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![[层次分析]本科教学质量水平评估的数学模型](https://img.taocdn.com/s1/m/4fe9a6f5ff00bed5b8f31d24.png)
本科教学质量水平评估的数学模型2002级2班谢红军［摘要］根据高校本科教学评估的需要,本文以本科教学评估材料为参照，结合各个高校的特点,运用层次分析法建立了本科教学质量评估的层次结构图，通过专家咨询，给出了层次结构中各指标的权重，最终得出了高校本科教学质量评估的数学模型，以全面反映各高校的教学质量。
［关键词] 本科教学质量评估层次分析数学模型1 问题的提出对高校教学质量的评价，是高校教学的一个有效调控,为高校办学提供了一个建设性方向。
近年来，由于各高校大幅扩招等因素带来的影响，我国高等教育的教学质量备受社会各界关注.如何对高校教学质量进行评估？目前用的较为普遍的是统计分析评价的方法，该方法使用起来比较相当繁琐.因此，为了能深入细致的评估本科教学质量，本文对2006年本科教学质量评估材料中各项评价指标做了量化处理，最终得出了综合评价本科教学质量的简便方法。
2 问题分析通过对2006年高校本科教学质量评估材料的仔细阅读、分析,结合各个高校的特点，在对专家咨询后，本文应用层次分析法（AHP）建立了本科教学质量评估的层次结构图，结合专家咨询法得到了层次结构中各指标的权重，最终给出了教学质量评估的综合评价的数学模型。
并且应用该模型对给定的三所高校进行了教学质量评估，排出了它们教学质量水平的高低秩序。
3 模型的假设及符号规定假设： 1、专家咨询法得到的数据具有代表性、权威性.2、本文以师范类高校为例进行研究.3、Z ：高校本科教学质量水平（目标层））（准则层：本科教学成果：本科教学水平B ⎭⎬⎫21B B）（方案层）本科教学成果（：转业就业：应用本专业知识就业：继续深造）本科教学水平（：专业建设与教学改革：教学效果：学风：教学管理：教学条件师资队伍：办学指导思想C B C C C B C C C C C C C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫2109817654321: ：22)(⨯=ij b B Z 下的比较矩阵：77)(1⨯=ij c C B1下的矩阵：77)(1⨯=ij c C B2下的矩阵,i X :专家对因素Ci 的最终评分,I=1，2，……10。
数学建模的层次分析法摘要：阐述了数学建模层次分析法的基本思想、方法和核心问题，运用层次分析法建立数学模型的一般步骤和计算方法，并通过实例分析，说明了层次分析法在决策中的有效性。
关键词：数学模型层次分析法决策分析排序层次分析法(Analytic Hicrarchy process简记为AHP)是美国著名运筹学家T.L.Saaty在70年代初提出来的，它是将半定性、半定量的问题转化为定量计算的一种行之有效的方法。
把复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。
它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题。
因此层次分析法在工程技术、能源系统分析、经济管理、城市规划和社会科学等众多领域中都得到了广泛的应用。
本文阐述了层次分析法的基本思想和步骤、计算问题，针对企业留成利润合理使用问题，利用层次分析法对各项措施进行了最优方案的选择。
1、AHP建模的基本思想和步骤[1-3]AHP的基本思想是先按问题要求建立一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次结构，通过两两比较因素（或目标、准则、方案）的相对重要性，给出相应的比例标度；构造上层某要素对下层相关元素的判断矩阵，以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列。
AHP的核心问题是排序问题，包括递阶层次结构原理、标度原理和排序原理。
运用AHP解决实际问题，大体可以分为4个基本步骤。
1）建立递阶层次结构模型这是AHP中最重要的一步。
将问题所包含的因素按属性不同而分层，可以划分为最高层、中间层和最低层。
同一层次元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。
这种从上至下的支配关系形成一个递阶层次。
最高层通常只有一个元素，它是问题的预定目标，表示解目标层决问题的目的，因此也称目标层。
中间层为实现总目标而采 准则层 取的措施、方案和政策，它可 以由若干个层次组成，包括所 需要考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
数学建模高等院校教学质量评估的层次分析模型成员姓名：学号：冉义菊201040432023周学艳201040432048崔天义201040432003高等院校教学质量评估的层次分析模型摘要：教师教学质量的好坏，直接关乎各高校办学的成败，及时有效地反应课堂效果有利于教师改善并提高教学质量。
此次建模对层次分析法的原理与步骤进行了阐述，并结合日常教学评价中的诸多问题，运用MATLAB 软件计算，制定了较为科学的评估体系，显著地提高了教学质量评估的效果。
关键字：教学质量评估；MATLAB; 层析分析法问题分析：教学质量的评估是高校办学质量管理的重要组成部分，通过教学评估能够有效地提高办学质量。
近年来，众高校陆续制定评估体系对教学质量、教学工作等进行考核，在不同程度上提高了高校教师的各种素养。
但是，由于教学质量的评估本身受到许多因素的影响，用层次分析原理能够客观地给出各评价因素的权重关系，从而制定出更为科学的评估体系。
层次分析法的基本原理与其步骤：层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是美国著名运筹学家萨蒂（T. L. Saaty ）教授于20世纪70年代初期提出的一种基于对问题的全面考虑，将定量与定性分析相结合，将决策者的经验给予量化的一种较为简单的决策方法。
该方法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次分析结构模型，最终归结成最底层（方案、措施、目标等）相对于最高层（总目标）的相对重要程度和相对好坏的次序问题。
层次分析法的具体做法是把某一层次同一隶属关系的各种因素进行两两判断比较，生成比较矩阵，然后计算矩阵的最大特征根和与之对应的特征向量，得出该层次各因素的相对重要性权值，再与上一层次各因素的相对重要性权值加权综合，这样便可得出各层次指标对总目标层的权值，步骤如图1所示。
基于分析层次法的教育质量评价模型随着人口结构的变化和社会经济的快速发展，对教育质量的要求越来越高。
教育质量评价是现代教育管理中的重要环节，对于提高教育质量、提升教学水平以及指导政策制定都具有重要意义。
基于分析层次法的教育质量评价模型成为了现代教育质量评价的一种重要方法。
一、分析层次法的基本原理和步骤分析层次法是以层次分析为基础的决策分析方法，它是由美国运筹学家托马斯·L·赛蒂斯于20世纪70年代提出的。
分析层次法是一种定性分析方法，它把层次化的复杂问题，通过逐层分解、层与层之间的比较与判断，得出最终的决策结果。
分析层次法主要包括如下步骤：1.建立层次结构模型：将问题分解为若干个层次，从而得到一个有层次结构的模型。
2.构造判断矩阵：对于每个节点，采用比较判断法来确定两两比较的重要程度。
3.计算判断矩阵的特征值和特征向量：通过计算矩阵的特征值和特征向量来确定各节点的权重，从而得到加权后的判断矩阵。
4.一致性检验：通过计算一致性指标，判断构造判断矩阵时是否存在较大的不一致性。
5.合成各级权重：通过合成各级节点的权重，确定各个层次的全局权重。
6.综合评判：将所研究的对象分别归到各级指标中去，确定各个指标及各级权重的重要性大小，得出最终的评价结果。
二、分析层次法在教育质量评价中的应用分析层次法是一种全面、科学、定量化的教育质量评价方法，同时也是一种较为科学、可以紧密结合实际的评价工具。
在教育管理中，分析层次法可以用来评价教育质量、评估办学水平等。
1.建立教育质量评价模型教育质量评价模型是指评价体系、评价指标和评价方法三个方面的总和，是教育质量评价的核心。
利用分析层次法可以建立一个科学完整的教育质量评价模型，通过对教师、课堂、校园、课程、实践等各个方面进行系统化的评价，精确分析出教育机构的强度和不足，从而有针对性地提高教育质量。
2.确定评价指标评价指标是教育质量评价的重要内容之一，是教育质量评价具体实现的依据。
分析高等教育教学的评价模式分析高等教育教学的评价模式针对目前高校学生对高等数学学习中出现的学习障碍和困难，在已有的高校教学评价方法的基础上，以积分制教学评价为主，设计一种新型的教学过程和学习过程的系统评价方案。
该方案首先根据实际教学内容和学生情况制定量化的评价标准。
然后在每一节课的教学过程中，对学生所学知识的掌握程度以及参与学习的兴趣、态度等进行分类量化考核，并把每一节的考核结果与上一节的进行汇总，这样就形成了周评价考核、月评价考核、半期评价考核和期末评价考核的阶段积分。
最后建立每个学生的量化考核评价系统方案。
通过实践证明了该评价系统具有可操作性和有效性。
一、积分制教学评价系统(一)积分制评价模式的定义与意义积分制评价是以学生为主体，以教师为主导的，建立在学习过程中定向积分基础上的一种定量评价模式。
该模式要求学生在每一节课的学习过程中，对所学知识的掌握程度以及参与学习的积极程度、兴趣大小等进行分类量化考核，并把学生本节积分和上次积分进行累加，可以形成阶段性积分。
积分制的评价模式更加注重对学生学习数学的整个过程进行跟踪评价，通过积分制评价方案让学生主动学习，不仅学习本节课内容，还需要关心下一节的内容。
(二)积分制评价模式的流程1．建立实施目标①在原有学习习惯基础上，培养提出问题、积极思维、交流合作的能力，养成认真、谨慎、勤于思考等习惯。
②初步学会民主参与、倾听欣赏、分享交流、互助互评等学习方式。
2．确定评价标准评价标准的内容包括四个部分，课堂积分、作业积分、测评积分、奖励积分。
四部分积分相辅相成，可以让学生立足于自己的基础，养成良好学习习惯，差异发展，基于合作且有竞争意识，同时兼顾个性发展，开拓思维，分享交流，互相提高，从而提高高等数学的教学质量。
对大学生综合素质的培养有巨大作用。
第一，课堂积分标准有加分项和减分项目，加分项目主要包括:课前预习提出问题一次积2分、上课能够积极思考，积极发言且语言组织清晰的一次积3分、上课主动参与交流，并把交流成果清楚表达的一次积2分、有创新思考积5分、小组合作并推荐代表回答的每个组员积1分，回答者积2分。
本科教学质量水平评估的数学模型2002级2班谢红军[摘要] 根据高校本科教学评估的需要，本文以本科教学评估材料为参照，结合各个高校的特点，运用层次分析法建立了本科教学质量评估的层次结构图，通过专家咨询，给出了层次结构中各指标的权重，最终得出了高校本科教学质量评估的数学模型，以全面反映各高校的教学质量。
[关键词] 本科教学质量评估层次分析数学模型1 问题的提出对高校教学质量的评价，是高校教学的一个有效调控,为高校办学提供了一个建设性方向。
近年来，由于各高校大幅扩招等因素带来的影响，我国高等教育的教学质量备受社会各界关注。
如何对高校教学质量进行评估？目前用的较为普遍的是统计分析评价的方法，该方法使用起来比较相当繁琐。
因此，为了能深入细致的评估本科教学质量，本文对2006年本科教学质量评估材料中各项评价指标做了量化处理，最终得出了综合评价本科教学质量的简便方法。
2 问题分析通过对2006年高校本科教学质量评估材料的仔细阅读、分析，结合各个高校的特点，在对专家咨询后，本文应用层次分析法(AHP)建立了本科教学质量评估的层次结构图，结合专家咨询法得到了层次结构中各指标的权重，最终给出了教学质量评估的综合评价的数学模型。
并且应用该模型对给定的三所高校进行了教学质量评估，排出了它们教学质量水平的高低秩序。
3 模型的假设及符号规定假设: 1、专家咨询法得到的数据具有代表性、权威性。
2、本文以师范类高校为例进行研究。
3、Z ：高校本科教学质量水平（目标层））（准则层：本科教学成果：本科教学水平B ⎭⎬⎫21B B）（方案层）本科教学成果（：转业就业：应用本专业知识就业：继续深造）本科教学水平（：专业建设与教学改革：教学效果：学风：教学管理：教学条件师资队伍：办学指导思想C B C C C B C C C C C C C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫2109817654321: ：22)(⨯=ij b B Z 下的比较矩阵：77)(1⨯=ij c C B1下的矩阵：77)(1⨯=ij c C B2下的矩阵,i X ：专家对因素Ci 的最终评分，I=1,2,……10。
4 模型的建立与求解4.1 评价体系的层次结构为了能够较为科学地评价各高校的教学质量，本文根据各高校的特点，结合乐山师范学院2006年本科教学质量评估材料，应用著名美国学者T.L.Saaty 提出的层次分析法，得出了本科教学质量评估的层次结构图如下：说明：在方案层（C ）中，由于不同的学校可能有所差异。
例如，办学指导思想下可设学校定位和办学思路；师资队伍下可设师资队伍数量与质量、主讲教师等项目等；就业下可设省重、国重以及一般中学等（这里就不再赘述）。
因此，对不同学校层次结构分支可以适当变通选取，也可由专家组讨论决定，使各层次分支更加合理。
4.2构造比较矩阵在确定同一层中各因素对上一层的贡献程度时，我们采用专家咨询的方法对各因素进行评分，构造出了各层中的比较矩阵。
4.2.1比较矩阵通过专家咨询法，我对相关专家进行多次咨询后，在第二层中整理得到B 1，B 2关于Z 的两两比较矩阵B ，其中b ij 表示B i 和B j 对Z 的影响之比,见表—1：表—1相应的矩阵为: 2215()1/51ij B b ⨯⎡⎤==⎢⎥⎣⎦同理，方案层（C ）中，对因素C 1，C 2，…，C 6，C 7关于B 1的两两比较矩阵C ，Z B 1 B 2 B 115 B 2 1/5 1其中C表示C 和C 对B 的影响之比,见表—3：表—2相应矩阵为：7713574841/31453631/51/4121/251/21()1/71/51/211/521/21/41/3251411/81/61/51/21/4111/41/325111ij C c ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦方案层（C ）中,其中C 表示C 和C 对B 2的影响之比,见表—3：表—3 相应的矩阵为：()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⨯18/15/181353/11233ij c C5、模型的求解及应用5.1计算矩阵的权向量及进行一致性检验对比较矩阵B ，C2由于阶数分别为2、3，显然满足一致性检验。
利用数学软件（Matlab6.5）编程的分别求出的B （程序见附件一），C2（程序见附件三）的权系数。
关于矩阵B ，计算出相应的全向量为：w )1(=(w )1(1,w )1(2)T =(0.833,0.167)T 。
关于矩阵C2，计算出相应的全向量为：w1)2(=（w )2(1， w )2(2，w )2(3 ）=（0.2746，0.6571，0.0683）。
关于矩阵C1，计算得出它的最大特征值为：ans0=7.632 ；相应的特征向量为：w0)2(=（w )2(1， w )2(2， ……w )2(7 ）=( 0.3842，0.2295，0.0804，0.0409，0.1209，0.0392，0.1050)，利用一致性检验指标CI=0.1053和随机一致性检验指标RI （见表--4）算出一致性检验比率CR=0.0798<0.1 ，即是说该矩阵C1通过了一致性检验（程序见附件二）。
随机一致性检验指标RI表—4 5.2 综合评价公式及应用由上述计算结果得出，准则层的权向量为：w )1(=(0.833,0.167)T ；方案层的权向量为：w )2(=( w0)2(，w1)2()T =( 0.3842，0.2295，0.0804，0.0409，0.1209，0.0392，0.1050，0.2746，0.6571，0.0683)T 。
因此，容易得出高校教学质量评估的综合评价模型（I ）为：987654321109.0X 0.013+ X 0.087+X 0.033+ X 0.101034.0067.0191.0320.0X X X X X +++++ 10011.0X + ………………………………（I ）其中X i,表示因素C i 在专家评价下的最终得分，i=1,2,……，10 。
在本文中采用10分制分别对因素C 1，C 2，……，C 10进行专家评分。
不妨假设专家由多人组成，对层次结构中每一个因素如（C i ）分别打分后，我们先去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后对剩下的专家评分结果求平均值即为该因素的得分（X i ）。
现有甲，乙，丙三所高校需要进行教学质量评估。
专家评分后的各个因素最后得分如下表：把各个因素的得分代入我们的评价模型（I）得出三所高校教学质量的综合水平评分为: 6.1127,5.2344,4.0254；因此，它们的综合教学质量由高到低的次序为: 甲,丙,乙。
6、模型的评价及推广本文通过层次分析法建立了高校教学质量评估的综合评价模型,应用该方法得出的三所高校的评价结果也比较合理.该模型具有较强的推广价值,比如应用在大学生综合素质评价,教师教学质量评价等数学问题的处理上.但是,由于层次分析法用的决策矩阵具有一定的主观性,我们的决策矩阵虽然是用的由专家赋值法得到的,数据也具有广泛的代表性,但仍不能确保其准确性与科学性.[参考文献]:[1]姜启源谢金星叶俊《数学模型》第三版北京：高等教育出版社224—244 2004.4[2]赫孝良戴永红等《数学建模竞赛赛题简析与论文点评》西安: 西安交通大学出版社2003.6[3]赫孝良周义仓等《数学建模实验》西安: 西安交通大学出版社79—82 2001.3Mathematical modeling for the Undergraduate course teaching quality level appraisalXie Hongjun[Abstract]: according to the need of the undergraduate course teaching quality level appraisal, based on the materials of undergraduate course teaching quality level appraisal and characters of each university, an analytic hierarchy graph is established by using AHP.Consulted through the experts, the various weights in the level structure are given, mathematical modeling for the Undergraduate course teaching quality level appraisal finally is obtained so as to comprehensively reflect the teaching qualities for various universities。
[Key words]:keywords Undergraduate course teaching quality level appraisal appraisal AHP mathematical modeling附件清单1、附件一：计算准则层中矩阵B的权向量（迭代法）……………………（第7页）2、附件二：计算方案层中矩阵C1的权向量及一致性检验指标…………（第 7页）3、附件三：计算方案层中矩阵C2的权向量（迭代法）…………………（第 9页）附件一：计算准则层中矩阵B的权向量（迭代法/Matlab6.5）clcA=[1 51/5 1];n=2;e0=ones(n,1);e0=(1/n)*e0;for i=1:ne0=A*e0;e=e0/sum(e0)e1=zeros(n,1);e1=e;if e0==e1breakendende1附件二：计算方案层中矩阵C1的权向量及一致性检验（和法/Matlab6.5）%用根法计算特征向量及最大特征根clcn=7;x=zeros(n,n);Aa=zeros(n,n);ans0=0;A=[1 3 5 7 4 8 41/3 1 4 5 3 6 31/5 1/4 1 2 1/2 5 1/21/7 1/5 1/2 1 1/5 2 1/51/4 1/3 2 5 1 4 11/8 1/6 1/5 1/2 1/4 1 1 1/4 1/3 2 5 1 1 1]; %将A的每一列向量归一化得Aaw=sum(A);for i=1:49if (i<=7)Aa(i)=A(i)/w(1);elseif (i<=14)Aa(i)=A(i)/w(2);elseif (i<=21)Aa(i)=A(i)/w(3);elseif (i<=28)Aa(i)=A(i)/w(4);elseif (i<=35)Aa(i)=A(i)/w(5);elseif (i<=42)Aa(i)=A(i)/w(6);elseAa(i)=A(i)/w(7);endend%对Aa按行求和得BB=sum(Aa');k=sum(B);for i=1:nB(i)=(B(i))/k;end%将B归一划后得近似特征向量w=B'%计算近似最大特征值ans0aw=A*w;for i=1:nans0=ans0+(1/n)*(aw(i)/w(i));endans0%计算一致性检验指标CICI=(ans0-n)/(n-1)%计算一致性检验比率CRCR=CI/1.32附件三：计算方案层中矩阵C2的权向量（迭代法/Matlab6.5）clcA=[1 1/3 53 1 81/5 1/8 1];n=3;e0=ones(n,1);e0=(1/n)*e0;for i=1:ne0=A*e0;e=e0/sum(e0)e1=zeros(n,1);e1=e;if e0==e1breakendende1。
