人教b版高一数学必修一：2.1.2《函数的表示方法(2)》学案(含答案)

2.1.2 函数的表示方法(二)自主学习学习目标了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．自学导引 分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的______________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应________________________．对点讲练知识点一 分段函数的求值问题例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值．规律方法 对于f (a )，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a 所在范围有关，因此要对a 进行讨论．由此我们可以看到：(1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x(x <0)，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．知识点二 分段函数的图象及应用例2 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移2 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)－2x ＋2，x ∈[12，1]，在平面直角坐标系中作出y ＝f (x )的图象，并写出值域．知识点三 分段函数的简单应用例3 某市的空调公共汽车的票价制定的规则是： (1)乘坐5 km 以内，票价2元；(2)5 km 以上(含5 km)，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)．已知两个相邻的公共汽车站之间相距约 1 km ，如果在某条路线上沿途(包括起点站和终点站)设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象．规律方法 该类问题属于函数建模问题，解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函数类型去拟合，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，画图象时，注意每段定义域端点的虚实．变式迁移3 电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x 元与通话时间t (分钟)的函数解析式，并画出t ∈(0,7]的图象．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．含有绝对值的函数解析式要化为分段函数处理．3．画分段函数的图象要逐段画出，求分段函数的值要按各段的区间范围代入自变量求值.课时作业一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2(x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]为( ) A ．－x B ．－x 2 C ．x D ．x 24．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2(0≤x ≤1)2 (1<x <2)x ＋1 (x ≥2)的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．[0,2]∪[3，＋∞)二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x ≤3)的图象．8. 已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．2．1.2 函数的表示方法(二) 答案自学导引(1)对应法则 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 对点讲练例1 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，又f (a )＝3， ∴a ＝1(舍去)；当－1<a <2时，f (a )＝a 2，又f (a )＝3， ∴a ＝±3，其中负值舍去，∴a ＝3； 当a ≥2时，f (a )＝2a ，又f (a )＝3，∴a ＝32(舍去)．综上所述，a ＝ 3.变式迁移1 a <－1解析 当a ≥0时，f (a )＝12a －1，解12a －1>a ，得a <－2与a ≥0矛盾，当a <0时，f (a )＝1a ，解1a>a ，得a <－1.∴a <－1. 例2 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 变式迁移2 解 如图所示，函数y ＝f (x )的图象是由f 1(x )＝－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)的图象(抛物线的一段)及f 2(x )＝－2x ＋2，x ∈[12，1]的图象(一条线段)组成的，其值域为[0,1]．例3 解 设票价为y 元，里程为x km ， 由题意可知0<x ≤20.所以y 关于x 的函数为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (0<x <5)3 (5≤x <10)4 (10≤x <15)5 (15≤x ≤20)其图象如图所示．变式迁移3 解 由题意可知，变量t ∈(0，＋∞)，故x 与t 的函数关系的表达式为 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2 t ∈(0，3]0.2(n －1) t ∈(n ，n ＋1](n ∈N ，n ≥3)， 其图象如图所示．课时作业1．A [f (2)＝22＋2－2＝4，1f (2)＝14， f (14)＝1－(14)2＝1516.故选A.] 2．A [由题意知f (3)＝f (3＋2) ＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.]3．B [当x <0时，g (x )＝－x 2<0，∴f [g (x )]＝－x 2.] 4．D [画图象可得．] 5．π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1. 6．{x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1.7．解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)． ∵点(1,1)、(0,2)在射线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2. ∴左侧射线对应的函数解析式为 y ＝－x ＋2 (x <1)．同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a <0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).9．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。

2.1.2函数的表示方法（二）一、学习目标：1、求简单分段函数的解析式；2、了解分段函数及其简单应用．二、重点难点：分段函数解析式的求法．三、教学内容安排：（一）分段函数由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表引出问题：若设信函的重量为x （克）应支付的资费为y 元，能否建立函数()y f x =的解析式？导出分段函数的概念．让学生探讨函数的图像，直观体验分段函数的特点．通过分析课本第42页、第43页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法可选例：1、动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式．2、在矩形ABCD 中，AB ＝4m ，BC ＝6m ，动点P 以每秒1m 的速度，从A 点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B 的顺序运动到B ，设点P 从点A 处出发经过x 秒后，所构成的△ABP 面积为y m 2，求函数()y f x =的解析式．3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象．对分段函数不必一次到位，通过例4的分析为学生从直观和解析式认识分段函数做打好基础，通过例5及其他实例让使学生逐步认识分段函数及其表示方法，并初步认识分段函数在实际问题中的应用.（二）补充综合例题例1．根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式（1）221)1(xx x x f +=+ x x f x f 3)1(2)()2(=+ （3）13)2(2++=-x x x f 注：（1）观察法（2）方程法（3）换元法例2．设二次函数)(x f 满足：)2()2(--=-x f x f 且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f 的解析式．例3．设)(x f 为定义在R 上的偶函数，当1-≤x 时，)(x f y =得图像经过)0,2(-，斜率为1的射线，又在)(x f y =的图像中有一部分是顶点为)2,0(，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数)(x f 的表达式，并作出函数)(x f 的图像．例4．用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式．例5．设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g （x ）]． 解：)1(3)1()1(3xx x x x x f +-+=+ ∴x x x f 3)(3-= 2)1()1(2-+=+xx x x g ∴2)(2-=x x g ∴[]=)(x g f 296246-+-x x x例6．已知 21)1(x x x f ++= （x >0） 求f （x ）．例7．已知 x x x f 2)12(2-=+ 求f （x ）．课堂练习：教材第43页练习A ．小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法．课后作业：、第44页B ．教学资源建议：图形计算器、几何画板．教学方法与学习方法指导策略建议：1．本节内容不同于初中阶段的一次函数和二次函数，老师应该多列出实际的例子，让学生对分段函数有充分的认识，对实际生活中能够采用分段函数表示的问题能够提炼出相应的模型．2．应根据学生情况，采用启发式教学与讲授式教学相结合，自主学习与合作式学习相结合；注意引导学生认真阅读教科书，注意特殊与一般的思想方法，通过实例整体的把握分段函数的本质. 分段函数是学生利用数学知识解决实际问题的重要模型，鉴于多数高中学生的认知特点，《课标》特别强调要遵循运用图形直观帮助学生完善认知体系，培养学生运用图形帮助思考的习惯，从而为解析几何的学习做好铺垫.3．学生的讨论一定要组织有序，充分让学生展示自己在学习过程中对分段函数的认识，老师在此基础上再做系统的讲解，让学生能够达到新的高度．编写者： 张鹤,李久权,张国春,陈惠勇,贺思轩,赵青,石凤歧,杨凌,张丽萍。

2.1.2 函数的表示方法(一)自主学习学习目标1．掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的特点．2．掌握函数图象的画法及解析式的求法.自学导引表示函数的方法常用的有：(1)解析法——用________表示两个变量之间的对应关系；(2)图象法——用________表示两个变量之间的对应关系；(3)列表法——列出________来表示两个变量之间的对应关系．对点讲练知识点一认识函数的三种表示法例1 已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋bx，当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象；(4)根据(2)(3)分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况．规律方法在实际研究一个函数时，通常是将上述三种表示法结合起来使用，即解析式→列表→描点，画出图象，然后再总结出函数的性质．三种方法相互兼容和补充，各有优缺点，在实际操作中，仍以解析法为主．变式迁移1 客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是()知识点二函数解析式的求法例2 求下列函数的解析式．(1)已知f(x＋4)＝x＋8x，求f(x2)；(2)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x－1，求f(x)．规律方法对于已知f[g(x)]的表达式，求f(x)的表达式的问题，解决这类问题的一般方法是换元法，即设g(x)＝t，解出用t表示x的表达式，代入求得f(x)的表达式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t的取值范围．题目中已知函数f(x)的函数类型，一般采用待定系数法，如第(2)小题，由于已知函数f(x)是一次函数，故可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．变式迁移2 (1)已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)的解析式．(2)已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)的解析式．1．函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法． 2．画函数图象的方法：(1)列表、描点、连线；(2)图象变换． 3．求函数解析式的方法有：换元法、配凑法、待定系数法等.课时作业一、选择题1．下图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是( )2．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y1－1B.x 奇数 0 偶数 y1－1C.x 有理数 无理数 y1－1D.x 自然数 整数 有理数 y1－13．若f (1－2x )＝1－x 2x 2 (x ≠0)，那么f ⎝⎛⎭⎫12等于( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．304．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x －2 C ．f (x )＝2x ＋3 D ．f (x )＝2x －35．为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中，先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正确反映这一过程中，国旗上升的高度h(米)与升旗时间t(秒)的函数关系的大致图象是(设国旗的起始位置为h＝0(米))()二、填空题6．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确论断的序号是________．7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1则f[g(1)]的值为____________；当g[f(x)]＝2时，x＝__________.三、解答题8．(1)已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，求a的值．(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．2．1.2 函数的表示方法(一) 答案自学导引(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 对点讲练例1 解 (1)由题设条件知： 当x ＝2时，t ＝100，当x ＝14时，t ＝28得方程组⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，14a ＋b14＝28.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以t ＝x ＋196x，又因为x ≤20，x 为正整数，所以函数的定义域是{x |0<x ≤20，x ∈N *}．(2)x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：(3)函数t 的图象是由20个点组成的一个点列． 如图所示．(4)自变量x 共取1～20之间的20个正整数，从表中的函数值可以看出完成任务的时间与参加任务的人数之间的关系，一开始，完成任务的时间随着人数的增加而减少，而当人数增加到一定的数量，完成工作的时间减少得很慢，人数在达到7人以后，至14人之间，完成工作的时间基本上变化不大；再增加人数，完成工作的时间反而有所增加．由函数的图象的变化也可以看出上面分析的结果．可以再设想，假设工作的人数没有限制，x 再增大时，比如，x ＝50,100,196,392等数值，则完成工作的时间t ＝53.92,101.96,197,392.5，由此可见，工作效率随着人数的增加反而降低．变式迁移1 B [由题意知，在前1小时内客车以60 km/h 的速度匀速行驶，则ΔyΔx ＝60，在1小时～1.5小时内客车未行驶，其路程仍为60 km ，在1.5小时后到2.5小时，又以80 km/h 的速度匀速行驶到达丙地，因此答案为B.]例2 解 (1)方法一 (配方法) ∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． 方法二 (换元法)设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16. ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2或x ≥2)． (2)(待定系数法)因为f (x )是一次函数， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1. ∴f (x )＝2x －13，或f (x )＝－2x ＋1.变式迁移2 解 (1)设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1.(2)将x 换成－x ，则原式2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2变为：2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2由两式解得f (x )＝3x ＋23.课时作业1．D [只有D 符合函数定义，即在定义域内每一个x 对应唯一的y 值．]2．C [A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N (Z ，Q )，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．]3．C [方法一 令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝16－1＝15.方法二 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝16－1＝15.]4．B [设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2.] 5．B [国旗的运动规律是：匀速升至旗杆顶部——停顿3秒——国旗匀速下落至旗杆中部．对应的图象为B.]6．①解析 设进水量为y 1，出水量为y 2，时间为t ，由图象知y 1＝t ，y 2＝2t .由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，应该是所有水口都打开，进出均衡，故③亦不正确．所以正确论断的序号只有①.7．1 1解析 f [g (1)]＝f (3)＝1； g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1.8．解 (1)∵f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72∴f (x )＝32x －72，∵f (a )＝4，∴32a －72＝4，∴a ＝5.(2)∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ， f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .。

2.1.2.函数的表示方法[学习目标].1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点.2.掌握函数图象的画法及分段函数的应用.[知识链接]1.在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可.2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b24a).3.函数y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，所以函数与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0). [预习导引] 1.函数的图象(1)函数y ＝f (x )与其图象F 的关系：①图象F 上任一点的坐标(x ，y )都满足y ＝f (x )； ②满足y ＝f (x )关系式的点(x ，y )都在F 上. (2)函数y ＝f (x )图象的作法：列表、描点、连线. 2.函数的常用表示方法(1)定义在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数. (2)三要素①定义域：由每一段上x 的取值范围的并集. ②值域：所有函数值组成的集合. ③对应法则：在每一段上的对应法则不同.要点一.作函数图象例1. 作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解.(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.规律方法.1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点. 跟踪演练1.画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1).解.(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).要点二.求函数的解析式例2.(1)已知f(x)是二次函数，其图象的顶点是(1,3)，且过原点，求f(x).(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x).解.(1)由于图象的顶点是(1,3)，故设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，因为图象过原点，所以a ＋3＝0，解得a ＝－3， 所以f (x )＝－3(x －1)2＋3.(2)方法一.x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1). 即f (x )＝x 2－1(x ≥1).方法二.令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1.代入原式，有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).规律方法.求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. (2)换元法：已知函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式可用换元法，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f [g (x )]中求出f (t )，从而求出f (x ). 跟踪演练2.(1)已知g (x －1)＝2x ＋6，求g (3). (2)一次函数的图象过点(0，－1)，(1,1)，求其解析式. 解.(1)方法一.令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴g (t )＝g (x －1)＝2(t ＋1)＋6＝2t ＋8， ∴g (x )＝2x ＋8，∴g (3)＝2×3＋8＝14. 方法二.令x －1＝3，则x ＝4， ∴g (3)＝2×4＋6＝14.(2)设一次函数的解析式f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝0·k ＋b ，1＝1·k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1，∴解析式为f (x )＝2x －1. 要点三.分段函数及应用例3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值.解.(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵f (－52)＝－52＋1＝－32，－2＜－32＜2，∴f [f (－52)]＝f (－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34. (2)①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＝3， ∴a ＝2＞－2不合题意，舍去. ②当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0.∴(a －1)(a ＋3)＝0，∴a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意. ③当a ≥2时，2a －1＝3，∴a ＝2符合题意. 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.规律方法.1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解. 2.若所给变量的范围不明确，计算时应分类讨论.跟踪演练3.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，|x |≤1，1＋x 2，|x |＞1，则f [f (12)]＝________； (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1|x |，x ＜0，若f (x )＝2，则x ＝________.答案.(1)134.(2)1或－12解析.(1)由于|12|≤1，所以f (12)＝12－2＝－32，而|－32|＞1，所以f (－32)＝1＋(－32)2＝134.所以f [f (12)]＝134.(2)若x ≥0，由x ＋1＝2，得x ＝1； 若x ＜0，由1|x |＝2，得x ＝±12，由于12＞0，舍去x ＝12，所以x ＝－12.故x ＝1或－12.1.已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于(..)A.1B.2C.3D.答案.C解析.由表可知f (3)＝3.2.若f (x ＋2)＝2x ＋3，f (3)的值是(..) A.9 B.7 C.5 D.3 答案.C解析.令x ＋2＝3，则x ＝1， ∴f (3)＝2×1＋3＝5.3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f [f (3)]等于(..)A.15 B.3 C.23 D.139答案.D解析.∵f (3)＝23，∴f [f (3)]＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 4.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是(..) A.f (x )＝x 2－1 B.f (x )＝－(x －1)2＋1 C.f (x )＝(x －1)2＋1 D.f (x )＝(x －1)2－1 答案.D解析.由二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，可排除A 、B ；又图象过点(0,0)，可排除C ；D 项符合题意.5.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎡⎦⎤1f (3)的值等于________.答案.2解析.由函数f (x )图象，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎡⎦⎤1f (3)＝f (1)＝2.1.函数三种表示法的优缺点2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线.3.求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法.4.理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.。

课堂导学三点剖析一、准确理解函数的意义,画函数的图象【例1】作下列各函数的图象.(1)y=2x-1,x∈Z;(2)y=|x-1|.思路分析：作函数的图象关键在于明确函数图象的形状,所以可先将函数化简整理,这里即讨论x-1的符号,从而去掉绝对值,达到化简的目的.解：(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=2x-1上.(∵x∈Z,∴y∈Z)这些点称为整点,如图①.(2)所给函数可写成y=⎩⎨⎧<≥1,xx,-11,x1,-x其图象是端点为(1,0)的两条射线,如图②.温馨提示(1)求作函数图象时,一般应用描点法,根据特点,找出几个关键点即可.(2)作出函数图象,我们还可以利用它求函数的值域以及研究函数的性质.二、求函数解析式【例2】已知f(xx1+)=xxx1122++,求f(x).思路分析：要求f(x),应把xx1+看作一个整体,采用配凑法或者换元法求出f(x).解法一:∵f(xx1+)=xxx1122++=(xx1+)222xx-+x1=(xx1+)2x1-=(xx1+)2-(xx1+)+1,∴f(x)=x2-x+1(x≠1).解法二:设xx+1=u,则x=11-u,u≠1,则f(u)=22)11(1)11(-+-uu+u-1=u2-u+1,∴f(x)=x2-x+1(x≠1).温馨提示已知复合函数f［g(x)］的表达式时,可以用换元法求解,但要注意换元时引起的定义域的变化,最后结果注明所求函数的定义域.三、对y=f(x)对应法则的理解【例3】已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-+==*,),1(211)(,1)1(Nnnfnff求f(2)、f(3)、f(4).思路分析：所给函数用两个等式定义,第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值,然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值.解：f(2)=1+21f(2-1)=1+21f(1)=23,f(3)=1+21f(3-1)=1+21f(2)=47,f(4)=1+21f(4-1)=1+21f(3)=815.温馨提示上述运算方法叫递归运算,运用递归运算时,要弄清各部分的关系,依次代入即可.解题时要对f(n)理解到位.各个击破类题演练1作出函数y=|x-1|+2|x-2|的图象.解析：y=|x-1|+2|x-2|=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤-.2,53,21,3,1,35xxxxxx∴图象如下图.变式提升2画出下列函数的图象:(1)y=x2-2|x|-1;(2)y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥0.x2x,-x-0,x2x,-x22解析：(1)y=x2-2|x|-1=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥0.x1,-2xx0,x1,-2x-x22图象如图(1)所示.(1) (2)(2)y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥0.x 2x,-x -0,x 2x,-x 22的图象如图(2)所示. 类题演练2若f{f ［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解析：设f(x)=ax+b(a≠0),f ［f(x)］=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b,∴f{f ［f(x)］}=a(a 2x+ab+b)+b=a 3x+a 2b+ab+b.∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=26.b ab b a 27,a 23 ∴⎩⎨⎧==2.b 3,a ∴f(x)=3x+2,经检验成立.变式提升2已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x)的表达式.解析：设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x. ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+==0,2c 2a -4,2b 2,2a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===-1.c -2,b 1,a∴f(x)=x 2-2x-1.类题演练3已知函数f(x)=221x x +,那么f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)=. 解析：∵f(x 1)=22111x x +=112+x ,∴f(x 1)+f(x)=1.∴原式=21+1+1=25. 答案：25 变式提升3已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).解析：令a=0,则f(-b)=f(0)-b(-b+1)=1+b(b-1)=b2-b+1,再令-b=x,得f(x)=x2+x+1.。

人教版高中必修1(B版)2.1.2函数的表示方法教学设计一、教学目标1.知道函数的基本定义；2.能够利用自变量和因变量的关系来表示函数；3.能够描述二元函数的定义域和值域；4.能够解决简单函数问题。

二、教学重点和难点教学重点：1.函数的基本定义；2.函数的表示方法；3.二元函数的定义域和值域。

教学难点：1.函数的概念及其性质；2.函数的不同表示方法的转化。

三、教学过程设计3.1 导入新知识引导学生回忆什么是一元二次方程，以及它的图像长什么样子。

引导学生思考为什么该方程可以描述某个物体的运动轨迹。

引出函数的概念，引导学生明确函数是一种描述自变量和因变量之间关系的方法。

3.2 函数的基本定义介绍函数的基本概念：一个变量的值与另一个变量的值之间存在唯一的对应关系，这个对应关系可以用一个函数来表示。

通过实际例子，引导学生理解函数的定义。

3.3 函数的表示方法介绍函数的三种表示方法：函数图像、符号表示法和表格表示法。

通过实例演示将三种方法之间的相互转化。

3.4 二元函数的定义域和值域引入二元函数的概念，介绍其定义域和值域。

通过实例演示将二元函数的定义域和值域计算出来，并且学会将它们用符号表示法表示出来。

3.5 课堂练习在课堂上，提供一些函数的问题，让学生分别考虑如何用三种不同表示方法来描述函数。

例题：一个人在跑步，与时间的关系可以近似认为是线性函数。

已知他在5秒时跑了10米，在15秒时跑了30米，求在30秒时他会跑多少米？3.6 实践操作让学生在班内测量身高和步长，计算出身高与步长之间的关系，引导学生将其用函数的三种表示方法表示出来。

3.7 课堂小结通过本节课的教学，学生理解了函数的概念及其三种表示方法，能够判断和描述二元函数的定义域和值域，同时学会了处理简单函数问题。

四、教学反思在教学中，需要理清函数的基本概念、性质和表示方法的不同相互转化。

此外，需要注意让学生通过实际案例来理解函数的定义和概念，使学生在学习过程中更容易接受和理解新的知识。

函数-2.1.2 函数表示方法自主整理设集合A是一个非空数集,对A内任意数x,按照确定法那么f,都有唯一确定数值y与它对应,那么这种对应关系叫做集合A上一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,自变量取值范围A叫做函数定义域;如果自变量取值a,那么由法那么f确定值y称作函数在a处函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数值域.函数定义含有三个要素,即定义域A、值域C与对应法那么f.当且仅当两个函数定义域与对应法那么都分别一样时,这两个函数才是同一个函数.(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间［a,b］{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间［a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b］(2)无穷区间概念:关于-∞,+∞作为区间一端或两端区间称为无穷区间,它定义与符号如下表:{x|x≥a}［a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a］{x|x<a}(-∞,a)R(-∞,+∞)取遍数轴上所有值设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法那么f,对A内任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,那么称f是集合A 到集合B映射.这时,称y是x在映射f作用下象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y原象,映射f也可记为f:A→B,x→f(x).其中A叫做映射f定义域(函数定义域推广),由所有象f(x)构成集合叫做映射f值域,通常记作f(A).(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值表来表达函数关系方法;(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;(3)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达,那么这种表达函数方法叫做解析法(也称公式法).在函数定义域内,对于自变量x不同取值区间,有着不同对应法那么,这样函数通常叫做分段函数.高手笔记1.(1)“y=f(x)〞中“f〞是函数符号,可以用任意字母表示,如“y=g(x)〞;(2)函数符号“y=f(x)〞中f(x)表示与x对应函数值,是一个数,而不是f 乘x.2.对应法那么可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法与图象法,不管是哪种形式,都必须是确定,且使集合A中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应.3.函数是建立在两个非空数集间一种对应,假设将其中条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞,按照某种法那么可以建立起更为普通元素之间对应关系,这种对应就叫映射.A到B映射与B到A映射是截然不同.4.区间与数轴是严密联系在一起,在识别与使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值取舍是很容易出错地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点与空心点区别.对于某些不能用区间表示集合就仍用集合符号表示.5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数画法要领是根据各段上函数解析式,分段画出各段图象.6.假设y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它取值范围是g(x)值域与(m,n)交集.名师解惑1.如何理解构成函数三要素:定义域、对应关系与值域求值域有几种常用方法剖析:(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数定义域,函数定义域包含三种形式:①自然型:指函数解析式有意义自变量x取值范围(如:分式函数分母不为零,偶次根式函数被开方数为非负数,等等);②限制型:指命题条件或人为对自变量x限制,这是函数学习重点,往往也是难点,因为有时这种限制比拟隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;③实际型:解决函数综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x实际意义.(2)求函数值域是比拟困难数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数值域问题.求法主要有以下几种:①配方法(转化为二次函数);②判别式法(转化为二次方程);③不等式法(运用不等式各种性质);④函数法(运用根本函数性质或抓住函数单调性、函数图象等).2.函数有哪几种表示法？各有什么优点与缺乏？剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间函数关系就是用列表法表示;房地产公司出售商品房,总价格与面积之间函数关系就是用解析式来表示;工厂每月产量与月份之间函数关系是用图表来表示.(2)表示函数三种方法优点与缺乏,分别说明如下.①用解析式表示函数优点是简明扼要、标准准确.可以利用函数解析式求自变量x=a时对应函数值,还可利用函数解析式列表、描点、画函数图象,进而研究函数性质,又可利用函数解析式构造特点,分析与发现自变量与函数间依存关系,猜测或推导函数性质(如对称性、增减性等),探求函数应用等.缺乏之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y对应值需要逐个计算、有时比拟繁杂.②列表法优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系计价表,方便收款.列表法缺点是只能列出局部自变量与函数对应值,难以反映函数变化全貌.③用图象表示函数优点是形象直观,清晰呈现函数增减变化、点对称、最大(或小)值等性质.图象法缺乏之处是所画出图象是近似、局部,观察或由图象确定函数值往往不够准确.由于以上表示函数三种方法具有互补性,因此在实际研究函数时,通常是三种方法交替使用.3.如何理解映射？为什么说映射是一种特殊对应剖析:(1)理解映射概念,必须注意以下几点:①方向性,“集合A到集合B映射〞与“集合B到集合A映射〞往往不是同一个映射;②非空性,集合A、B必须是非空集合;③唯一性,对于集合A中任何一个元素,集合B中都是唯一确定元素与之对应,这是映射唯一性,也可以说“在集合B中〞,A中任一元素象必在集合B中,也叫映射封闭性.④存在性,就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素与它对应,这是映射存在性.(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在某种对应关系.说其是一种特殊映射,就是因为它只允许存在“一对一〞与“多对一〞这两种对应,而不允许存在“一对多〞对应.映射中对应法那么f是有方向,一般来说从集合A到集合B映射与从集合B到集合A映射是不同.讲练互动【例题1】以下各组中两个函数表示同一个函数是…( )A.f(x)=x,g(x)=n n x22B.f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈Z)C.f(x)=x-2,g(t)=t-2D.f(x)=,g(x)=1+x解析：两个函数一样必须有一样定义域、值域与对应法那么.A中两函数值域不同;B中虽然定义域与值域都一样,但对应法那么不同;C 中尽管表示自变量两个字母不同,但两个函数三个要素是一致,因此它们是同一函数;D中两函数定义域不同.答案：C绿色通道给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否一样;二看对应法那么是否一致.只有当两函数定义域一样且对应法那么完全一致时,两函数才可称为同一函数.只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数,比方上面对A判断即属此.变式训练1.判断以下各组中两个函数是否为同一函数,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; (2)y=42-x 与y=22+•-x x ; (3)y=1+x 1与u=1+v1;(4)y=x 2与y=x 2x ;(5)y=2|x|与y=分析：判断两个函数是否为同一函数,应着眼于两个函数定义域与对应法那么比拟,而求定义域时应让原始解析式有意义,而不能进展任何非等价变换,对应法那么判断需判断它本质是否一样而不是从外表形式上下结论.解：(1)不同,因为它们定义域不同.(2)不同,前者定义域是x≥2或x≤-2,后者定义域是x≥2.(3)一样,定义域均为非零实数,对应法那么都是自变量取倒数后加1.(4)不同,定义域是一样,但对应法那么不同.(5)一样,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是y=【例题2】设f,g 都是由A 到A 映射,其对应法那么(从上到下)如下表:表1 映射f 对应法那么原象1 2 3 象 2 3 1 表2 映射g 对应法那么原象123象213试求f［g(1)］,g［f(2)］,f{g［f(3)］}.分析：此题是将映射概念与复合函数求值相结合一道典型例题,解答此题首先要弄清f［g(x)］含义与映射中原象与象关系,然后再按照有关定义解题.解：∵g(1)=2,f(2)=3,∴f［g(1)］=f(2)=3.又∵g(3)=3,∴g［f(2)］=g(3)=3.∵f(3)=1,g(1)=2,∴f{g［f(3)］}=f［g(1)］=f(2)=3.绿色通道读懂对应法那么f与g含义是解题关键,要弄清在法那么f与g作用下,集合A中元素在集合A中象是什么,要掌握象与原象定义.变式训练2.以下各图中表示对应,其中能构成映射个数是…( )图2-1-1A.4B.3C.2解析：所谓映射,是指多对一或一对一对应且A中每一个元素都必须参与对应.只有图(3)所表示对应符合映射定义,即A中每一个元素在对应法那么下,B中都有唯一元素与之对应.图(1)不是映射,因A中元素c没有参与对应,即违背A中任一元素都必须参与对应原那么.图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中元素在B中有多个元素与之对应,不满足A中任一元素在B中有且仅有唯一元素与之对应原那么.综上,可知能构成映射个数为1.答案：D3.(2007山东济宁二模,理10)A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么这样函数f(x)有( )解析：对f(a),f(b),f(c)值分类讨论.当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个.综上所得,满足条件函数共有2+3+2=7(个).应选C.答案：C【例题3】求以下函数值域:(1)y=x2-2x-1,x∈［0,3］;(2)y=3x;-2+(3)y=;(4)y=|x-1|+|x-2|.分析：求二次函数值域一般要数形结合,先配方找出对称轴,再考察给定区间与对称轴关系,利用二次函数在对称轴两侧单调性,求出给定区间上最大值与最小值,即可得到函数值域.除数形结合之外,求函数值域方法还有逐步求解法、判别式法、别离常数法与利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.解：(1)将原式变形,得y=(x-1)2-2,此函数对称轴为x=1,由于x∈［0,3］,∴当x=1时,y 有最小值-2.根据函数对称性知,x=3比x=0时值要大,∴当x=3时,y 有最大值2.∴这个函数值域为［-2,2］.(2)易知x≥2,∴2-x ≥0. ∴y=2-x +3≥3.∴这个函数值域为［3,+∞).(逐步求解法)(3)先别离常数,y=1311311222222+-=+-+=+-x x x x x .① 解法一(逐步求解法):∵x 2+1≥1,∴0<≤1.∴1>1≥-2.∴y∈［-2,1).解法二(判别式法):两边同乘x 2+1并移项,得(y-1)x 2+y+2=0. 又由①可知y<1,∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2,1).解法三(利用有界性):∵y≠1,易得x 2=.又∵x 2≥0,∴≥0.∴y∈［-2,1).(4)原函数可化为y=由图2-1-2可知y∈［1,+∞).图2-1-2绿色通道求值域一定要注意定义域限制,一定要在定义域范围内求函数值域.当然,求值域一定要根据函数对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题关键,求这类问题就能得心应手.变式训练4.函数y=-x2+4x+5(1≤x≤4)值域是…( )A.［5,8］B.［1,8］C.［5,9］D.［8,9］解析：y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9(x∈［1,4］).∴当x=2时,y最大=9;当x=4时,y最小=5.∴函数值域为{y|5≤x≤9}.答案：C【例题4】图2-1-3是一个电子元件在处理数据时流程图:图2-1-3(1)试确定y与x函数关系式;(2)求f(-3)、f(1)值;(3)假设f(x)=16,求x值.分析：此题是一个分段函数问题,当输入值x≥1时,先将输入值x加2再平方得输出值y;当输入值x<1时,那么先将输入值x平方再加2得输出值y.解：(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.(3)假设x≥1,那么(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).假设x<1,那么x2+2=16,解得x=14(舍去)或x=14-.综上,可得x=2或x=14-.绿色通道通过实例,了解简单分段函数并能简单应用是新课程标准根本要求.对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所在范围利用相应解析式直接求值;假设给定函数值求自变量,应根据函数每一段解析式分别求解,但应注意要检验该值是否在相应自变量取值范围内.变式训练5.(2007山东蓬莱一模,理13)设函数f(n)=k(k∈N*),k是π小数点后第n位数字,π=3.141 592 653 5…,那么等于____________.解析：由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,那么有=1.答案：1【例题5】函数f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)表达式.分析：函数是一类特殊对应,函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1象是x2-1,求出x象,即是f(x)表达式.求解f(x)表达式此题可用“配凑法〞或“换元法〞.解法一(配凑法):∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］.解法二(换元法):令x+1=t,那么x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］.绿色通道函数f［g(x)］表达式,求f(x)表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑方法,一种是用换元方法.所谓“配凑法〞即把f［g(x)］配凑成关于g(x)表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求f(x)表达式;所谓“换元法〞即令f［g(x)］中g(x)=t,由此解出x,即用t表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.需要注意是,无论是用“配凑法〞还是用“换元法〞,在求出f(x)表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)定义域即x取值范围应与条件f ［g(x)］中g(x)范围一致,所以说求f(x)定义域就是求函数g(x)值域.变式训练6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(5)=-5,那么f ［f(1)］=___________.解析：∵f(x+2)=,∴f(x)=.∴f(1)===f(5)=-5.∴f(1)=-5.∴f［f(1)］=f(-5).又f(-5)=)23(11)3(1)25(1+---=--=+--f f f =f(-1)=51)1(1)21(1--=-=+--f f =51, ∴f［f(1)］=51. 答案：51 7.f(x)=x +11(x∈R 且x≠-1),g(x)=x 2+2(x∈R ), (1)求f(2)、g(2)值.(2)求f ［g(2)］值.(3)求f ［g(x)］解析式.分析：在解此题时,要理解对应法那么“f〞与“g〞含义,在求f ［g(x)］时,一般遵循先里后外原那么.解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6.(2)f ［g(2)］=f(6)=.(3)f ［g(x)］=f(x 2+2)=.教材链接［思考与讨论］如何检验一个图形是否是一个函数图象写出你检验法那么,图2-1-4所示各图形都是函数图象吗哪些是,哪些不是,为什么图2-1-42-1-4所示各图形中因为(1)、(3)、(4)符合“一对一〞或“多对一〞原那么,所以(1)、(3)、(4)是函数图象,而(2)中有一个x 值对应两个y 值,不满足函数“多对一〞或“一对一〞条件,所以(2)不是函数图象.。

2.1.2 函数的表示方法1．函数的表示方法(1)列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．Q之间的对应法则，也就是函数关系．(2)图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．比如，如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线，表示记忆数量(百分比)与天数之间的函数关系．(3)解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法．(也称为公式法)比如，计划建成的京沪高速铁路总长约1 305千米，设计时速300～350千米/时．建成后，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x时后，路程为y千米，则y是x 的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．①列表：先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来．②描点：从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点．③连线：用平滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．解：零售量是月份的函数．因为对于集合{1,2,3，…，12}中任一个值，由表可知y都有唯一确定的值与它对应，据函数的定义可知y 是t 的函数．【例1－2】已知某人骑车的速度是10千米/时，若他骑车时间为x 时，其行驶路程为y 千米，试求y 关于x 的函数关系，分别用解析法和图象法表示．解：用解析法表示为y ＝10x (x ≥0)．用图象法表示，如图所示．2．分段函数(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．谈重点 学习分段函数的六要点1．分段函数的解析式在形式上尽管会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的合并，它的连续与间断完全由对应关系来确定．2．画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点“·”表示，若端点不包含在内，则用空心点“。

示范教案2．1.2.1函数的表示方法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：列表法，图象法，解析法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．重点难点教学重点：函数的三种表示方法．教学难点：分段函数的表示及其图象的初步认识．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！西班牙文中称iFeliz CumpleaRos！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：列表法、图象法和解析法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．应用示例思路1例1作函数y＝x的图象．分析：已知函数的定义域是[0，＋∞)，在直角坐标系中，由函数y＝x所确定的有序实数对有无限多个．可以想象，当自变量x在区间[0，＋∞)上从0开始连续无限增大时，相应的点(x，y)会形成一条连续不断的曲线．我们不可能作出一个定义在无穷区间内函数的完整图象，只能画出它在有限区间上的图象．也不可能作出函数图象上的无限多个点，但可以画出有限个坐标为(x，y)的点．现在的问题是，如何选取x值，通过描点、连线较准确地画出这个函数的图象．解：在这个函数的定义域内，从0开始适当地取若干个x的值：0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5，….算出对应的函数值，列出函数的对应值表(精确到0.1)：以这11个有序数对(x，y)为坐标，在直角坐标系中画出所对应的11个点，由这些点连成的一条光滑曲线就是函数y＝x的图象，如下图所示．点评：“数形结合”是我们研究函数的重要方法，画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能．在学习中要养成画图的习惯，并会利用函数的图象来理解函数的性质．例2某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图所示．思路2例1设x是任意的一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．解：对每一个实数x，都能够写成等式：x＝y＋α，其中y是整数，α是一个小于1的非负数．例如，6．48＝6＋0.48,6＝6＋0，π＝3＋0.141 592…，－1.35＝－2＋0.65，－12.52＝－13＋0.48，….由此可以看到，对于任一个实数x，都有唯一确定的y值与它对应，所以说x和y之间是函数关系．这个“不超过x的最大整数”所确定的函数通常记为y＝[x]．这个函数的定义域是实数集R，值域是整数集Z.例如，当x＝6时，y＝[6]＝6；当x＝π时，y＝[π]＝3；当x＝－1.35时，y＝[－1.35]＝－2.这个函数的图象，如下图所示．点评：本题中的函数通常称为取整函数，记为y＝[x]，x∈R.例2已知函数y＝f(n)，满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N＋.求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．分析：这个函数用两个等式定义，第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值，然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值．解：因为f(0)＝1，所以f(1)＝1·f(1－1)＝1·f(0)＝1，f(2)＝2·f(2－1)＝2·f(1)＝2×1＝2，f(3)＝3·f(3－1)＝3·f(2)＝3×2＝6，f(4)＝4·f(4－1)＝4·f(3)＝4×6＝24，f(5)＝5·f(5－1)＝5·f(4)＝5×24＝120.点评：例题中的函数定义所用到的运算，通常叫做递归运算．这种定义函数的方法在计算机语言中经常使用.知能训练1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则()A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为()A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．5．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．6．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？解：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．7．由下列式子是否能确定y是x的函数？(1)x 2＋y 2＝2；(2)x －1＋y －1＝1； (3)y ＝x －2＋1－x.解：(1)由x 2＋y 2＝2，得y ＝±2－x 2，因此由它不能确定y 是x 的函数． (2)由x －1＋y －1＝1，得y ＝(1－x －1)2＋1， 所以当x 在{x|x≥1}中任取一值时， 由它可以确定一个唯一的y 与之对应， 故由它可以确定y 是x 的函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x≥0得x ∈∅，故x 无值可取，y 不是x 的函数．拓展提升问题：画函数图象时，除去描点法外，还有其他方法吗？ 解答：还有变换法作图．变换法画函数的图象有三类： 1．平移变换：(1)将函数y ＝f(x)的图象向左平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x ＋a)的图象； (2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x －a)的图象； (3)将函数y ＝f(x)的图象向上平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)＋b 的图象； (4)将函数y ＝f(x)的图象向下平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)－b 的图象． 简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”． 2．对称变换：(1)函数y ＝f(x)与函数y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0即y 轴对称； (2)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y ＝0即x 轴对称； (3)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(－x)的图象关于原点对称． 3．翻折变换：(1)函数y ＝|f(x)|的图象可以将函数y ＝f(x)的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f(x)的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y ＝f(|x|)的图象可以将函数y ＝f(x)的图象y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y ＝f(x)在y 轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质．当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本本节练习B 2、3.设计感想 本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用．备课资料[备选例题]例1车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每次一辆0.3元．(1)若设自行车停放的辆次数为x ，总的保管费收入为y 元，试写出y 关于x 的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次中，电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．活动：让学生审清题意读懂题．求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．解：(1)由题意得y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x)＝－0.2x ＋1 750，x ∈N ＋且0≤x≤3 500. (2)若电动车的辆次不小于25%，但不大于40%， 则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，即2 100≤x≤2 625， 画出函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象，可得函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]， 即收入在1 225元至1 330元之间．点评：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．例2水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水； 其中一定正确的论断是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：由上图甲可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v 进水＝12v 出水．由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确．由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确．由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．综上所述，论断仅有①正确．答案：A(设计者：张新军)。