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2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）24y x =A ．B ．C ．1D ．211618【答案】B【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由，可得，24y x =214x y =所以，即焦点到准线的距离是.18p =18故选：B.2．若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（ ）22216x y a a +=+y a A ．B ．3a >2a <-C ．或D ．或3a >2a <-20a -<<0<<3a 【答案】D【分析】根据椭圆焦点在轴上,可得,解出范围即可.y 226,0a a a +<≠【详解】解:由题知表示焦点在轴上的椭圆,22216x y a a +=+y 则有: ,226a a a ⎧<+⎨≠⎩解得:或.20a -<<0<<3a 故选:D 3．已知直线与直线相互平行，则实数m 的值是1:(2)310l m x y ---=2:(2)10l mx m y +++=（ ）A ．B ．1C ．D ．64-1-【答案】A【分析】根据直线平行则它们的法向量也互相平行可解，需要验算.【详解】，()11:(2)310,2,3l m x y n m ---=∴=--()22:(2)10,,2,l mx m y n m m +++=∴=+()()12//,223,n n m m m ∴-+=-解之：经检验4,1m =-4m =-故选：A.4．在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共E F G H E F G H 面的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对于B ，证明即可；而对于BCD ，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，//EH FG 然后说明另外一点不在该平面中即可.【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点A E F H M FM 不在平面上，故、、、四点不共面；G EHMF E F G H对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、B AC //FG AC //EH AC //EH FG E 、、四点共面F G H对于选项C ，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、E F H G E F、四点不共面；G H 对于选项D ，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，E G H 该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．PQ F PQ E F G H故选：B 5．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则点到平面的距离为1111ABCD A B C D -E AB A 1EB C （ ）A B C D 【答案】A【分析】利用等体积法结合条件即得.【详解】由于是的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离E AB A 1EB C B 1EB C 为，h由题可知11B E CE B C ====所以，112B CE S =⨯=△由于，11B BCE B B CEV V --=所以，111122323h⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭所以.h =故选：A6．设等比数列中，，，则（ ）{}n a 1232a a a ++=4564a a a ++=101112a a a ++=A ．16B ．32C ．12D ．18【答案】A【分析】利用等比数列的性质求出公比，代入计算即可.【详解】由题，3456123422a a a q a a a ++===++则933101112123()2()16a a a a a a q q ++=++=⨯=故选：A.7．若数列是等差数列，首项，公差，则使数列的前项{}n a 10a >()2023202220230,0d a a a <+<{}n a n 和成立的最大自然数是（ ）n S >n A ．4043B ．4044C ．4045D ．4046【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质进行求解即可.n 【详解】因为是等差数列，首项，公差，{}n a 10a >0d <所以是递减数列，{}n a 又因为，()2023202220230a a a +<所以，2022202320222023202220230,0,,0a a a a a a ><>+>所以，()14045404520234045404502a a a S +==<，()()1404420222023404440244024022a a a a S ++==>所以使数列的前项和成立的最大自然数是4044.{}n a n 0n S >n 故选：B.8．已知中心在坐标原点的椭圆C 1与双曲线C 2有公共焦点，且左，右焦点分别为F 1，F 2，C 1与C 2在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则的取值范围是（ ）122e e +A ．B．⎫+∞⎪⎪⎭5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．()1,+∞5,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，，由条件可得()m n >m ＝10，n ＝2c ，再由椭圆和双曲线的定义可得，运用三角形的三边关系求()125,55a c a c c =+=-<得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，，()m n >由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，则有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得，12m n a +=由双曲线的定义可得，22m n a -=即有，()125,55a c a c c =+=-<再由三角形的两边之和大于第三边，可得，2210c c +>可得，即有，52c >552c <<由离心率公式可得()12122510225525555c c c c cc e e a a c c c c +--++=+=+=-+-+-，105211155555c c c c ⎛⎫=--=-+ ⎪+-+-⎝⎭因为，所以，，则，，552c <<155102c <+<5502c -<-<11210515c <<+1255c <--故，，则，即，2125515c c +<-+-2125553c c ⎛⎫-+> ⎪+-⎝⎭21515553c c ⎛⎫-+> ⎪+-⎝⎭12325e e +>故的取值范围是.122e e +5,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭故选：B ．二、多选题9．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则成等比数列2b ac =,,a b c B ．若为等差数列，则为等比数列{}n a {}2na C ．若，则数列为等差数列21n S n =+{}n aD ．若，则数列为等比数列31nn S =-{}n a 【答案】BD【分析】根据等比数列的概念可判断AB ，利用与的关系结合等差数列等比数列的定义可判断n a n S CD.【详解】对于A ，当时，，而不是等比数列，故A 错误；0a b c ===2b ac =,,a b c 对于B ，若为等差数列，设公差为，则，所以为等比数列，故B{}n a d 1122202n n nn a a a d a ++-==>{}2n a 正确；对于C ，由，可得，，所以不是等差数列，故C 错误；21n S n =+1232,3,5a a a ===2132a a a ≠{}n a 对于D ，由，当时，，31nn S =-1n =12a =当时，，此时，2n ≥1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅12a =所以，，为等比数列，故D 正确.123n n a -=⋅13n n a a +={}n a 故选：BD.10．已知圆和圆交于两点，则（ ）221:230O x y x +--=222:210O x y y +--=,A B A ．两圆的圆心距122O O =B ．直线的方程为AB 10x y -+=CD ．圆上的点到直线的最大距离为1O AB 2【答案】BD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由两点间距离公式可求得圆心距，知A 错误；两圆方程作差即可求得方程，知B 正确；利用垂径定理可求得C 错误；利用圆上点到定直线距离最大值AB 为圆心到直线距离加半径可求得D 正确.【详解】由圆的方程知：圆心，半径；1O ()11,0O 1122r ==由圆的方程知：圆心，半径2O ()20,1O 212r ==对于A ，圆心距A 错误；1O O =对于B ，两圆方程作差可得直线方程为：，即，B 正确；AB 2220x y -+-=10x y -+=对于C ，圆心到直线的距离，C 错误；1O AB d ==AB ∴==对于D ，圆上的点到直线的最大距离为，D 正确.1O AB 12r d +=故选：BD.11．动点分别到两定点连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，(,)M x y ()()5,05,0-，1625-(,)M x y C 分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中正确的有（ ）12,F F C A ．曲线的焦点坐标为；C ()()12,,,0330F F -B ．若，则；1203F M F ∠=︒12F MF S =△C ．的内切圆的面积的面积的最大值为；12F MF △94πD ．设，则的最小值为．()322A ，1MA MF +152【答案】ACD【分析】根据动点到两个定点连线斜率的乘积为定值可求得曲线的方程，可得到椭圆的焦点坐标，根据椭圆焦点三角形的面积公式可得焦点三角形面积，当焦点三角形内切圆半径最大时面积最大，根据动点在椭圆上方运动的特点可知半径变化是由小到大再变小，当动点在上顶点处内切圆半径最大，利用等面积法可求得内切圆半径；利用椭圆定义将动点到左焦点的距离转化为动点到右焦点的距离的差，当点M 在A 的上方时有最大值.【详解】由题意可知:化解得，165525y y x x ⋅=-+-221,(5)2516x y x +=≠±A 项：，，即曲线C 的焦点坐标为，故A 项正确；22225169c a b =-=-=3c =()()12,,,0330F F -B 项：先推导焦点三角形面积公式：在中，设，，，由余弦定理得12MF F ∆12F MF α∠=11MF r =22MF r =222121212cos 2MF MF F F MF MF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅22121212()242r r r r c r r +--=221212(2)242a r r c r r --=2212124()22a c r r r r --=212122b r r r r -=∴,即，21212cos 2r r b r r α=-21221cos b r r α=+∴=．12212112sin sin 221cos MF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+2tan 2αb故B 项错误；123016tan 2F F S =⋅。
武汉市外国语学校⼩升初⼊学考试数学试题及答题（两套）
武汉市外国语学校⼩升初⼊学考试数学试题及答题（两套）
第⼀部分(满分24分)
填⼀填：(共8题，每题3分)
1．为响应国家要求中⼩学⽣每天锻炼l⼩时的号召，某校开展了形式多样的“阳光体育运动”活动。
下图是在课外活动时间六(1)班全班同学参加各种体育活动的⼈数统计图：
由图可知：六(1)班全班有_______⼈，其中踢⾜球的同学有______⼈，打篮球的同学占全班同学⼈数的_______ ％。
2．将⼀张长为43cm的长⽅形纸⽚ABCD如图①对折，折痕为EF，再沿折痕EF折叠成如图②的形状，若折叠后AB与CD之间的距离为40cm，则原纸⽚的⾯积________cm2。
一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．145．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．146．定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．1021 C ．1123 D ．919 7．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 8．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．6759．题目文件丢失！10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．2411．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．104D ．5212．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83C ．143D ．10313．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．714．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7B ．10C ．13D ．1615．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸16．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．4517．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．1918．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．10519．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、多选题21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n nF n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦22．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 23．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．224．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6525．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =27．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=28．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 4．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C 5．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 6．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-，且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-，故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D 7．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 8．A 【分析】 先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.9．无10．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 12．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 13．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 14．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C 15．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 16．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 17．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ． 18．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 19．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 20．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由100n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．二、多选题21．BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项，12+为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭1515()n -=++， 令1nn n F b-=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-， 所以n b⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列，所以1n n b -+，所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题． 22．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a .11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 23．AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 24．ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 25．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=， 故选：BC 26．BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD 27．BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 28．BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD. 29．ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nn N ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 30．BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。
武汉外校三年级试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 武汉外校位于我国的哪个省份？A. 湖北省B. 湖南省C. 河南省D. 江西省答案：A2. 以下哪个不是武汉的著名景点？A. 黄鹤楼B. 东湖C. 长江大桥D. 故宫答案：D3. 武汉外校三年级的学生通常多大年龄？A. 8-9岁B. 9-10岁C. 10-11岁D. 11-12岁答案：B4. 以下哪个不是武汉的特色小吃？A. 热干面B. 豆皮C. 鸭脖D. 煎饼果子答案：D5. 武汉外校三年级的数学课程中，以下哪个概念是重点？A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法答案：C6. 武汉外校三年级的英语课程中，学生们主要学习什么？A. 单词B. 语法C. 听力D. 口语答案：A7. 武汉外校三年级的科学课程中，学生们学习了哪种植物的生长过程？A. 玫瑰B. 向日葵C. 菊花D. 水仙答案：B8. 武汉外校三年级的体育课程中，学生们主要学习哪种运动？A. 篮球B. 足球C. 乒乓球D. 羽毛球答案：D9. 武汉外校三年级的美术课程中，学生们学习了哪种绘画技巧？A. 水彩画B. 油画C. 素描D. 国画答案：C10. 武汉外校三年级的音乐课程中，学生们学习了哪种乐器？A. 钢琴B. 小提琴C. 吉他D. 长笛答案：A二、填空题（每空1分，共10分）1. 武汉外校的校训是“_”，强调了学生应具备的品德。
答案：厚德载物2. 武汉外校三年级的学生每周上_节数学课。
答案：53. 武汉外校三年级的学生在体育课上学习了_的基本技巧。
答案：羽毛球4. 武汉外校三年级的英语课程中，学生们学习了_个字母。
答案：265. 武汉外校三年级的科学课程中，学生们了解了植物的_过程。
答案：生长三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述武汉外校三年级学生在语文课上学习了哪些古诗文？答案：学生们学习了《静夜思》、《春晓》等古诗文，通过这些古诗文的学习，学生们不仅能够了解古代诗人的情感表达，还能学习到丰富的文学知识和传统文化。
武汉外国语学校2020学年度上学期期中考试高一数学试题考试时间：2020年11月15日 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}=135P ，，，{}=124Q ，，则()=U P Q ⋃ð（ ） A. {}1 B. {}35， C. {}12345，，，， D. {}1246，，， 2. 下列各组函数中是同一函数的是 ( )A. 1)(2+=t t f 与1)(2+=x x f B. x x f =)(与xx f lg 10)(=C. 32)(x x f -=与xx x f 2)(-=D. 2)()(x x f =与x x f =)(3. 函数21log (3)y x =- 的定义域为（ ）A. (,3)-∞B.(3,)+∞C. ()()3,55,⋃+∞D.()()3,44,⋃+∞4.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是（ ）A ．3y x = B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2xy -=5．若函数1(0,1)x y a b a a =+->≠且的图像经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A. 01,0a b <<<且 B. 1,0a b >>且 C. 01,0a b <<>且 D.1,0a b ><且5.设函数21,1()lg ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =（ ）A ．lg101B ．2C ．1D ．0 6．函数1()(2f x = ）A．15(,)--∞ B．1(,)2-∞ C．15(,)++∞ D．1(,)2+∞7. 已知()f x是定义在R上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设42(log7),(log3)a fb f==，0.6(0.2)c f=，则,,a b c的大小关系为( )A. c b a<< B. b c a<< C. b a c<< D. a b c<<8.下列区间中，函数()43xf x e x=+-的零点所在的区间是（）A．1(,0)4- B．1(0,)4C．11(,)42D．13(,)249．已知幂函数()f x的图像经过点12(,)8，112212(,)(,)()P x y Q x y x x<、是函数图像上的任意不同两点，给出以下结论：11221122(1)()();(2)()()x f x x f x x f x x f x><1212()()(3)f x f xx x>1212()()(4)f x f xx x<.其中正确结论的序号是（）A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(2)(4)10．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3193，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010，则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：lg30.48≈）A. 3310 B. 9310 C. 5310 D. 731011.函数1()ln()f x xx=-的图象是（）12．已知定义在R上的偶函数()f x，当0x≥时，2,02,16()1(),2,2xxxf xx⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若关于x的方程2[()]()0,,,f x af x b a b R++=∈有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）A ．11(,)24-- B ．51(,)24-- C ．11(,)28-- D ．1111(,)(,)2448--⋃-- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上是减函数，则α= .14.函数21,1()67,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩的最小值为 15.已知()3(,)af x a b R x=+∈，且2[lg(log 10)]5,f =则[lg(lg 2)]f =_____________.16．已知()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，2()log f x x =.对于结论 （1）当0x <时，2()log ()f x x =-； （2）函数[()]f f x 的零点个数可以为4,5,7；（3）若函数21()2y f ax x =-+在区间[1,2]上恒为正，则实数a 的范围是1(,)2+∞以上说法正确的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（本小题共10分）计算下列各题：（160.25687⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）22log 33223127-2log log 3log 48⨯+⨯18.（本小题共12分）已知{}{}24,lg(4)xA x RB x R y x =∈<=∈=-． （1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11,C x m x m =-≤≤-若集合(),C A B ⊆⋃求实数m 的取值范围．19. （本小题共12分）已知函数2()131xf x =-+． （1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）用单调性的定义证明函数()f x 在其定义域上是增函数； （3）若(31)(22)0f m f m ++-<，求m 的取值范围．20.（本小题共12分）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（1） 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2） 要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.（本小题共12分）已知函数241()(log 2)(log )2f x x x =--． （1）当[2,4]x ∈时，求该函数的值域；（2）若2()log f x m x ≥对于[4,16]x ∈恒成立，求m 的取值范围;22.（本小题共12分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-． （1）当1a =时，求()f x 在区间[]0,2上的最大值；（2）设函数()(),()g x f x t a =为()g x 在区间[]0,2上的最大值，求()t a 的解析式； （3）求()t a 的最小值.。
武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期数学9月考试题（三）一、单选题（每题5分，共40分）1. 已知复数()()1i 1i z λ=−++是纯虚数，则实数λ=（ ）A 2−B. 1−C. 0D. 12. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C 2次都不中靶D. 只有1次中靶3. 某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间[)75,80内的学生有（ ）A. 15名B. 20名C. 25名D. 40名4. 若m ，n 是互不相同的直线，,αβ是不重合的平面，则下列说法不正确的是（ ）A. 若,,m m n αβαβ⊂=∥ ，则m n ∥ B. 若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C 若,,,,m n m n m n A ααββ⊂⊂=∥∥ ，则αβ∥ D. 若m αβα⊥⊂，，则m β⊥5. 已知样本数据1x ，2x ，…，2022x 的平均数和方差分别为3和56，若()231,2,,2022i i y x i =+=⋅⋅⋅，则1y ，2y ，…，2022y 的平均数和方差分别是（ ） A. 12，115B. 12，224C. 9，115D. 9，2246. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（ ）...A.13B.35C. 2547D. 797. 已知正方体ABCD A B C D −′′′′的棱长为3E ，为棱AB 上的靠近点B 的三等分点，点P 在侧面CC D D′′上运动，当平面B EP ′与平面ABCD 和平面CC D D ′′所成的角相等时，则D P ′的最小值为（ ）A.B.C.D.8. 如图所示，ABC 是边长为3正三角形，3AC AD =，S 是空间内一点，12,θθ分别是S AB C −−，S BC A −−的二面角，满足12tan 2tan θθ ，点D 到直线SB 的距离是1，则cos cos SBA SBC ∠+∠=（ ）A.B.C.D.二、多选题（每题5分，共20分）9. 在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A. 10,45,60b A C ==°=° B. 4,60b c B ==°C. 2,45ab A ==°D. 8,4,80a b A ===° 10. 下列四个命题中，假命题有（ ）A. 对立事件一定是互斥事件B. 若,A B 为两个事件，则()()()P A B P A P B =+C. 若事件,,A B C 彼此互斥，则()()()1P A P B P C ++=D. 若事件,A B 满足()()1P A P B +=，则,A B 是对立事件 11. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（ ）A. 直线1D D 与直线AF 垂直B. 直线1A G 与平面AEF 平行C. 平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D. 点C 与点B 到平面AEF12. 单位向量1e ，2e ，3e 两两夹角为3π，若实数x ，y ，z 满足1231xe ye ze ++=，则下列结论中正确的是（ ）A. xB. x y +C. x y z ++D. xyz三、填空题（每题5分，共20分）13. 2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取______人.14. 在平行六面体1111ABCD A B C D −中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===∠=∠=∠=°，则1AC =___________．的15. 设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知120,23BAC c b ∠=°+=，点D 在边BC 上，2AD =，且32b BD c CD ⋅=⋅，则ABC 的面积为___________．16. 如图，正四棱锥P -ABCD 的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点.若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F （可与端点重合），则四棱锥P -AEMF 的体积的取值范围是___________.四、解答题（共70分）17. 已知三条直线1:40l ax by ++=，()2:10l a x y b −++=，3:230l x y ++=． （1）若12l l ⊥，且1l 过点()1,1−，求a 、b 的值； （2）若123////l l l ，求a 、b 的值．18. （1）写出点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式并证明.（2）证明：点()2,2A −到直线()()()()212230m x m y m m +−+−+=∈R 的距离d 恒小于 19. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为12,乙队每位球员罚进点球的概率均为23.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.20. 如图，四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，梯形ABCD 满足AB CD ∥，90BCD ∠=°，且2PD AD DC ===，3AB =，E 为PC 中点，13PF PB = ，2PG GA =.（1）求证：D ，E ，F ，G 四点共面； （2）求二面角F DE P −−的正弦值.21. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，AF ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，22AB AF DE ===，M 是线段BF 上的一动点，过点M 和直线AD 的平面α与FC ，EC 分别交于P ，Q 两点.（1）若M 为BF 的中点，请在图中作出线段PQ ，并说明P ，Q 的位置及作法理由；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线AC 与平面αMB 的长；若不存在，请说明理由.22. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP方向释放机器人甲，同时在A 处按AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点M 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知6AB =米，E 为AB 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP 与EB的夹角为θ（0πθ<<），AQ与AB的夹角为α（π02α<<）．（1）若两机器人运动方向夹角为π3，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍． （i ）若π3θ=，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求sin α． （ii ）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度α使机器人乙挑战成功？的武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期数学9月考试题（三）一、单选题（每题5分，共40分）1. 已知复数()()1i 1i z λ=−++是纯虚数，则实数λ=（ ）A. 2−B. 1−C. 0D. 1【答案】B 【解析】【分析】由纯虚数的定义得出实数λ. 【详解】()()i 11z λλ+−+，因为复数()()1i 1i z λ=−++是纯虚数，所以10λ+=，且10λ−≠，解得1λ=−. 故选：B2. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有1次中靶【答案】C 【解析】【分析】根据对立事件的概念可得结果.【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 故选：C.3. 某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间[)75,80内的学生有（ ）A. 15名B. 20名C. 25名D. 40名【答案】B 【解析】【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得a 的值，再根据样本中成绩在区间[)75,80内的频率×参赛的100名学生即可求解．【详解】由频率分布直方图可知()0.050.060.030.010.0151a +++++×=，得0.04a =， 所以成绩在区间[)75,80内的学生有1000.04520××=名． 故选：B ．4. 若m ，n 是互不相同的直线，,αβ是不重合的平面，则下列说法不正确的是（ ）A. 若,,m m n αβαβ⊂=∥ ，则m n ∥ B. 若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C. 若,,,,m n m n m n A ααββ⊂⊂=∥∥ ，则αβ∥ D. 若m αβα⊥⊂，，则m β⊥ 【答案】D 【解析】【分析】由线面的位置关系以及面面平行的判定定理以及面面垂直的关系逐一判断选项即可. 【详解】对于A ：由线面平行的性质可知m n ∥，故A 正确； 对于B ：垂直于同一个平面的两条直线平行，故B 正确；对于C ：平面内两条相交直线分别和另一个平面平行，则两个平面平行，故C 正确； 对于D ：m αβα⊥⊂，，则m β⊂或//m β或m β⊥或m 与β相交，故D 错误； 故选：D5. 已知样本数据1x ，2x ，…，2022x 的平均数和方差分别为3和56，若()231,2,,2022i i y x i =+=⋅⋅⋅，则1y ，2y ，…，2022y 的平均数和方差分别是（ ） A. 12，115 B. 12，224C. 9，115D. 9，224【答案】D 【解析】【分析】根据平均数和方差的性质求解：若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数和方差分别为x 和2s ，则数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +的平均数和方差分别为ax b +和22a s .【详解】若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数和方差分别为x 和2s ，则数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +的平均数和方差分别为ax b +和22a s .题中，样本数据1x ，2x ，…，2022x 的平均数和方差分别为3和56，()231,2,,2022i i y x i =+=⋅⋅⋅，则1y ，2y ，…，2022y 的平均数为2339×+=，方差为2256224×=. 故选：D.6. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（ ）A.13B.35C.2547D.79【答案】C 【解析】【分析】如图所示，过点1D ，E ，F 的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可.【详解】作直线EF ，分别交,DA DC 于,M N 两点，连接11,D M D N 分别交11,A A C C 于,H G 两点， 如图所示， 过点1D ，E ，F 的截面即为五边形1D HEFG ，设正方体的棱长为2a ，因为点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点 所以1,1AE AM CN CFBE BF BE BF====，即AM CN a ==， 因为1111,33AM AH CN CG MDDD DN DD ====， 所以23a AHCG == 则过点1D ，E ，F 的截面下方体积为：3111112253322323239=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=a V a a a a a a ， ∴另一部分体积为33322547899=−=V a a a ， ∴12:2547V V =. 故选：C.7. 已知正方体ABCD A B C D −′′′′的棱长为3E ，为棱AB 上的靠近点B 的三等分点，点P 在侧面CC D D ′′上运动，当平面B EP ′与平面ABCD 和平面CC D D ′′所成的角相等时，则D P ′的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】以A 为原点建立空间直角坐标系，设(),3,P x z ，根据二面角的空间向量坐标公式表达平面B EP′与平面ABCD 和平面CC D D ′′所成的角，再化简结合z 的取值范围求解即可. 【详解】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为3，则()2,0,0E ，()3,0,3B ′，()0,3,3D ′，设(),3,P x z ，则()1,0,3EB =′ ，()2,3,EPx z =−，由正方体的性质可得平面ABCD 的一个法向量为()10,0,1n = ，平面CC D D ′′的一个法向量()20,1,0n =， 设平面B EP ′的法向量()3,,n a b c = ，则3300EB n EP n ⋅= ⋅=′ ，即()30230a c x a b zc += −++= ，取1c =，则3a =−，23z b x =−−，故33,2,13z n x=−−−，又平面B EP ′与平面ABCD 和平面CC D D ′′所成的角相等，故1323cos ,cos ,n n n n =，即13231323n n n n n n n n ⋅⋅=⋅⋅ ， 故123z x =−−，即213zx −−=，213z x −−=−. ①当213zx −−=，即33z x =+时，因为[]0,3x ∈，所以[]9,0z ∈−， 又[]0,3z ∈，则0z =，3x =，此时PD =′②当213z x −−=−，即13zx =+时，因为[]0,3x ∈，所以[]3,6z ∈−， 又[]0,3z ∈，故[]0,3z ∈，此时PD =′ 故当[]161230,310529z −==∈−×时PD =′.综上PD ′. 故选：A8. 如图所示，ABC 是边长为3正三角形，3AC AD =，S 是空间内一点，12,θθ分别是S AB C −−，S BC A −−的二面角，满足12tan 2tan θθ ，点D 到直线SB 的距离是1，则cos cos SBA SBC ∠+∠=（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求得BD ，根据二面角以及解直角三角形等知识分别求得cos SBA ∠和cos SBC ∠，由此求得正确答案.【详解】由于3AC AD =，所以1AD =，由余弦定理得BD =，则cos DBA∠=DBA ∠为锐角，所以sin DBA ∠，sin tan cos DBA DBA DBA ∠∠==∠同理可求得tan DBC ∠.设O ∈平面ABC ，且SO ⊥平面ABC ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，过O 作OF BC ⊥，垂足为F ，连接,SE SF ， 由于,AB BC ⊂平面ABC ，所以,SO AB SO BC ⊥⊥，由于,,OE SO O OE SO ∩=⊂平面SOE ，所以AB ⊥平面SOE ， 由于SE ⊂平面SOE ，所以AB SE ⊥，所以1SEO θ∠=， 同理可证得2SFO θ∠=，依题意12tan 2tan θθ ， 即2,2SO SO OF OE OE OF=×=， 设,OBF OBE αβ∠=∠=，则sin ,sin OF OEOB OBαβ==，所以π1sin 2sin 2sin 2sin 32αβαα==−=−，2sin ,tan ααα=，πtantan π3tan tan π31tan tan 3αβαα− =−==+×， 所以,,B O D 三点共线，而BD ⊂平面ABC ，所以SO BD ⊥，tan OFOF BF α===，tan OE OE BE BE β===， 连接SD ，过D 作DG SB ⊥，垂足为G ，则1DG =， 所以BG=cos BG OBDBS BD SB∠==， 由cos BE SBA SB ∠=两边平方得22222222cos BE OB OE OB OE SBA SB SB SB SB − ∠===−222226363cos725725BESBASB=−=−⋅=−∠，即2286cos257SBA∠=，SBA∠为锐角，故解得cos SBA∠.由cosBFSBCSB∠=两边平方得22222222cosBF OB OF OB OFSBCSB SB SB SB−∠===−222226363cos7474BESBASB=−=−⋅=−∠，即276cos47SBC∠=，SBC∠为锐角，故解得cos SBC∠==，所以cos cosSBA SBC∠+∠故选：D【点睛】求解二面角有关问题，关键是利用二面角的定义作出二面角的平面角.常用的方法有定义法和线面垂直法.定义法是：在交线上任取一点，过这点在两个面内分别引交线的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.线面垂直法是：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向交线作垂线，连线后得到二面角的平面角.二、多选题（每题5分，共20分）9. 在ABC中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A. 10,45,60b A C==°=°B. 4,60b c B==°C. 2,45a b A==° D. 8,4,80a b A===°【答案】BC【解析】【分析】对于A ，直接判断即可；对于B，sin sin 1c BCb==<，结合b c <即可判断；对于C，sin sin b ABa==<<D ，sin 4sin 801sin 82b A B a⋅°==<，结合b a <即可判断.【详解】对于A ，因为10,45,60b A C ==°=°，所以75B =°，所以ABC 只有一解；故A 错误；对于B，因为4,60bc B ==°，所以由正弦定理得sin sin 1c BCb ==<， 因为bc <，即B C <，所以60C >°，所以ABC 有两解（6090B °<<°，或90120B °<<°），故B 正确； 对于C，因为2,45ab A ==°，所以由正弦定理得sin sin a bA B=，即sin sin b AB a ==，<<ABC 有两解（4560B °<<°，或，120135B °<<°），故C 正确； 对于D ，因为8,4,80a b A ===°， 所以由正弦定理得sin 4sin 801sin 82b A B a⋅°==<，由于b a <，故80B <°，所以ABC 只有一解，故D 错误； 故选：BC10. 下列四个命题中，假命题有（ ） A. 对立事件一定是互斥事件B. 若,A B 为两个事件，则()()()P A B P A P B =+C. 若事件,,A B C 彼此互斥，则()()()1P A P B P C ++=D. 若事件,A B 满足()()1P A P B +=，则,A B 是对立事件【答案】BCD 【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A ；根据事件的和事件的概率可判断B ；举反例可判断C ，D,【详解】对于A ，因为对立事件一定是互斥事件，A 正确；对B ，当且仅当A 与B 互斥时才有()()()P A B P A P B =+， 对于任意两个事件,A B ，满足()()()()P A B P A P B P AB =+-，B 不正确； 对C ，若事件,,A B C 彼此互斥，不妨取,,A B C 分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出3点”， 则()12P A B C =，所以C 不正确； 对于D ，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ={摸到红球或黄球}，事件B ={摸到黄球或黑球），满足()()()()11122P A P B P A P B ===，，+， 但事件A 与B 不互斥，也不对立，D 错误， 故选：BCD.11. 如图，正方体111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（ ）A. 直线1D D 与直线AF 垂直B. 直线1A G 与平面AEF 平行C. 平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D. 点C 与点B 到平面AEF 的距离相等 【答案】BCD【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD 选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C 选项.【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,1,0C 、()0,0,0D 、()11,0,1A 、()11,1,1B 、()10,1,1C 、()10,0,1D 、1,1,02E 、10,1,2F、11,1,2G ，对于A 选项，()10,0,1DD = ，11,1,2AF=−，则1102DD AF ⋅=≠ ，所以直线1DD 与直线AF 不垂直，故A 错误；对于B 选项，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z = ，1,1,02AE =− ，11,0,22EF =−，则10211022m AE x y m EF x z ⋅=−+= ⋅=−+=，取2x =，可得()2,1,2m = ，110,1,2A G =− ，所以1110A G m ⋅=−= ，即1A G m ⊥ ，因为1AG ⊄平面AEF ，1//AG ∴平面AEF ，故B 正确；对于C 选项，连接1AD 、1D F 、1BC ，因为E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，则1//EF BC ，11//AB C D 且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，所以1//EF AD ，所以E 、F 、A 、1D 四点共面，故平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D −所得截面为1AD FE ，且EF1AE D F ==，1AD EF =≠，所以四边形1AD FE 为等腰梯形，分别过点E 、F 在平面1AD FE 内作1EM AD ⊥，1FN AD ⊥，垂足分别为M 、N ，如下图所示：因为1AE D F =，1EAM FD N ∠=∠，190EMA FND ∠=∠= ， 所以1Rt Rt AEM D FN △≌△，故1AM D N =，EM FN =， 因为//EF MN ，EM MN ⊥，EN MN ⊥，则四边形EFNM 为矩形，所以MN EF ==112AD EF AM D N −∴===，故EM ==， 故梯形1AD FE 的面积为()11928AD FEEF AD EM S +⋅==梯形，故C 正确；对于D 选项，1,0,02CE= ，则点C 到平面AEF 的距离为113CE m d m⋅== ， ()0,1,0AB =，则点B 到平面AEF 的距离为213AB m d m⋅== ，所以点C 与点B 到平面AEF 的距离相等，故D 正确. 故选：BCD.12. 单位向量1e ，2e ，3e 的两两夹角为3π，若实数x ，y ，z 满足1231xe ye ze ++=，则下列结论中正确的是（ ）A. xB. x y +C. x y z ++D. xyz 【答案】AC 【解析】【分析】利用特例可判断BD 的正误，利用判别式的非负可判断A 的正误，利用基本不等式可判断C 的正误.【详解】由题设有()11111322i j e e i j ⋅=××=≤<≤ .因为1231xe ye ze ++= ，故()22131xe ye ze ++= ， 整理得到：2221213232221x y z xye e xze e yze e +++⋅+⋅+⋅= ，所以2221x y z xy xz yz +++++=，整理得到()22210y z x y x z xz +++++−=， 故()()2221410z x z x zx ∆=+−++−≥即2232340z zx x ++−≤，所以()222412340x x ∆=−−≥，所以232x ≤即x ≤≤，当x =时，3x z =−，2x z y +=−故x A 正确.取1,0x y z ===，此时满足1231xe ye ze ++=，但1x y +=>，故B 错误. 因为222222,,222x y x z y z xy xz yz +++≤≤≤， 故222xy yz xz x y z ++≤++，当且仅当xy z ==时等号成立.所以()2222333222xy yz xz x y z xy yz xz x y z ++≤+++++=++，故()()222221222113x y z x y z xy yz xy xy yz zx x y z ++=+++++=+++≤+++， 故()232x y z ++≤，故x y z ++≤，当且仅当x y z === 故x y z ++C 正确. 对于D ，取41,5x y ==−，z =，则2224141255x y z xy xz yz +++++−+， 而此时xyz =，而((2212144186256+−×+×11580==>，故xyz =>，故D 错误. 故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题中单位向量1e ，2e ，3e 两两夹角为3π，故它们可构成空间向量的一个基底，对于所得的多变量的恒等关系，可利用基本不等式转化，也可以将其中一个变量看成主变量，从而可判断方程有解的角度分析问题.三、填空题（每题5分，共20分）13. 2023年是全面贯彻党二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取______人. 【答案】10 【解析】【分析】根据高一年级教师所占比例抽取即可.的的的【详解】高一年级教师所占的比例为：8018072883=++，则高一年级应抽取的教师人数为：130103×=. 故答案为：10.14. 在平行六面体1111ABCD A B C D −中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===∠=∠=∠=°，则1AC =___________．【解析】【分析】利用空间向量基本定理，得到11AC AB AD AA =++，即可求出1AC =.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D −中，11AC AB BC CC =++.因为11,AD BC AA CC ==，所以11AC AB AD AA =++. 所以11AC AB AD AA =++====15. 设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,ab c ，已知120,23BAC c b ∠=°+=，点D 在边BC 上，2AD =，且32b BD c CD ⋅=⋅，则ABC 的面积为___________．【答案】【解析】【分析】一方面有1sin 2213sin 2ABD ADC AD BD ADBS BD c S DC bAD DC ADC ⋅∠===⋅∠△△，另一方面()()()1sin BADsin BAD sin BAD 21sin 120BAD sin 120BADsin 120BAD 2ABD ADCAD AB S AB c S AC b AD AC ×⋅∠∠∠==−∠−∠×⋅−∠ △△ 由此即可算出BAD ∠的正弦值，结合23c b +以及三角形面积公式即可求解.【详解】如下图所示：一方面：由32b BD c CD ⋅=⋅，得1sin 222,133sin 2ABD ADCAD BD ADB BD c S BD cCD b S DC b AD DC ADC ⋅∠====⋅∠△△． 另一方面：设()0120BADθθ∠=°<<°，则120DAC θ∠=°−，由()()1sin sin 21sin 120sin 1202ABDADCAD AB S c S b AD AC θθθθ×⋅=−×⋅− △△.. 结合以上两方面得()3sin 2sin 120θθ=°−，整理得tan θ=，则()sin 120θθ=°−=且注意到23c b +，即32bc +，所以ABC 的面积为()()1111sin sin 1202sin 2sin 1202222ABC S AD AB AD AC c b θθθθ=×⋅+×⋅−=×+×°− △32c b==+=故答案为：【点睛】关键点点睛:本题的关键在于发现1sin 21sin 2ABD ADC AD BD ADBS BDS DCAD DC ADC ⋅∠==⋅∠△△以及()()1sin BADsin BAD 21sin 120BAD sin 120BAD 2ABD ADC AD AB S c S b AD AC ×⋅∠∠=−∠×⋅−∠ △△，， 由此找到转换已知条件的桥梁，进而顺利求解.16. 如图，正四棱锥P -ABCD 的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点.若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F （可与端点重合），则四棱锥P -AEMF 的体积的取值范围是___________.【答案】8,19【解析】【分析】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC −中，棱SA ，SB ，SC 上取点1A ，1B ，1C ，则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC −−⋅⋅=⋅⋅，再设设PE x PB =，PFy PD=，分析可得p AEF V −，P MEF V −，P AFM V −，P AEM V −与x ，y 间的关系，再由换元法结合对勾函数的单调性求得答案．【详解】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC −中，棱SA ，SB ，SC 上取点1A ，1B ，1C ， 则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC−−⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角为θ，则11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC SB ASC V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC SB ASC θθ−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠; 再来解答本题：设PE x PB=，PF y PD =，184233P ABCD V −=××= , 则43P AEF P ABD V x y V xy −−=⋅⋅=，1223P MEF P BCD V x y V xy −−=⋅⋅⋅=，223P AFM P ACD y V V y −−=⋅=，223P AEM P ABC xV V x −−=⋅=， 22()3P AEMF P AEF P MEF P AFM P AEM V V V V V xy x y −−−−−∴=+=+==+， 则3x y xy +=，31yx y ∴=−， ∴010131x y yx y≤≤ ≤≤ =−，则112y ≤≤，22223()()3331331P AEMFy y V x y y y y −∴=+=+=⋅−−， 令31t y =−， 则22(1)11(2)3199y t t y t t +==++−， 1[2y ∈ ，1]，1[2t ∴∈，2]，当112t ≤<时，函数1y t t =+ 单调递减，当12t <≤时，函数1y t t=+ 单调递增， 故1y t t=+最小值为2，当1,22t =时，1y t t=+都取到最大值52 ， 则22(1)114(2)[31999y t t y t t +==++∈−，1]2（当且仅当1t =时，取最小值）， 282[319P AEMFy V y −∴=⋅∈−，1]， 故答案为：8[9，1]．四、解答题（共70分）17. 已知三条直线1:40l ax by ++=，()2:10l a x y b −++=，3:230l x y ++=． （1）若12l l ⊥，且1l 过点()1,1−，求a 、b 的值； （2）若123////l l l ，求a 、b 的值．【答案】（1）22a b = =− 或26a b =− =−；（2）3,32a b == 【解析】【分析】（1a 、b 的方程组，即可得解； （2）由直线平行的特征求解a ，b ，再代入验证即可. 【小问1详解】因为1:40l ax by ++=，()2:10l a x y b −++=，且12l l ⊥，所以()10a a b −+=， 又直线1l 过点()1,1−，所以40a b −++=，所以4b a =−，所以()()140a a a −+−=，所以22a b = =− 或26a b =− =− ；【小问2详解】若123////l l l ，则()2211a b a = −= ，解得332b a ==，当332b a ==时，13:3402l x y ++=，也即1:3680l x y ++=， 21:302l x y ++=，也即2:260l x y ++=，满足 123////l l l ， 所以若123////l l l ，3,32a b ==. 18. （1）写出点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式并证明. （2）证明：点()2,2A −到直线()()()()212230m x m y m m +−+−+=∈R 的距离d恒小于 【答案】（1）答案见解析，证明见解析 【解析】【分析】（1）根据等面积法即可求解，（2）根据点到直线距离公式即可结合不等式求解.【详解】（1）设0A ≠，0B ≠，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点10(),R x y ；作y 轴的平行线，交l 于点0(S x ,2)y ，由1100200A x By C Ax By C ++=++= 得0012,By C Ax Cx y A B −−−−==． 0001||||||Ax By CPR x x A++∴=−= ，0002||||||Ax By C PS y y B ++=−= ，00||||RS Ax By C =++由三角形面积公式可知：||||||d RS PR PS =∴d = 可证明，当0A =时，Cy B =−,点()00,P x y 到直线的距离为0y B C +=， 同理0B =时也适用．的证明：∵2m +与1m +不同时为0， ∴由点到直线的距离公式得d当302m+≠时，d <， 当m +=302时，0d =<综上，对任意的R m ∈，点()2,2A −到直线的距离d 恒小于．19. ,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为12,乙队每位球员罚进点球的概率均为23.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【答案】（1）12 （2）49【解析】【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球. (2) 甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. 【小问1详解】设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为A ,未罚进点球的事件为A ;乙队球员罚进点球的事件为B ,未罚进点球的事件为B .设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C ,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,则()()()()()1212111112323632P C P A P B P A P B =×+×=−×−+×=+= ,故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为12. 【小问2详解】因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为()()()()()()()P A P B P A P B P P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121212121111111112323232318189=−××−×−+−×−×−×=+= . ②比分为2:2的概率为()()()()121211123239P A P B P A P B ⋅⋅⋅=−××−×= . ③比分为3:2的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121221223239=××−××= . 综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为11249999++=. 20. 如图，四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，梯形ABCD 满足AB CD ∥，90BCD ∠=°，且2PD AD DC ===，3AB =，E 为PC 中点，13PF PB = ，2PG GA =.（1）求证：D ，E ，F ，G 四点共面； （2）求二面角F DE P −−的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标即可得到DE ，DF ，DG，令DF xDE yDG =+ ，依题意得到方程组，解得x 、y ，即可得证；（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【小问1详解】证明：以点C 为坐标原点，向量CD ､CB ､DP方向分别为x ､y ､z 轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D ，()2,0,2P ，()0,0,0C ，()B，()A ，()1,0,1E ，所以()2PB =−− ，因为13PF PB = ，设(),,F a b c ，则()2,,2PF a b c =−− ，所以()()3212,,2a b c −−−−=，解得4343a b c ===4433F，同理可得8233G ， ∴()1,0,1 DE =−，2433DF =−，2233DG=，令DF xDE yDG =+，则()2422221,0,1333333x y x y y x y −=−+=−+++ ，∴22334233x y y x y −=−+ = =+，∴112x y == ，∴12DF DE DG =+ ，∴D ､E ､F ､G 四点共面. 【小问2详解】解：由（1）可知()2,0,0D ，()1,0,1E，4433F ，∴()1,0,1DE =−，2433DF=−.设平面DEF 的一个法向量为),,n x y z = ，则00n DE n DF ⋅= ⋅=，即024033x z x y z −+=−++=，则x y z y ==，令2y =，则(2,n . 取平面PDE的一个法向量为()0CB =，则cos ,n CB nCB n CB⋅==sin ,n CB ， ∴二面角F DE P −−21. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，AF ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，22AB AF DE ===，M 是线段BF 上一动点，过点M 和直线AD 的平面α与FC ，EC 分别交于的P ，Q 两点.（1）若M 为BF 的中点，请在图中作出线段PQ ，并说明P ，Q 的位置及作法理由；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线AC 与平面αMB 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）作图见解析，P 为FC 的中点，Q 为EC 靠近点E 的三等分点，理由见解析（2）存在，MB =【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得到AD MP ∥，再结合M 为FB 的中点即可得到P 为FC 的中点，根据面面平行的性质得到DQ 平分EDC ∠，再根据角平分线的性质即可得到Q 为EC 的三等分点； （2）设M 的坐标为()22,0,2λλ−，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可求解.【小问1详解】如图，取P 为FC 的中点，Q 为EC 靠近点E 的三等分点.理由如下：由四边形ABCD 为正方形得，AD BC ∥，AB CD ，又BC ⊂平面FBC ，AD ⊄平面FBC ，所以AD ∥平面FBC .又平面ADM 平面FBC MP =，M 为FB 的中点，得AD MP ∥，且P 为FC 的中点. 因为AF DE ∥，AB CD ，,CD DE ⊂平面DCE ，,AB AF ⊄平面DCE ，所以,AB AF ∥平面DCE ，又AF AB A ∩=，,AB AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面DCE ，平面ADM 平面DCE DQ =，AM 平分FAB ∠，得DQ 平分EDC ∠，又12ED DC =，得到Q 为EC 的三等分点，且2QC EQ =，从而作出线段PQ . 【小问2详解】由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,0,2F ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，于是()2,0,2BF =− ，()0,2,0AD = ，()2,2,0AC = ，设()01BMBF λλ=<≤ ，则M 的坐标为()22,0,2λλ−. 设平面DAM 的法向量为(),,m x y z = ，则由0,0,m AM m AD ⋅= ⋅=得()2220,20,x z y λλ −+= = 令1x =，得平面APQ 的一个法向量为11,0,1m λ =−. 设直线AC 与平面α所成角为θ，则sin cos ,m AC m AC m ACθ⋅== ， 假设存在点M 使得直线AC 与平面α则有m AC m AC ⋅= ，解得13λ=，MB =. 所以线段BF 上存在点M ，位于靠近点B 的三等分点处，使得直线AC 与平面α22. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP方向释放机器人甲，同时在A 处按AQ 方向释放机器人乙，设机器人乙在M 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点M 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知6AB =米，E 为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ（0πθ<<），AQ 与AB 的夹角为α（π02α<<）．（1）若两机器人运动方向的夹角为π3，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍．（i ）若π3θ=，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求sin α． （ii ）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度α使机器人乙挑战成功？【答案】（1）6；（2）（i ；（ii ）AD 至少为2米. 【解析】【分析】（1）用余弦定理列方程，结合基本不等式求得6MA ME +≤，也即两机器人运动路程和的最大值.（2）（i ）利用正弦定理求得sin α；（ii ）设EM x =，利用余弦定理求得cos θ，求得sin x θ的最大值，由此求得AC 的最小值.【详解】（1）如图，在AEM △中由余弦定理得，2222πcos 93AE MA ME MA ME =+−⋅=，所以()2293932MA ME MA ME MA ME + +=+⋅≤+× 所以6MA ME +≤，（当且仅当3MA ME ==时等号成立）故两机器人运动路程和的最大值为6（2）（i ）在AEM △中由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故2AM EM =， 由正弦定理可得()sin πsin AM EM θα=− 所以()11sin sin 2sin ππsin 23EM AM θθα====− （ii ）设EM x =，则22AM EM x ==，()1,3x ∈由余弦定理可得()()222323cos 2322x x x x x πθ+−−==−××， 所以3cos 22x xθ=− 所以sin x θ 由题意得sin AD x θ≥对任意()1,3x ∈恒成立，故()max sin 2AD x θ≥=，当且仅当x = 答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为2米，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲．【点睛】正弦定理、余弦定理是解题的重要数学知识，二次函数最值的求法在本题中是重要的方法.。
《2011年武汉外国语学校数学招生试题(模拟一)答案》摘要：2011年武汉外国语学校数学招生试题，\o\ac(○,2)：0=0+0+0，3=2+1+0，4=2+2+0，5=2+2+1 此情况只出现1次平局，的最小值为1+2+3+4=10，此时S=11，的最大值为6+7+8+9=30，此时S=15，一共5种可能填法2011年武汉外国语学校数学招生试题（模拟一参考答案）计算【考点】复杂的四则混合运算——细心【答案】（1）、4；（2）、183（3）、（4）、2、【考点】找规律——常考题型【简析】由图可知，每两层，白球比黑球多2个，因此，把两层看做一个周期白球比黑球多2003颗，，所以此情况在第1002个周期内发生，即层又在1002周期内，白珠比黑珠多1，即在第2004层得倒数第二列；由等差数列，第2004层有白珠，倒数第二列为4006列。
【答案】2004,40063、【考点】涉及分数的简单应用题【简析】设去年参加兴趣小组的有a人，则今年有人；去年有女生人，今年有女生所以今年参加的女生比去年多了【答案】50%4、【考点】周期问题【简析】不妨设正方形边长为3米，甲的速度为1米/秒，则乙的速度为5米/秒，由图可知，甲乙相聚六次一个轮回，因此周期为6转化为周期问题：，整除，即2010次相遇在AB上。
【答案】 AB5、【考点】工程问题【简析】第一种情况：甲乙丙的顺序，若干个轮次最后一天甲做；乙丙甲的顺序，若干个轮次乙做一天，丙做半天；丙甲乙的顺序，若干个轮次丙做一天，甲做天。
甲每天做，所以三人若干个轮次做。
而甲天能做，所以丙每天做。
又丙半天可以做，所以乙的效率是。
这样三人一轮次共做，若干轮次共做，不是整数天，不符合题意。
第二种情况：甲乙丙的顺序，若干个轮次最后甲乙各做一天；乙丙甲的顺序，若干个轮次乙丙做一天，甲做半天；丙甲乙的顺序，若干个轮次丙甲做一天，乙做天从前两种情况中得出丙相当于甲做半天，即丙效率为。
从第一和第三两种情况中得出，丙一天，乙做天，所以乙效率为。
湖北省武汉外国语学校2020届高三模拟（文科）数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|3,{|02}xM y y N x x ===<≤,则M N =（ ）A. {|02}x x <<B. {|02}x x <≤C. {|2}x x ≤D.{|0}x x >【答案】B 【解析】 【分析】求出M 中y 的范围确定出M ，找出M 与N 的交集即可． 【详解】{}|3{|0},{|02}x M y y y y N x x ===>=<≤{|02}M N x x =<≤∴.故选B ．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.设复数z 满足(1)2(13)z i i -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由(1)2(13)z i i -=+得2(13)1i z i+=-，然后对其化简即可.详解】由(1)2(13)z i i -=+，得2(13)2(13)(1)13(31)i i i z i +++===.由于z 的实部小于0，虚部大于0，故z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义，较简单. 3.据统计，我国2012～2017年全国二氧化硫排放量如下表：则以下结论中错误的是( ) A. 二氧化硫排放量逐年下降B. 2016年二氧化硫减排效果最为显著C. 2016年二氧化硫减排量比2013年至2015年二氧化硫减排量的总和大D. 2017年二氧化硫减排量比2016年二氧化硫减排量有所增加 【答案】 D 【解析】 【分析】由统计表中数据易得二氧化硫的排放量逐年下降，2013～2017年每年的减排量分别为73.71，69.502，115.301，756.255，227.4664.【详解】由统计表中数据易得二氧化硫的排放量逐年下降，A 选项正确；由表中数据易得2013～2017年每年的减排量分别为73.71，69.502，115.301，756.255，227.4664，则2016年二氧化硫的减排量最大，超过2013年至2015年减排量的总和，其减排效果最为显著，故选项B ，C 正确，选项D 错误. 故选：D .【点睛】本题考查的是统计的相关知识，较简单.4.已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =-.若()a b b μ-⊥，则实数μ的值为( )A.85B. 85-C. 38D. 38-【答案】B 【解析】 【分析】先计算出(32,2)a b μμμ-=--+，然后由()a b b μ-⊥得2(32)(2)(1)0μμ--++⋅-=，即可求出μ【详解】由题意知(32,2)a b μμμ-=--+若()a b b μ-⊥，则2(32)(2)(1)0μμ--++⋅-=， 化简得85μ-=，解得85μ=-. 故选：B【点睛】本题考查的是向量坐标形式下的计算，较简单, 5.执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（ ）A. 30-B. 0C. 30D. 60【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的程序框图，模拟运行，分k 为奇数和偶数讨论，确定m 的正负，依据数列求和即可得到答案．【详解】因为当k 为奇数时，cos 1k π=-； 当k 为偶数时，cos 1k π=，所以输出a 的值为12346030-+-+-+=.故选C .【点睛】本题考查了程序框图的应用，考查了条件结构和循环结构的知识点．本题解题的时候要特别注意k 的奇偶性，也就是m 的正负．属于基础题．6.设2120202018112019,log,log 20192019a b c -===，则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B. c a b <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】分别求出,,a b c 对应的范围即可【详解】由题意易知01a <<，2018log 20191b =>，20201log 02019c =<，所以c a b <<. 故选：B【点睛】本题考查的是比较指数幂和对数的大小，较简单.7.数学发展史上出现过许多关于圆周率π的含有创意的求法，如著名的蒲丰实验.受其启发，我们也可以通过下面的实验来估计π的值：在平面直角坐标系内，记曲线1y y x ==-分别与x 轴围成的区域为M ，N ，将1000颗黄豆丢入区域M 中，若在区域N 内恰有630颗黄豆，则由此估计圆周率π的值（保留3位有效数字）为( ) A. 3.13 B. 3.14C. 3.17D. 3.19【答案】C 【解析】 【分析】首先分别求出区域M 和区域N 的面积，然后利用几何概型的概率的计算公式计算即可.【详解】曲线1y y x ==-的图象如下：所以区域M 的面积为2π，区域N 的面积为1， 所以163010002π≈，所以 3.17π≈.故选：C【点睛】本题考查的是几何概型的应用，较简单. 8.函数()g x 的图象可看作是将函数ln |1|()11x f x x x -=+--的图象向左平移一个单位长度而得到的，则函数()g x 的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数平移以及变化规律，求得()g x 的解析式进而得到()g x 为奇函数，再逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】由已知可得ln ||()(1)x g x f x x x=+=+， 显然()()g x g x -=-，故()g x 为奇函数， 其图象关于原点对称，排除A ；当x 趋向于正无穷大时，()g x 趋向于正无穷大，排除D ；(1)10g =>，排除B ，故选C ．【点睛】考查函数的图象，考查数学直观，逻辑推理的数学素养，属于基础题．9.已知实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则1273y x z ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A.13B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，令3u x y =-，则3127333yx x y u z -⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，由图象可得当12x y =⎧⎨=⎩时z 取得最小值. 【详解】作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.令3u x y =-，则3127333yx x y u z -⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭由指数函数的单调性可知，当u 取得最小值时，目标函数z 取得最小值. 平移直线3y x u =-，可知当其经过可行域内的点A 时，u 取得最小值. 联立250,2x y y +-=⎧⎨=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩即(1,2)A ，则min 3121u =⨯-=，故1min 33z ==.故选：D【点睛】本题考查的是线性规划及指数函数的知识，属于基础题. 10.如图，函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上一个周期内的A ，B 两点，满足()()()01A B f x f x m m =-=<<.若2A B x x π-=，要得到函数()f x 的图象，则需将函数sin y x ω=的图象（ ）A. 向左移动3π个单位 B. 向右移动3π个单位 C. 向左移动6π个单位 D. 向右移动6π个单位 【答案】C 【解析】 【分析】利用()()A B f x f x =-和诱导公式构建等式关系，得到A x 和B x 的关系，再利用2A B x x π-=，解出ω，最后由三角函数图象的变换规律得到结果. 【详解】由()()A B f x f x =-和()sin sin παα+=-， 得sin sin sin 333AA B x x x πππωωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以33A B x x ππωπω++=+，得()B A x x ωπ-=，由图象B A x x >，所以2B A x x π-=，解得2ω=，所以()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故需要将sin 2y x =向左移动6π个单位得到得到函数()f x 的图象. 故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数的平移变换，注意平移不包括平移x 的系数，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.11.设椭圆()2211221:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222222:10x y C a a b-=>有公共焦点，过它们的右焦点F 作x 轴的垂线与曲线1C ，2C 在第一象限分别交于点M ，N ，若12OMN OFMSS=（O 为坐标原点），则1C 与2C 的离心率之比为（ ）A.34B.23C.12D.13【答案】B 【解析】 【分析】由面积比可得23FMFN =，转化为纵坐标之比，即可得2123a a =，写出离心率之比即可, 【详解】设右焦点为(),0F c ，则2222212c a b a b =-=+.依题意21,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,b N c a ⎛⎫⎪⎝⎭，12a a >，若12OMN OFMSS=， 则23FM FN=， 即222123b b a a ⋅=⋅， 即2123a a =，所以122123e a e a ==. 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的标准方程和几何性质，属于中档题.12.已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为433π，则该三棱柱的高为( ) A.32B. 3C. 4D.52【答案】B 【解析】 【分析】设C ，B 分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC ，则三棱柱外接球的球心为BC 的中点O ，设三棱柱外接球的半径为R ，由24343R ππ=求出R ，然后利用22R OA OB AB ==+算出OB 即可.【详解】由题意易知该三棱柱是底面边长为2的正三棱柱. 设C ，B 分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC ， 则三棱柱外接球的球心为BC 的中点O ，如图.设三棱柱外接球的半径为R .∵三棱柱的外接球的表面积为433π，∴24343R ππ=， ∴4312R =.又22222343312R OA OB AB OB ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭∴32OB =，∴该三棱柱的高为23BC OB ==.故选：B【点睛】本题考查的是几何体的外接球的知识，找出球心的位置是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线3()21f x x x =--在点(0,(0))f 处的切线在x 轴上的截距为___________.【答案】1- 【解析】 【分析】算出(0)1f '=-和(0)1f =-，然后求出切线方程即可. 【详解】由3()21f x x x =--得2()61f x x '=-，所以曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为(0)1f '=-，又(0)1f =-， 所以曲线()f x 在点(0, (0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--，即10x y ++=， 所以切线在x 轴上的截距为1- 故答案为：1-【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单.14.在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos )cos 0a C c A --=，则角A 的大小为_________. 【答案】4π 【解析】 【分析】由cos )cos 0a C c A --=得sin cos sin cos cos A C C A B A +=，即sin cos B B A =，然后即可求出答案.【详解】由cos )cos 0a C c A --=及正弦定理得：sin cos sin cos cos A C C A B A +=，即sin cos B B A =.∵在ABC 中，sin 0B ≠，∴cos A =()0,A π∈，∴4A π=. 故答案为：4π【点睛】本题考查的是利用正弦定理进行边角互化及三角函数的和差公式，较为典型.15.已知函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，且满足0x >时，1ln ()()x f x f x x'⋅<-则不等式(2020)()0x f x ->的解集为_________. 【答案】()0,2020 【解析】 【分析】设()ln ()g x x f x =⋅,利用导数得出其单调性，然后得出当01x <<时，()0>g x ，当1x >时，()0<g x ，进而得出当0x >时，()0f x <，再结合()f x 的奇偶性即可解出答案.【详解】设()ln ()g x x f x =⋅，则1()()ln ()g x f x x f x x''=⋅+⋅. 因为当0x >时，1ln ()()x f x f x x'⋅<-，所以当0x >时，函数()g x 单调递减. 因为(1)0g =，所以当01x <<时，()0>g x ，当1x >时，()0<g x . 因为当01x <<时，ln 0x <，当1x >时，ln 0x >， 所以当0x >且1x ≠时，()0f x <，又1(1)ln1(1)1f f '⋅<-，所以(1)0f <， 所以当0x >时，()0f x <.又()f x 为奇函数，所以当0x <时，()0f x >，所以不等式(2020)()0x f x ->可化为020200x x <⎧⎨->⎩或020200x x >⎧⎨-<⎩解得02020x <<，所以不等式的解集为(0,2020). 故答案为：()0,2020【点睛】本题考查的是利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造出函数是解题的关键，属于较难题.16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，准线为l ．过点F 作倾斜角为120︒的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的标准方程为__________． 【答案】22y x = 【解析】 【分析】设出直线AF 的方程，与抛物线方程联立，消去x ，解方程求得p 的值，再写出抛物线C 的标准方程．【详解】由题得直线AF的方程为)2p y x =-，从而()2pA -；由22)2y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x ，2220py +=，解得y p或y =（舍去），从而1()6B p p ； 由4||3AB =43， 解得1p =，所以抛物线C 的标准方程为22y x =．故答案为22y x =．【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3112S S -=，212314a S +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列1b ，21b b -，32b b -，…，1n n b b --是首项为1，公比为2的等比数列，记nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）2nn a =.（Ⅱ）112nn T n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】第一问先列出关于1a 与q 的方程组求出1a 与q ，再求出n a ；第二问先求出n b ，再求出n c ，然后利用分组求和法即可求其前n 项和n T ．【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由已知得0q >，由题意得21111123214a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，所以275180q q --=，解得2q，所以12a =，因此数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（Ⅱ）因为()()121121nn n n b b b b b b -=+-+⋅⋅⋅+-=-，所以211122nn n n c -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以数列{}n c 的前n 项和2111111222n n T =-+-+⋅⋅⋅+-11122111212nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=+- ⎪⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和公式及分组求和法，属中等难度题． 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN 平面PCD ；（Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）93【解析】 【分析】第一问先证明BM ∥平面PCD ，MN ∥平面PCD ，再根据面面平行的判定定理证明平面BMN平面PCD ．第二问利用等积法可得13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅，分别求出PMN ∆的面积和BM 的长度即可解决问题．【详解】（Ⅰ）连接BD ，∴AB AD =，60BAD ∠=，∴ABD ∆为正三角形. ∵M 为AD 的中点，∴BM AD ⊥.∵AD CD ⊥，,CD BM ⊂平面ABCD ，∴BMCD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MNPD .又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ∥平面PCD . 又,BM MN ⊂平面BMN ，BM MN M =，∴平面BMN平面PCD .（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证BM AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，∴BM ⊥平面PAD . 又6AD =，60BAD ∠=，∴33BM =在PAD ∆中，∵PA PD =，PA PD ⊥，∴2322PA PD AD ===∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点， ∴PMN ∆的面积(211194424PMN PAD S S ∆∆==⨯⨯=， ∴三棱锥P BMN -的体积13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅1934=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，且1F是圆2270x y +-+=的圆心，点H 的坐标为(0,)b ，且12HF F的面积为.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线2y x t =+与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得直线HM 与HN 的斜率之和为1？若存在，求此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2219x y +=；（2）存在，23y x =+. 【解析】 【分析】（1）首先得出圆2270x y +-+=的圆心坐标，即可得c =，然后由122b c ⋅⋅=b 即可 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线和椭圆的方程得212123699,3737t t x x x x -+=-=，然后代入()121212121212124(1)112121=HM HN x x t x x y y x t x t k k x x x x x x +-+--+-+-+=+=+，即可求出t【详解】（1）由2270x y +-+=，可得22(1x y -+=，则圆心坐标为0)，即1F ，∴半焦距c =∵12HF F的面积为，∴122b c ⋅⋅= ∴1b =，∴2229a b c =+=，∴椭圆C 的方程为2219x y +=.（2）假设存在这样的直线满足题设条件，设()11,M x y ，()22,N x y .联立222,19y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()223736910x tx t ++-=， ∴()22(36)437910t t ∆=-⨯⨯->，解得t <<，212123699,3737t t x x x x -+=-=. 由（1）知，(0,1)H ，则当1t =时，直线2y x t =+过点H ，不合题意， 故1t ≠. 令12121212112121HM HN y y x t x t k k x x x x --+-+-+=+=+()12122124(1)4(1)=411x x t x x t t x x t +-+-=-=-解得3t =因此所求直线方程为23y x =+【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.20.当今时代，手机功能越来越丰富，这给我们的生活带来了很多的便利，然而过度玩手机已成为一个严重的社会问题，特别是在校学生过度玩手机，已严重影响了其身心发展和学业的进步.某校为了解学生使用手机的情况，从全校学生中随机抽取了100名学生，对他们每天使用手机的时间进行了统计，得到如下的统计表：（1）以样本估计总体，若在该校中任取一名学生，求该生使用手机时间不低于1小时的概率；（2）对样本中使用手机时间不低于1.5小时的学生，采用分层抽样的方法抽取6人，再在这6人中随机抽.取2人，求抽取的2人使用手机时间均低于2小时的概率；（3）经过进一步统计分析发现，使用手机时间低于1小时的学生中，有25人综合素质考核为“优”，使用手机时间不低于1小时的学生中，有20人综合素质考核为“优”，问：是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为综合素质考核为“优”与使用手机的时间有关？附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++.()2P K k>0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）0.55；（2）15；（3）能.【解析】【分析】（1）样本中使用手机时间不低于1小时的频率为2515105100+++（2）由统计表知，使用手机时间不低于1.5小时的学生共30人，采取分层抽样的方法抽取6人，则在时间区间[1.5,2)内的有3人，在时间区间[2,2.5)内的有2人，在时间区间[2.5,3]的有1人，然后列出所有的基本事件和满足所求事件的基本事件即可（3）列出22⨯列联表，然后算出2K即可【详解】（1）样本中使用手机时间不低于1小时的频率为25151050.55100+++=，则在该校学生中任取一人，其使用手机时间不低于1小时的概率是0.55. （2）由统计表知，使用手机时间不低于1.5小时的学生共30人，采取分层抽样的方法抽取6人，则在时间区间[1.5,2)内的有3人，记作1，2，3， 在时间区间[2,2.5)内的有2人，记作4，5，在时间区间[2.5,3]的有1人，记作6 从这6人中抽取2人，基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)，共15个，其中玩手机的时间均低于2小时的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3)，共3个， 故所求概率为31155=. （3）统计结果的22⨯列联表为：则22100(25352020) 3.683 2.70645554555K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为综合素质考核为“优”与使用手机的时间有关.【点睛】本题考查的知识点有：分层抽样、古典概型及独立性检验，属于基础题. 21.已知函数2()ln 3()f x x ax x a R =+-∈.（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极值； （2）若1a =，对于任意12,[1,10]x x ∈，当12x x <时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）当1x =时，()f x 极小值为2-，当12x =时，()f x 极大值为5ln 24--；（2）(,1710]-∞-.【解析】 【分析】（1）由()01f '=求出a ，然后利用导数研究出()f x 的单调性即可 （2）不等式()()()211212m x x f x f x x x -->可变形为()()1212m mf x f x x x ->-，由12,[1,10]x x ∈，且12x x <，得函数()my f x x=-在[1,10]上单调递减，令2()()ln 3,[1,10]m m h x f x x x x x x x=-=+--∈，则21()230mh x x x x '=+-+≤在[1,10]x ∈上恒成立，即3223m x x x -+-在[1,10]x ∈上恒成立，然后利用导数求出右边的最小值即可.【详解】（1）由题意得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()23f x ax x'=+- 由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y =-，得(1)1230f a '=+-=，解得1a =.此时2()ln 3f x x x x =+-，21231()23x x f x x x x-+'=+-=.令()0f x '=，得1x =或12x =. 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 则当1x =时，函数()f x 取得极小值，为(1)ln1132f =+-=-， 当12x =时，函数()f x 取得极大值，为11135ln ln 222424f ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭.（2）由1a =得2()ln 3f x x x x =+-.不等式()()()211212m x x f x f x x x -->可变形为()()1212m mf x f x x x ->-，即()()1212m m f x f x x x ->-. 因为12,[1,10]x x ∈，且12x x <， 所以函数()my f x x=-在[1,10]上单调递减. 令2()()ln 3,[1,10]m mh x f x x x x x x x=-=+--∈， 则21()230mh x x x x'=+-+≤在[1,10]x ∈上恒成立， 即3223m x x x -+-在[1,10]x ∈上恒成立. 设32()23F x x x x =-+-，则2211()661622F x x x x ⎛⎫'=-+-=--+ ⎪⎝⎭.因为当[1,10]x ∈时，()0F x '<， 所以函数()F x 在[1,10]上单调递减，所以32min ()(10)210310101710F x F ==-⨯+⨯-=-，所以1710m -，即实数m 的取值范围为(,1710]-∞-.【点睛】本题考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的极值及利用导数解决恒成立问题，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4--4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为28cos 4sin 16ρρθρθ=+-.（1）求曲线1C 的普通方程和圆2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为曲线1C 上的点，直线l 经过圆2C 的圆心，且倾斜角为34π，求点P 到直线l 的最大距离. 【答案】（1）22143x y +=，22(4)(2)4x y -+-=；（2）. 【解析】【分析】（1）根据相关知识直接转化即可（2）首先得出直线l 的方程为60x y +-=，设(2cos )P αα，点P 到直线l的距离d ==，然后即可求出答案. 【详解】（1）由2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=， 故曲线1C 的普通方程为22143x y +=. 由28cos 4sin 16ρρθρθ=+-及cos ,sin x y ρθρθ==，可得228416x y x y +=+-， 所以圆2C 的直角坐标方程为22(4)(2)4x y -+-=.（2）由（1）可知，圆2C 的圆心为(4,2).因为直线l 经过圆2C 的圆心，且倾斜角为34π， 所以直线l 的方程为2(4)y x -=--，即60x y +-=.由点P 为曲线1C上的点可设(2cos )P αα，则点P 到直线l的距离d ==（其中tan ϕ=），所以max 2d ==， 即点P 到直线l的最大距离为2. 【点睛】本题考查的是参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化即利用参数方程解决最值问题，属于基础题.选修4--5：不等式选讲23.已知函数()|2||2|(0)f x x x a a =++->.（1）当2a =时，求函数()f x 的图象与直线6y =所围成图形的面积；（2）求不等式组()3x a f x a ≥⎧⎨≥⎩的解集. 【答案】（1）6；（2）当2a 时，不等式的解集为42,3a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；当02a <<时，不等式的解集为[,)a +∞.【解析】【分析】（1）当2a =时，3,1()2224,213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪=++-=--<<⎨⎪--⎩，然后画出图象即可求出答案 （2）当x a ≥时，()32f x x a =-+，由()3≥f x a 得423a x -≥，然后分2a ≥和02a <<两种情况讨论.【详解】（1）当2a =时，3,1()2224,213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪=++-=--<<⎨⎪--⎩， 在同一直角坐标系中作出函数()y f x =的图象与直线6y =如图所示.由图可知，函数()f x 的图象与直线6y =所围成图形的面积为14362⨯⨯=. （2）因为0a >，所以当x a ≥时，()32f x x a =-+，所以当x a ≥时，()3≥f x a ，即323x a a -+≥，解得423a x -≥. ①当2a ≥时，423a a -≥，此时不等式()3≥f x a 的解集为42,3a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ②当02a <<时，423a a -<，此时不等式()3≥f x a 的解集为[,)a +∞. 【点睛】本题主要考查的是绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.。
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校初三数学第一学期期末试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是( ) A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．确定性事件3．已知O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与O 的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断4．将一元二次方程28100x x −+=通过配方转化为2()x a b +=的形式，下列结果中正确的是( ) A ．2(4)6x −=B ．2(8)6x −=C ．2(4)6x −=−D ．2(8)54x −=5．若一元二次方程22(23)0x m x m −++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，且1212x x x x +=，则m 的值是( ) A ．1−B ．3C ．3或1−D ．3−或16．在一个不透明的口袋中，装有除颜色外其他都相同的4个白球和n 个黄球．某同学进行如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色，放回、摇匀，为一次摸球试验．记录摸球的次数与摸出白球的次数的列表如下： 摸球试验的次数 100 200 500 1000 摸出白球的次数2139102199根据列表可以估计出n 的值为( ) A ．4B ．16C ．20D ．247．如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为( )A ．4.5mB ．5mC ．5.5mD ．6m8．已知1(1,)y −，2(0,)y ，3(3,)y 是抛物线24(0)y ax ax c a =−+>上的点，则( ) A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<9．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30︒后得到ADE ∆，点B 经过的路径为BD ，则图中阴影部分的面积为( ) A ．512π B ．43πC ．34πD ．2512π 10．无论k 为何值，直线22y kx k =−+与抛物线223y ax ax a =−−总有公共点，则a 的取值范围是( ) A ．0a >B ．23a −C ．23a −或0a > D ．23a −二、填空题（每题3分，共18分）11．若点(,7)A m 与点(4,)B n −关于原点成中心对称，则m n += ．12．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．13．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x = ．14．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着原点旋转180︒，所得抛物线的解析式是 ．15．如图，直线(0)y x m m =−+>与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，C 是AB 的中点，点D 在直线2y =−上，以CD 为直径的圆与直线AB 的另一交点为E ，交y 轴于点F ，G ，已知62CE DE +=，25FG =，则CD 的长是 ．16．如图，已知二次函数223y x x =−++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，P 点为该图象在第一象限内的一点，过点P 作直线BC 的平行线，交x 轴于点M ．若点P 从点C 出发，沿着抛物线运动到点B ，则点M 经过的路程为 ． 三、解答题（共72分）17．已知关于x 的方程：240x x k −−=有两个不相等的实数根， （1）求实数k 的取值范围、（2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根．18．如图，在ABC ∆中，AB BC =，120ABC ∠=︒，点D 在边AC 上，且线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120︒能与BE 重合，点F 是ED 与AB 的交点． （1）求证：AE CD =；（2）若45DBC ∠=︒，求BFE ∠的度数．19．为庆祝党的二十大胜利召开，学校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A 、B 、C 、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列问题：等级 成绩()x 人数 A 90100xaB8090x < 25 C 7080x <20 D70x <5（1）表中a = ；D 等级对应的扇形圆心角为 度；（2）若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A 等级的学生共有 人；（3）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．20．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 与BC 交于点D ，DE AC ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ． （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若O 的半径为52，2BD =，求CE 的长． 21．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹；（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，AE BD ⊥于点E ，若CF BD ⊥于点F ，请用无刻度直尺在图1中作出符合题意的点F ；（2）已知ABC ∆每个顶点均在格点上，BAC α∠=，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转α，得到△AB C ''，过点C 作CH B C ''⊥于H ，请用无刻度直尺在图2中作出△AB C ''和符合题意的点H ，并直接写出CH 的长．22．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为h (m h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++≠． （1）c 的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时150a =−，910b =，求基准点K 的高度h ；②若150a =−时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为 ； （3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由．23．如图1，在正方形ABCD 中，M 、N 分别为边AB 、AD 上的点，连接CM 、CN ，且CM CN =． （1）求证：BMC DNC ∆≅∆；（2）如图2，若P 是边BC 上的点，且NP CM ⊥于O ，连接OA ，求证：2OM ON OA +=； （3）如图3，在满足（2）的条件下，过O 作OQ BC ⊥于Q ，若2AM BM =，求OQCD的值．24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，5OB =，点D 是此抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上C ，D 两点之间的距离是 ；（3）①点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ，求BCE ∆面积的最大值；②在①的条件下，当BCE ∆的面积最大时，P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ，探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（每题3分，共30分）1．解：A 、是中心对称图形，故本选项符合题意； B 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D 、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．2．解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件， 故选：C ． 3．解：O 的半径为6，圆心O 到直线l 的距离为5，56<，即d r <，∴直线l 与O 的位置关系是相交． 故选：B ．4．解：2810x x −=−，28166x x −+=，2(4)6x −=．故选：A ．5．解：关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m −++=的两个不相等的实数根，∴△22(23)41290m m m =+−=+>， 34m ∴>−， 1223x x m +=+，212x x m ⋅=，又1212x x x x +=⋅，223m m ∴+=， 解得：1m =−或3m =， 34m >−， 3m ∴=，故选：B ．6．解：通过大量重复试验后发现，摸到白球的频率稳定于0.2，∴40.24n=+， 解得：16n =． 故选：B ．7．解：设垂钓通道的宽度为x 米，则两块垂钓鱼塘可合成长为(1303)x −米、宽为(602)x −米的矩形， 根据题意得：(1303)(602)5750x x −−=， 整理得：2322010250x x −+=， 解得：1205603x =>（舍去），25x =． 即垂钓通道的宽度为5米． 故选：B ．8．解：抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 0a >，∴抛物线开口方向向上，∴当2x <时，y 随x 的增大而减小，3(3,)y 关于对称轴2x =的对称点为3(1,)y ， 101−<<， 321y y y ∴<<．故选：C ． 9．解：5AB =，3AC =，4BC =，ABC ∴∆为直角三角形，由题意得，AED ∆的面积ABC =∆的面积，由图形可知，阴影部分的面积AED =∆的面积+扇形ADB 的面积ABC −∆的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB 的面积23052536012ππ⨯==， 故选：D ．10．解：当0a =时，若0k =，直线2y =与直线0y =没有交点，不合题意． 当1a =时，二次函数为：223y x x =−−．由22223kx k x x −+=−−得：2(2)25x k x k −++−． △22(2)4(25)424k k k k =+−−=−+2(2)20k =−+．无论k 为何值，2(2)0k −，∴△0>．直线22y kx k =−+与抛物线223y ax ax a =−−总有公共点， 1a ∴=符合题意．故排除B ，D ．当1a =−时，二次函数为：223y x x =−++． 由22223kx k x x −==−++得：2(2)10x k x +−−=， △2(2)40k =−+>．∴直线22y kx k =−+与抛物线223y ax ax a =−−总有公共点． 1a ∴=−符合题意．故排除A ． 故选：C ．二、填空题（每题3分，共18分）11．解：点(,7)A m 与点(4,)B n −关于原点成中心对称， 4m ∴=，7n =−，3m n ∴+=−．故答案为：3−．12．解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2， 所以该小球停留在黑色区域的概率是29． 故答案为：29． 13．解：每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，列方程得：1(1)81x x x +++=， 22800x x +−=解得：110x =−（舍去），28x =．答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑． 故答案为：8．14．解：2223(1)2y x x x =++=++，抛物线223y x x =++的顶点坐标为(1,2)−，点(1,2)−关于原点的对称点为(1,2)−， 所以抛物线223y x x =++绕着原点旋转180︒，所得抛物线的解析式是2(1)2y x =−−−． 故答案为：2(1)2y x =−−−．15．解：如图，设CD 的中点为O '，延长BA 交直线2y =−于M ，直线2y =−交y 轴于P ，作CH OB ⊥于H ，连接O F '，作AJ DM ⊥于J ，O N FG '⊥于N ．CD 是O '的直径， 90CED ∴∠=︒，直线(0)y x m m =−+>与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，(,0)A m ∴，(0,)B m ， OA OB ∴=， 45OAB ∴∠=︒， //OA DM ，45EMD OAB ∴∠=∠=︒，90DEM ∠=︒， ED EM ∴=，2EC ED EC EM CM ∴+=+==JA DM ⊥， 90AJM ∴∠=︒，2AJ JM ∴==，22AM =， 2BC CA ∴==(8,0)A ∴．(0,8)B ，(4,4)C ，设(,2)D n −，则1(4)2O N n '=+，2211(4)622O F CD n '==−+，O N FG '⊥， 5FN ∴=在Rt △O FN '中，222211(5)(4)[(4)6]44n n ++=−+，解得1n =，22(14)635CD ∴=−+=故答案为3516．解：二次函数223(3)(1)y x x x x =−++=−−+，∴当0y =时，11x =−，23x =，当0x =时，3y =，∴点A 的坐标为(1,0)−，点B 的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)， 设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，330b k b =⎧⎨+=⎩，解得13k b =−⎧⎨=⎩， 即直线BC 的函数解析式为3y x =−+， //PM BC ，点P 在抛物线上且在第一象限，∴设点P 的坐标为2(,23)m m m −++， 设直线PM 的解析式为y x c =−+，223m m m c −++=−+， 解得233c m m =−++，∴直线PM 的解析式为233y x m m =−−++， 令223323x m m x x −−++=−++且△0=， 解得32m =， 此时直线PM 的解析式为214y x =−+，当0y =时214x =，∴点M 横坐标为最大值是214， ∴点M 经过的路程为：219(3)242−⨯=， 故答案为：92． 三、解答题（共72分）17．解：（1）关于x 的方程240x x k −−=有两个不相等的实数根，∴△224(4)41()0b ac k =−=−−⨯⨯−>， 解得：4k >−，k ∴的取值范围是4k >−；（2）设另一个根的值为a ，根据根与系数的关系得： 4541a −+=−=， 解得1a =−，即方程的另一个根为1−．18．（1）证明：线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120︒能与BE 重合，BD BE ∴=，120EBD ∠=︒，AB BC =，120ABC ∠=︒，120ABD DBC ABD ABE ∴∠+∠=∠+∠=︒，DBC ABE ∴∠=∠，()ABE CBD SAS ∴∆≅∆，AE CD ∴=；（2）解：由（1）知45DBC ABE ∠=∠=︒，BD BE =，120EBD ∠=︒， 1(180120)302BED BDE ∴∠=∠=︒−︒=︒， 180BFE BED ABE ∴∠=︒−∠−∠1803045105=︒−︒−︒=︒．19．解：（1）抽取的学生人数为：9025100360÷=（人)， 1002520550a ∴=−−−=，D 等级对应的扇形圆心角为：536018100︒⨯=︒． 故答案为：50，18；（2）根据题意得：501800900100⨯=（人)， 答：估计成绩为A 等级的学生共有900人；故答案为：900；（3）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁， 画树状图如图：共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，则甲、乙两人至少有1人被选中的概率是105126=． 20．（1）证明：连接OD ，AB AC=，ABC ACB∴∠=∠，OB OD=，ABC ODB∴∠=∠，ACB ODB∴∠=∠，//OD AC∴，DE AC⊥，DE OD∴⊥，即EF OD⊥，OD是O的半径，EF∴是O的切线；（2）解：连接AD，AB是O直径，AD BC∴⊥，DE AC⊥，ADC DEC∴∠=∠，C C∠=∠，CDE CAD∴∆∆∽，∴CD CE CA CD=，AB AC =，2DC DB ∴==，5AC AB ==， ∴252CE=，∴45CE =．21．解：（1）如图1，点F 即为所求；（2）如图2，线段CH 即为所求．根据画图可知：//CH AQ ，∴235CH=，65CH ∴=．22．解：（1）起跳台的高度OA 为66m ， (0,66)A ∴， 把(0,66)A 代入2y ax bx c =++得：66c =，故答案为：66；（2）①150a =−，910b =，219665010y x x ∴=−++，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ， 219757566215010y ∴=−⨯+⨯+=， ∴基准点K 的高度h 为21m ； ②150a =−， 216650y x bx ∴=−++， 运动员落地点要超过K 点，75x ∴=时，21y >，即217575662150b −⨯++>， 解得910b >， 故答案为：910b >； （3）他的落地点能超过K 点，理由如下： 运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ， ∴抛物线的顶点为(25,76)，设抛物线解析式为2(25)76y a x =−+， 把(0,66)代入得：266(025)76a =−+，解得2125a =−， ∴抛物线解析式为22(25)76125y x =−−+， 当75x =时，22(7525)7636125y =−⨯−+=， 3621>， ∴他的落地点能超过K 点． 23．（1）证明：四边形ABCD 是正方形， 90B D ∴∠=∠=︒，在Rt BMC ∆和Rt DNC ∆中，BC DC MC NC =⎧⎨=⎩， Rt BMC Rt DNC(HL)∴∆≅∆；（2）延长CM到H，使HM ON=，连接AH，NP CM⊥，90B∠=︒，90OPC PCO∴∠+∠=︒，90BMC PCO∠+∠=︒，OPC BMC∴∠=∠，//AD BC，ANP NPC BMC AMH∴∠=∠=∠=∠，BCM DCN∆≅∆，BM DN∴=，AB BM AD DN∴−=−，AM AN∴=，()AHM AON SAS∴∆≅∆，HAM NAO∴∠=∠，AH AO=，90BAO NAO∠+∠=︒，90HAM BAO∴∠+∠=︒，AHO∴∆是等腰直角三角形，根据勾股定理得2OH OM ON OA=+=；（3）解：延长QO交AD于点F，2AM BM=，3AB BC BM∴==，//OQ AB，∴13 OQ BMQC BC==，设OQ a =，则3QC a =，OQ BC ⊥，NP CM ⊥，OPQ COQ ∴∆∆∽， ∴13PQ OQ OQ QC ==， 设BM b =，则3AB b =，2AM AN b ==， 3FO FQ OQ BA OQ b a ∴=−=−=−，2(33)3FN AN AF AN QB b b a a b ∴=−=−=−−=−， //BC AD ， ∴13PQFNOQ FO ==， ∴3133a b b a −=−， 解得35ba =， ∴31535bOQCD b ==．24．解：（1）1OA =，5OB =，(1,0)A ∴−，(5,0)B ，将A 、B 两点代入22y ax x c =++，∴2025100a c a c −+=⎧⎨++=⎩， ∴1252a c ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，215222y x x ∴=−++；（2）2215192(2)2222y x x x =−++=−−+，9(2,)2D ∴，令0x =，则52y =，5(0,)2C ∴，CD ∴=，故答案为：（3）①如图1，过点E 作EF x ⊥轴交BC 于点F ， 设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∴5250b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， ∴1252k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 1522y x ∴=−+， 设215(,2)22E m m m −++，则15(,)22F m m −+， 221515152222222EF m m m m m ∴=−+++−=−+， 22115551255()()2224216BCE S m m x ∆∴=⨯⨯−+=−−+， ∴当52x =时，BCE S ∆有最大值12516； ②EM MP PB ++存在最小值，理由如下： 当52x =时，5(2E ，35)8， 9(2,)2D ， ∴抛物线的对称轴为直线2x =，PM 垂直对称轴，//PM x ∴轴，2PM =，如图2，过E 点作x 轴的平行线，且HE PM =， ∴四边形PMEH 是平行四边形，EM HP ∴=，作B 点关于y 轴的对称点B '，BP B P '∴=，22EM MP PB PH B P B H ''∴++=+++， 当B '、P 、H 三点共线时，EM MP PB ++的值最小， 5(2E ，35)8，2EM PM ==， 1(2H ∴，35)8， (5,0)B ，(5,0)B '∴−， 设直线B H '的解析式为y tx n =+， ∴5013528t n t n −+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得354417544t n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 351754444y x ∴=+， 175(0,)44P ∴， 175(2,)44M ∴， ∴当175(2,)44M 时EM MP PB ++存在最小值．。
