2 对偶空间

§2 对偶空间
设V 是数域P 上一个n 维线性空间.V 上全体线性函数组成的集合记作),(P V L .可以用自然的方法在),(P V L 上定义加法和数量乘法.
设g f ,是V 的两个线性函数.定义函数g f +如下：
V g f g f ∈+=+αααα,)()()(.
g f +也是线性函数：
,
))(())(()()()()()
()())((βαβαβαβαβαβαg f g f g g f f g f g f +++=+++=+++=++
))(()()()()())((ααααααg f k kg kf k g k f k g f +=+=+=+.
g f +称为f 与g 的和.
还可以定义数量乘法.设f 是V 上线性函数，对于P 中任意数k ，定义函数kf 如下：
V f k kf ∈=ααα,))(())((,
kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.
容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，),(P V L 成为数域P 上的线性空间.
取定V 的一组基n εεε,,,21 ，作V 上n 个线性函数n f f f ,,,21 ，使得
.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j f j i =⎩
⎨⎧≠==ε (1) 因为i f 在基n εεε,,,21 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V 中向量∑==n
i i i x 1εα，有
i i x f =)(α, (2)
即)(αi f 是α的第i 个坐标的值.
引理对V 中任意向量α，有
∑==n
i i i f 1)(εαα, (3)
而对),(P V L 中任意向量f ，有
∑==n
i i i f f f 1)(ε. (4)
定理2 ),(P V L 的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是),(P V L 的一组基. 定义2),(V P L 称为V 的对偶空间.由（1）决定),(P V L 的的基，称为n εεε,,,21 的对偶基.
以后简单地把V 的对偶空间记作*V .
例考虑实数域R 上的n 维线性空间n x P V ][=，对任意取定的n 个不同实数n a a a ,,,21 ，根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式
.,,2,1,)
())(()()())(()()(111111n i a a a a a a a a a x a x a x a x x p n i i i i i i n i i i =--------=
+=+- 它们满足 .,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j a p j i =⎩⎨⎧≠==
)(,,)(),(21x p x p x p n 是线性无关的，因为由
0)()()(2211=+++x p c x p c x p c n n
用i a 代入，即得
n i c a p c a p c
i i p i n k i k k ,,2,1,0)()(1 ====∑=.
又因V 是n 维的，所以)(,,)(),(21x p x p x p n 是V 的一组基.
设),,2,1(n i V L i =∈*是在点i a 的取值函数：
.,,2,1.)(,)())((n i V x p a p x p L i i =∈=
则线性函数i L 满足
.,,2,1,,,
,0;,1)())((n j i j i j i a p x p L i j j i =⎩⎨⎧≠=== 因此，n L L L ,,,21 是)(,,)(),(21x p x p x p n 的对偶基.
下面讨论V 的两组基的对偶基之间的关系.
设V 是数域P 上一个n 维线性空间.n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是V 的两组基.它们的对偶基分别是n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .再设
A n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =
B f f f g g g n n ),,,(),,,(2121 =
其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n n b b b b b b b b b B 212222111211 由假设
n i a a a n ni i i i ,,2,1,2211 =+++=εεεη,
n j f b f b f b g n nj j j i ,,2,1,2211 =+++=.
因此
n j i j i j i a b a b a b a a a f b g ni
nj i j i j n ni i i n
k k kj i j ,,2,1,,,0;,1)
()(221122111 =⎩
⎨⎧≠==+++=+++=∑=εεεη
由矩阵乘法定义，即得
E A B =' 即
1-='A B
定理3设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分
别为n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .如果由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1)(-'A .
设V 是P 上一个线性空间，*V 是其对偶空间，
取定V 中一个向量x ，定义*V 的一个函数**x 如下：
***∈=V f x f f x ,)()(.
根据线性函数的定义，容易检验**x 是*V 上的一个线性函数，因此是*V 的对偶空间****=V V )(中的一个元素.
定理4 V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间.V 到**V 的映射
**→x x
是一个同构映射.
这个定理说明，线性空间V 也可看成*V 的线性函数空间，V 与*V 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.。