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对偶定理简单举例对偶定理在许多领域中都有应用，以下是其中一些例子：1. 线性规划中的对偶问题：在线性规划中，原问题是最小化一组线性函数，而其对偶问题是最小化另一组线性函数。
通过对偶问题的解决，可以获得原问题的最优解，或者在原问题无解的情况下找到一个界。
2. 最大流最小割定理：这是图论中的一个著名定理，它表明在一个有向图中，从一个源点到汇点的最大流等于最小割的容量。
最小割是由源点和汇点分离的顶点集合，其容量是从源点到汇点的所有边的容量之和。
3. 图论中的对偶图：对于一个给定的图，我们可以构造一个对偶图，其中每个顶点对应于原图中的边，而每条边对应于原图中的顶点。
对偶图有许多有趣的应用，例如在计算机视觉和网络分析中。
4. 离散概率论中的对立事件：在离散概率论中，两个对立事件是互斥且完备的，即它们不可能同时发生，并且它们的并集是整个样本空间。
对立事件的对偶性是概率论的一个重要概念，它在概率计算和概率推理中有广泛应用。
5. 集合的对偶表示：对于一个给定的集合，我们可以构造一个对偶集合，其中每个元素都对应于原集合中的一个元素。
对偶集合有许多有趣的性质和应用，例如在组合数学和离散概率论中。
6. 逻辑电路中的对偶逻辑：在逻辑电路中，对偶逻辑是一种常用的设计方法，它将一个复杂的逻辑电路简化为更简单的形式。
通过对偶逻辑，可以将一个具有多个输入和输出的逻辑函数表示为一个或多个简单的逻辑函数，从而简化电路的设计和实现。
7. 信息论中的对偶编码：在信息论中，对偶编码是一种常用的编码方法，它通过对原始信息进行适当的变换和编码，实现信息传输和存储的可靠性、保密性和完整性。
对偶编码有许多实际应用，例如在数据传输、网络通信和存储系统中。
8. 化学中的对偶键：在化学中，对偶键是指两个分子之间形成的共价键，其中一个分子提供电子，另一个分子接受电子。
对偶键是化学键的一种重要类型，它决定了分子的结构和性质。
9. 离散概率论中的对偶概率：对于一个给定的概率分布，我们可以构造一个对偶概率分布，其中每个事件都对应于原概率分布中的一个样本点。
霍奇对偶物理学霍奇对偶（Hodge duality）是物理学中的一个重要概念，它在电磁学、微分几何和拓扑学等领域中有着广泛的应用。
霍奇对偶关系的建立使得我们能够将一个向量场与其对偶场进行对应，从而深化了我们对物理现象的理解。
霍奇对偶最初是由数学家霍奇（W. V. D. Hodge）提出的，他在研究微分形式与调和形式的关系时发现了这一现象。
霍奇对偶的基本思想是将微分形式分解为调和形式和闭形式的和，从而将微分几何问题转化为调和形式的求解问题。
这个思想在物理学中有着广泛的应用，尤其是在电磁学中。
在电磁学中，我们知道电磁场可以用电磁势来描述，其中矢势表示磁场，电势表示电场。
根据麦克斯韦方程组，我们可以得到矢势和电势的联络关系。
然而，这个联络关系并不唯一，因为我们可以给矢势加上一个梯度场而不改变物理现象。
这就引出了一个问题：如何选取一个唯一的矢势表示电磁场？这时，霍奇对偶的概念就可以派上用场了。
根据霍奇对偶，我们可以将电磁场中的矢势与其对偶场进行对应。
对偶场是通过对矢势进行霍奇星算子（Hodge star operator）作用得到的，它表示的是电磁场中的“磁场线密度”。
通过这种对应关系，我们可以选择一个唯一的矢势表示电磁场，而不再受到梯度场的影响。
霍奇对偶关系的建立不仅仅在电磁学中有重要意义，它还在微分几何和拓扑学中发挥着重要的作用。
在微分几何中，我们可以将微分形式分解为调和形式和闭形式的和，从而研究微分流形的拓扑性质。
而在拓扑学中，霍奇对偶关系可以帮助我们研究流形上的奇点和周期结构。
霍奇对偶是物理学中一个非常重要的概念，它在电磁学、微分几何和拓扑学等领域中都有着广泛的应用。
通过建立矢势与对偶场的对应关系，霍奇对偶使得我们能够选择一个唯一的矢势来描述电磁场，从而深化了我们对物理现象的理解。
同时，霍奇对偶还在微分几何和拓扑学中发挥着重要的作用，帮助我们研究微分流形的拓扑性质和奇点结构。
通过进一步研究和应用霍奇对偶，相信我们能够在物理学和数学领域中取得更多的突破和进展。
电磁学对偶原理的应用论文引言在电磁学领域中，对偶原理是一种重要的概念。
它表明在电动力学中，电场与磁场之间存在着密切的关系，可以根据一个场的性质推导出另一个场的性质。
这种对偶性为我们理解和应用电磁学提供了便利。
本文将介绍电磁学对偶原理的基本概念，并探讨其在实际应用中的重要性和意义。
电磁学对偶原理的基本概念电磁学对偶原理是由麦克斯韦方程组中的麦克斯韦方程所揭示的。
麦克斯韦方程组描述了电场与磁场的演化规律。
其中，麦克斯韦第一和第二方程描述了电磁场的传播规律，而麦克斯韦第三和第四方程描述了电磁场的产生和消失规律。
对于电磁学对偶原理，我们将电场和磁场互相转换为对方。
具体而言，对于一个具有特定电场分布的问题，我们可以应用对偶原理来确定相应的磁场分布。
同样，对于一个具有特定磁场分布的问题，我们也可以应用对偶原理来确定相应的电场分布。
电磁学对偶原理的应用1. 天线设计天线是一种用于收发无线电信号的装置，其设计需要考虑电磁场的分布。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的电场分布来确定相应的磁场分布，从而优化天线的设计。
2. 光学器件设计光学器件设计中经常需要根据所需的光场分布来确定器件的形状和参数。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的磁场分布来确定相应的电场分布，从而指导光学器件的设计和优化。
3. 无线电波传播无线电通信中，信号的传播需要考虑电磁场的分布和干扰情况。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的电场分布来确定相应的磁场分布，从而优化无线电波的传播。
4. 电磁波屏蔽和隔离在一些特定的应用中，我们需要对电磁波进行屏蔽和隔离。
应用电磁学对偶原理，我们可以根据所希望得到的磁场分布来确定相应的电场分布，从而设计和优化电磁波屏蔽和隔离材料。
5. 元件互补和逆设计元件互补技术是一种基于电磁学对偶原理的方法，可以根据已有元件的电场分布来设计逆向的磁场分布，从而实现对该元件的互补。
这一技术在电路设计和电磁学研究中有着广泛的应用。
课程研究报告（课程设计）电与磁的对偶性姓名学号课程名称专业同组同学得分电与磁的对偶性摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。
只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流产生的电磁场。
关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。
1、 无源区麦克斯韦方程组：如果把其中的两个按如下方式写成一组：0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩（1）得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H（除了有一负号）是对称的。
这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →-、εμ→、με→代换，得到另外一组方程。
0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩ →,,E H H E εμμε⎡⎤→→-⎢⎥→→⎣⎦ 0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩(2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。
数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。
2、 广义麦克斯韦方程（有源区）在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推广后所得到的麦克斯韦方程就具有对偶性。
设理想的磁荷密度为m ρ、磁流密度为m J，并满足守恒定律，即()(),,0mmr t r t tJ ρ∂∇+=∂进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷在激发电场相一致，磁流几番电场与电流激发磁场一致。
根据这一假设，推广的麦克斯韦方程组和边界条件是：, ,e mm eH E E J t EH H J t ρμερεμ⎧∂∇=∇⨯=--⎪∂⎪⎨∂⎪∇=∇⨯=+⎪∂⎩（3） ()()2122121,1 ,n es n msn ms n es e D D e E E J e B B e H H J ρρ⎧⎡⎤-=⨯-=-⎣⎦⎪⎨⎡⎤-=⨯-=-⎪⎣⎦⎩(4) 式中下表ms 表示表示“磁量源”，下表es 表示“电量源”，ms J 是磁流密度，其量纲为V/2m ；m ρ是磁荷密度，其量纲为Wb/3m 。
天线对偶原理天线对偶原理是电磁场理论中的重要概念，它指出了天线的电磁特性与其结构的对偶关系。
对于任意一种天线结构，可以通过对其进行适当的几何和电磁参数的对偶变换，得到一个与之对称的新天线结构，该新结构的电磁特性与原结构相同。
这种对偶关系使得天线的设计和分析变得更加灵活和简便。
天线对偶原理的提出源于电磁学的基本原理，即电磁场方程组的对称性。
在电磁学中，电场和磁场是彼此密切关联的，它们之间的转换是通过麦克斯韦方程组来描述的。
根据麦克斯韦方程组的对称性，我们可以得到电场和磁场的对偶关系。
在天线设计中，天线结构的几何形状和电磁参数决定了其辐射和接收的特性。
而根据天线对偶原理，我们可以通过对天线结构的对偶变换，得到一个新的天线结构，其电磁特性与原天线相同。
这种对偶变换可以通过以下几个步骤来实现：1. 几何对偶变换：将天线的导体结构进行镜像翻转或旋转，得到一个与原天线几何形状对称的新天线。
例如，将一根直线天线的导体结构进行镜像翻转，得到一个与原天线相同的反向直线天线。
2. 电磁对偶变换：将天线的电磁参数进行对偶变换，使得新天线的电磁特性与原天线相同。
例如，将一个具有电感的天线进行对偶变换，得到一个具有电容的新天线，其电磁特性与原天线相同。
通过对天线结构的几何和电磁参数进行对偶变换，我们可以得到一系列与原天线等效的新天线结构。
这些新天线结构可能在几何形状、频率响应、辐射图案等方面有所不同，但它们在电磁特性上与原天线相同。
因此，天线对偶原理为我们提供了一种有效的设计和分析天线的方法。
天线对偶原理的应用广泛。
在天线设计中，我们可以通过对偶变换来简化天线结构，减小尺寸，改善频率响应和辐射特性。
此外，天线对偶原理还可以用于天线的互补设计，即通过将两个互补的天线进行对偶变换，得到一对互补的天线，以实现特定的辐射特性或天线阵列的设计。
天线对偶原理是电磁场理论中的重要概念，它指出了天线的电磁特性与其结构的对偶关系。
通过对天线结构的几何和电磁参数进行对偶变换，我们可以得到一系列与原天线等效的新天线结构。
电磁对偶原理的应用什么是电磁对偶原理电磁对偶原理是电磁学中的基本原理之一。
它认为电场和磁场是密切相关的，并且可以通过一系列的对偶变换相互转换。
具体来说，电磁对偶原理指出，一个电场中存在的电荷分布，对应着磁场中的电流分布；而一个磁场中存在的电流分布，则对应着电场中的电荷分布。
电磁对偶原理在电磁学领域具有广泛的应用和意义。
电磁对偶原理的应用1. 天线设计天线是无线通信中最重要的组成部分之一，而电磁对偶原理正是天线设计中的一个基本原理。
通过对天线的电场和磁场进行变换、对偶处理，可以在设计过程中得到理想的天线性能。
例如，通过电磁对偶原理，可以将一个电场垂直的柱状天线变换为一个磁场平行的环形天线，从而实现不同方向的辐射。
2. 反射和透射电磁对偶原理在反射和透射的问题中也有重要的应用。
在电磁波的传播中，当电磁波遇到介质边界时，会发生反射和透射现象。
通过电磁对偶原理，我们可以通过分析电场和磁场的变换关系，来研究光在不同介质中的反射和透射规律。
这对于解释和设计光纤通信系统、反射镜、透镜等光学装置都非常重要。
3. 光学器件设计光学器件的设计中也广泛应用了电磁对偶原理。
通过对电磁场分布的分析，可以利用光学元件的电磁对偶性质来设计出各种功能的器件。
例如，利用电磁对偶原理，可以设计出反射镜、透镜、偏振器等光学器件，实现对光的控制和调整。
4. 反向雷达技术反向雷达技术也是电磁对偶原理的一个重要应用领域。
反向雷达技术是指通过探测和分析周围环境中的电磁波来获取目标物体的信息。
通过电磁对偶原理，可以将雷达系统中的接收机和发射机进行对偶处理，从而实现对电磁波的接收和发送。
5. 电磁波传输电磁对偶原理在电磁波传输中也有广泛的应用。
通过对电磁波进行对偶变换，可以实现电场和磁场的相互转换。
这对于电磁波的传输和调控非常重要，尤其是在微波和光纤通信领域。
通过电磁对偶原理的应用，可以实现电磁波的无线传输、光信号的放大与调制等。
6. 模拟和数字电路设计电磁对偶原理在模拟和数字电路设计中也有重要的应用。
电与磁对偶性原理的应用1. 介绍电与磁对偶性原理是一个重要的物理原理，它指出电场和磁场之间存在对称关系。
根据这一原理，我们可以利用电场的特性推导出磁场的特性，反之亦然。
在实际应用中，电与磁对偶性原理被广泛运用于多个领域，包括电磁波传播、天线设计、电磁感应等。
2. 电与磁对偶性原理在电磁波传播中的应用电与磁对偶性原理在电磁波传播中起到重要的作用。
通过对电场和磁场的关系进行研究，我们可以推导出电磁波的传播特性。
例如，根据对偶性原理，我们可以推导出电场和磁场之间的波动方程，并得到电磁波的传播速度和传输特性。
这些推导为电磁波技术的应用提供了理论基础。
3. 电与磁对偶性原理在天线设计中的应用天线是将电能转换成电磁波能量的装置。
在天线设计中，电与磁对偶性原理可以帮助我们理解天线的辐射和接收特性。
例如，通过分析天线的电场分布和磁场分布，我们可以确定天线的辐射方向和辐射功率。
利用对偶性原理，我们可以将电场的特性应用于磁场，以确定天线的磁场分布。
这对于优化天线设计和提高天线性能至关重要。
4. 电与磁对偶性原理在电磁感应中的应用电与磁对偶性原理在电磁感应中也有广泛的应用。
根据对偶性原理，我们可以推导出在磁场变化时产生的感应电场和感应磁场。
这些感应场可以用于能量传输、传感器设计等应用。
例如，利用对偶性原理，我们可以设计感应电磁线圈来实现无线电能传输。
这可以应用于无线充电、无线通信等领域。
5. 其他应用领域除了上述应用领域外，电与磁对偶性原理还可以应用于电磁屏蔽、电能传输、电磁传感等领域。
它为我们理解和应用电磁现象提供了一个统一的框架。
通过对偶性原理的应用，我们可以更好地理解电场和磁场之间的关系，从而推导出一系列的应用。
结论电与磁对偶性原理的应用广泛，涵盖了电磁波传播、天线设计、电磁感应等多个领域。
它为我们理解和应用电磁现象提供了有力支持。
通过充分利用电与磁对偶性原理，我们可以优化设计、提高性能，并推动电磁技术的不断发展。
电磁学对偶原理的应用1. 引言电磁学对偶原理是电磁学中的基本原理之一，它描述了电场和磁场之间的关系。
在实际应用中，电磁学对偶原理被广泛运用于各种领域，包括通信、雷达、天线设计等。
本文将介绍电磁学对偶原理的基本概念，并探讨其在实际应用中的一些例子。
2. 电磁学对偶原理概述电磁学对偶原理是从麦克斯韦方程组中导出的，它表明在电场和磁场之间存在一种对称关系。
简而言之，对于一组满足麦克斯韦方程组的电场解，存在一个相应的磁场解，而两者满足相同的方程组。
这意味着通过对电场解进行某种变换，可以得到相应的磁场解，反之亦然。
3. 电磁学对偶原理在通信领域的应用电磁学对偶原理在通信领域有着广泛的应用。
其中一个例子是天线设计。
通过运用电磁学对偶原理，可以将一种适用于电场的天线转换为相应的适用于磁场的天线。
这种转换可以扩展天线的应用范围，提高天线的性能。
另一个例子是天线阵列设计。
天线阵列是一种将多个天线组合在一起使用的系统，通过电磁学对偶原理，可以根据电场解设计一个天线阵列，并通过相应的变换得到适用于磁场的天线阵列。
这种设计方法可以提高天线阵列的方向性和性能。
4. 电磁学对偶原理在雷达系统中的应用雷达系统是一种利用电磁波进行探测和测量的设备。
电磁学对偶原理在雷达系统中也有着重要的应用。
其中一个例子是天线旋转机构的设计。
通过运用电磁学对偶原理，可以设计一种能够同时适用于电场和磁场的天线旋转机构，从而实现雷达系统的全向探测。
另一个例子是波束形成技术。
波束形成是一种将雷达信号聚焦在特定方向的技术，通过电磁学对偶原理，可以设计一种同时适用于电场和磁场的波束形成系统。
这种系统可以实现更高的方向性和灵敏度，提高雷达系统的探测效果。
5. 其他领域中的电磁学对偶原理应用除了通信和雷达领域，电磁学对偶原理在其他领域中也有广泛应用。
一个例子是光学中的偏振器和波片设计。
通过电磁学对偶原理，可以将电场中的偏振器和磁场中的波片进行相互转换，从而扩展光学器件的应用范围。
临沂大学课程研究报告/课程设计临沂大学YINYI UNIVERSITY 课程研究报告（课程设计）电与磁的对偶性摘要：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，，电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。
关键字：Maxwell，对偶性，磁荷，磁流，电荷，电流内容：一、无源区的Maxwell 方程组｛{0E HE tμ∇⋅=∂∇⨯=-∂｛0H E H tε∇⋅=∂∇⨯=∂以上两组方程形式完全相同，它们关于E 和H （除有一负号外）是对称的，对其中一组作,,,E H H E εμμε→→→→代换得到｛E H H tμ∇⋅=∂∇⨯=-∂→→｛,,,E H H E εμμε→→-→→｝→←｛0H E H tε∇⋅=∂∇⨯=∂数学上称这种具有相同形式的两组方程为对偶方程。
二、有源区的Maxwell 方程在有源区，由于在自然界还没有发现与电荷电流相对应的真实的磁荷、磁流，所以Maxwell 方程是不对称的。
宏观电磁场运动中，Maxwell 方程的两个独立方程{(2.1)(2.2)BE tDH J t ∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂对于线性均匀各向同性戒指，其结构方程,,D E B H J E εμσ===，所以有{(2.3)(2.4)HE tEH E t μσε∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂对方程2.3两边求旋度，再利用2.4式和电场的高斯定理，得222()(2.5)E J E t t ρεμμε∂∂∇-=+∇∂∂同样对2.4两边取旋度，并利用磁场的高斯定理得222(2.6)HH J tμε∂∇-=-∇⨯∂ 磁场的高斯定理表明，磁感应强度B 是一无散的矢量场，可用矢量位表示，设(2.7)B A =∇⨯，将2.7带入2.1得()0A E t ∂∇⨯+=∂。
由此可见，()A E t∂+∂是一无旋矢量场，可用标量位ϕ的梯度表示AE tϕ∂+=-∇∂，从而得A E t ϕ∂=--∇∂。
电、磁、力中的对偶刘红摘要：本文从对偶的角度解释了电、磁、力之间的关系，总结了高扬提出的用于全局优化的典范对偶理论及利用它解决非线性非凸问题的主要思路和优点。
引言电、磁、力三大物理分支存在对偶关系。
透过它们之间的不同外部现象，抽象出数学模型，看到他们的本质却是相同的。
三大系统的物理量间又存在着对偶关系，这就是典范对偶理论。
非线性的变量关系或非凸性的能量函数是造成系统复杂性的关键原因。
典范对偶理论旨在利用非线性变换，凸化的手段，把原空间中不便于处理的问题转化到对偶空间中来处理。
这就是把“不美”的东西转化为“美”的东西，然后处理“美”的东西，最后通过能量守恒的原理把处理的结果反馈回原空间中。
而三个驻点对偶定理提供了能量在原空间和对偶空间中进行的最优化的理论基础。
本文先从最简单的线性电阻电路模型开始，表示出在线性情况下的典范对偶模型。
描述这种电路的数学模型是线性方程组。
解这类线性方程组等价于二次规划的最优解。
线性模型对应线性算子，非线性模型对应非线性算子。
通过非线性变换，以及利用任何函数都可以分解为凸函数之差的方法，可将非线性非凸问题转换为线性的凸的问题。
这种转换，有别于泰勒展开后取线性部分近似。
这里不是近似而是变换，所以能得到更准确的效果。
1. 线性电阻电路的数学描述考虑如图1所示的电路。
此电路中，节点为1，2，3，4。
令[]1234U ,,,TU U U U =为各节点的电位，假设节点4的电位为零，[]1234f=,,,Tf f f f 分别从节点1，2，3，4流进电路的电流，设网络除节点4外没有其它的接地点，所以40f =。
[]12345I ,,,,TI I I I I =为各支路的电流，[]12345V ,,,,TV V V V V =为各支路电阻上的电压。
各支路上电阻的电压与电流取关联参考方向。
图 1 一个电路该电路各变量之间的关系可由下列三式描述。
由基尔霍夫电压定律可得：12341100001100V U b 001100101010016t U U U U -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ+=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （1）由欧姆定律可得：11223344551/000001/000I D V 001/000001/0001/R V R V R V R V R V ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（２） 由基尔霍夫电流定律可得： 123451000111010f I 011000111Tt I I I I I ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦（３） 其中，式（１）称为代数变换关系，将各节点的电位变换为各支路电阻元件上的电压降，即仿射变换U =U b t ΛΛ+。
式（２）称为对偶关系，所对应的矩阵D 称为本构矩阵，反映系统的本质。
很显然矩阵D 是正定矩阵，这个矩阵确定了电压和电流的一一对应关系。
一对一的关系就是“美”的关系，它常常使问题变得简单。
式（3）称为平衡方程，是能量守恒（功率平衡）的必然结果。
2. 电路变量间的对偶关系将上述三式合成，可得：f D U D b T T t t t =ΛΛ+Λ。
令K D T t t =ΛΛ，f =f D b Tt -Λ，则可得f KU =。
电路各变量间的对偶关系如图2所示。
UVIf<U,f><V;I>t U=U+bΛΛDT tΛD U fT t ΛΛ=图 2 电路变量的典范对偶图图2中，上面一行是在原空间中的两个向量。
原空间中的内积定义为：n1U ,f :U ,f ni ii U f =<>=∀∈∑ 。
（4）图2中，下面一行是在对偶空间中的两个向量。
对偶空间中的内积定义为：m1V ;I :V ,I mi ii V I =<>=∀∈∑。
（5）由Λ，D ，Tt Λ定义的三个变换代表的三组对偶关系称为电路的典范对偶关系。
从下文可以看出，典范的含义就在于对于非凸的系统或者非线性的系统，通过选取合适的变换算子，总可以化成凸的系统， 即典范化理解为标准化、凸化。
3. 功率平衡与能量最小化若b=0，将会有U,f V;I <>=<>。
从物理的角度，可理解为功率平衡（能量守恒）。
不同的空间，只是选择了不同的坐标系，也就是说选择了不同的度量方式，但无论怎么度量，能量是不变的。
从数学的角度，根据两个向量内积的定义及矩阵乘法的结合律，易知：TU ,D U U D U U ;D U V ;I TTt t t t t t <ΛΛ>=ΛΛ=<ΛΛ>=<>。
系统的内能定义为1V ;I 2W =<>，对应于动力系统的动能；系统的外能定义为U,f F =<>，对应于外力对动力系统所作的功。
系统在运动中，具有动能，外力要使系统稳定，就要对系统作功，外力所做的反功就是在消耗系统的动能。
为此，定义系统的总能量（自由能）为：11U ,K U f ,U b,D b 22P W F =-=<>-<>+<>。
系统总能量为U 的二次型。
令K U f=0UdP d =-，即得到了平衡方程。
这就说明了解电路的平衡方程可等价为求解一个二次规划。
4. 二次规划二次规划可描述为：()1m in 2TTP u u A u f u =- （６）其中A 为对称阵。
如果有约束，则可以通过lagrangian 乘子法松弛为无约束规划。
这里总假设A 为对称阵，否则用2TA A +代替它，因为2TT T T TA A u Au u A u uu +==。
下面先讨论A 是正定矩阵的情况。
若A 是正定矩阵，()P u 是A 的凸函数，令偏导数为零可解出()P u 唯一的最小值点1u A f -=。
事实上，正定矩阵A 可分解为T A D =ΛΛ，其中D 为对角阵，对角线元素都是正数。
令v u =Λ（代数变换方程），*v Dv =（对偶方程），*T f v =Λ（平衡方程）。
这三个方程合在一起，就是所谓的三典范对偶。
通过典范对偶的转化，原二次规划问题可转为问题：()()()****1*1min max ,2T T Tu v L u v u v v D v f u -⎧⎫=Λ--⎨⎬⎩⎭（7） 其中，()()***1*1m ax 2T T v u v v D v -⎧⎫Λ-⎨⎬⎩⎭在*v Dv D u ==Λ处取到。
函数()*,L u v 关于*v 是凹函数，关于u 是线性函数。
上述问题的最优解在()*,L u v 鞍点处取到。
uv*v f<,>u f *<;v v >ΛDT ΛfT D u ΛΛ=图 3 二次规划的典范对偶图若A 不是正定矩阵，原二次规划不是凸规划，如果直接在原空间中求解，问题会变得麻烦。
为此，可将A 分解为两个正定矩阵之差A B C =-（任何实数可以分解为两个正数之差，任何对称矩阵都可以分解为两个正定矩阵之差，任何函数都可以分解为两个凸函数之差）。
这样，原问题变成为：()11m in 22T T TP u u Bu u C u f u ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭。
对B 进行分解，T B D =ΛΛ。
原二次规划问题可转化为：()()()****1*11m in m ax ,22T T T Tu v L u v u v v D v u C u f u -⎧⎫⎛⎫=Λ--+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭。
（8） 函数()*,L u v 关于*v 是凹函数，关于u 也是凹函数，但关于()*,u v 不一定是凹函数。
5. 非线性系统的典范对偶实际上，图3中的算子Λ可以矩阵，可以是微分，积分，还可以是非线性算子等等。
算子D 也可能是非线性的。
由算子Λ引起的非线性称为代数非线性，由算子D 引起的非线性称为物理非线性。
非线性系统的典范对偶图如图4所示。
图4中的算子Λ分解为切向算子t Λ和余算子c Λ。
*tΛ是t Λ的逆算子。
*v 是v 的共轭对偶变量。
如果系统的变量间是非线性的关系，那么能量函数不再是二次的，更难以保证是凸函数。
非线性非凸最优化问题一般可表示为：()()()min P u W u U u =-。
（9）其中，()W u 为非凸函数。
uv*v f<,>u f *<;v v >t cΛ=Λ+ΛD*tΛ图 4 非线性系统的典范对偶图典范对偶理论的关键思想就是选择一个代数变换()v u =Λ， 使得()()()()Vv V u W u =Λ=为关于v 的凸函数。
例如()211122T W u u u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于u 不一定凸，但如果选择()12Tv u u u =Λ=， 则()()2112V v v =-是凸函数。
如果u 是n 维向量，它的对偶变量v 是个一维的变量。
函数()V v 共轭变换定义为：()(){}***m ax T vV v v v V v =-。
显然，当满足()*v v V v =∇时，上式的最大值取到。
由()*v v V v =∇确定的算子，即是对偶图中的D 。
共轭变换的几何含义：对于一个函数，常规的看法就是给定每个自变量和对应函数值可以确定这个函数而共轭变换函数的自变量是原函数的切线的斜率（导数），函数值就是切线的截距。
任何函数通过共轭变换得到的函数()**V v 总是凸函数。
如果原函数()V v 本身是凸函数，那么共轭变换的共轭变换就是原函数， 即()()(){}****maxTvV v vv Vv =-。
因此，经过共轭变换，优化问题（9）转换为：()()()()(){}(){}******min min max min max ,TuuuvvP u vu Vv U u L u v =Λ--=。
（10）所以，求解问题（10）成为解决非线性非凸问题的关键。
函数()*,L u v 关于*v 总是凸函数，但关于u 的凸凹性随着()u Λ及()U u 的不同而不同。
要使问题（10）简单易解，技巧就在于选择合适的算子Λ，这需要具体问题具体分析，此处不作详细讨论。
下一节讨论在知道()*,L u v 的关于u 凸凹性的情况下，如何得到问题的解。
6. 驻点对偶定理定义1：若点(),x y 满足:()()(),,,,L x y L x y L x y x y ≤≤∀ （11）则称(),x y 是(),L x y 的鞍点。
若使得定义中的两个不等式均反过来也是鞍点。
若(),L x y 关于其中一个是凹函数，关于另一个是凸函数，它就是个鞍形函数，必然存在鞍点。
定理1（鞍点对偶定理）：若点(),x y 是(),L x y 的鞍点，则：()()()m in m ax ,,m ax m in ,yyxxL x y L x y L x y ==。
