利用对称点解三角形中的格点问题

三角形角格点问题系列：B2-3A(图中有:PB=PC,AB+AP=BC,BP平分∠ABC,AB切△BCP的外接圆于B)已知:如图,∠PBA=∠PBC=∠PCB=10°,∠PCA=30°,求∠PAC,∠PCA.解法1:（同一法）作△A＇Ｂ＇Ｄ＇,使Ａ＇Ｂ＇＝Ｂ＇Ｄ＇＝ＡＢ，∠Ａ＇Ｂ＇Ｄ＇＝∠ＡＢＣ＝２０°,在△Ａ＇Ｂ＇Ｄ＇内作正△Ａ＇Ｄ＇Ｐ＇,连Ｂ＇Ｐ＇,延长B＇Ｄ＇到Ｃ＇，使Ｄ＇Ｃ＇＝Ｄ＇Ｐ＇.则∠Ａ＇Ｂ＇Ｐ＇＝∠Ｐ＇Ｂ＇Ｃ＇＝１０°,∠Ｂ＇Ａ＇Ｐ＇＝∠Ｂ＇Ｄ＇Ｐ＇＝２０°，∠Ｐ＇Ａ＇Ｃ＇＝１００°．因为△ＡＢＣ≌△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇，△ＡＢＰ≌△Ａ＇Ｂ＇Ｐ＇．所以ＰＢ＝Ｐ＇Ｂ＇,因为△ＢＰＣ≌△Ｂ＇Ｐ＇Ｃ＇,所以∠ＰＡＢ＝∠Ｐ＇Ａ＇Ｂ＇＝２０°,故∠ＰＡＣ＝∠Ｐ＇Ａ＇Ｃ＇＝１００°,∠ＰＣＡ＝2０°.解法2:如图,作正△DPC,连接DA、DB ,显然D、P关于AC对称.又PB=PC=PD,故P是△DBC的外心,∠PDB=∠PBD=20°,因此∠PBA=∠DBA=10°,则∠APB与∠ADB相等或互补.如果相等，则D、P关于AB 对称,此时△DPB是正三角形.∠BPC=120°,和已知矛盾,因此∠APB与∠ADB互补,D、B、P、A 四点共圆,∠PAB=∠PDB=20°,∠PAC=100°.解法3:（B1-2A）如图,在∠PCA内作∠PCD=20°,交AB于D，连DP，取△DBC的外心为O,连OB、OC、OD、OP.因为∠DCB=30°,所以∠DOB=60°.△DBO是正三角形,故∠OBC=∠OCB=40°,∠BOP=50°,因此∠DOP=∠DBP=10°,所以B、O关于DP对称.得∠BDP=30°=∠PCA,A、D、P、C四点共圆,∠PAC=∠PDC=100°,∠PAB=20°.解法4:（B1-2A）如图,在∠PCA内作∠PCD=20°,交AB于D,连DP,以P为圆心,PB的长为半径作圆,交CD延长线于E,连PE、BE.因为∠ECB=30°，所以∠EPB=60°,故△PBE是正三角形,∠EBA=50°,∠PEC=20°,∠BED=80°，∠BDE=50°,因此BE=ED=EP,E是△PDB的外心，∠PDB=30°=∠PCA,则A、D、P、C四点共圆,∠PAB=∠PCD=20°,∠PAC=100°.解法5:（B1-2A）如图,作正△EBC,连接EB、EC，作∠PCD=20°,交AB于D，连DE、DP.因为∠PBC=∠PCB=10°,故∠BEP=∠CEP=30°,又因为∠BCD=∠ECD=30°,所以∠DEC=∠DBC=20°，则∠DEP=10°=∠DBP，因此E、B、P、D四点共圆.∠BDP=∠BEP=30°=∠ACP,所以A、D、P、C四点共圆,∠PAB=∠PCD=20°,∠PAC=100°.解法6:（B1-2A）如图,在BC上取点D ,使∠PDB=20°,以P为圆心,PD为半径画弧交直线BA于A＇,联结PD、PA＇、DA＇.作∠PCE=20°,交AB于E,连EP,则∠PA＇B=∠PDB=20°=∠PCE,A＇、E、P、C四点共圆,又因为△PDA＇是正三角形,所以DP=DＡ＇=DC,则D是△PA＇C的外心,因此∠PＥB=∠PCＡ＇=30°=∠ＰＣＡ,故A与A＇重合,∠PAB=∠PCE=20°,∠PAC=100°.解法7:如图,作正△DPC,连DA、DB,在BD上截取BE=BP,连AE.由∠ACB=40°,∠ABC=20°,可知∠CAB=120°,由∠PCB=∠PBC=10°.可知PB=PC=PD,有P为△DCB的外心,于是∠DBC=30°,∠CDB=80°,∠PDB=20°.显然∠DBA=10°=∠PBA，可知P、E关于AB对称，有AE=AP，∠APB=∠AEB，由∠PCA=30°,可知CA为DP的中垂线,有AD=AP=AE，于是∠ADB=∠AED.由∠APB+∠ADB=∠AEB+∠AED=180°,可知P、B、D、A四点共圆,有∠PAB=∠PDB=20°.所以∠PAC=∠CAB -∠PAB=100°.解法8:(2B-8)如图,△ABC的外接圆交AP的延长线于D，连接BD、CD.易知∠ADC=20°,∠ADB=40°.△BPC的外接圆交AD的延长线于E,连接BE、CE,易知∠AEC=∠AEB=∠DCE=10°,∠DBE=30°.作E关于BD的对称点F,连接FB、FC、FP、FE,因为∠DBE=30°,所以△BEF是正三角形,∠EDF=80°=∠CDF ,所以C、E关于DF对称,FE=FC=FB,故F是△BCE的外心,因此∠BCE =30°.故∠BCD=20°,∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法9:(4B-4)如图,△ABC的外接圆交BP的延长线于D，连接AD、CD.易知∠CAD=10°,∠ADB=40°,∠BDC=120°,∠ACD=10°,∠CPD=20°.以D为圆心,CD长为半径作圆交CP于E,连EA、ED.因为∠ACP=30°,故△ADE是正三角形,所以∠DEC=40°,∠EPD=∠EDP=20°.得到EP=ED=EA,故∠APD=30°,∠PAB=20°,∠PAC=100°..解法10:(27-3)如图,△ABC的外接圆交CP的延长线于D，连接AD、BD.易知∠BAD=10°,∠ADC=20°,∠BDC=20°,∠ABD=30°,∠BPD=20°.作正△ADE,连EB、EP,因为∠ABD=30°,所以E是△ABD的外心,∠BED=20°,∠DBE=80°,∠EBP=∠EDP=40°,所以B、D、P、E四点共圆.所以PD=PE，D、E关于AP对称，所以∠DAP=30°，∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法11:(2A-7)如图,如图,△BCP的外接圆交AP的延长线于D，连接BD、CD,易知∠ADC=∠ADB=10°.设△ABC的外接圆交AD于E,连接EB、EC.易知∠DCE=10°,∠DBE=30°.作正△DCF，联结FB，FE.因为∠EBC=∠ECB=10°,故C、D关于EF对称,因此∠DFE=∠CFE=30°,故B、E、D、F四点共圆,∠BFE=10°,∠BFC=20°=∠BDC,因此D、F关于BC 对称,所以∠BCD=30°,∠BCE=20°.故∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法12:(B5-5A)如图,如图,△BCP的外接圆交AC的延长线于D，连接BD、DP,易知∠ADP=∠BDP=10°,∠CBD=20°.设E为B关于DP 的对称点，连EB、EP.易知E、A、D三点共线,∠ABE=40°,∠BE=50°,∠AEP=30.作正△PEF,连FA、FD，因为∠AEP=30°,所以P、F关于AE对称.AF=AP,∠APF=∠AFP ,又因为PB=PE=PF,所以P是△BEF的外心,∠EBF=30°,∠PBF=∠PFB=20°,∠ABP=∠ABF=10°,易知∠APB 与∠AFB不等,由正弦定理可得,∠APB与∠AFB互补,所以A、F、B、P 四点共圆.得到∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法13:(27-3)如图,如图,△ABP的外接圆交CP的延长线于D，连接BD、AD,易知∠ADC=10°,∠BAD=20°.作正△ADE,连EC、EB,因为∠ACD=30°,所以E是△ACD的外心,∠AEC=20°,∠CDE=80°,∠AEB=∠ACB=40°,所以A、C、E、B四点共圆.所以BA=BE，A、E 关于DB对称，所以∠BDA=30°，∠BDC=20°.得到∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法14:(B6-16D)如图,△ABP的外接圆交CA的延长线于D，连接BD、PD,易知∠CDP=10°.作正△DCE,连接EB、EP,显然D、E关于CP对称.得到∠CEP=∠CDP=∠CBP=10°,所以B、E、C、P四点共圆.故∠BEC=∠BCE=20°,BC=BE.得到C、E关于BD对称.∠BDC=30°,∠BDP=20°,所以∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法15:(B4-11I)如图,△ABP的外接圆交CB于D，连接AD、PD,易知∠ADP=∠DAP=10°.△ADC的外接圆交CP的延长线于E,连接EA、ED.易知∠DAE=10°,∠ADE=30°,作正△AEF,连FD、FP,因为∠ADE=30°,故F是△ADE的外心,所以FD=FE=FA,又∠DAE=10°，故∠DFE=20°，∠AFD =80°,而PD=PA,故∠PFA=∠PAF=40°,所以A、F 关于CE对称,故∠AEC=30°=∠ADC,得∠PDC=20°.所以∠PAB=20°,∠PAC=100°.解法16:(4A-4)如图,△ACP的外接圆交BP的延长线于D，连接AD、CD,易知∠ADB=30°,∠CAD=20°.作A关于BD对称的对称点E，连接FA、FD。

授课设计教师学生科目数学上课时间课次 1授课内容中考中的格点图形问题授课重难点解题方法授课设计：近来几年来，有关格点问题已成为中考的亮点，这类问题题型多样，形式爽朗，主要观察同学们的直觉推理能力和问题研究能力．格点问题操作性强、兴趣性浓，表现了新课标的“在‘玩’中学，在学中思，在思中得”的崭新理念．下面就中考中的几类格点问题归纳以下，望能对学习有所帮助．一、格点中的对称问题例 1 （绍兴市）如图 1，在网格中有两个全等的图形 (阴影部分 )，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1) 、(2) 中画出两种不同样的拼法．图1图2二、格点中的画图问题例 2 （黑龙江鸡西市）如图3，在网格中有一个四边形图案．（1）请你画出此图案绕点 O 顺时针方向旋转 900， 1800，2700的图案，你会获取一个美丽的图案，千万不要将阴影地址涂错；图 3图4（2）若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点 A 的对应点依次为 A1、 A2、A3，求四边形 AA1A2A3的面积；(3)这个美丽图案可以说明一个出名结论的正确性，请写出这个结论．三、格点中的坐标问题例3 （苏州市）如图 5．围棋盘的左下角表现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示．纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的地址可记为(C，4)，白棋②的地址可记为( E， 3) 则白棋⑨的地址应记为＿＿＿．图 5四、格点中的相似问题例 4 （福州市罗源平潭）如图成的相似三角形有（）A ． 4 对B ． 3 对C． 2 对6，在 7×12 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组DD ．1 对A C F析解：本题是一道以网格为背景的结论研究性问题， B E J H在正方形网格中画了一只可爱的小狐狸，增强了题目G I R L的兴趣性．由网格的特色结合勾股定理，可以获取三角图6形三边的长，从而利用“三边对应成比率，两三角形相似”的判断来求解．．五、格点中的位似问题例5 （广东省）如图 7，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 与△ A′B′C′是关于点 O 为位似中心的位似图形，它们的极点都在小正方形的极点上．（1）画出位似中心点 O；（2）求出△ ABC 与△ A/B/C/的位似比；（ 3）以点 O 为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ ABC的位似比等于．C/ C/C1B/ C B/ CA/BA/B1 BA A1 A O 图 7 图 8六、格点中的面积问题例 6 （浙江湖州市）一青蛙在如图8×8 的正方形（每个小正方形的边长为 1）网格的格点（小正方形的极点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为 5 ，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点 A，则所组成的封闭图形的面积的最大值是_______．图 9析解：本题以青蛙这一幽默且有益的动物为背景设计题目，增加了题目的兴趣性．解题时涉及无理数、勾股定理的应用、图形面积的计算等知识．只要正确画出图形，再运用割补法即可求得面积为 12．七、格点中等腰三角形问题例 7 （重庆市）以下列图，A、 B 是 4×5 网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为晰标出使以Ａ、B、C 为极点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的地址．1，请在图中清A AB B图10 图11析解：依照网格的特色及等腰三角形的有关知识易得，AB 只能为一腰，且AB= 13 ，由勾股定理即可知点C1、 C2、 C3吻合要求（如图11）．八、格点中的拼图问题例 8 （北京市）请阅读以下资料：问题：现有 5 个边长为画出切割线并在正方形网格图1 的正方形，排列形式如图①，请把它们切割后拼接成一个新的正方形．(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．要求：小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞ 0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5 ，解得x= 5 ．由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③ 所示的新正方形．图①图②图③图④图⑤图12请你参照小东同学的做法，解决以下问题：现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图④，请把它们切割后拼接成一个新的正方形．要求：在图④中画出切割线，并在图⑤的正方形网格图 (图中每个小正方形的边长均为 1)中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写解析过程．析解：本题是一道综合型网格作图试题，涉及到无理数、勾股定理等知识，主要观察同学们的计算能力、着手操作能力．类比小东的作法，可设新正方形的边长为x(x>0)，便有 x2=10 ，解得 x=10 ．由此可知，新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图②所示的切割线，拼出如图③所示的新正方形．图 13图14温州历年中考中的格点问题19．（ 2009?温州） ( 本题 8 分 ) 在所给的 9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个极点以及对角线交点都在方格的极点上．(1) 在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数； (2) 在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数． ( 注：图甲、图乙在答题纸上 )19、（ 2011?温州）（本题8 分）七巧板是我们祖先的一项优异创立，用它可以拼出多种图形，请你用七巧板中标号为○1 ○2 ○3的三块板（如图1）经过平移、旋转拼成图形。

第01讲轴对称与轴对称图形1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形、探索轴对称的基本性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形关于给定对称轴对称图形.3.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.知识点轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.注意：1.轴对称图形的对称轴是一条直线，2.轴对称图形是1个图形，3.有些对称图形的对称轴有无数条。

⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形两个图形的对称轴.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.【题型1轴对称的相关概念】【典例1】（2022秋•昆明期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．6个B．5个C．4个D．3个【变式1-1】（2022秋•东港区期末）如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式1-2】（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有个【题型2轴对称图形的相关概念】【典例2】（2023春•渝北区校级期中）下列图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023春•青秀区校级期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2023春•南宁期中）学习轴对称图形中后，小乐画出如图四个图形，其中只有1条对称轴的图形是（）A．B．C．D．【题型3确定轴对称图形对称轴的条数】【典例3】（2023•城阳区一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．【变式3-1】下列图形中对称轴只有两条的是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有条．【题型4轴对称再镜面对称中的应用】【典例4】（2022秋•乳山市期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（）A．21：05B．20：15C．20：12D．21：50【变式4-1】（2021秋•播州区期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（）A．B．C．D．【变式4-2】（2021秋•恩施市校级期末）一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为．【题型5轴对称的操作应用】【典例5】（2022秋•桓台县期中）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．【变式5-1】（2022秋•永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【变式5-2】（2021秋•船营区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充．（1）使得图①成为轴对称图形；（2）使得图②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形；（3）使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．【题型6与轴承对称相关的探索图形规律问题】【典例6】（2020春•顺德区校级期末）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F 连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（）A．10B．15C．21D．28【变式6-1】（2021秋•沂源县期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【题型7与轴对称相关的开放性问题】【典例7】（2022秋•东营区校级期末）如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是三角形，△ABC的周长＝cm．【变式7-1】（2022秋•开封期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝25°，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中，∠1＝．【变式7-2】（2022秋•青云谱区校级期中）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有个．【题型8轴对称的实际应用】【典例8】（2022秋•乐清市月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）元．【变式8-1】（2022秋•栖霞市期末）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．【变式8-2】如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF）．（1）若∠P AD＝32°，求∠PAB的度数；（2）已知∠BAE+∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．1．（2023•平顶山二模）从“同一个世界，同一个梦想”的2008年夏季奥运会，到“一起向未来”的2022年冬季奥运会，北京成为世界上首座“双奥之城”，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．200个B．400个C．1000个D．2000个3．（海淀区）如图，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）4．（2020•薛城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．1．（2022秋•河西区期末）2022年卡塔尔世界杯开幕式上中国元素闪耀登场．下面四幅与世界杯相关的图标中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•东宝区期末）在以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）A．.B．C．.D．3．（2022春•淮阳区期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（）A．A B．B C．C D．D 4．（2023•雄县模拟）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．点A B．点C．点C D．点D 5．（2023春•海淀区校级月考）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．5B．6C．7D．8 6．（2022秋•婺城区期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC 边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③7．（2020秋•十堰期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋8．（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点9．（2022秋•汤阴县期中）小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是．10．如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．11．（秋•西城区校级期中）如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．答案与解析【题型1轴对称的相关概念】【典例1】（2022秋•昆明期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】A【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：A．【变式1-1】（2022秋•东港区期末）如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解答】解：如图，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有5个．故选C．【变式1-2】（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有个【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：故答案为：3．【题型2轴对称图形的相关概念】【典例2】（2023春•渝北区校级期中）下列图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A、B、C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【变式2-1】（2023春•青秀区校级期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【变式2-2】（2023春•南宁期中）学习轴对称图形中后，小乐画出如图四个图形，其中只有1条对称轴的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A．该图形有无数条对称轴，故此选项不合题意；B．该图形有4条对称轴，故此选项不合题意；C．该图形有1条对称轴，故此选项符合题意；D．该图形有2条对称轴，故此选项不合题意．故选：C．【题型3确定轴对称图形对称轴的条数】【典例3】（2023•城阳区一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．该图形是轴对称图形，共有1条对称轴；B．该图形是轴对称图形，共有3条对称轴；C．该图形是轴对称图形，共有2条对称轴；D．该图形是轴对称图形，共有2条对称轴．故选：B．【变式3-1】下列图形中对称轴只有两条的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、圆有无数条对称轴，故本选项不符合题意；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项不符合题意；C、矩形有2条对称轴，故本选项符合题意；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项不符合题意；故选：C．【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有条．【答案】见试题解答内容【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．故答案为：无数．【题型4轴对称再镜面对称中的应用】【典例4】（2022秋•乳山市期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（）A．21：05B．20：15C．20：12D．21：50【答案】B【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为20：15．故选：B．【变式4-1】（2021秋•播州区期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据题意，它在水中的倒影表示正确的是A，故选：A．【变式4-2】（2021秋•恩施市校级期末）一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为．【答案】鄂Q•W6E01．【解答】解：如图所示：该车的牌照号码为鄂Q•W6E01．．故答案为：鄂Q•W6E01．【题型5轴对称的操作应用】【典例5】（2022秋•桓台县期中）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．【答案】答案见解答．【解答】解：如图所示：．【变式5-1】（2022秋•永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【答案】见试题解答内容．【解答】解：作轴对称图形如下（答案不唯一）：【变式5-2】（2021秋•船营区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充．（1）使得图①成为轴对称图形；（2）使得图②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形；（3）使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．【答案】见解答．【解答】解：如图所示（答案不唯一）：【题型6与轴承对称相关的探索图形规律问题】【典例6】（2020春•顺德区校级期末）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（）A．10B．15C．21D．28【答案】C【解答】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD＝CD，在△BDE和△CDE中，∴△BDE≌△CDE（SSS），∴图2中有1+2＝3对三角形全等；同理：图3中有1+2+3＝6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．所以：第6个图形中全等三角形的对数是，故选：C．【变式6-1】（2021秋•沂源县期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠3＝（180°﹣∠1），在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠3﹣∠A，∠CED＝∠3+∠A，∴∠A′ED＝∠CED+∠2＝∠3+∠A+∠2，∴180°﹣∠3﹣∠A＝∠3+∠A+∠2，整理得，2∠3+2∠A+∠2＝180°，∴2×（180°﹣∠1）+2∠A+∠2＝180°，∴2∠A＝∠1﹣∠2．故选：A．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】D【解答】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3，∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N．故选：D．【题型7与轴对称相关的开放性问题】【典例7】（2022AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是等边三角形，△ABC的周长＝24cm．【答案】等边三角形，24．【解答】解：∵AD是△ABC的对称轴，∴BD＝CD＝4cm，AB＝AC，∴BC＝BD+CD＝8cm，∵∠DAC＝30°，∴∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的周长为＝3BC＝24cm．故答案为：等边三角形，24．【变式7-1】（2022秋•开封期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝25°，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中，∠1＝65°．【答案】65°．【解答】解：∵∠2+∠3＝90°，∠3＝25°，∴∠2＝65°．∵∠1＝∠2，∴∠1＝65°．故答案为：65°．【变式7-2】（2022秋•青云谱区校级期中）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有2个．【答案】2．【解答】解：要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域①⑤．故答案为：2．【题型8轴对称的实际应用】【典例8】（2022秋•乐清市月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为12平方米，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）3660元．【答案】12平方米；3660．【解答】解：由题意：展板的面积＝12a•b（平方米），当a＝0.5米，b＝2米时，展板的面积＝12（平方米）．制作整个造型的造价＝12×80+π×4×450＝3660（元）．故答案是：12平方米；3660．【变式8-1】（2022秋•栖霞市期末）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．【答案】如图所示，运动路线：A→P→B．【解答】解：如图所示：运动路线：A→P→B．【变式8-2】如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF）．（1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数；（2）已知∠BAE+∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．【答案】（1）116°．（2）BC∥PA．证明见解析部分．【解答】解：（1）∵∠PAD＝32°，∠P AD＝∠BAE，∠PAD+∠PAB+∠BAE＝180°，∴∠PAB＝180°﹣32°﹣32°＝116°．（2）BC∥PA，理由如下：∵∠PAD＝∠BAE，∠P AB＝180°﹣∠PAD﹣∠BAE，∴∠PAB＝180°﹣2∠BAE．同理：∠ABC＝180°﹣2∠ABE．∵∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣2（∠BAE+∠ABE）＝180°．∴BC∥PA．1．（2023•平顶山二模）从“同一个世界，同一个梦想”的2008年夏季奥运会，到“一起向未来”的2022年冬季奥运会，北京成为世界上首座“双奥之城”，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．2．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．200个B．400个C．1000个D．2000个【答案】A【解答】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况．同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况，所以最多可制作200个．故选：A．3．（2003•海淀区）如图，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED 内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【答案】B【解答】解：∵把△ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．故选：B．4．（2020•薛城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．【答案】674．【解答】解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，∵2020÷6＝336…4，当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0），∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+2＝674（次），故答案为：674．1．（2022秋•河西区期末）2022年卡塔尔世界杯开幕式上中国元素闪耀登场．下面四幅与世界杯相关的图标中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．2．（2022秋•东宝区期末）在以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）A．.B．C．.D．【答案】B【解答】解：A有2条对称轴，B有4条，C有0条，D有1条．则对称轴条数最多的一个图形是B．故选：B．3．（2022春•淮阳区期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（）A．A B．B C．C D．D【答案】B【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．故选：B．4．（2023•雄县模拟）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解答】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，故选：B．5．（2023春•海淀区校级月考）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解答】解：如图，连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，∵P1是P关于直线l的对称点，∴直线l是PP1的垂直平分线，∴OP1＝OP＝2.8，∵P2是P关于直线m的对称点，∴直线m是PP2的垂直平分线，∴OP2＝OP＝2.8，当P1，O，P2不在同一条直线上时，OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，即0＜P1P2＜5.6，当P1，O，P2在同一条直线上时，P1P2＝OP1+OP2＝5.6，∴P1，P2之间的距离可能是5，故选：A．6．（2022秋•婺城区期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】A【解答】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．故选：A．7．（2020秋•十堰期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【解答】解：如图所示，，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．8．（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】D【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2020÷6＝336…4，∴当点P第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，∴第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点D，故选：D．9．（2022秋•汤阴县期中）小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是．【答案】12：08：51．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是12：08：51．故答案为：12：08：51．11．如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．【答案】9．【解答】解：∵△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，＝S△ACD＝，S△CEF＝S△BEF，∴S△ABD∴阴影部分的面积等于△ABC面积的一半，＝×18＝9（cm2）．∴S阴影故答案为：9．11．（秋•西城区校级期中）如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求．（2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求．。

初一数学专题三多边形、轴对称考点例析华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题三多边形、轴对称考点例析二、知识点分析1.三角形内角和、外角的性质、三角形的三边关系，会根据三边关系判断已知的三条线段能否组成三角形.2.三角形的分类.3.三角形具有稳定性.4.多边形的内角和与多边形的外角和的探索过程.5.理解某些正多边形能够铺满地面的道理，会欣赏丰富多彩的图案.6.了解轴对称的概念，能够判断一个图形是不是轴对称图形，并能找出对称轴.7.会画和一个简单图形关于某条直线成轴对称的图形，会设计简单的轴对称图形. 特别是在坐标系中对一些图形会以坐标轴为对称轴进行轴对称变换.8.认识线段的垂直平分线的性质，并能用来解决相关的简单问题.9.理解等腰三角形的性质与判定，了解等边三角形是特殊的等腰三角形，以及等边三角形的性质与判定，能用来解决相关的简单问题.10.等腰三角形性质表示如果一个三角形是等腰三角形，那么可以得出：两底角相等；而要判定一个三角形是等腰三角形，必须先说明三角形中有两个角相等. 两者是实现“等角”与“等边”相互转化的重要依据，常用来说明两条线段、两个角相等.三、典型例题求正多边形的边数例1．若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．分析:根据由多边形的内外角和公式列出边数的方程解题.解:设多边形的边数为n，则（n-2）×180°＝3×360°，解得n＝8求正多边形的内角例2.如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是.分析:根据多边形内角和及正多边每个内角相等.解:正五边形的内角和为：（5－2）×180°＝540°，又因为正五边形内角相等，故∠ABC＝540°÷5＝108°.点评:正多边形既具有一般凸多边形的内角和关系：（n－2）×180°，同时它还具有各角都相等，各边都相等的特性.求多边形的个数例3.若n边形所有的边都相等，所有的内角都相等，则这样的n边形叫做正n边形，如果一个正n边形的每个内角的度数都是整数，那么这样的正n边形共有＿＿＿＿个.分析:因为这个正n边形的每个内角的度数都是整数，所以这个正n边形的每个外角的度数也是整数，所以n应是360的约数．解: 易求得360的大于2的约数共有22个：3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360，所以这样的正n边形共有22个．求正多边形的对角线条数例4. 如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，则这个多边形的对角线的总条数为＿＿＿＿．分析: 本题首先根据多边形的内外角的关系求出多边形的边数，再联系对角线的条数计算可求得这个多边形的对角线的总数.解:设外角为x ，则内角为（4x+30°）因为每一个内角与它的外角互为邻补角所以：x+(4x+30°)=180°x=30°.因为多边形的外角和为360°，所以360°÷30°=12这个多边形的内角和为（12-2）×180°=1800°，因为12边形从任意顶点出发均可以画出9条对角线所以对角线的总条数为：21×9×12=54， 这个多边形的对角线的总条数为21×12×（12-3）=54.求不规则的多边形的角度和例5. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为＿＿＿＿＿.分析:我们观察整个图形，里面包含着三角形和四边形，我们可以借助四边形的内角和解决问题.解:四边形ABPO 的内角和为∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°.因为∠BPO 是△PDC 的外角，所以∠BPO=∠C+∠D.因为∠POA 是△OEF 的外角，所以∠POA=∠E+∠F.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.点评:把这些分散的角集中到一起构成多边形，借助多边形内角和求解，体现转化的思想.正多边形的操作例6. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.将纸片展开，得到的图形是（）分析: 把一个正方形按如图所示进行四次折叠，将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，展开，得到的图形是C.解:C.点评: 本题无论是内容还是方法都更重视动手实验操作的作用.要改变以往数学学习过分依赖模仿与记忆的学习方式.正多边形的密铺例7. 如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面。

利用对称点解三角形中的格点问题（本讲适合初中）如果三角形的三个角的度数都是１０的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的格点．求解三角形中的格点问题，常可利用对称点．利用对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新颖有趣，是学生巩固知识，培养能力，陶冶情操，提高素质的宝贵资料．１证明对称点常用的方法大家知道，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴．根据对称点的定义不难知道，欲证两点Ｍ、Ｎ关于线段ＰＱ所在的直线对称，只要证明 ＭＰＱ≌ ＮＰＱ即可．不过，在证明对称时，只须摆明条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系．例１在 ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＣＢ＝２０°，Ｍ为∠ＡＣＢ的平分线上一点，∠ＭＢＣ＝２０°．求∠ＭＡＢ的度数．解：如图１，设∠ＭＢＡ的平分线交ＡＣ于Ｄ，连ＤＭ．图１显然，ＢＭ平分∠ＤＢＣ，而ＣＭ平分∠ＤＣＢ，即Ｍ为△ＤＢＣ的内心．可知∠ＭＤＢ＝∠MDC＝60°．有∠ＡＤＢ＝６０°＝∠ＭＤＢ．故点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称．则∠ＭＡＢ＝９０°－∠ＤＢＡ＝７０°．这里证得“点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称”是根据“角、边、角”．例２ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４０°，Ｐ为形内一点，∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°．求∠ＰＢＣ的度数．解：如图２，以ＡＣ为一边在△ＡＢＣ外作正△ＤＡＣ．连ＤＰ ．由∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°，可知ＰＡ＝ＰＣ．有点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称．得∠ＰＤＡ＝ 21∠ＡＤＣ＝３０°．由∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝４０°，可知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ． 易知∠ＰＡＤ＝８０°＝∠ＰＡＢ，可知点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称．有∠ＰＢＡ＝∠ＰＤＡ＝３０°．则∠ＰＢＣ＝１０°．这里证出“点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称”是根据“边、边、边”，证出“点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称”是根据“边、角、边”．综上可知，证明两个点关于某线段所在直线对称，是一件很容易做的事情．而且熟练以后，更可能节省些笔墨．明确了这一点，我们就要积极、主动地创造条件，注意利用对称点． ２ 在哪些情况下应想到使用对称点三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线，这是使用对称点的最方便的条件，换言之，在题目给出或求证角平分线时，要想到使用对称点．例３ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｐ为∠ＡＢＣ的平分线上一点，∠ＰＣＢ＝１０°．求∠ＰＡＢ的度数．解：如图３，在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ．连ＤＰ、ＤＣ．图 ３由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，可知点Ｄ与点Ｃ关于ＢＰ对称．有ＰＤ＝ＰＣ．由∠ＤＰＣ＝２（∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ）＝６０°，可知△ＰＣＤ为正三角形．有ＰＣ＝ＤＣ．在△ＡＣＤ中，由∠ＡＤＣ＝７０°＝∠ＤＡＣ，可知ＡＣ＝ＤＣ．有ＡＣ＝ＰＣ．在△ＰＣＡ中，由∠ＰＣＡ＝２０°，可知∠ＰＡＣ＝８０°．则∠ＰＡＢ＝３０°．这里由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，想到在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ，则点Ｄ为点Ｃ关于ＢＰ的对称点．这是取对称点的最简单、最基本的方法．例４在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｑ为形内一点，∠ＱＢＡ＝∠ＱＣＡ＝２０°．求∠ＱＡＢ的度数．解：如图４，设ＢＱ交ＡＣ于Ｄ，过点Ｄ作ＢＣ的垂线交ＱＣ于Ｅ．连ＢＥ．图４由∠ＱＢＣ＝３０°＝∠ＡＣＢ，可知ＤＥ为ＢＣ的中垂线．由∠ＱＣＢ＝１０°，可知∠ＥＢＣ＝１０°，∠ＱＢＥ＝２０°＝∠ＱＢＡ．由∠ＥＤＢ＝６０°＝∠ＥＤＣ，可知∠ＢＤＡ＝６０°＝∠ＢＤＥ．有点Ａ与点Ｅ关于ＢＤ对称．则∠ＱＡＢ＝∠ＱＥＢ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝２０°．这里注意到ＢＱ是∠ＡＱＣ的平分线，故想到在ＱＣ上取点Ｅ，使∠ＥＢＱ＝∠ＡＢＱ，则点Ｅ为点Ａ关于ＢＱ的对称点．为此想到满足条件的点Ｅ，恰为ＢＣ中垂线与ＱＣ的交点。

一、选择题⨯的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格1．如图，在33⨯的正方形格纸中，与ABC成轴点三角形，图中ABC是一个格点三角形，在这个33对称的格点三角形最多有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列说法中错误的是（）A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等C．全等的三角形一定关于某条直线对称D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称4．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（）A．1 号袋B．2 号袋C．3 号袋D．4 号袋5．下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．下列说法：①三角形的一个外角等于它的任意两个内角和；②内角和等于外角和的多边形只有四边形；③角是轴对称图形，角的对称轴是角平分线．其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．37．下面4个汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 8．如图，折叠三角形纸片ABC ，使点B 与点C 重合，折痕为DE ；展平纸片，连接AD ．若6AB =cm ，4AC =cm ，则ABD ∆与ACD ∆的周长之差（ ）A ．等于1 cmB ．等于2 cmC ．等于3 cmD ．无法确定 9．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．下列图形中是轴对称图形的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．如图，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝90°，点A 关于BC 的对称点是A '，点B 关于AC 的对称点是B '，点C 关于AB 的对称点是C '，若△ABC 的面积是1，则△A 'B 'C '的面积是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．将一张正方形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、AF 为折痕，点B 、D 折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′A D′=16°，则∠EAF 的度数为（ ）．A ．40°B ．45°C ．56°D ．37°二、填空题13．Rt ABC 中，C ∠是直角，O 是两内角平分线的交点，6AC =，8BC =，10BA =，O 到三边的距离是______.14．如图有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝4cm ，BC ＝8cm ，把纸片的部分折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则△ACD 的周长为_____．15．有一条长方形纸带，按如图所示沿AB 折叠，若140︒∠=，则纸带重叠部分中____CAB ︒∠=16．如图，将一张长方形纸片分别沿着EP 、FP 对折，使点A 落在点A ′，点B 落在点B ′，若点P ，A ′，B ′在同一直线上，则两条折痕的夹角∠EPF 的度数为_____．17．如图，把一张长方形的纸片沿着EF 折叠，点C 、D 分别落在M 、N 的位置，且∠AEF ＝23∠DEF ，则∠NEA ＝_____．18．在ABC ∆中，将B ，C ∠按如图所示方式折叠，点B ，C 均落于边BC 上一点Q 处，线段MN ，EF 为折痕，若82A ∠=︒，则MQE ∠=______.19．如图，点 P 是∠AOB 内部一定点（1）若∠AOB ＝50°，作点 P 关于 OA 的对称点 P 1，作点 P 关于 OB 的对称点 P 2，连 OP 1、OP 2，则∠P 1OP 2＝___.（2）若∠AOB ＝α，点 C 、D 分别在射线 OA 、OB 上移动，当△PCD 的周长最小时，则∠CPD ＝___（用 α 的代数式表示）.20．将一张长方形纸条折成如图所示的图形，如果∠1=64°，那么∠2=_______．三、解答题21．已知，如图ABC ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，点F 在AB 的延长线上，EG AC ⊥，垂足为点G ，ED 垂直平分BC ，D 为垂足，连结BE ，CE ． 求证：BEF CEG △≌△．22．（教材呈现）数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：试一试如图，AOB ∠为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB ∠的平分线.第一步：在射线OA 、OB 上，分别截取OD 、OE ，使0;OD E =第二步：分别以点D 和点E 为圆心，适当长(大于线段DE 长的一半)为半径作圆弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ；第三步：作射线OC .射线OC 就是所要求作的AOB ∠的平分线（问题1）赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是__________________．（问题2）小明发现只利用直角三角板也可以作AOB ∠的角平分线，方法如下： 步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 、OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ON =． ②分别过点M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．③作射线OP ，则OP 为AOB ∠的平分线．请根据小明的作法，求证OP 为AOB ∠的平分线．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(-1，4)，B(-1，1)．C(-4，5)．（1）在图中做△ABC 关于y 轴对称的△A' B' C'．并写出点A'，B’， C'的坐标；（2）在直角坐标系中，找一点P ，使得△ABC 全等于△ABP ，请直接写出点P 坐标．24．如图，方格子的边长为1，△ABC的顶点在格点上．(1)画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)求△ABC的面积．25．如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的两幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．26．如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A 、B 和直线l ，且AB 长为3．6．（1）求作点A 关于直线l 的对称点1A ．（2）P 为直线l 上一动点，在图中标出使AP BP +的值最小的P 点，且求出AP BP +的最小值？（3）求ABP ∆周长的最小值？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解．【详解】解：与ABC 成轴对称的格点三角形最多有6个．故答案为：D．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．2．C解析：C【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．C解析：C【分析】根据轴对称的性质和定义，对选项进行一一分析，选择正确答案．【详解】A、成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，符合轴对称的定义，故正确；B、关于某条直线对称的两个图形全等，符合轴对称的定义，故正确；C、全等的三角形一定关于某条直线对称，由于位置关系不确定，不一定关于某条直线对称，故错误；D、若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称，符合轴对称的定义，故正确．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．4．B解析：B【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出正确选项．【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：∴最后落入2号球袋,故选B.【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键．5．B解析：B【分析】根据轴对称的定义即可解答.【详解】解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴,根据轴对称的定义可得只有B选项是轴对称图形．故选B．【点睛】本题考查轴对称的定义，熟悉掌握是解题关键.6．B解析：B【分析】根据三角形的外角和定理、三角形的内角和定理、角的性质、对称轴的定义知识点逐个判断即可．【详解】解： ①应为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项错误； ②内角和等于外角和的多边形只有四边形，故正确；③角是轴对称图形，角的对称轴是角的平分线所在的直线，③错误；综上所述， ②正确，故选B ．【点睛】本题考查了三角形的外角和定理、三角形的内角和定理、角的性质、对称轴的定义相关知识点,能熟记知识点的内容是解此题的关键．7．D解析：D【分析】根据轴对称图形的概念求解．注意找到对称轴可很快的判断是否是轴对称图形．【详解】解：A 、是轴对称图形，故不符合题意；B 、是轴对称图形，故不符合题意；C 、是轴对称图形，故不符合题意；D 、不是轴对称图形，故符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．B解析：B【分析】根据折叠的性质可得BD=CD ，由此可得ABD ∆与ACD ∆的周长之差等于AB 与AC 的差．【详解】由折叠得，BD=CD ，∵6AB =cm ，4AC =cm ，∴△ABD 的周长-△ACD 的周长=（AB+AD+BD ）-(AD+AC+CD)=AB-AC=6-4=2cm ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的折叠问题，由折叠得到BD=CD 是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此可知只有第三个图形不是轴对称图形．【详解】解：根据轴对称图形的定义：第一个图形和第二个图形有2条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第三个图形找不到对称轴，则不是轴对称图形，不符合题意．第四个图形有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意；轴对称图形共有3个．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：第1个是轴对称图形；第2个不是轴对称图形；第3个是轴对称图形；第4个是轴对称图形；第5个不是轴对称图形.故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．11．B解析：B【分析】B B′的延长线交A′C′于E，如图，根据轴对称的性质得到DB′=DB，BB′⊥AC，BC=BC′，AB=A′B，则可判断△ABC≌△A′BC′，所以∠C=∠A′C′B，AC=A′C′，则AC∥A′C′，所以DE⊥A′C′，且BD=BE，即B′E=3BD，然后利用三角形面积公式可得到S△A′B′C′=3S△ABC．【详解】BB′的延长线交A′C′于E，如图，∵点B关于AC的对称点是B'，∴DB′＝DB，BB′⊥AC，∵点C关于AB的对称点是C'，∴BC＝BC′，∵点A关于BC的对称点是A'，∴AB＝A′B，而∠ABC＝∠A′BC′，∴△ABC≌△A′BC′（SAS），∴∠C＝∠A′C′B，AC＝A′C′，∴AC∥A′C′，∴DE⊥A′C′，而△ABC≌△A′BC′，∴BD＝BE，∴B′E＝3BD，∴S△A′B′C′＝12A′C′×B′E＝3×12×BD×AC＝3S△ABC＝3×1＝3．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．12．D解析：D【分析】根据图形，利用折叠的性质，折叠前后形成的图形全等，对应角相等.【详解】解：由折叠可知∠DAF=∠D′AF，∠B′AE=∠B′AD′，由题意可知：∠DAF+∠D′AF+∠BAE+∠B′AE-∠B′AD′=∠BAD，∵∠B′A D′=16°∴可得：2×（∠B′FA +∠B′A D′）+2×（∠D′AE +∠B′A D′）-16°=90°则∠B′FA+∠D′AE +∠B′A D′=∠EAF=37°故选D.【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．二、填空题13．2【分析】根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF根据三角形面积公式求出R 即可【详解】解：过O作OD⊥AC于DOE⊥BC于EOF⊥AB于F连接OC∵O为∠A∠B的平分线的交点∴OD＝OFOE＝OF∴OD解析：2【分析】根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF，根据三角形面积公式求出R即可．【详解】解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，连接OC，∵O为∠A、∠B的平分线的交点，∴OD＝OF，OE＝OF，∴OD＝OE＝OF，设OD＝OE＝OF＝R，∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO，则12×6×8＝12×6R＋12×8R＋12×10R，解得R＝2，即OD＝OE＝OF＝2，∴点O到三边的距离为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键．14．12cm【分析】根据折叠的性质得到AD＝BD根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：由折叠的性质可知AD＝BD∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝12（cm）故答案解析：12cm．【分析】根据折叠的性质得到AD＝BD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：由折叠的性质可知，AD＝BD，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝12（cm），故答案为：12cm ．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，掌握折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．15．70【分析】根据两直线平行同位角相等得到再由折叠的性质得到则问题得解【详解】由下图可知//又由折叠的性质得到且故答案为：70【点睛】本题考查平行线的性质折叠问题与角的计算需要计算能力和逻辑推理能力属解析：70【分析】根据两直线平行同位角相等得到240∠=︒，再由折叠的性质得到34∠=∠，则问题得解.【详解】由下图可知BE //AF1240∴∠=∠=︒又由折叠的性质得到34∠=∠，且234180∠+∠+∠=︒180234702︒-∠∴∠=∠==︒ 故答案为：70.【点睛】本题考查平行线的性质、折叠问题与角的计算，需要计算能力和逻辑推理能力，属中档题. 16．90°【分析】根据翻折的性质得到∠APE ＝∠APE ∠BPF ＝∠BPF 根据平角的定义得到∠APE+∠BPF ＝90°即可求得答案【详解】解：如图所示：∵∠APE ＝∠APE ∠BPF ＝∠BPF ∠APE+∠A解析：90°【分析】根据翻折的性质得到∠APE ＝∠A'PE ，∠BPF ＝∠B'PF ，根据平角的定义得到∠A 'PE +∠B 'PF ＝90°，即可求得答案.【详解】解：如图所示：∵∠APE＝∠A'PE，∠BPF＝∠B'PF，∠APE+∠A'PE+∠BPF+∠B'PF＝180°，∴2（∠A'PE+∠B'PF）＝180°，∴∠A'PE+∠B'PF＝90°，又∴∠EPF＝∠A'PE+∠B'PF，∴∠EPF＝90°，故答案为：90°．【点睛】此题考查折叠的性质，平角的定义.17．36°【分析】由于∠AEF＝∠DEF根据平角的定义可求∠DEF由折叠的性质可得∠FEN＝∠DEF再根据角的和差即可求得答案【详解】∵∠AEF＝∠DEF∠AEF+∠DEF＝180°∴∠DEF＝108°解析：36°．【分析】由于∠AEF＝23∠DEF，根据平角的定义，可求∠DEF，由折叠的性质可得∠FEN＝∠DEF，再根据角的和差，即可求得答案．【详解】∵∠AEF＝23∠DEF，∠AEF+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝108°，由折叠可得∠FEN＝∠DEF＝108°，∴∠NEA＝108°+108°﹣180°＝36°．故答案为：36°．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质及平角的定义，解题的关键是注意数形结合思想的应用，难度一般．18．【分析】由折叠的性质得到∠MQN=∠B∠EQF=∠C由三角形内角和定理得到∠B+∠C=98°根据平角的定义即可得到答案【详解】解：由折叠的性质得到∠MQN=∠B∠EQF=∠C∵∠A+∠B+∠C=18解析：82【分析】由折叠的性质，得到∠MQN=∠B，∠EQF=∠C，由三角形内角和定理，得到∠B+∠C=98°，根据平角的定义，即可得到答案.【详解】解：由折叠的性质，得到∠MQN=∠B ，∠EQF=∠C ，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°82-︒=98°，∴∠MQN+∠EQF=98°，∴1809882MQE ∠=︒-︒=︒；故答案为：82︒.【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，以及平角的定义，解题的关键是熟练掌握折叠的性质进行解题.19．100°180°-2α【分析】（1）根据对称性证明∠P1OP2=2∠AOB 即可解决问题；（2）如图作点P 关于OA 的对称点P1作点P 关于OB 的对称点P2连P1P2交OA 于C 交OB 于D 连接PCPD 此时△解析：100° 180°-2α【分析】（1）根据对称性证明∠P 1OP 2=2∠AOB ，即可解决问题；（2）如图，作点P 关于OA 的对称点P 1，作点P 关于OB 的对称点P 2，连P 1P 2交OA 于C ，交OB 于D ，连接PC ，PD ，此时△PCD 的周长最小．利用（1）中结论，根据对称性以及三角形内角和定理即可解决问题；【详解】（1）如图，由对称性可知：∠AOP=∠AOP 1，∠POB=∠BOP 2，∴∠P 1OP 2=2∠AOB=100°，故答案为100°．（2）如图，作点P 关于OA 的对称点P 1，作点P 关于OB 的对称点P 2，连P 1P 2交OA 于C ，交OB 于D ，连接PC ，PD ，此时△PCD 的周长最小．根据对称性可知：∠OP1C=∠OPC，∠OP2D=∠OPD，∠P1OP2=2∠AOB=2α．∴∠CPD=∠OP1C+∠OP2D=180°-2α．故答案为180°-2α．【点睛】本题考查作图-最短问题、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．58°【分析】由折叠可得∠2=∠CAB依据∠1=64°即可得到∠2=（180°-64°）=58°【详解】由折叠可得∠2=∠CAB又∵∠1=64°∴∠2=（180°-62°）=58°故答案为58°【点解析：58°．【分析】由折叠可得，∠2=∠CAB，依据∠1=64°，即可得到∠2=12（180°-64°）=58°．【详解】由折叠可得，∠2=∠CAB，又∵∠1=64°，∴∠2=12（180°-62°）=58°，故答案为58°．【点睛】本题考查了折叠性质，平行线性质的应用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题21．见解析【分析】利用角平分线的性质得出EF EG =，再利用线段垂直平分线的性质得出BE CE =，最后证明Rt △BEF ≌Rt △CEG 即可．【详解】证明：AE ∵平分FAC ∠，EF AF ⊥，EG AC ⊥，EF EG ∴=， DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=，EF AF ⊥，EG AC ⊥，90BFE CGE ∴∠=∠=︒，在Rt BEF 和Rt CEG △中，BE CE EF EG=⎧⎨=⎩ Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．22．【问题1】边边边（或SSS ）；【问题2】见解析【分析】问题1：根据三角形全等的SSS 定理解答；问题2：证明Rt △ONP ≌Rt △OMP ，根据全等三角形的性质证明即可．【详解】解：问题1：张老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS ， 故答案为：SSS ；问题2：由作图得：OM ON =，PN OB ⊥，PM OA ⊥．∴90PNO PMO ∠=∠=︒．∴PNO 和PMO △是直角三角形．∵OP OP =，∴ONP OMP ≌．∴AOP BOP ∠=∠．∴OP 为AOB ∠的平分线．【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答．23．（1）图见解析；（2）P （-4，0）或（2，5）或（2，0）【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图即可；（2）根据三角形全等的判定确定点P坐标即可．【详解】解：（1）如图所示：（2）如下图所示：共有共有3个P点使得使得△ABC全等于△ABP，分别为：（-4，0）、（2，5）、（2，0）【点睛】本题考查了轴对称变换中的作图问题，解题的关键是要确定关键点的对称点．24．（1）见解析；（2）5．【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于直线l的对称点，再顺次连接即可；（2）利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可得到△ABC的面积．【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示：（2）△ABC的面积=3×4−12×2×4−12×1×3−12×1×3=5．【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换以及三角形面积的求法，关键是找出对称点的位置以及利用割补法求面积．25．见解析【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【详解】解：如图所示．【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．26．（1）见解析；（2）点P位置见解析，最小值为5；（3）8.6【分析】（1）根据题意作图即可（2）连接BA1交直线l于点P，由两点间，线段最短即可确定点P的位置（3）由（2）中求得点P的位置，即可得AB+AP+BP=AB+A1P+BP=AB+A1B【详解】（1）如图，点A1即为所作点A关于直线l的对称点（2）连接BA1交直线l于点P，连接AB，AP，则AP=A1P，由两点之间，线段最短可知，AP BP最短值为5，（3）由（2）可知，点P 即可使△ABP最小的位置故△ABP周长的最小值为AB+AP+BP=AB+A1P+BP=3.6+A1B=3.6+5=8.6【点睛】此题考查轴对称变换的作图及两点间线段最短的问题，解题关键在于掌握通过轴对称建立最短路径进行解题．。

2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题8 直角三角形一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021八上·台州期中）如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠B=90°∠A=30°，∠ADC=120°，则CD的长为（）A．2B．1.5C．3D．2.52．（2021八上·绍兴期中）如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A=30°，BC=3，点D在AB上且AB=3AD，那么CD的长是（）A．2 √3B．√13C．2 √6D．43．（2021八上·萧山期中）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则以下判断正确的是（）A．BC＝2CD B．CD＝2AB C．AC＝2CD D．CD＝BD4．（2021八上·萧山期中）如图：BD△AC于点B，G是线段BD上一点(不与点B，点D重合)，且AB=BG，BD=BC，E，F分别为AD，CG的中点，AD=6，连结EF，DF，若△DEF为直角三角形，则DF的长度为()A．3B．√27C．3或√27D．3或√27或√185．（2021八上·下城期中）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE 相交于F，且AD＝DB.若△B＝20°，则△DFE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．（2021八上·台州期中）如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°7．（2021八上·瑞安期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C 也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2020八上·温州期中）如果直角三角形的两条直角边的长分别为6cm和8cm，那么斜边上的中线等于（）A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．10cm9．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=60∘，M是BC延长线上一点，CM=2，P是边AB上一动点，连结PM，作△DPM与△BPM关于PM对称(点D 与点B对应)，连结AD，则AD长的最小值是（）A．0.5B．0.6C．5−√21D．√13−3 10．（2021八上·下城期末）在△ABC中，△BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ()A．若AC=2AB，则△C=30°B．若AC=2AB，则3BD=2CDC．若△B=2△C，则AC=2AB D．若△B=2△C，则S△ABD=2△ACD二、填空题（每题4分，共24分）11．（2020八上·湖州期中）在Rt△ABC中，锐角△A＝25°，则另一个锐角△B＝°. 12．（2021八上·鹿城期中）如图，△ABC＝30°，AB＝8，F是射线BC上一动点，D在线段AF上，以AD为腰作等腰直角三角形ADE（点A，D，E以逆时针方向排列），且AD＝DE＝1，连接EF，则EF的最小值为.13．（2021八上·绍兴期中）如图△MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C 从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是秒时，△ABC是直角三角形．14．（2021八上·温州期中）如图，在直角三角形ABC中，△ACB＝90°，AB＝7，点D是AB的中点，点P是斜边AB上的一个动点，FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，则PQ+QD的最小值为.15．（2021八上·诸暨期中）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是．16．在△ABC中，△C=90°，△A:△B=1: 2，则△B=.三、解答题（共8题，共66分）17．图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A 和点B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形(画一个即可)；（2）在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形(画一个即可)；18．（2021八上·余杭月考）如图，在ΔABC中，AB=AC=10，∠ABC=60°，D是BC边上的点，且DC=3，过点D作BC边的垂线交AC边于点E，求AE的长.19．如图，在△ABC中，△B=△C=60°，AD△BC于D，E为AC的中点，CB=8，求DE的长.20．（2021八上·镇海期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，过点D分别作DE、DF 垂直AB、AC.（1）求证：DE＝DF；（2）若△B＝30°，AE＝1，求BC.21．（2021八上·诸暨期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2√5，BC＝4，求证：△ABC是“奇妙三角形”；（2）在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝2√3，若△ABC是“奇妙三角形”，求BC的长．22．（2020八上·杭州期中）已知：如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，△BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE△AC，DF△BC，垂足分别是E、F.（1）求证：AE＝BF；（2）求AE的长；（3）求线段DG的长.23．阅读下列材料，解决提出的问题：【最短路径问题】如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求.如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B’，这时对于直线l 上的任一点C，都保持CB＝CB’，从而把问题（2）变为问题（1）.因此，线段AB’与直线l的交点C 的位置即为所求.为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C’，连接AC’，BC’，B’C’.因为AB’≤AC’+C’B’，∴AC+CB≤AC’+C’B，即AC+BC最小.（1）【数学思考】材料中划线部分的依据是.（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是.（填字母代号即可）A．转化思想B．分类讨论思想C．整体思想（3）【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，△C＝90°，△BAC＝15°，点P为C边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝6cm，求BP+DP的最小值.24．（2021八上·兰溪月考）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）如图①，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．求证：△ABD是“准直角三角形”．（2）关于“准直角三角形”，下列说法正确的是（填写所有正确结论的序号）①在△ABC中，若△A＝100°，△B＝70°，△C＝10°，则△ABC是准直角三角形；②若△ABC是“准直角三角形”，△C＞90°，△A＝60°，则△B＝20°；③“准直角三角形”一定是钝角三角形．（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且△ABC＝50°．若P是l上一点，且△ABP 是“准直角三角形”，请直接写出△APB的度数．答案解析部分1．【答案】A【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过D 作DE△AB 于E ，过C 作CF△ED 于F 点，∵△A=30°，∴DE=12AD=2，△ADE=90°-△A=60°，∴△CDF=△ADC -△ADE=60°， ∴△FCD=30°， ∴CD=2FD=2. 故答案为：A.【分析】过D 作DE△AB 于E ，过C 作CF△ED 于F 点，根据含30°角的直角三角形的性质求出DE ，根据角的和差关系求出△CDF ，再根据含30°角直角三角形的性质求CD 即可.2．【答案】B【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理 【解析】【解答】解：如图，作CE△AB 于E ，∵△A=30°，△ACB=90°， ∴AB=2BC=6， ∵△BEC=90°， ∴△BCE=90°-△B=30°，∴BE=12BC=1.5，CE=√BC 2−BE 2=3√32，∵AB=3AD ， ∴BD=23AB=4， ∴DE=BD -BE=4-1.5=2.5，∴CD=√CE 2+DE 2=√(3√32)2+(52)2=√13.故答案为：B.【分析】作CE△AB 于E ，根据含30°角的直角三角形的性质求出AB ，BE 和CE ，然后根据AB=3AD 求出BD ， 再根据线段间的和差关系求出DE ，最后在Rt△CED 中，根据勾股定理求CD 长即可.3．【答案】D【知识点】直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵CD 是斜边AB 的中线，∴AB=2CD ，故A 、B 、C 不符合题意； ∴CD=BD ，故D 符合题意； 故答案为：D.【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到AB=2CD ，CD=BD=AD ，由此可得到正确结论的选项.4．【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS ）；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：连接BE ，BF ，∵BD△AC ，∴△ABD=△GBC=90°， 在△ABD 和△GBC 中{AB =GB∠ABD =∠GBC BD =BC∴△ABD△△GBC （SAS ） ∴△A=△BGC ，AD=CG=6； ∵E ，F 分别为AD ，CG 的中点，∴AE=DE=BE=12AD=3，GF=FC=BF=12GC=3，∴△ADB=△EBD ，△BGF=△FBG ， ∵△A+△ADB=90° ∴△A+△EBD=90°， ∴△BGF+△EBD=90°，∴△EBD+△FBG=90°即△EBF=90°， ∴BE=BF=3∴EF =√32+32=3√2，∵△DEF 是直角三角形，DE ＜EF ， 当△EDF=90°时DF =√EF 2−ED 2=√(3√2)2−32=3； 当△DEF=90°时，DF=√EF2+ED2=√(3√2)2+32=3√3，故答案为：C.【分析】连接BE，BF，利用垂直的定义可证得△ABD=△GBC，利用SAS证明△ABD△△GBC，利用全等三角形的性质可得到△A=△NGC，AD=CG=6；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BE，BF，ED的长，利用等边对等角可推出△ADB=△EBD，△BGF=△FBG，利用三角形的内角和定理去证明△EBF=90°，利用勾股定理求出EF的长；根据△DEF是直角三角形，DE＜EF，分情况讨论：当△EDF=90°时；当△DEF=90°时；分别利用勾股定理求出DF的长.5．【答案】D【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵在△ABC中，△ACB＝90°，E是AB的中点，∴BE＝CE，又∵△B＝20°∴△ECB＝△B＝20°，∵AD＝BD，△B＝20°，∴△DAB＝△B＝20°，∴△ADC＝△B+△DAB＝20°+20°＝40°，∴△DFE＝△ADC+△ECB＝40°+20°＝60°.故答案为：D.【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得BE＝CE，由等腰三角形的性质可得△ECB＝△B＝20°，△DAB＝△B＝20°，由外角的性质可得△ADC＝△B+△DAB＝40°，△DFE＝△ADC+△ECB，据此进行计算.6．【答案】B【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图，取△2，∵△2=90°-45°=45°，∴△1=60°+45°=105°. 故答案为：B.【分析】取△2，根据角的和差关系求出△2，再利用三角形外角的性质求△1即可.7．【答案】C【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：①AB 为直角△ABC 斜边时，符合条件的格点C 点有2个；②AB 为直角△ABC 其中的一条直角边时，符合条件的格点C 点有1个. 故共有3个点. 故答案为：C.【分析】分AB 为斜边以及直角边，根据直角三角形两直角边垂直找出点C 的位置，据此解答.8．【答案】C【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为6cm 和8cm ，∴斜边长为：√62+82=10（cm ），∴斜边上的中线长为：12×10=5（cm ）.故答案为：C.【分析】根据勾股定理求得斜边长，再由直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，从而得出答案.9．【答案】C【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图，过点A 作AE△BC 于点E ，当点A 在DM 的上时AD 的值最小，如图，∵CM=2，BC=3，∴BM=BC+CM=5，由折叠得：DM=BM=5，∵△B=60°，∴△ BAE=90°−60°=30°，又AB=4，BC=3，∴BE=12AB=2，在中RtΔABE中，∵AE2+BE2=AB2，∴AE=√AB2−BE2=√42−22=2√3，∴EM=BM−BE=5−2=3，在RtΔAEM中，∵AE2+EM2=AM2，∴AM=√AE2+EM2=√(2√3)2+32=√21，∴AD=DM−AM=5−√21.故答案为：C.【分析】过点A作AE△BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据CM、BC的值可得BM，由折叠的性质得DM=BM=5，易得△BAE=30°，则BE=12AB=2，在Rt△ABE中，应用勾股定理求出AE，进而可得EM，然后在Rt△AEM中，由勾股定理求出AM，进而可得AD.10．【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形的性质【解析】【解答】解：由题，△BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，A、若AC=2AB，则BC=√AB2+AC2=√5AB，若△C=30°，BC=2AB，故A选项错误；B、如图：若AC=2AB，则BC=√AB2+AC2=√5AB，作AE△BC，则S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AE，可得AE=AB⋅ACBC=AB⋅2AB√5AB=2√55AB，∵AD=AB，∴BE=DE=√AB2−AE2=√55AB，∴BD=2√55AB,DC=BC−AB=3√55AB，∴3BD=2CD，故B选项正确；C、若△B=2△C，∵△BAC=90°，∴△B+△C=90°，∴△C=30°，△B=60°，∴BC=2AB，AC＜2AB，故C选项错误；D、若△B=2△C，由选项C可得△C=30°，△B=60°，∵AD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴△ADB=60°，∴△DAC=△ADB-△C=30°=△C，∴AD=DC=BD，即AD为△ABC的中线，∴S△ABD=S△ACD，故D选项错误.故答案为：B.【分析】A、根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；B、作AE△BC，利用勾股定理及直角三角形面积等积法分别求出BD、CD的长，从而确定BD与CD 的关系，然后判断即可；C、若∠B=2∠C，可求出△C=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；D、若△B=2△C，由选项C可得△C=30°，△B=60°，可证△ABD为等边三角形，继而求出AD为△ABC 的中线，可得S△ABD=S△ACD，据此判断即可.11．【答案】65【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=25°，∴另一个锐角∠B=90°−∠A=65°，故答案为：65.【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可得.12．【答案】√10【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵△ADE是等腰直角三角形，∴△ADE＝△EDF＝90°，∵AD＝DE＝1，∴EF＝√DE2+DF2＝√12+DF2，∴当DF的值最小时，EF的值最小，∵AF△BC时，AF的值最小，∴DF的值最小，∵△B＝30°，∴此时AF＝12AB＝4，DF＝3，EF＝√10.故答案为：√10.【分析】由等腰直角三角形的性质可得△ADE＝△EDF＝90°，AD＝DE＝1，由勾股定理表示出EF，推出AF△BC时，AF的值最小，则DF的值最小，据此求解.13．【答案】3或12【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：如图：当△ABC是以△ACB＝90°的直角三角形时，∵△MAN＝60°，∴△ABC＝30°，∴AC= 12AB=3，∴运动时间t= AC1=31=3秒，当△ABC是以△ABC＝90°的直角三角形时，∵△MAN＝60°，∴△ACB＝30°，∴AC= 2AB=12，∴运动时间t= AC1=121=12秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形.故答案为：3或12.【分析】当△ABC是以△ACB＝90°的直角三角形时，△ABC＝30°，由30°所对的直角边为斜边的一半可得AC的值，然后除以速度可得时间；当△ABC是以△ABC＝90°的直角三角形时，△ACB＝30°，同理可得t的值.14．【答案】3.5【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：连接CQ、CD，∵FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，∴CQ ＝PQ ，∴PQ+QD ＝CQ+QD ，∴当C 、Q 、D 共线时，PQ+QD 有最小值，最小值为CD ， ∵△ACB ＝90°，AB ＝7，点D 是AB 的中点， ∴CD ＝ 12 AB ＝3.5.故答案为：3.5.【分析】连接CQ 、CD ，由垂直平分线的性质可得CQ ＝PQ ，推出当C 、Q 、D 共线时，PQ+QD 有最小值，最小值为CD ，然后结合直角三角形斜边上中线的性质进行解答.15．【答案】5【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边为6和8，∴斜边长为√62+82=10， ∴斜边上的中线长为12×10=5.故答案为：5.【分析】首先由勾股定理求出斜边长，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解.16．【答案】60°【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵在△ABC 中，△C=90°，△A:△B=1: 2设△A=x ，则△B=2x ， ∴△A+△B=90°即x+2x=90° 解之：x=30°， ∴△B=2×30°=60°. 故答案为：60°.【分析】由已知设△A=x ，则△B=2x ，利用直角三角形的两锐角互余，建立关于x 的方程，解方程求出x 的值，然后求出△B 的度数。

9.2 中心对称与中心对称图形【中档题】（满分100分时间：40分钟）班级姓名得分【知识点回顾】1、中心对称：一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。

这个点叫做对称中心。

2、成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

3、中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点就是它的对称中心。

【课时练习】一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（2021·重庆北碚区·西南大学附中九年级期末）下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义求解．【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意；D、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查轴对称与中心对称的应用，熟练掌握轴对称与中心对称的意义是解题关键．2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）若4y kx =-的函数值y 随x 的增大而增大，则(,3)k 关于原点的对称点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据函数的性质确定k ＞0，判断点(,3)k 在第一象限，根据中心对称的性质即可求解．【详解】解：∵4y kx =-的函数值y 随x 的增大而增大，∴k ＞0，∴点(,3)k 在第一象限，∴(,3)k 关于原点的对称点在第三象限．故选：C【点睛】本题考查了一次函数的增减性，中心对称的性质，根据一次函数的增减性判断k 的符号是解题关键．3．（2020·广州白云广雅实验学校九年级月考）如图，0MON 9°Ð=，ABC V 关于OM 的对称图形是111A B C V ，111A B C V 关于ON 的对称图形是222A B C V ，则ABC V 与222A B C V 的关系是（ ）A．平移关系B．关于O点成中心对称Ð的平分线成轴对称D．关于直线ON成轴对称C．关于MON【答案】B【分析】可设OM所在直线为y轴，ON所在直线为x轴，再根据平面直角坐标系中轴对称与中心对称的对称点的坐标关系便可求解．【详解】不妨设OM所在直线为y轴，ON所在直线为x轴，∵△ABC关于OM的对称图形是△A1B1C1，∴A与A1、B与B1、C与C1的纵坐标相同，横坐标互为相反数，∵△A1B1C1关于ON的对称图形是△A2B2C2，∴A1与A2、B1与B2、C1与C2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴A与A2、B与B2、C与C2的横坐标、纵坐标都互为相反数，则由中心对称图形在平面直角坐标系中对称点的坐标关系可知：△ABC与△A2B2C2关于O点成中心对称．故答案为：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的特征和中心对称图形的识别，正确区分两种对称变换的特征是解题的关键．4．（2020·山东淄博市·鲁村中学八年级月考）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．④B．③C．②D．①【答案】C【分析】将一个图形旋转180度后能与原图形重合的图形是中心对称图形，根据定义解答．【详解】A、涂④后构成轴对称图形，不符合题意；B、涂③后构成轴对称图形，不符合题意；C、涂②后构成中心对称图形，符合题意；D、涂①后既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．．【点睛】此题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点及区别是解题的关键．5．（2020·全国九年级课时练习）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（）△≌△；④AC＝BD．①OB＝OD；②AB＝CD；③ABO CDOA．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】根据成中心对称的两个图形的性质解答．【详解】解：∵△ABO和△CDO关于点O成中心对称，∴△ABO≌△CDO，∴OB＝OD，AB＝CD，而AC＝BD不一定成立，故选：B．【点睛】此题考查成中心对称的两个图形的性质：成中心对称的两个图形全等，熟记性质是解题的关键．6．（2020·上海嘉定区·七年级期末）下列说法中正确的是（）A．如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形一定也是轴对称图形；B．如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形一定也是轴对称图形；C．如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形一定也是旋转对称图形；D．如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形一定也是中心对称图形；【答案】C【分析】根据旋转对称图形、轴对称图形、中心对称图形的定义及性质判断各选项即可得出答案．【详解】A、如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意；B、如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形不一定是轴对称图形，如平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项不符合题意；C、如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形一定也是旋转对称图形，故选项符合题意；D、如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形不一定也是中心对称图形，当一个旋转对称图形没有旋转180°则不是中心对称图形，故选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了旋转对称图形、轴对称图形、中心对称图形，属于基础题，注意掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）-关于原点对称的点的坐标为______．7．（2021·福建莆田市·九年级期末）在平面直角坐标系中，点(2,4)-【答案】(2,4)【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答．【详解】点(2,4)-关于原点对称的点的坐标为(2,4)-，故答案为：(2,4)-．【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数．8．（2021·重庆市璧山中学校九年级月考）已知点(,3)-A m 与(6,1)B n -关于原点对称，则m n +=____________．【答案】-8【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答．【详解】∵点(,3)-A m 与(6,1)B n -关于原点对称，∴m=-6，1-n=3，∴n=-2，∴m+n=-6-2=-8，故答案为：-8．【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，求代数式的值，熟记坐标特征是解题的关键．A a b+关于原点O对称的点的坐标是9．（2020·富顺县北湖实验学校九年级月考）直角坐标系里，点(,1)(4,3)，则点A的坐标为____．【答案】（-4，-3）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【详解】A a b+关于原点O对称的点的坐标是(4,3)，解：∵点(,1)∴a=-4，b+1=-3∴点A的坐标为(-4，-3) ．故答案为：(-4，-3)．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．10．（2020·孝感市孝南区教学研究室九年级期中）如图，O是正方形ABCD的中心，M是ABCD内一点，V绕O点旋转180°后得到BNACM=，则MN的长为V．若390DMCÐ=°，将DMCMD=，4______．【分析】延长BN交CM与E，判定△NME为等腰直角三角形，求出NE的长，再据勾股定理可计算得MN的长．【详解】解：如下图在正方形ABCD中延长BN交CM于E，由题意据中心对称的性质，得∠ABE=∠CDM，∠MDC与∠MCD互余，∠ABE与∠EBC互余∴∠EBC=∠DCM；同理可得∠MCB=∠ABN又∠ABN=∠CDM∴∠MCB=∠MDC又BC=CD∴△BEC≌△CMD∴∠BEC=∠CMD=90° BE=CM=4 CE=DM=3∴ME=CM-CE=1，NE=BE-BN=1所以△MNE为等腰直角三角形，且∠NEM是直角，ME=NE=1，由勾股定理得=．【点睛】此题考查综合运用中心对称的性质解决问题．其关键是要运用中心对称的性质找全等条件，证明△BEC ≌△CMD ．三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11．（2021·山东淄博市·八年级期末）如图，平面直角坐标系的原点在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格的格点上，ABC V 为格点三角形（三角形的顶点在网格的格点上）（1）直接写出下列点的坐标：A （______，______），B （______，______），C （______，______）．（2）直接画出经过下列变换后的图形：将ABC V 向右平移1个单位，再向下平移6个单位后，得到111A B C △（其中：点A 移动后为点1A ，点B 移动后为点1B ，点C 移动后为点1C ）再将其绕点1A 顺时针旋转180°得到222A B C △．（3）通过观察分析判断ABC V 与222A B C △是否关于某点成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标；如果不是，说明理由．【答案】（1）(3,2)A ，(1,1)B ，(4,0)；（2）见解析；（3）ABC V 与222A B C △关于点P 成中心对称，点P 的坐标为 7,12öæ-ç÷èø．【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据网格结构分别找出点A 、B 、C 平移后的对称点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；分别找出点A 1、B 1、C 1绕点A 1顺时针旋转180°的对应点A 2、B 2、C 2的位置，然后顺次连接即可；（3）根据网格结构和中心对称的性质确定出对称中心，并根据对称中心的位置写出坐标即可．【详解】解：（1）(3,2)A ，(1,1)B ，(4,0)C ．（2）111A B C △如图所示，222A B C △如图所示．（3）如图所示，ABC V 与222A B C △关于点P 成中心对称，∵C（4,0），C2（3，-2），CP=C2P，点P的横坐标为：12×（4+3）＝72，纵坐标为：12×（0-2）＝-1，∴P7,12öæ-ç÷èø．【点睛】本题考查了利用平移、旋转变换作图及中心对称等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移、旋转及中心对称的性质并准确找出对应点的位置．12．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在66´的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2、图3中各画一个以A，B为顶点的四边形，满足以下要求：（1）在图1中画出一个面积为6，且是中心对称的四边形；（2）在图2中画出一个面积为9，且是轴对称的四边形；（3）在图3中画出一个既是轴对称又是中心对称的四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）画一个底为2，高为3的平行四边形即可；（2）画一个上底为2，下底为4，高为3的梯形即可；（3）以AB为边画一个正方形即可．【详解】解：（1）如图，四边形ABCD即为所作；（2）如图，四边形ABCD即为所作；（3）如图，四边形ABCD即为所作．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握相应图形的性质，以及网格的性质．V各顶点坐标为：13．（2021·朝阳县羊山实验中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABCA-，(4,0)(2,3)B-，(1,1)C-．（1）作ABC V 关于原点O 成中心对称的111A B C △；（2）将111A B C △向上平移5个单位，作出平移后的222A B C ；（3）在x 轴上求作一点P ，使2PA PA +的值最小，并求出点P 的坐标【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解，2,05æöç÷èø【分析】(1)根据关于原点对称的点的坐标特征分别作出点A 、B 、C 关于原点的对称点A 1、B 1、C 1，即可得到△A 1B 1C 1；(2)根据平移的性质分别作出点A 1、B 1、C 1向上平移5个单位的对称点A 2、B 2、C 2，即可得到△A 2B 2C 2；(3)由于点A′和A 关于x 轴对称，连结A′A 2交x 轴于P ，则PA′=PA ，所以PA+PA 2=PA′+PA 2=A′A 2，根据两点之间线段最短得到PA 2+PA 的值最小，接着利用待定系数法求出直线A′A 2的解析式为5142y x =-，然后计算函数值为0时的自变量的值即可得到点P 的坐标．【详解】(1)如图，△A 1B 1C 1为所求；(2)如图，△A 2B 2C 2为所求；(3) 作点A 关于x 轴对称的对称点A′，连结A′A 2交x 轴于P ，则P 点为所求，则PA′=PA ，所以PA+PA 2=PA′+PA 2=A′A 2，根据两点之间线段最短得到PA 2+PA 的值最小，设直线2A A ¢的解析式为y kx b =+，把(2,3)A ¢--，2(2,2)A 代入得：2322k b k b -+=-ìí+=î，解得5412k b ì=ïïíï=-ïî，∴直线2A A ¢的解析式为5142y x =-，当0y =时，51042x -=，解得25x =，P 点坐标为2,05æöç÷èø．【点睛】本题考查了作图-中心对称变换和平移变换．根据中心对称的性质可知，作对应点与中心O连线并延长，利用对应线段相等，由此可以射线上的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出成中心对称的图形．14．（2020·长沙市中雅培粹学校）阅读下列材料并完成题目：类似于平移变换是在原有横、纵坐标上加减一个数，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过变换φ得到P′（x′，y′），把这种变换记作φ（x，y）＝（x′，y′），其中''x ax byy ax by=+ìí=-î（a，b为常数），例如：当a＝1，且b＝1时，则φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）①当a＝2，且b＝1时，φ（﹣2，1）＝ ．②若φ（3，1）＝（﹣3，﹣3），则a＝ ，b＝ ．（2）点P（2，1）经过变换φ得到点P′（x′，y′），若点P′与点P关于原点对称，求a和b的值．（3）对任意横、纵坐标满足二元一次方程2x﹣y＝0的点P（x，y），点P经过变换φ得到点P′（x′，y′），若点P与点P′重合，求a和b的值．【答案】（1）①（﹣3，﹣5）；②﹣1，0；（2）31,42a b=-=-；（3）32a=，14b=-．【分析】（1）①根据变换φ的定义解答即可；②根据变换φ的定义构建方程组即可解决问题；（2）先根据关于原点对称的点的坐标特点求出点P′的坐标，再根据变换φ的定义构建方程组即可解决问题；（3）由题意可设P（x，2x），然后根据变换φ的定义构建方程组即可解决问题．【详解】解：（1）①x′＝2×（﹣2）+1×1＝﹣3，y′＝2×（﹣2）﹣1×1＝﹣5，∴φ（﹣2，1）＝（﹣3，﹣5），故答案为：（﹣3，﹣5）；②由题意，得3333a ba b+=-ìí-=-î，解得1ab=-ìí=î，故答案为：﹣1，0；（2）∵点P′与点P关于原点对称，P（2，1），∴P′（﹣2，﹣1），由题意，得2221a ba b+=-ìí-=-î，解得3412abì=-ïïíï=-ïî；所以31,42 a b=-=-；（3）由题意可设P（x，2x），则有222ax bx xax bx x+=ìí-=î，解得3214abì=ïïíï=-ïî．所以32a=，14b=-．【点睛】本题是新定义题目，以φ变换为载体，主要考查了二元一次方程组的解法和关于原点对称的点的坐标特点，正确理解变换法则、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．。