专题01 解三角形-2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学备考热点难点突破练(必修5+必修3)(原卷版)

一．理论基础1．三角函数模型的简单应用⎩⎨⎧ 在生活中的应用在建筑学中的应用在航海中的应用在物理学中的应用2．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．4．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别．( × )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系不能确定．( × )(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.(×)(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设α为坡角，那么cos α＝34.( ×)(5)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．( √)二.通法提炼题型一测量距离、高度问题例1 (1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)(2)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．思维点拨(1)利用正弦定理解△ABC.(2)依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)．(1)【答案】60思维升华这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，注意综合应用方程、平面几何和立体几何等知识．(1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.(2如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A＝1213，cos C＝35.①求索道AB的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？(1)【答案】30＋30 3(2)解①在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sinπ－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8， 故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短． ③由正弦定理BC sin A ＝AC sin B， 得BC ＝ACsin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内． 题型二 测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间．∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝ 6.∴t＝610小时≈15(分钟)．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．思维升华测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD 为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小．题型三利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？思维点拨由题图可得：x＝cos θ，y＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围．解(1)设S为十字形的面积，则S＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ (π4<θ<π2)；(2)S＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12，当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S最大，最大值为5－12.思维升华三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数【解析】式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？三．归纳总结1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．四、巩固练习1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α＝________.【答案】4 5【解析】因为tan α＝34，所以cos α＝45.2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为________．(可用正弦、余弦值表示)【答案】2cos 10°3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.【答案】 50【解析】 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4.如图所示，B ，C ，D 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α<β)，则A 点距地面的高AB 为________________________________________________．【答案】 a sin αsin βsin β－α【解析】 AB ＝AC sin β，AC sin α＝DC sin∠DAC ＝a sin β－α ， 解得AB ＝a sin αsin βsin β－α .5．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为____________________________________________km.【答案】107【解析】由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC＝107.6.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A的同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.【答案】50 27．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向．【答案】北偏西10°【解析】灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.8．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB 为________m.【答案】 40039.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .【解析】 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin∠BDC ＝CDsin∠CBD， 所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2 (m)． 在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·tan∠ACB ＝152tan 60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为15 6 m.10.如图所示，摩天轮的半径为40 m，点O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．(1)已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度f(t)＝A sin(ωt＋φ)＋h，求2 013 min时点P距离地面的高度；(2)求证：不论t为何值，f(t)＋f(t＋1)＋f(t＋2)是定值．。

专题1 解三角形1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．2.解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．3.正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．4.正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．【热点难点突破】例1.【2018课标1，理17】在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】 (1) .(2).【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.详解：（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.例2.【2018北京卷，15】在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1) ∠A=(2) AC边上的高为（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.例3. 【2018天津卷，15】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．例4.【2018课标1，文16】△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【答案】【解析】分析：首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定A为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.详解：根据题意，结合正弦定理可得，即，结合余弦定理可得，所以A为锐角，且，从而求得，所以△的面积为，故答案是.点睛：该题考查的是三角形面积的求解问题，在解题的过程中，注意对正余弦定理的熟练应用，以及通过隐含条件确定角为锐角，借助于余弦定理求得，利用面积公式求得结果.例5.已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．（Ⅰ）计算渔政船C与渔港O的距离；（Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？（参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，shin63.43°≈0.90，tan63.43°≈2.00，≈3.62，【解析】（1）依题意：BO=160海里，AO BOC ⊥面,68.20,63.43O O ABO ACO ∠=∠= tan 400AO BO ABO ∴=⋅∠=海里tan 200AO CO ACO CO =⋅∠⇒=由海里在BOC ∆中， 120OOBC ∠= ，由全余弦定理得2221602160200BC BC cos OBC +-⋅⋅⋅∠=2160144000BC BC ⇒+-=8064.40BC ⇒=-+≈(2)64.402.57325≈< ∴可在3小时内赶到出事地点.例6.下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若cos cos a A b B =，则ABC ∆是等腰三角形；③若cos cos a B b A b +=，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③ 【答案】A【方法总结】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；[(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．提醒：1．在△ABC中有如下结论sin A＞sin B⇔a＞b.2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．【精选精练】1．【2018全国2卷，理6】在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【2018全国3卷文】ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ．若ABC 的面积为2224a b c +-，则C = A.2π B. 3π C. 4π D. 6π 【答案】C【解析】分析：由面积公式12ABC S absinC = 和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。

高一数学期末冲刺（解三角形+立体几何+必修三）知识点一 解三角形1.正余弦定理设的内角所对的边分别为，，，为外接圆半径，则有定理正弦定理余弦定理内容变形①，，②，，③2.三角形的面积公式 （1） (表示边上的高)；（2）.3. 三角形中的其它关系式 （1）射影公式：，，（2）其他关系式：利用中，，，或者结合诱导公式等减少角的种类.如：，，；.1. （广州四十七中）在中，若，则的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形2. （广州六中）已知的内角的对边分别为，，，若，则的值为（）A．B．C．D．3. （铁一，广外，广附三校联考）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为，，且、两点间的距离为，则树的高度为（）．A．B．C．D．4. （番实、番中、象贤、仲元四校联考）已知为的三内角，且其对边分别为，若（1）求角的值；（2）若，，求的面积.4. （华附）如图，在平面四边形中，与为其对角线，已知，且．（1）若平分，且，求（2）若，求的长．知识点二 空间几何体的表面积与体积1. 空间几何体的表面积2. 空间几何体的体积（1）柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为体高；（2）棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为体高；（3）台体（棱台，圆台）的体积公式： 1(')3V h S S =台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；（4）球的体积公式：34π3V R =球，R 为球的半径．直观图——斜二测画法5.（省实）已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图''''A B C D （如图所示），其中''2A D =， ''4B C =， ''1A B =，则直角梯形DC 边的长度是（ ）A. B.C.D.5.（湖南长郡中学）一个边长为的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来正三角形面积的（ ）A ．倍B ．倍C ．倍D ．倍最短路径问题——侧面展开图6．（广州六中）如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为，假若点有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线的中点处的食物，那么它爬行的最短路程是（ ）A．6 B．C．4 D．三视图7. （执信中学）已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）A．24+B．22+C．23+D．67.（广外、铁一、广附三校联考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．外接球问题8.（仲元中学）长方体的三个相邻面的面积分别是2 3 6、、，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．72πB．56πC．14πD．16π8.（广州市第六中学）已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．9. （省实）矩形中，，，沿将矩形折起，则四面体的外接球的体积是（）A．1253πB．1256πC．1259πD．12512π知识点三空间中点线面的位置关系1. 证明空间中直线、平面的平行关系2. 证明空间中直线、平面垂直的关系证明线线垂直的常用方法①等腰三角形的三线合一；②勾股定理的逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤矩形邻边垂直；⑥线面垂直的性质（出现直棱柱、正棱锥时注意应用隐含条件）.异面直线所成的角10.（育才中学）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10.（省实）已知四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若EF=，则AB与CD所成角的度数为（）6CD=，5AB=，8A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒立体几何综合11.（仲元中学）如图，在长方体中，，，为的中点．（1）求证：平面；-的体积．（2）求三棱锥C BED12.（湖南长沙）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面，点为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，求点到平面的距离．13. （省实）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==． （1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求直线CD 与平面PCE 所成角的正弦值．14.（东圃中学）东圃中学如图，已知平面，平面，，，为中点.(1) 求证：平面；(2) 若，求二面角的余弦值.高一数学期末冲刺第二讲进度2—直线与圆+必修三知识点一直线与方程1.直线的倾斜角与斜率：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角；直线的倾斜角，其中直线的斜率.2. 直线的五种方程名称几何条件方程适用范围点斜式过点且斜率为00()y y k x x-=-与x轴不垂直的直线斜截式斜率为，纵截距为y kx b=+两点式过两点112121y y x xy y x x--=--与两坐标轴均不垂直的直线截距式在轴、轴上的截距分别为1x ya b+=不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式所有直线3. 两条直线的位置关系斜截式一般式方程11y k x b=+22y k x b=+111A xB y C++=222A xB y C++=4. 距离公式 （1）两点间的距离平面上的两点，间的距离.（2）点到直线的距离点到直线的距离.（3）两条平行直线间的距离两条平行直线与间的距离.1. （仲元中学）已知两直线1:40l x my ++=， ()2:1330l m x my m -++=. 若12//l l ，则m 的值为（ ）A ．0B ．0或4C ．或12 D ．122. （广州玉岩中学）过点且与直线平行的直线方程是 .3. （山东）已知两点，，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）A．B．C．D．4.（河南联考）已知直线：恒过点，直线：上有一动点，点的坐标为.当取得最小值时，点的坐标为（）A．B．C．D．知识点二圆与方程1. 圆的方程2. 直线与圆的位置关系的判断（1）几何法：设圆心到直线的距离为，半径为若，直线与圆相交；若，直线与圆相切；若，直线与圆相离.（2）代数法：由直线方程和圆的方程联立成方程组、消元，求当，方程组有两解，直线与圆有两个交点即相交；当，方程组有一解，直线与圆有一个交点即相切；当，方程组无解，直线与圆没有交点即相离.3. 圆与圆的位置关系判断温馨小提示》》》：判断直线与圆，圆与圆的位置关系时，一般不用代数法；利用几何法的关键是判断圆心距12||O O 与半径的关系.5. （天河区统考）经过点倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长是（ ）A ．3B ．C ．D ．5. （广州中学）若直线，与圆相交于,两点，则弦长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6. （衡水中学）若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(],1-∞-6. （广州六中）已知点在圆上，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．7.（育才中学）点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．8. （广外、铁一、广附三校联考）已知圆经过，两点，且在轴上截得的线段长为，半径小于.（1）求圆的方程；（2）若直线，且与圆交于点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程.9. （执信中学）如图，在平面直角坐标系中，点，直线. 设圆的半径为，圆心在上. （1）若圆心也在直线上，求圆的方程；（2）在(1)的条件下，过点作圆的切线，求切线的方程；（3）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.知识点三 统计与概率1. 众数，中位数，平均数与频率分布直方图的关系（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数；（2）中位数：中位数左边和右边的直方图的面积相等，估计中位数落在区间[,)a b ，设中位数为，中位数线左边的小矩形面积之和为0.5，列方程解出；（3）平均数：直方图中每个小矩形的中点的横坐标与其对应的频率乘积之和就是平均数.2. 线性回归分析（1）回归直线方程：如果散点图中的点的分布，从总体地上看大约在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． （2）最小二乘法1122211()()()()nnii iii i nniii i xx y y x ynxyb xx xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，其中11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑由此得到的直线ˆˆya bx =+就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中ˆa ，b 分别为a ，b 的估计值，ˆa称为回归截距，b 称为回归系数，ˆy 称为回归值． （3）相关系数：()()nnii i ixx y y x ynx yr ---==∑∑相关系数r 的性质：①||1r ≤；②||r 越接近于1，x y ，的线性相关程度越强； ③||r 越接近于0，x y ，的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．3. 互斥事件与对立事件 （1）概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．（2）对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．4. 古典概型（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．（2）每个基本事件出现的可能性相等．具有以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．（3）古典概型的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝mn.10. （玉岩中学）某公司生产三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，样本中种型号的轿车比种型号的轿车少辆，那么.11.（黄埔、海珠、荔湾、白云、南沙联考）为了测试班级教学的实践效果，王老师对两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，两班学生的平均成绩分别为，两班学生成绩的方差分别为，则观察茎叶图可知（）A．，B．，C．，D．，12. （86中）已知集合，点的坐标为，其中，, 记点落在第一象限为事件，则等于( )A. B. C. D.12. （五区统考）一个盒子里装有标号为1，2，．．．,5的5张标签，从中无放回的随机选取2张标签,则选取的2张标签上的数字为不相邻整数的概率为 .13.年份代号人均纯收入(1) 求关于的线性回归方程；(2) 利用(1)中的线性回归方程，分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的低斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：, , , , .14. （东圃中学）某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照，，，，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值并估计居民月均用电量的中位数；（2）现从第组和第组的居民中任选取户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率.。

专题01三角函数与解三角形核心考点一三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质是高考的热点，尤其是三角函数的奇偶性、周期性与单调性及对称性等性质．在考查时经常与诱导公式、三角恒等变换等相结合，解题时要充分利用三角函数的图象及性质，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解.【经典示例】 （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）个单位，得到函数()y g x =答题模板第一步，化简：三角函数式的化简，一般化成si (n )y A x h ωϕ++=的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式.第二步，整体代换：将x ωϕ+看作一个整体，利用sin ,cos y x y x ==的性质确定条件. 第三步，求解：利用x ωϕ+的范围求条件解得函数si (n )y A x h ωϕ++=的性质，写出结果. 第四步，反思：反思回顾，查看关键点、易错点，对结果进行估算，检查规范性.【满分答案】（1sin 2cos 22x x =-+所以()f x（2）由（1把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）【解题技巧】此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为si (n )y A x B ωϕ++=的形式，再结合正弦函数sin y x =的性质研究其相关性质． （1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）函数图象的平移变换解题策略：①对函数sin y x =，sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为x ωϕ±. ②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.模拟训练1．已知函数23()cos cos 2f x x x x =++. （1）当[,]63x ππ∈-时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()()212xg x f ωπ=+，若函数()g x 在区间[,]362ππ-上是增函数，求ω的最大值.【答案】（1）3[,3]2；（2）1.（2）()()sin()22123xg x f x ωωππ=+=++，当[,]36x 2ππ∈-时，2[,]33363x ωωωπππππ+∈-++，∵()g x 在区间[,]362ππ-上是增函数，且0ω>， ∴2[,][2,2],336322k k k ωωππππππ-++⊆-+π+π∈Z ， 即22,3322,632k k k k ωωπππ⎧-+≥-+π∈⎪⎪⎨πππ⎪+≤+π∈⎪⎩Z Z ，化简得53,4112,k k k k ωω⎧≤-∈⎪⎨⎪≤+∈⎩Z Z ， ∵0ω>， ∴15,1212k k -<<∈Z ， ∴0k =，解得1ω≤， 因此，ω的最大值为1.核心考点二解三角形解三角形是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，题目常常以文字加式子描述或以三角形图形为背景，结合所给平面图形的几何性质、正弦定理、余弦定理进行命题.解题时要掌握正、余弦定理及其三角恒等变换的灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.【经典示例】在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，()2cos cos 0b c A a C --=. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC △的面积S 的最大值.答题模板第一步，定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向. 第二步，定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步，求结果.第四步，再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形. 【满分答案】（1）因为()2cos cos 0b c A a C --=， 所以2cos cos cos 0b A c A a C --=，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=，即()2sin cos sin 0B A A C -+=， 又πA C B +=-， 所以()sin sin A C B +=， 所以()sin 2cos 10B A -=， 在ABC △中，sin 0B ≠， 所以2cos 10A -=，即1cos 2A =， 由()0,πA ∈得π3A =．（2）由1cos 2A =，得sin A =. 由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴42bc bc bc ≥-=，∴1sin 42S bc A ==≤=，当且仅当b c =时“=”成立，此时ABC △为等边三角形，∴ABC △的面积S【解题技巧】（1）利用正、余弦定理求边和角的方法：①根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．②选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.③在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． （2）求三角形面积的方法：①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．模拟训练2．在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ππsin 2)cos()44B B B =+-. （1）求角B 的大小；（2）若1b =，ABC △的面积为2，求ABC △的周长．【答案】（1）π6B =；（2）3+因为cos 20B ≠，所以tan 2B = 因为π02B <<， 所以π6B =. （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212cos a c ac B =+-，所以221a c =+，因为ABC △所以1πsin 26ac =，即ac =， 所以227a c +=，所以22()7(2a c +=+=，所以2a c +=所以3a b c ++=ABC △的周长为3核心考点三三角函数与解三角形的综合问题高考中常将解三角形与三角函数的图象与性质两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等，其中常涉及三角恒等变换、向量等，且以此为出发点考查三角函数的图象与性质或解三角形，也是解决三角函数与解三角形问题的基础，必须熟练掌握.【经典示例】已知向量()sin ,cos x x =u ，()6sin cos ,7sin 2cos x x x x =+-v ，设函数()f x =⋅u v .将函数()f x ()g x 的图象.（1()g x 的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC △中角,,A B C 的对边，且满足()2g A =a =2b =，求ABC △的面积.答题模板第一步，化条件：根据向量运算将向量式转化为三角式.第二步，化三角式：三角函数式的化简，一般化成si (n )y A x h ωϕ++=的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式.第三步，求解：利用x ωϕ+的范围及条件解得函数si (n )y A x h ωϕ++=的性质，写出结果. 第四步，代换：利用角的关系与三角函数式进行转化代换并化简结果. 第五步，选工具：根据条件和所求，合理选择正、余弦定理求出最终结果. 第六步，反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性.【满分答案】（1）由题意，得()f x =⋅u v ()sin 6sin cos x x x =++()cos 7sin 2cos x x x -226sin 2cos 8sin cos x x x x =-+4sin 24cos 22x x =-+所以()2,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，所以函数()g x 的值域为2⎡⎤-⎣⎦.（2）因为()2g A =，a =2b =，所以4c =.所以ABC △的面积【解题技巧】此类问题是将向量、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形综合命题进行考查，解题时，只需从条件出发，由向量转化为三角函数，再转化为解三角形问题，其间只需熟练掌握向量的简单计算，三角函数的图象与性质的求解方法以及解三角形的相关知识即可顺利解决.模拟训练3．已知函数2()cos22sin 2sin f x x x x =++． （1）将函数(2)f x 的图象向右平移π6个单位可得到函数()g x 的图象，若ππ[,]122x ∈，求函数()g x 的值域；（2）已知,,a b c 分别为锐角ABC △中角,,A B C 的对边，且满足2,()12sin b f A b A ===，求ABC △的面积．【答案】（1）[0,3]；（2.∴22[,]363x πππ-∈-， 当12x π=时，min ()0g x =；当512x =π时，max ()3g x =． ∴函数()g x 的值域为[0,3]．（22sin b A =2sin sin A B A =．∴sin B =， ∵02B π<<， ∴π3B =，由()1f A =得sin 2A =，从而4A π=，由正弦定理得：a =∴11sin 222ABC S ab C ===△核心考点四三角函数与解三角形的实际应用三角函数与解三角形模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知函数模型，利用三角函数或解三角形的有关知识解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数或解三角形模型，再利用三角函数或解三角形的有关知识解决问题，其关键是建模.【经典示例】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角60︒，已知山高为.（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？答题模板第一步，分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；第二步，建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；第三步，求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； 第四步，检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．【满分答案】（1）在BCP △中，60,PBC PC ∠=︒=tan 2PCPBC BC BC∠=⇒=， 在ABC △中，2,15,18060120BC BAC ABC =∠=︒∠=︒-︒=︒，)21AB =，3=， 所以船的航行速度是每小时)61千米.（2）在BCD △中，11)1,60,26BD DBC BC =⨯=∠=︒=，在BCD △中，由正弦定理得：所以45CDB ∠=︒，即山顶位于D 处南偏东45︒.【解题技巧】解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．模拟训练4．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD 是函数y =()0k >的一部分，后一段DBC 是函数()s i n y A x ωΦ=+（00A ω>>，，[]4,8x ∈时的图象，图象的最高点为B ⎛ ⎝，DF OC ⊥，垂足为F . （1）求函数()sin y A x ωΦ=+的解析式；（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童游乐园PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，儿童游乐园的面积最大？【答案】（1（2）P 点的坐标为43⎛ ⎝⎭时，儿童游乐园的面积最大.（24x =，得()4,4D ，从而曲路OD 的方程为)04y x =≤≤，设点2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则儿童游乐园（矩形）的面积()244t S t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()04t ≤≤，则()()234044t S t t '=-≤≤，t ⎛∈ ⎝⎭时，()0S t '>，()S t 单调递增；4t ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0S t '<，()S t 单调递减，所以3t =时儿童游乐园（矩形）的面积最大，此时P 点的坐标为43⎛ ⎝⎭.。

高一下期末三角函数考点：数学必修4? 第一章 三角函数 数学必修4? 第三章 三角恒等变换 数学必修5? 第一章 解三角形三角函数学问要点:定义1 角，一条射线围着它的端点旋转得到的图形叫做角。

假设旋转方向为逆时针方向，那么角为正角，假设旋转方向为顺时针方向，那么角为负角，假设不旋转那么为零角。

角的大小是随意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

假设圆心角的弧长为l ，那么其弧度数的肯定值|α|=rl,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边及x 轴的非负半轴重合，在角的终边上随意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为〔x ,y 〕，到原点的间隔 为r,那么正弦函数s in α=ry,余弦函数co sα=r x ,正切函数tan α=xy, ⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点及原点重合，角的始边及x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z =22,2k k k παπαπ⎧⎫<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭三角函数学问框架图第二象限角的集合为{}36090360180,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =22,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =_________________第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =___________终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z =____________________ 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z =_________________ 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z =__________________3、及角α终边一样的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z =__________________4、α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，那么α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 5、弧度制及角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 6、假设扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，那么l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦)8、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．假设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，那么s inx <x <tanx . 9、同角三角函数的根本关系：()221sincos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；;()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．10、三角函数的诱导公式：〔把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限〕 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 11、两角和及差的三角函数公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+〔()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+〕；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-〔()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-〕．12、和差化积及积化和差公式:s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα,s in α-s in β=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαsin ⎪⎭⎫⎝⎛-2βα,co sα+co sβ=2co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, co sα-co sβ=-2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫⎝⎛-2βα,s in αco sβ=21[s in (α+β)+s in (α-β)],co sαs in β=21[s in (α+β)-s in (α-β)],co sαco sβ=21[co s(α+β)+co s(α-β)],s in αs in β=-21[co s(α+β)-co s(α-β)].13、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-〔21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=〕．⑶22tan tan 21tan ααα=-． 14、半角公式:s in ⎪⎭⎫⎝⎛2α=2)cos 1(α-±2cos 12cos αα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 15、协助角公式:()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 16、万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+=，2tan 12tan 1cos 22ααα+-=，2tan 12tan2tan 2ααα-=17、函数sin y x =的图象上全部点向左〔右〕平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上全部点的横坐标伸长〔缩短〕到原来的|1ω|倍〔纵坐标不变〕，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上全部点的纵坐标伸长〔缩短〕到原来的A 倍〔横坐标不变〕，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上全部点的横坐标伸长〔缩短〕到原来的1ω倍〔纵坐标不变〕，得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上全部点向左〔右〕平移||ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上全部点的纵坐标伸长〔缩短〕到原来的A 倍〔横坐标不变〕，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 例：以sin yx =变换到4sin(3)3y x π=+为例sin y x =向左平移3π个单位 〔左加右减〕 sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标变为原来的13倍〔纵坐标不变〕 sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭纵坐标变为原来的4倍〔横坐标不变〕 4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =横坐标变为原来的13倍〔纵坐标不变〕()sin 3y x =向左平移9π个单位 〔左加右减〕 sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭纵坐标变为原来的4倍〔横坐标不变〕4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭留意：在变换中变更的始终是x 。

高中数学解三角形知识点总结一、引言解三角形是高中数学中的一个重要内容，它涉及到三角形的边长、角度以及面积等基本元素的计算和应用。

本文旨在总结解三角形的核心知识点，为学生提供一个复习和参考的框架。

二、基本概念1. 三角形的边和角- 三角形的内角和定理：三角形内角和恒为180度。

- 三角形的外角：一个三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和。

2. 三角形的分类- 按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。

- 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三、三角形的性质1. 边长关系- 三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2. 角度关系- 对应角定理：在直角三角形中，大边对大角，小边对小角。

3. 特殊三角形的性质- 等边三角形：三边相等，三个内角均为60度。

- 等腰三角形：两边相等，底角相等。

- 直角三角形：一个角为90度，勾股定理适用。

四、解三角形的方法1. 边角互解- 利用正弦定理和余弦定理求解未知边长和角度。

2. 正弦定理- 公式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)- 应用：适用于任意三角形，特别是边角不全知的情况。

3. 余弦定理- 公式：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)- 应用：适用于已知两边及夹角的情况。

4. 三角形面积公式- 基本公式：Area = 1/2 * base * height- 海伦公式：Area = √(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中s为半周长。

五、解三角形的应用1. 实际问题中的运用- 测量问题：利用三角形知识解决实际测量问题，如高度、距离的估算。

- 建筑设计：在建筑设计中，利用三角形的稳定性和解三角形的方法进行结构计算。

2. 解题技巧- 选择合适的定理：根据已知条件选择使用正弦定理还是余弦定理。

- 转换思想：将问题转化为已知条件可解的形式。

六、结论解三角形是高中数学中的基础内容，掌握其核心知识点对于解决相关数学问题至关重要。

高一数学下学期末复习知识点知识点一：解三角形1.正弦定理:asin A ＝b sin B ＝csin C =k(k=2R 为ABC ∆的外接圆的直径）.①a ＝ksin A ，b ＝ksin B ，c ＝ksinC ; ② 面积公式：．2.余弦定理:变形式为：3.角的关系 ① πA B C ++=．② ()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=-．③sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=． 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B===2222222222cos ,2cos ,2cos .c a b ab C b a c ac B a b c bc A ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos ,2cos ,2cos .2a b c C ab a c b B ac b c a A bc ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩④ sin sin a b A B A B >⇔>⇔>．4.三角恒等变形公式 ①和(差)角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-②倍角公式sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-③辅助角公式:sin cos ),tan (0),ba b ab aαααϕϕ+=+=≠角ϕ的终边过点(,)a b . ⅰsin cos );4πααα±=±cos 2sin();6πααα±=±知识点二：立体几何 1.表面积与体积 ①圆锥体积V ＝13S 底h②球表面积与体积24S R π=343V R π=2.直线与平面面①a⊥β；②a⊂α⇒α⊥β.①α⊥β，α∩β＝l；②a⊂α；③a⊥l ⇒a⊥β.知识点三：统计与概率1.统计①方差为s2 ＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]②ⅰ频率=总数频数ⅱ2.概率①事件A 的概率P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.②概率的几个基本性质ⅰ概率的取值范围[0,1]．ⅱ必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.知识点四：直线与方程1.过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)直线的斜率：k ＝2121y y x x--2.两条直线的位置关系 ①平行 A BA B A C A C 1221122112=≠⎫⎬⎭⇔l l ∥ⅰⅱ 12k k =⇒1l ∥2l （反之不成立） ② 垂直ⅰA A B B 1212120+=⇔l l ⊥ ⅱk k 12121·⊥=-⇒l l3.直线方程五种形式4.三种距离知识点五：圆与方程复习习题2019.6 知识点一：解三角形1.在△ABC 中，14,5,cos 8a b C ===，则=c ，ABC S ∆= .2.在△ABC 中，已知2a =，1sin()3A B +=，1sin 4A =，则 （A ） （B ） （C ）（D ）3.能说明“在△ABC 中，若sin2sin2A B =，则A B =”为假命题的一组A ，B 的值是____．4. 已知ABC △中， 120A ∠=o ，21a =，三角形ABC 的面积为3. 且b c <.则c b -=A. 17B. 3C. 3-D.17-5.在ABC ∆中，3=b ，45∠=o A ，75∠=o C ，则=a __________．6.在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠= .c =438.在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3cos 24C =-． （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =时，求a ．9.在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b =3c=，1cos 3B =-． （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积．10.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，2cos 10ADB ∠=-，3cos =5C ∠，7AC =．sin CAD ∠（求Ⅰ）的值；（Ⅱ）若10BD =， 求AD 的长及ABD ∆的面积．知识点二：立体几何1.已知两条直线,l m 与两个平面,αβ，下列命题正确的是（A ）若,l l m α⊥∥， 则m α⊥ （B ）若,l l αβ⊥∥，则αβ⊥ （C ）若,l m αα∥∥， 则l m ∥ （D ）若,m αβα∥∥，则m β∥ADBCBAMNQBAMQNNAB MQAQNMB2.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ不垂直的是A. B. C. D.3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．(Ⅱ)求证：1AC ∥平面DEF (Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ; (Ⅲ)求三棱锥1E ACB -的体积.DABCEF4.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥，DC DE =.（Ⅰ）求证：AD CE ⊥； （Ⅱ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面ADQ ⊥平面BCE ？并说明理由．5.如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）若M 为线段BD 的中点，求证：CE //平面AMF ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．6.三棱柱111ABC A B C -被平面11A B C 截去一部分后得到如图所示几何体，1BB ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1BC BB =，E 为棱1B C 上的动点（不包含端点），平面ABE 交1A C 于点F ．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面1B BC ； （Ⅱ）求证：EF ∥AB ；（Ⅲ）试问是否存在点E ，使得平面ABE ⊥平面11A B C ？并说明理由．EDCBAFME1B A ACB7.如图，在三棱锥P ABC-中，平面PAC⊥平面ABC,PA AC⊥，AB BC⊥．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．8.如图，在四棱锥E ABCD-中，平面ABCD⊥平面AEB，且四边形ABCD为矩形．90BAE=∠︒，4AE=，2AD=，F,G,H分别为,BE AE,AD的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面FGH；（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面ADE；（Ⅲ）在线段DE求一点P，使得AP⊥FH，并求出AP的值．HFGCBD E A知识点三：统计与概率1.团体购买公园门票，票价如下表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b a b≥，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票()费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a=____；b=____.2.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局( NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷1906410012(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过 50%的概率是多少？(Ⅲ)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．3.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.乙12 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为21s ，试比较20s ，21s 的大小.（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L ，其中x 为数据12,,,n x x x L 的平均数）4.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]L 分组，制成频率分布直方图：（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）记A 表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计A 的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客的平均等待时间分别为1X ,2X ,求1X 的值，并直接写出1X 与2X 的大小关系.乙站甲站知识点四：直线与方程知识点五：圆与方程第 21 页 共 21 页6.已知圆22:40C x y x a +-+=，点(1,2)A 在圆C 上.（Ⅰ）求圆心的坐标和圆的半径； （Ⅱ）若点B 也在圆C上，且AB =AB 的方程.。

大一轮复习 解三角形☆☆☆考纲考题考情☆☆☆1．正弦定理asin A＝b sin B ＝csin C＝2R ,其中2R 为△ABC 外接圆直径。

变式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B =2R2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

变式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。

sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。

注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。

在变形中，注意三角形中其他条件的应用：余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量；②已知三边求角如何判断三角形的形状：判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换。

例如当a 2＋b 2<c 2时判断三角形的形状，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，得∠C 为钝角，则三角形为钝角三角形。

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．3．解三角形：在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量(其中至少有一边)就可解三角形。