推出a n ＋1＝3a n ，数列{a n }是以3为公比的等比数列，故a 5＋a 7＋a 9＝27(a 2＋a 4＋a 6)＝35，故log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－5. 答案 D7．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )． A.110 B.310 C.35 D.910解析 由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种，所取的3个球至少有1个白球的情况有(10－1)种，根据古典概型公式得所求概率P ＝10－110＝910. 答案 D8．某企业2014年2月份生产A ，B ，C 三种产品共6 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中B 产品的样本容量比C 产品的样本容量多20，根据以上信息，可得C 产品数量是( )．A ．160B ．180C ．1 600D ．1 800解析 记B ，C 两种产品的样本容量分别为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝600－260，x －y ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝180，y ＝160，因此C 产品数量为1 600. 答案 C 9．函数y ＝cos πxx 的图象大致为( )．解析 考虑函数的性质，它是奇函数，排除C ，D ；当x 从正方向趋向于0时，cos πxx →＋∞，排除B ，故选A. 答案 A10．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )． A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1) B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1) C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x－f (x )e x(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，则f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)． 答案 A 二、填空题11．已知函数f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－22＋22＝0.答案 012．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，y ≥1，x ＋2y ≤5，则yx 的最大值是________．解析 作出不等式组表示的平面区域(可行域)，如图△ABC 内部(含边界)，yx 表示可行域内点与原点连线的斜率，最大值在A (1,2)处取得，y x ＝21＝2.答案 213．执行如图的程序框图，则输出的S 的值为________．解析 S ，T ，n 的值依次为3,1,2；6,4,3；9,11,4，此时有T ＞S ，因此执行语句S ＝S －n ＝5，输出S ＝5. 答案 514．设P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，它的一条渐近线方程为y ＝32x ，两焦点间距离为213，F 1，F 2分别是该双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝________. 解析 由题意b a ＝32，又2c ＝2a 2＋b 2＝213，所以a ＝2，b ＝3，由双曲线定义得||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝4，故|PF 2|＝7. 答案 715．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝b 2＋c 2－a 216，则cos A ＝________.解析 因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，由S ＝b 2＋c 2－a 216得b 2＋c 2－a 2＝16S ，即2bc cos A ＝16×12bc sin A ，cos A ＝4sin A ，所以cos A ＝41717. 答案41717。

重庆市铜梁中学 高三下学期二轮复习定时练习（三）数学（理）试题一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等差数列{}n a 中，已知1232,13a a a =+=，则公差d 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．已知集合|{|2sin(2)1,}4M x y N y y x x R π⎧====++∈⎨⎩，且M 、N 都是全集R 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|x 33≤≤x }B ．{|y 31≤≤y }C ．{|x 33≤<x } D. Φ3．某校有50岁以上的老教师40人，35~50岁的中年教师200人，35岁以下的青年教师80人，为了调查教师对教代会制定的一项规章制度的满意度，准备抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取的人数为（ ）人. A ．50 B ．40 C ．D ．204．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是( )B ．12 C ．32D ．95．下列命题中正确的是( )A ．命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥”B ．命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．命题“若2=x 且3=y ，则5=+y x ”的逆否命题是“若5≠+y x ，则2≠x 且3≠y ”D ．已知R m b a ∈,,，若“22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真6．某实心机械零件的三视图如右图所示，则该机械零件的体积为（ ）A ．362π+B ．365π+C ．368π+D ．3620π+ 7．对向量a ,b 有1a b ==，12a b ⋅=，那么a b a b ++-=（ ） A.2 B ．23C.4D.31+8．将8个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，3个涂白色，恰好有三个连续的小球涂红色，则不同涂法共有（ ）A ．24种B ．30种C ．20种D ．36种9．点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为 （ ） A ．3B ．21+C ．13+D ．210．对于函数()()f x g x 和，设(){}(){}0,0x R f x x R g x αβ∈∈=∈∈=，若存在α、β，使得1αβ-≤，则称()()f x g x 与互为“零点关联函数”。

小题限时训练(三)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·成都经开区实验中学月考]已知集合A ＝{－3，－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤3}，则A ∩B ＝( )A ．{0，2}B ．{－1，0，1}C ．{－3，－2，－1，0，1，2}D ．[0，2]2．[2019·陕西渭南质量检测]已知一组数据的茎叶图如图所示，下列说法错误的是( )A ．该组数据的极差为12B ．该组数据的中位数为91C ．该组数据的平均数为91D ．该组数据的方差为103．[2019·重庆合川中学第一学期期末]定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，则f (log 220)＝( )A ．19B ．－19C.95 D ．－954．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．725．[2019·台州中学模拟]当0<x <1时，f (x )＝ln x x，则下列大小关系正确的是( ) A ．f 2(x )<f (x 2)<f (x ) B ．f (x 2)<f 2(x )<f (x )C ．f (x )<f (x 2)<f 2(x )D ．f (x 2)<f (x )<f 2(x )6．[2019·东莞市模拟]已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为( )A.x 23－y 22＝1B.x 23－y 2＝1 C.x 26－y 24＝1 D.x 212－y 24＝1 7．[2019·保定二模]将函数f (x )＝2sin2x －2cos2x ＋1的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法错误的是( )A ．函数y ＝g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝g (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π8C ．函数y ＝g (x )的一个零点为3π8D ．函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，5π8上单调递减8．[2019·山东日照高三校际联合考试]《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出(所得结果四舍五入，保留整数)钱数为( )A ．17B ．28C ．30D ．329．[2019·河北衡水月考]已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( ) A.12B ．2 C.35 D ．－3810．[2019·太和一中押题卷]任取k ∈[－3，3]，直线l ：kx －y ＋3＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0相交于M ，N 两点，则|MN |≥23的概率是( ) A.32 B.33要练说，得练看。