2020版高考数学人教版理科 课时作业：51 直线与圆、圆与圆的位置关系 含解析
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课时作业51直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则ax＋by＝r2与C的位置关系是(D)A．相切B．相离C．内含D．相交解析：由已知a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝r2a2＋b2，则d<r，故直线ax＋by＝r2与C的位置关系是相交．2．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有(A)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(B)A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.故选B.4．已知圆心(a，b)(a<0，b<0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( B )A ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25B ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝499 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝|b |，b ＝2a ＋1，r 2＝|a |2＋(5)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－3，r ＝3，所以圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选B.5．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －3＝0，动点P 在圆C 2：x 2＋y 2－4x －12＝0上，则△PC 1C 2面积的最大值为( B )A ．2 5B ．4 5C ．8 5D ．20解析：因为C 1(－2,2)，r 1＝11，C 2(2,0)，r 2＝4，所以|C 1C 2|＝(－2－2)2＋22＝2 5.易知当PC 2⊥C 1C 2时，△PC 1C 2的面积最大，其最大值S ma x ＝12×25×4＝4 5.6．已知点M 在直线x ＋y ＋a ＝0上，过点M 引圆O ：x 2＋y 2＝2的切线，若切线长的最小值为22，则实数a 的值为( D )A ．±2 2B ．±3C ．±4D ．±2 5解析：设圆心O 到直线x ＋y ＋a ＝0的距离为d ，则d ＝|a |2，又过点M 引圆x 2＋y 2＝2的切线，切线长的最小值为22，则2＋(22)2＝a 22，解得a ＝±25，故选D.7．(2019·洛阳二模)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|P A |的最小值为( D )A.12B ．1 C.2－1 D ．2－ 2解析：方法1：由题意可知，直线P A 与坐标轴平行或重合，不妨设直线P A 与y 轴平行或重合，设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)，∴|P A |＝|2－cos α－sin α|＝|2－2sin(α＋π4)|，∴|P A |的最小值为2－2，故选D.方法2：由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝22＝2，∴圆C 上一点到直线x ＋y ＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|P A |min ＝2(2－1)＝2－2，故选D.二、填空题8．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦的长度为2 5.解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x ＋y －15＝0，原点到该直线的距离为d ＝|－15|22＋1＝35， 则公共弦的长度为2r 2－d 2＝250－(35)2＝2 5.9．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB ︵ 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是x －y ＋2－2＝0.解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB ︵的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为 1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1， 整理得x －y ＋2－2＝0.10．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是x ＋y －3＝0.解析：由题意知，当∠ACB 最小时，圆心C (3,4)到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为4－23－1＝1，所以直线l 的斜率为－11＝－1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.11．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围为[1,5]．解析：由题意知，过点A 的两直线与圆M 相切时，夹角最大，当∠BAC ＝60°时，MA ＝MB sin ∠BAM ＝2sin30°＝4.设A (x,6－x )，所以(x －1)2＋(6－x －1)2＝16，解得x ＝1或x ＝5，因此点A 的横坐标的取值范围为[1,5]．三、解答题12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2. 化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC | ＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2.∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34， ∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.13．(2019·河南安阳一模)已知AB 为圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的直径，点P 为直线y ＝x －1上任意一点，则|P A |2＋|PB |2的最小值为6.解析：圆心C (0,1)，设∠PCA ＝α，|PC |＝m ，则|P A |2＝m 2＋1－2m cos α，|PB |2＝m 2＋1－2m cos(π－α)＝m 2＋1＋2m cos α，∴|P A |2＋|PB |2＝2m 2＋2.又C 到直线y ＝x －1的距离为d ＝|0－1－1|2＝2，即m 的最小值为2，∴|P A |2＋|PB |2的最小值为2×(2)2＋2＝6.14．(2019·江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，|MN |＝|AB |，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2＋|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．解：(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1.设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2. 因为|MN |＝|AB |＝22＋22＝22，而|CM |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22， 所以4＝(2＋m )22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，|P A |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，化简得x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为|2－2|<(2－0)2＋(0－1)2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以存在点P ，点P 的个数为2.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·河南中原名校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D (－2，t )，则实数t 的取值范围为( D )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，2－7]∪[2＋7，＋∞)D ．[2－7，2＋7]解析：由题意可得直线AB 的方程为x ＝y ＋1，与y 2＝4x 联立消去x ，可得y 2－4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，设E (x E ，y E )，则y E ＝y 1＋y 22＝2，x E ＝y E ＋1＝3，又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋1＋y 2＋1＋2＝8，所以圆E 是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外．圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D (－2，t )即圆E 上存在点P ，Q ，使得DP ⊥DQ ，设过D 点的两直线分别切圆E 于P ′，Q ′点，要满足题意，则∠P ′DQ ′≥π2，所以|EP ′||DE |＝4(3＋2)2＋(2－t )2≥22，整理得t 2－4t －3≤0，解得2－7≤t ≤2＋7，故实数t 的取值范围为[2－7，2＋7]，故选D.16．已知⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为2.(1)求⊙H 的方程；(2)若存在过点P (a,0)的直线与⊙H 相交于M ，N 两点，且|PM |＝|MN |，求实数a 的取值范围．解：(1)设⊙H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r >0)，因为⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H (m ，n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m ＝2，n ＝1.又⊙H 截x 轴所得线段的长为2，所以r 2＝12＋n 2＝2.所以⊙H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.(2)设N (x 0，y 0)，由题意易知点M 是PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2，y 02. 因为M ，N 两点均在⊙H 上，所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2，①⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02－12＝2，即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，由①②知⊙H与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8有公共点，从而22－2≤|HI|≤22＋2，即2≤(a－2)2＋(1－2)2≤32，整理可得2≤a2－4a＋5≤18，解得2－17≤a≤1或3≤a≤2＋17，所以实数a的取值范围是[2－17，1]∪[3,2＋17]．。
