数学论文2014四月上期发表或州级二等奖

东莞市中学数学教学研究会2014年优秀论文评比结果的
通报
东莞市中学数学教学研究会2014年优秀论文奖评审工作已经结束，现将评比结果予以通报。

今年中学数学论文评选共收到论文424篇，经评审小组初评，共评选出298篇论文，再由评审小组复评。

全体评委坚持公平公正的原则，采取了个人评分和集体讨论相结合、定量评分与定性评价相结合的方式，历时两个月，共评选出一等奖8篇、二等奖86篇、三等奖116篇，获奖名单见附件。

本年度论文的总体水平较高，注重了前沿理论在教学中的应用、数学本质教学、高效课堂研究及信息技术的应用，体现了中学数学课程改革、高效课堂建设的理念，注重教法研究与学法指导，可操作性较强。

希望获奖的老师继续努力，戒骄戒躁，争取更大成绩，同时也希望学校对获奖的老师给予表扬，以资鼓励。

附件:东莞市中学数学教学研究会2014年优秀论文获奖名单
东莞市中学数学教学研究会
二○一四年十一月四日
附件：东莞市中学数学教学研究会2014年优秀论文获奖名单。

李星明同志在数学杂志上发表的论文索引李星明中学高级教师，中国数学奥林匹克一级教练，首批省级中学骨干教师。

已在《数学通报》等国家级专业杂志上发表《数学主动学习三课型教学模式的构建与实践》等论文80余篇，累计约40万字。

曾获市“优秀青年教师”、“十佳教师”、“市优秀教师”，“省优秀辅导教师”，”省优秀教师”，全国心理教育学会“先进个人”。

其业绩入选《中国当代教育名人辞典》、《中国当代教育名人名家大辞典》。

一、专题研究（一）数学课堂教学模式研究1、中学数学课堂教学模式研究综述——第四次（2001年上海）全国中学数学教育优秀论文一等奖2、“主动学习三课型”教学模式的构建与实践——1999年湖南省中学数学教育优秀论文评比一等奖《数学通讯》1999（11）3、构建二十一世纪数学课堂教学模式的理论与实践——1997年湖南省中学数学教育优秀论文评比一等奖4、完善教研组建设，提高教研水平——《中学数学教学参考》1998（8-9）5、结合教学实际，开展教研教改——《中学数学教学参考》2000（4）6、课例点评：“圆的一般方程”习题课——《中学数学教学参考》1998（10）7、定理（公式）教学模式初探——《湖南数学通讯》1997（1）（二）数学应用问题教学研究8、设计应用问题的主要途径和原则——《数学通报》1996（12）9、应用问题教学的现状分析与对策——《福建中学数学》1998（6）10、根据教学内容选编应用题的尝试——《数学通讯》1999（6）11、应用题数学建模方法例示——《中学理科参考资料》1995（7）二、一般数学教学研究12.从一道会考题谈数学解题步骤——《中学数学教与学》1992（9）13.求二面角的思维对策14.——《中学数学教与学》1993（11）15.高三复习对课本例习题再利用的几点做法——《中学数学杂志》1994（4）16.立体几何中常用辅助元素的作法——《中学数学教与学》1994（7）17、发掘例习题的潜在功能，提高学生的思维水平——《中学教研》1995（4）18、数学教学中减轻学生负担的尝试——《中学数学杂志》1995（4）19、改进例题教学一例——《福建中学数学》1995（4）20、从一道习题谈怎样挖掘例习题的潜在功能——《中学数学教学》1995（2）21、掌握解题步骤，提高解题能力——《数理天地》（高中版）1995（5）22、运用反向变式，培养逆向思维——《中学数学教与学》（高中版）1995（3）23、如何答疑——《中学数学教与学》（高中版）1995（6）24、高考复习的选例原则——《中学数学教与学》（高中版）1996（1）25、发现法教学的尝试和体会——《中学数学教与学》（高中版）1996（6）26、几何直观分析的教学功能——《福建中学数学》1996（4）27、图形变换解立几题应用举例——《中学理科参考资料》1996（9）28、高考复习的误区及对策——《中学数学教与学》（高中版）1997（2）29、数学语言的转换——《中学教研》1997（9）30、数学解题中应具有的优先意识——《高三数理化》1999（3）31、差生的分化与转化——1996年湖南省中学数学教学优秀论文评比二等奖32、数学教学中合情推理能力的培养——《高中数学教与学》2004（1）33．数学教学中渗透研究性学习的实践与认识　——《高中数学教与学》2004（7）34．高三数学研究复习的实践与认识——《高中数学教与学》2005（5）35.一次意外的探究性学习——《数学通报》2007（9）3.解题教学研究36.平行线在证比例线段中的作用——《初中生学习指导》1985（12）37.圆中常用辅助线的作法——《初中生学习指导》1987（6）38.利用对应边成比例证三角形相似——《初中生学习指导》1988（17）39.一道题的错解分析及四种正确解法——《现代中学生》（高中版）1992（4）40.=0根的判别式c x b x a ++cos sin ——《高中生语数外》1993（5）41.直线与椭圆的位置关系及应用——《中学数学教与学》1993（12）42.异面直线距离的求法及思维优化——《数理化学习》（高中版）1994（5）43.构造二次函数证不等式——《语数外学习》（高中版）1994（12）44.求比法判定等差数列——《语数外学习》（高中版）1994（12）45.角置换在三角中的妙用——《数理化学习》（高中版）1995（3）46.组合问题错解剖析一例——《语数外学习》（高中版）1995（10）47.应用问题例谈——《中学数学教与学》（高中版）1995（11）48.排列组合问题重复计算剖析——《中学理科参考资料》1995（11）49.求解与数列问题的思维策略n a n S ——《数理化学习》（高中版）1995（5）50.不等式证明涉及的主要数学思想——《数理化学习》（高中版）1995（5）51.利用中心旋转作辅助线——《数理天地》（初中版）1995（6）52.一道最值题的错解剖析——《数学学习报》（高中版）1996（3）53.二面角的求法——《中学数学教与学》1996（3）54.“a+b=1”数形联想——《数理天地》（高中版）1996（5）55.确定不等式中参数范围的思维方法——《语数外学习》（高中版）1996（6）56.二面角的一个性质及应用——《语数外学习》（高中版）1996（10）57.部分省、市会考压轴题分析——《中学数学教与学》（高中版）1996（10）58.相等关系与不等关系的转化——《数理化学习》（高中版）1997（3）59.求异面直线间距离三法——《语数外学习》（高中版）1997（6）60.“分牛的传说”与“五猴分桃”——《中学理科月刊》1997（7—8）61.逆用等比数列求和公式例说——《数理化学习》（高中版）1997（17）62.特殊值在三角中的应用功能——《语数外学习》（高中版）1997（10）63.利用一个三角方程有解的条件解题——《中学数学教与学》（高中版）1997（10）64.究竟错在哪里——《中学生数学》1998（1）65.一类不等式问题的三角化解法——《数理化学习》（高中版）1998（1—2）66.利用旋转作辅助线——《中学生数学》1998（4）67.优化解法，贵在多思——《数学大世界》1998（6）68.方差的非负性应用——《中学数学》1998（8）69.运用“钳式思维”，提高解题能力——《语数外学习》1999（1－2）70.小议基本不等式中的“等号”——《数理化学习》1999（3）71.数学解题应具有的优先意识——《数学学习指导》（高中版）1999（13）72.一道解析几何习题的启示及应用——《语数外学习》1999（9）73.解题“三想”——《数学大世界》1999（12）74.对一道题的解后思——《数学学习与研究》1999（6）75.运用两直线垂直的条件解立几题——《数学大世界》2001（3）。

2014高顿杯全国大学生数学建模竞赛优秀文章近数学教育在经历了几个世纪的发展变革后，在21世纪之初呈现了国际化、大众化、技术化和理论化的四大发展趋势.首先，各国的数学教育已经不再是以前的闭门造车.与此同时，各国的数学家和教育家也在为能找到最为适合本国国情的数学教育方法而互相借鉴、互相探讨.一个共识就是数学建模有利于数学教育发展，因而对一个国家的科技发展和人才素质培养的作用和地位是十分重要的.本文重点研究了数学建模教育对于学生素质的作用.首先，我们介绍了教育的起源以及中西方思想家和教育家对其所下的定义，对数学这一学科的教育及伴随它产生的数学教育研究进行了简要的分析.由于我国数学教育研究是在近代才开始经历巨大的变革，在这些变革过程中我国的数学教育的研究范围、研究目的、研究特点和研究手段方法等都有了根本性的变化，各种学科的不断融入使数学教育成为这些学科与数学交叉的综合性的学科，使它的研究力量得到了不断的壮大和加强.其次，我们论述了数学建模教育的含义，从以下几个方面对数学建模教育进行了分析：1、对数学教育及数学建模教育的认识，2、数学建模活动教育意义的理论分析，3、数学建模活动的实证分析，4、数学建模活动的开展以及对策.第三，我们以大学生就业为主线，分析了数学建模教育对学生综合素质的影响，通过对素质、素质教育、数学素质和数学文化的理论分析，体现了数学建模教育的四大功效：培养品质、启迪心智、磨练意志、提升素质，进而阐述数学建模教育对于学生素质的影响.第四，针对高中数学教育的历史和现状，结合新课标的实施，对高中数学课程新标准全面解读和理解的基础上，建立数学－生活之间的联系，通过数学建模，体现数学的文化内涵，反映数学与其他学科领域间联系.提出了中学数学教育改革的重点应该是提升学生素质、培养动手能力、激发创新意识、提高教学质量.第二篇全国大学生数学建模竞赛论文样文：基于素质模型的高校创新型科技人才培养研究创新，是一个历久弥新的话题.一部人类社会的文明史，即是一部不断创新和创造的历史.尤其是进入21世纪以后，科技创新更是成为知识经济发展的灵魂深刻地改变着人类文明的基本构成和核心理念，作为科技创新活动主体的创新型科技人才的培养亦因此而成为当今时代世界诸国人力资源开发活动中普遍关注的焦点.自1990年代中期以来，我国先后提出了“可持续发展战略”、“科教兴国战略”、“人才强国战略”以及“国家创新体系建设”等一系列事关中华民族长远发展的国家战略，对于这些战略的实现而言，创新型科技人才的培养无疑是其中一项基础性工程.目前，我国的国家综合创新能力在世界主要国家中依然处于比较落后的地位，加紧创新型科技人才的培养是改变这一状况的基础性条件之一.高等教育作为创新型国家建设重要主体，承担着人才培养、科学研究和社会服务三大基本职能.其中，人才培养是高等学校的根本职能.近十几年来，我国高等教育发展持续进行了量的扩张而进入大众化发展阶段，但与此同时，人才培养质量却日益成为一个饱受社会各界诟病的热点论题，发人深省的“钱学森之问”即是对这一问题的集中反映.在《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》制定过程的意见征询阶段亦将“如何培养创新人才”作为面向社会各界公开征询意见的二十个基本问题之一，充分体现了这一艰深命题的极度重要性和现实紧迫性.由于包括创新型科技人才在内的创新型人才的培养是一项复杂的系统工程，其中涉及诸多复杂的因素.但对于这一问题的研究无论采取何种视角，其最终回归点都将指向对培养对象的某种与创新相关的素质或能力的培育方面.由此而引发出另一个与此直接相关且更为基础性的问题：创新型科技人才应该具备什么样的素质结构其中又包括哪些具体素质要素对这一问题的研究探索不仅有利于从理论层面科学地认识和把握创新型科技人才这一特定人才群体的共同素质特征.同时，也有利于为在科技人才的培养实践中有针对性地加强那些关键素质要素的开发培育提供更为客观的和具体的逻辑依据.而从国内目前的研究现状来看，对这一问题的研究却未能得到应有的关注.为此，本论文试图通过借助人力资源管理学中素质模型这一研究工具来构建创新型科技人才的素质模型，以系统地勾勒创新型科技人才的共性素质特征，明晰创新型科技人才培养的素质开发取向，并以该素质模型所提供的素质要素体系作为参照，着重从高等教育本科阶段人才培养实践中学生创新素质建构的角度来探讨未来潜在创新型科技人才的培养问题，以求为“如何培养创新型人才”这一现实难题提供可资参考的路径.论文研究是以素质模型理论、创造力理论和创新教育理论为主要理论依托，采用理论研究与实证研究相结合、定性分析与定量分析相结合的方法，沿着三个在逻辑上相互关联的问题脉络而展开，即（1）什么是创新型科技人才（2）为什么我国高校培养的创新型科技人才严重不足（3）如何培养创新型科技人才在进行文献回顾、关键概念解说和相关理论阐释之后，围绕以上三个问题，论文分别进行了较为集中的研究.。

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：江西理工大学参赛队员(打印并签名) ：1. 胡东2. 黄星胜3. 王瑞萍指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：熊小峰（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期： 2014 年 9月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要本文讨论了平板折叠桌折叠的动态变化过程及相应的参数设计问题，以及在一定条件下折叠桌的最优设计加工参数求解问题。

利用空间解析几何知识，建立了非线性规划模型，用MATLAB软件和LINGO软件进行求解，得到了各种条件下的各个参数的尺寸。

针对问题一，根据题目所提供图1，从最外侧桌腿木条到中间桌腿木条依次编号为10， 。

某高校数学系2014届本科毕业论文(设计)工作总结本科毕业论文（设计）是高等学校人才培养方案的重要组成部分，是高等学校应届毕业生按照教学计划在毕业前必须完成的反映学生综合知识水平和代表学生见解、能力及成果的学术论文，是培养大学生的创新能力、实践能力和创新精神的重要实践环节，同时也是实现培养目标和检验教学质量的关键环节，是人才培养质量的全面检验。

数学系2014届本科毕业论文（设计）工作在学院领导的正确指导下，经过全系师生的共同努力，通力合作，较圆满地完成了毕业论文各环节的工作任务。

通过本届毕业论文工作，进一步规范了我系毕业论文的组织、指导与答辩等主要环节的工作程序，提高了我系毕业论文工作的质量和水平，积累了经验，取得了较好的效果，现总结如下：一、前期准备工作毕业论文是本科教育教学计划的一个重要组成部分，对此，我系有严格的毕业论文写作规范和程序。

为保证毕业论文工作顺利开展，从2013年6月开始，我系就多次召开毕业论文工作会议，组织师生学习毕业论文工作的有关材料，反复强调本届毕业论文工作的重要性，提出高质量完成本届毕业论文工作的目标。

本着提前安排、充分准备的工作思路，成立领导小组、制订制订了《XX学院数学系2014届本科生毕业论文（设计）工作实施方案》、进行指导教师的资格审查工作。

确定指导教师名单，具有指导资格的教师提供论题和研究方向，领导小组审定论题。

召开2014届数学与应用数学专业学生的科研训练与毕业论文设计动员会，向学生讲解了毕业论文的意义，方式、方法，毕业论文的各种有关事宜和要求。

并建立了专门的网络信箱，以使同学们在假期里能够及时与系里和指导教师沟通，作好充分的思想准备。

同时，为了学生更好的完成毕业论文（设计）工作，特制订了《XX学院数学系毕业论文工作学生指导手册》，使各项任务更加具体化。

1.规定工作日程毕业论文工作是本学期最重要的工作之一，为此我系根据教学情况，合理制定了毕业论文工作日程。

本次2014届的毕业论文设计时间为2013年6月11日——2014年5 月16日。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：20030002所属学校（请填写完整的全名）：广西机电职业技术学院参赛队员(打印并签名) ：1. 李宪周2. 周永强3. 周光华指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组日期： 2014 年 9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：生猪养殖产的经营管理摘要国家物价局相关负责人介绍，肉禽类产品价格之所以上升势头快，原因有三：一是养殖成本剧增；二是市场需求的逐步攀升；三是肉禽类价格的周期性波动实乃正常情况。

养殖者希望能在投资不断增大的情况下获取最大经济效益，而消费者则希望能以最实惠的价格购买到优质的放心肉，于是本文的模型概念也就应运而生了。

本文主要建立生猪养殖场应该通过怎样的经营管理方式以达到最大利润化的模型。

以10000头猪来限制猪场的数量而展开的对三个问题的求解问题。

针对问题一，对每头母猪每年平均产仔量的要求必须要满足达到或超过盈亏平衡点的求解，我们通过对可查数据进行的查询和对未知数据进行的假设，最后运用盈亏平衡点的求解公式，所以要达到或超过盈亏平衡点，每头母猪每年平均产仔量约达到9头。

数学科积分奖励制度修订稿一、前言为了激励和奖励数学科优秀的学习成果，提高学生的数学学习积极性和竞争力，现对数学科积分奖励制度进行修订，以更好地促进学生的数学学业发展。

二、奖励项目1.数学竞赛奖励：对参加全国、省市各类正式数学竞赛并获奖的学生进行不同等级的奖励，一等奖积分100分，二等奖积分80分，三等奖积分60分。

同时，根据竞赛级别举办校际、班际数学竞赛，对获奖学生进行奖励，一等奖积分80分，二等奖积分60分，三等奖积分40分。

2.数学科研成果奖励：对撰写并成功发表数学科研论文的学生进行奖励。

论文发表在国内核心刊物上，奖励积分100分；论文发表在国际知名刊物上，奖励积分150分。

3.数学作品展奖励：对学生参加校内外数学作品展并获奖的进行奖励，一等奖积分80分，二等奖积分60分，三等奖积分40分。

此外，对在班级内举办的数学作品展中获奖的学生进行奖励，一等奖积分50分，二等奖积分30分，三等奖积分20分。

4.数学学科竞赛或课堂活动奖励：对学生在学科竞赛和课堂活动中表现出色者进行奖励，校级比赛一等奖积分50分，二等奖积分30分，三等奖积分20分；班级比赛一等奖积分20分，二等奖积分15分，三等奖积分10分。

三、积分使用及兑换规则1.积分统计及管理：学校将每学期结束时对学生的积分进行统计和管理，并将结果公布在教务系统中，供学生查询。

2.积分激励：学校将根据学生的积分进行激励，例如，根据积分排名进行类似于“最佳数学科学生”、“最佳数学竞赛选手”等奖项的评选。

3.积分兑换：学生可以将获得的积分兑换为奖品或福利，例如：-数学教辅书籍或学习资料：学生可以用积分兑换相关的数学教辅书籍或学习资料。

-数学科研辅导：学生可以用积分兑换与数学科研相关的辅导课程或个别指导。

-数学学习体验活动：学生可以用积分兑换参加数学学习体验活动，如数学学习营或数学科研交流会等。

-数学奖学金：学生可以用积分兑换数学学科奖学金或评为优秀数学学子。

毕业论文学生姓名XXX学号1610010XXX 学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈中学数学中的反证法XXX 副教授/博士指导教师2014年5月摘要: 反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用.关键词：反证法，适用范围，假设Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis目录1引言 (4)2反证法的概述 (4)3 反证法的适用范围 (5)4运用反证法应该注意的问题 (10)总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)1 引言1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证：假设假设亚里士多德的断言是正确的.设物体比物体的重量重很多，则应比先a b a b落地.现在把物体和绑在一起成为物体，则=+.一方面，由于比要重，它应该a b c c a b c aa ab a b b a比先落地.另一方面，由于比落得快，、一起的时候，应该是“拉了的后腿”a c a c a a 迫使的下落速度减慢，所以，物体应该比后落地.这样一来，应比先落地又应比后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的.因此亚里士多德的断言是错误的.伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段.本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题.2 反证法的概述2.1 反证法的概念反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立.”这种证明方法叫做反证法.还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若则”,当为真，则（其中A B A B⌝⇒⌝⇒B A⌝B A B表示命题的否定）为真，当为假，则为假.B⌝⇒⌝⇒B A2.2 运用反证法的步骤运用反证法证题一般分为三个步骤：1）假设原命题不成立；2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾；3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论.2.3 反证法的种类应用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法.按照反设所涉及到的情况多少，反证法可以分为归谬反证法和穷举反证法两种.1）若结论的反面只有一种情况，那么，反设单一只须驳倒这种情况便可以达到反设的目的，这叫归谬反证法.2）若结论的反面不止一种情况，那么，要将各个反面情形都一一驳倒，最终才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法.3 反证法的适用范围我们知道，若一个数学命题形如“若A 则B ”式，一般都能够用反证法来证明.证题的实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效.3.1 否定性命题否定性命题即结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题.这样的命题在用直接证法时一般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，有望成功.例1 设、是公比不相等的两个等比数列.，证明数列不是等比数}{n a }{n b n n n c a b =+}{n c 列.证明 假设是等比数列.则 ,即}{n c 221n n n c c c ++=,()()()22211n n n n n n a b a b a b ++++++=+整理得到 . 22222211112n n n n n n n n n n n n a a a b b a b b a a b b ++++++++++++=++()*因为 ，是等比数列，所以 , .由式可得}{n a }{n b 221n n n a a a ++=221n n n b b b ++=()*.22112n n n n n n a b b a a b +++++=设 , ，则11n n a a q +=12n n b b q +=.2221122n n n n n n a b q b a q a q b q +=因为 ，所以 .即 ，所以 与已知条件两个等n n a b 0≠2221122q q q q +=()2120q q -=12q q =比数列公比不相等矛盾.所以不是等比数列.}{n c 分析 在这题中要求证明不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有}{n c 条件可寻，因此，在此时使用反证法，假设是等比数列，一个数列是等比数列是有条}{nc 件的，这使得证明变得有迹可循.3.2 限定性命题限定性命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.这类命题在证明时巧妙运用反证法会给证明带来意想不到的简便效果.例2 把44位同学分成若干小组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则证明至多分成8组.证明 假设44位同学分成组，且 .因为任意两组人数不相等，所以 n ()n N *∈9n ≥n 个小组的同学总共至少有人数为.()+1123++=2n n n ++ 因为，所以总共人数人，超过了已知的44人，与已知矛盾.所以 9n ≥()+12n n ≥910452⨯=至多分成8组.例3 设,则，，至少有一个不大于.(),,,0a b c ∈-∞1a b +1b c+1c a +2-证明 假设，，都大于.即1a b +1b c +1c a+2- , , .12a b +>-12b c +>-12c a+>-将三个式子相加，得++. （1）1a b +1b c +16c a +>-又因为 , ,.将三个式子相加，得12a a +≤-12b b +≤-12c c +≤-++. （2）1a b +1b c +1c a+6≤-结合（1）（2）两式，发现相互矛盾,则假设是错误的.所以，，至少有一个1a b +1b c +1c a +不大于.2-3.3 无穷性命题无穷性命题即涉及到各种“无限”结论的命题.证明无穷性命题时，直接证明故然能够得到结论，但运用反证法来证明可以简易很多.例4证明 质数的个数是无穷的.证明 假设质数的个数是有限的.不妨设有个质数，则可以将全体质数列举如下k .1,2,3,......k p p p p 令，123........+1k q p p p p =其中，是自然数.且不能被中任何一数整除，所以是质数.这与假设只有q q 1,2,3,......k p p p p q 个质数矛盾，因此质数的个数是无穷的.k 1,2,3,......k p p p p 3.4 唯一性命题唯一性命题即结论有“有且仅有”，“只有一个”等词语的论题.由做题的实践经验告诉我们，在证明唯一性命题时，使用反证法最为直接有效.例5 证明 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.已知点，直线.求证过点和直线平行的直线有且只有一条.p l p l a 证明 假设过点还有一条直线与直线平行. 因为 点在直线外,所以 点和直p b l p l p 线确定一个平面.在平面内过点能作出一条直线与直线平行.（由平面几何知识得）l ααp l 所以直线存在.因为直线// //,所以直线//.这与直线，共过点矛盾，故假设a l a l b a b a b p 不成立,所以直线是唯一的.故，过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.a 3.5 整除性命题整除性命题即结论有“能够整除”或者“能够被整除”等相近词语的论题.例6 设，都是整数，能被整除，证明 和都能被整除.a b 22a b +3a b 3证明 分三种情况：，都不能被整除.()1a b 3因为不能被整除，故不能被整除.同理 不能被整除.所以 不能被a 32a 32b 322a b +3整除，与已知相矛盾.能被整除，不能被整除.()2a 3b 3由此可知，能被整除，不能被整除,所以不能被整除，与已知相矛盾.2a 32b 322a b +3 不能被整除，能被整除,()3a 3b 3与同理，不能被整除，与已知相矛盾.()222a b +3由、、与已知矛盾可知，假设不成立.所以原命题成立.()1()2()33.6 某些存在性命题某些存在性命题即某些结论有“存在……使……、“存在满足条件的……”等词语的论题.这些命题在证明时需要更加灵活的运用反证法.例7设，求证：对于，存在有满足条件的，使得(),0,1m n ∈,A R B R ∈∈,m n 13mn Am Bn --≥成立.证明 假设对于一切的，使恒成立.[],0,1m n ∈13mn Am Bn --<令 ，则 .0,1m n ==13B <令 ，则 .1,0m n ==13A <令 ,得 .1m n ==113A B --<而 , 则产生矛盾.所以假设不成立，原命题成立.111111333A B A B --≥-->--=3.7 不等性命题不等性命题即如不等式等形式的论题. 在使用反证法时要注意结论的反面情况，若结论的反面情况有无穷多种，那么就不能够使用反证法.例8 当，证明 .330,0,2p q p q >>+=2p q +≤证明 假设则，即2p q +>()38p q +>,333()8p q pq p q +++>因为，故.于是332p q +=()2pq p q +>.()()3322()2pq p q p q p q p pq q +>=+=+-+又因为，即,所以，即, 此式不成立.所以假0,0p q >>0p q +>22pq p pq q >-+()20p q -<设不成立，当时.330,0,2p q p q >>+=2p q +≤例9 已知，且，证明.,,,a b c d R ∈1ad bc -=22221a b c d ab cd +++++≠证明 假设.22221a b c d ab cd +++++=把代入前式可得1ad bc -=,22220a b c d ab bc ad cd +++++-+=即.()()()()22220a b b c c d a d ++++++-=因为，所以.因为，则,,,a b c d R ∈0a b b c c d a d +=+=+=-=a b c d ===0ad bc -=与矛盾.所以假设不成立，原命题成立.1ad bc -=3.8 起始性命题学科中的起始性命题即是基本的定理、公理.此类命题因为已知条件和能应用的定理、公式、法则较少，或能推论出的结论很少，故用直接证明法较难，应用反证法来证明.例10 证明 两条相交直线有且只有一个交点.已知直线，相交于点，证明 ，只有一个交点.x y P x y P 证明 假设直线，相交不止一个交点.则至少有两个交点，.则直线是由，x y P Q x P 两点确定的直线，直线是由，两点确定的直线.即由，两点确定了两条直线，Q y P Q P Q ，.与已知公理“两点只确定一条直线”矛盾.所以 假设不成立，则两条相交直线有且x y 只有一个交点.例11 证明在一个三角形中，不能有两个钝角.已知是的三个内角，求证 中不能有两个钝角.,,A B C ∠∠∠ABC ∆,,A B C ∠∠∠证明 假设中有两个钝角.不妨设.则,,A B C ∠∠∠90,90B C ∠>︒∠>︒,.180A B C A ∠+∠+∠>∠+︒0A ∠>︒则.180A B C ∠+∠+∠>︒与已知公理“三角形的内角和为”矛盾.故假设不成立，即在一个三角形中，不能有两180︒个钝角.例12直线与平面相交于，过点在平面内引直线、、、PO αO O αOA OB OC ，证明 .POA POB POC ∠=∠=∠PO ⊥α （图1）证明 假设不垂直于平面.如图1所示，作并与平面相交于点，此时PO αPH ⊥ααH 、不重合，连接.由作于，于，根据三垂线定理知：H O OH P PE ⊥OA E PF ⊥OB F HE ,.⊥OA HF ⊥OB 因为, 是公共边，所以 .因此=.又=POA POB ∠=∠PO Rt POE Rt POF ∆≅∆OE OF OH ，所以 .所以 .因此，是的平分线.同理，OH Rt OFH Rt OEH ∆≅∆FOH EOH ∠=∠OH AOC ∠是的平分线.而和是两条不重合的直线，不可能同时作为和OH AOC ∠OB OC OH AOB ∠的平分线.产生矛盾.所以假设不正确.所以原命题成立，.AOC ∠PO ⊥α分析 在证明此类基本命题时，使用反证法证明比起直接证明有的好处是不必要再结合另外太多的定理，给论题的证明缩小了范围，同时也带来了方便和新的开拓思路.4运用反证法应该注意的问题4.1 必须正确否定结论运用反证法证明命题的第一步就是：假设命题的结论不成立.即假设结论的反面成立.在这一步骤中，须注意反设的正确，如果错误的“否定结论”，即使推理再好也会前功尽弃.要做出正确的反设，必须注意以下几点：1）分清命题的条件与结论、结论与反设间的逻辑关系.2）结论的反面常常不止一种，则需要反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏.3）一些常用词的否定形式列表词语词语的否定词语词语的否定是不是必有1个1个也没有n至多个一定是一定不是至少有个1n-都是不都是至多有1个至少有2个n至少有个大于小于或等于至多有个n+1xx存在一个不成立小于大于或等于所有都成立x 且或所有不成立x存在一个成立4.2必须明确推理特点否定结论从而导出矛盾是反证法的任务.但何时出现矛盾，出现什么矛盾是不可预测的，也没有一个机械标准.但一般总是在相关领域里考虑（相关的公理、定义、定理等），这是反证法的推理特点.因此，在推理前不必要先规定好要得出什么矛盾，只要正确的否定结论，严格遵循推理规则进行每一步有理有据的推理，总会出现矛盾.而矛盾一经出现，证明即告结束.4.3 了解矛盾种类反证法推理过程中，出现的矛盾是多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，也可能与已知的定义或公理，定理或性质相矛盾，可能与临时假设矛盾，也可能是推出一对相互矛盾的结果.总结反证法在中学数学中占有重要的地位，是一种重要的证明方法.反证法在数学命题的证明中有着直接证明所起不到的作用，若恰当的使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.反证法在数学学习的很多方面有着特殊的、不可替代的作用.它用其独特的思维方式和证明方法对培养学生的逻辑性思维能力和创造性思维能力有着重要意义.数学的证明时千变万化的，然而不变的是证明的步骤和证明的方法，反证法这种证明方法不仅可以在证明论题时单独使用，也可以结合其他的证明方法一起使用，在证明论题时灵活多变.而在证明较为复杂的论题时，反证法可以多次使用，只要我们熟练的掌握了反证法，在证明时能够正确又灵活的运用反证法，就能够做到精巧、有力、方便直接、论证严谨、有理有据、巧解难题，提高我们解数学题的能力.然而，反证法却是数学学习中比较难教和难学的内容.如何有效的提高和改良反证法的教学，是摆在中学数学教师面前的一个重要课题.我们要进行有效的数学教学，让学生真正的理解它、掌握它，从而能够熟练而灵活的运用它.参考文献[1] 蓝涧，南秀全，初中数学奥林匹克竞赛全真试题[M]，武汉：湖北教育出版社，2012.[2] 曲一线. 五年高考三年模拟高考理数[M]，北京：首都师范大学出版社，2013.[3] 高珑珑. 反证法例说[J]，中学数学月刊，1997,4:19-21.[4] 龙朝阳. 反证法的理论基础与适用范围[J]. 安顺师专学报，1999,2:3-4.[5] 程里春，张庆毓. 反证法[M].广州：广东人民出版社，2001.[6] 赵刊. 常见反证法解题的几种类型[J]. 中学数学教与学，2002,12:16-19.[7] 曹金敏. 浅谈数学证明中的反证法[J].现代交际，2010，12:40-43.致谢在论文即将完成之际，我的心情十分激动，从论文的选题、资料的收集、内容的排版到格式的规范，我得到了来自身边的老师、朋友、同学以及前辈们的热情帮助.首先，我要感谢我的论文指导老师，张新建老师，她是我见过最耐心最温柔最令人折服的老师，一开始我对于论文很是不知所措，选题还是收集资料都很迷茫，是张老师给我指点迷津，帮助我选出适合我的论文题，又为我开拓研究思路，在初期填写论文任务书时，我的填写格式总是不符合要求，已经晚上十一点了，是张老师守在电脑那头悉心帮我指出问题，并为我改正，也因此加长了张老师的工作时间，也影响了她的休息，可是张老师并没有任何怨言，她的耐心和对工作的一丝不苟给了我很大的启发和感动.在修改论文的过程中，张老师精心点拨、热忱鼓励我，就算是再细小的问题，她也及时指出并告诉我怎样改正，张老师用她严谨求实的态度和踏踏实实的精神再一次教给了我什么是老师，什么才叫为人师表，我要向张老师学习，虽然只有短短的几个月，可张老师教会我的远远不止写论文那么简单，她给了我终生受益之道，对张老师的感激之情是我无法用任何语言来表达的.其次，我要感谢我的朋友们，是他们在我遇到难题和写作瓶颈的时候给我帮助和鼓励.我想我不会忘记我们一起写论文，一起讨论问题，一起相互监督、相互加油打气的日子，在我写作论文的日子里，感谢有你们的陪伴和帮助.在此，我还要感谢已经毕业的学长学姐们，虽然我并不认识他们，也和他们不是同校毕业的，但是他们还是通过互联网给了我许多建议和意见，告诉我写论文常出现的问题，同时也帮助我规范了论文的格式.最后，我还要感谢我的母校，淮阴师范学院，在这四年里，我离开了家，离开了父母亲，来到了淮师，母校就是我这四年里的母亲，它养育了我，教育了我，相处四年，母校的教室、母校的操场、母校的一草一木我都会记在心间，在母校里是我一生中最美的时光，别了，淮师.由于我的学术水平有限，此篇论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友们批评指正.。

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