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2018-2019学年高中数学第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.2 用二分法求方程的近似解练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.2 用二分法求方程的近似解练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章 3.1 3.1.2 用二分法求方程的近似解1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈［a，b］且满足f(x0）＝0，则x0是f（x）的一个零点B．若x0是f(x)在［a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x）的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f（x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：使用“二分法”必须满足“二分法"的使用条件,B不正确;f(x）＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．答案：A2．用二分法求函数f（x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（）A．[－2,1］B．[－1，0]C．［0,1] D．［1，2]解析：∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f（－2)·f(1)＜0，故可取[－2，1]作为初始区间,用二分法逐次计算．答案：A3．用二分法求函数f（x）＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：( ）A．1。
第三章 函数的应用3.1 函数与方程§3.1.2 用二分法求方程的近似解【学习目标】根据具体函数图象，能够借助计时器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.【预习提纲】1. 二分法的定义：对于在区间[a ，b]上 且 的函数y=f （x ），通过不断地把函数y=f （x ）的零点所在的区间一分为二， ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2.用二分法球函数零点的一般步骤：（1） 确定区间[a ，b]，验证 ，给定 ；（2） 求区间（a ，b ）的中点c ；（3） 计算f （c ）；① 若 ，则 就是函数的零点；② 若 ，则令 ；③ 若 ，则令 ；（4）判断是否达到 ：即若 ，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）到（4）。
【例题精讲】例1. 借助计算器或计算机，用二分法求方程2x －x 2＝0在区间(－1,0)内的实数解(精确到0.01)．例2.求函数62ln )(-+=x x x f 在区间)3,2(内的零点.【归纳点拨】二分法的第一步可以结合函数的图象来初步判断根的分布区间；在解题过程中，只有区间端点的函数值异号才能使用二分法算下去．最终视函数值的绝对值的大小尽快逼近满足精确度要求的零点．【课堂反馈】1 下列函数图像与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（ ）2.根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)3.函数f (x )＝2x －log 12x 的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2)4.判断方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．【总结思考】本节课你都学会了什么？有哪些收获？【巩固延伸】1．若函数)(x f 是奇函数，且有三个零点1x 、2x 、3x ，则321x x x ++的值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．不确定 2．已知],[,)(3b a x x x x f ∈--=，且0)()(<⋅b f a f ，则0)(=x f 在[a ，b ]内( )A ．至少有一实数根B ．至多有一实数根C ．没有实数根D ．有惟一实数根 3．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f )则)(x f y = ( ) A ．在区间)1,1(e ，(1，e )内均有零点B ．在区间)1,1(e ， (1，e )内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e )内有零点4．若方程x 2－3x ＋mx ＋m ＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m 的取值范围是( )A ．m ≤1B ．0<m ≤1C ．m >1D ．0<m <1 5．函数)(x f ＝(x －1)ln(x －2)x －3的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．函数y ＝3x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0)7．函数)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ，若0)2(,0)1(<>f f ，则)(x f 在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有【挑战自我】1.方程32x x =精确到0.1的一个近似解是________．2.借助计算器或计算机用二分法求方程(x ＋1)(x －2)(x －3)＝1在区间(－1,0)内的近似解．(精确到0.1)【参考答案】预习提纲 略（教材）例题精讲例1.令f (x )＝2x －x 2，∵f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝1>0， 说明方程f (x )＝0在区间(－1,0)内有一个零点．取区间(－1,0)的中点x 1＝－0.5，用计算器可算得f (－0.5)≈0.46>0.因为f (－1)·f (－0.5)<0，所以x 0∈(－1，－0.5)．再取(－1，－0.5)的中点x 2＝－0.75，用计算器可算得f (－0.75)≈－0.03>0.因为f (－1)·f (－0.75)<0，所以x 0∈(－1，－0.75)．同理，可得x 0∈(－0.875，－0.75)，x 0∈(－0.812 5，－0.75)，x 0∈(－0.781 25，－0.75)，x 0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x 0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)．由于|(－0.765 625)－(0.773 437 5)|<0.01，此时区间(－0.773 437 5，－0.765 625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x －x 2＝0精确到0.01的近似解约为－0.77.例2.略（教材）课堂反馈1.B2. C.3. B4.设函数f (x )＝x 3－x －1，因为f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，且函数f (x )＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．取区间(1,1.5)的中点x 1＝1.25，用计算器可算得f (1.25)＝－0.30<0.因为f (1.25)·f (1.5)<0，所以x 0∈(1.25,1.5)．再取(1.25,1.5)的中点x 2＝1.375，用计算器可算得f (1.375)≈0.22>0.因为f (1.25)·f (1.375)<0，所以x 0∈(1.25，1.375)．同理，可得x 0∈(1.312 5,1.375)，x 0∈(1.312 5，1.343 75)．由于|1.343 75－1.312 5|<0.1，此时区间(1.312 5，1.343 75)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.巩固延伸1.B.2. D.3.D.4. B.5.A.6.B.7.C.挑战自我1.1.42.方程在(－1,0)内精确到0.1的近似解为－0.9.。
3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标：1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)
[自主预习·探新知]
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
[提示]二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧
同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
[基础自测]
1．思考辨析
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )
[答案](1)×(2)×(3)×
2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( ) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
B[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]
3．已知函数y＝f(x)的图象如图311所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
图311
x3[∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
【导学号：37102358】(0,0.5) f(0.25)[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]
[合作探究·攻重难]
二分法的概念
已知函数f(x)的图象如图312所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
图312
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
D[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]
且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合
[跟踪训练]
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【导学号：37102359】
A B C D
B[二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．]
用二分法求函数零点的近似值
[探究问题]
1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束． 2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？ 提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
求函数f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ＋1的一个负零点(精确度0.01).
【导学号：37102360】
思路探究：确定初始区间――→二分法定新的有解区间――→检验精确度ε
得零点近似值 [解] 确定一个包含负数零点的区间(m ，n )， 且f (m )·f (n )<0.因为f (－1)>0，f (－2)<0， 所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，
当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
687 5.
母题探究：1.(变条件)求本例函数f (x )在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值． [解] 因为f (－1)>0，f (－2)<0，且函数f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
－1.937 5.
2．若将典例2函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1) [解]确定一个包含正数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.
因为f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，
所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A ．“二分法”求方程的近似解一定可将y ＝f (x )在[a ，b ]内的所有零点得到
B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y ＝f (x )在[a ，b ]内的零点
C ．应用“二分法”求方程的近似解，y ＝f (x )在[a ，b ]内有可能无零点
D ．“二分法”求方程的近似解可能得到f (x )＝0在[a ，b ]内的精确解
D [二分法求零点，则一定有且能求出，故B ，C 不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A 不正确，故选D.]
2．通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是( )
【导学号：37102361】
A B C D
C [在A 中，函数无零点．在B 和
D 中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C 中，函数图象是连续不断的，且图象与x 轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C 中的函数能用二分法求其零点．] 3．用二分法求函数f (x )＝x 3
＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．[－2,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[1,2]
A [∵f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0，f (－2)·f (1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法
逐次计算．]
4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f (2)·f (4)<0.取区间的中点x 1＝2＋42
＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间).
【导学号：37102362】
(2,3) [因为f (2)·f (3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]
5．用二分法求方程ln(2x ＋6)＋2＝3x
的根的近似值时，令f (x )＝ln(2x ＋6)＋2－3x
，并用计算
器得到下表：
[解]因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．。
