浙江省富阳市第二中学高三数学平面向量的数量积复习课件
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平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习
平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问
预测 题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填
空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
∠AOB
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则________叫做a与b的夹角
定义
范围
0≤θ≤π
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是_______
道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用
坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则a·b=(
A.-2
24 1
θ=
=
= ,
|||| 12×8 4
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos
1 1 3
θ· =12× × b= b.
||
4 8 8
3
b
8
.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8), =5,且b与向量(1,0)的夹角是钝
角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos
θ) .(
||
√
)
2.(必修第二册P36练习T1·
变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且 2 + =3,则t=(
A. 2
B. 3
C.± 2
D.±
2
2
浙江高考数学一轮复习第六章平面向量复数6.3平面向量的数量积课件
2 解析 由题意知 S＝|α||β|sin θ＝12≤sin θ，
∵θ∈[0，π]，∴θ∈π6，56π.
(2)(2018·浙江金华名校统考)已知向量 a，b 是夹角为π3的单位向量，当实数 λ≤
－1 时，向量 a 与向量 a＋λb 的夹角的取值范围是
A.0，π3 C.23π，π
√B.若θ确定，则|b|唯一确定
C.若|a|确定，则θ唯一确定 D.若|b|确定，则θ唯一确定
解析 |b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2
＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2.
因为|b＋ta|min＝1，
4|a|2·|b|2－4|a|2·|b|2cos2θ
所以
4|a|2
＝|b|2(1－cos2θ)＝1.
所以向量 a，b 的夹角为23π，故选 C.
(2)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量.若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹角为 60°，则
3 实数 λ 的值是__3__.
解析 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
| 3e1－e2|＝ 3e1－e22＝ 3e21－2 3e1·e2＋e22＝ 3－0＋1＝2.
123456
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 平面向量数量积的基本运算
1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于
A.8
B.10
C.11
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)， ∴a＋b＝(x－2,5)， 又(a＋b)⊥b， ∴(x－2)×(－2)＋20＝0， ∴x＝12.
即3132aa22＋＋bb22＋＋119930aa··bb＝＝4235，，
∵θ∈[0，π]，∴θ∈π6，56π.
(2)(2018·浙江金华名校统考)已知向量 a，b 是夹角为π3的单位向量，当实数 λ≤
－1 时，向量 a 与向量 a＋λb 的夹角的取值范围是
A.0，π3 C.23π，π
√B.若θ确定，则|b|唯一确定
C.若|a|确定，则θ唯一确定 D.若|b|确定，则θ唯一确定
解析 |b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2
＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2.
因为|b＋ta|min＝1，
4|a|2·|b|2－4|a|2·|b|2cos2θ
所以
4|a|2
＝|b|2(1－cos2θ)＝1.
所以向量 a，b 的夹角为23π，故选 C.
(2)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量.若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹角为 60°，则
3 实数 λ 的值是__3__.
解析 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
| 3e1－e2|＝ 3e1－e22＝ 3e21－2 3e1·e2＋e22＝ 3－0＋1＝2.
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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 平面向量数量积的基本运算
1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于
A.8
B.10
C.11
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)， ∴a＋b＝(x－2,5)， 又(a＋b)⊥b， ∴(x－2)×(－2)＋20＝0， ∴x＝12.
即3132aa22＋＋bb22＋＋119930aa··bb＝＝4235，，
平面向量的数量积复习ppt课件
即x2 y2 3 x 0
所以点P的横坐标的取值范围为 0 x 3
11
小结
1．本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、 运算律、几何意义及其在物理学上的应用。
2．利用平面向量的数量积运算来解决一些实际 问题.
12
四、能力训练
1.已知a2
2
1, b
4,
a
b
a
0,则a与b的夹角是:
A.90 B.60 C.120 D.150
3. AB与AD的夹角是60, AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。
AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
8
例2、 已知a 5, b 4,且a与b夹角为60,问k为何值时,
使 ka b a 2b
解: ka b a 2b ka b a 2b 0
且a b b c c d d a,试判断四边形ABCD的形状特征.
6.若a cos,sin ,b cos ,sin ,且 ka b 3 a kb k 0
1用k表示数量积a b
2求a b的最小值,并求此时a与b的夹角.
13
例4.已知两点M 1,0, N 1,0,且点P使MP MN, PM PN, NM NP
A
ab ba
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影数量 b cos的乘积.
3、数量积的物理意义：F
S
F cos
如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功 W
可用公式计算 : W F S | F || S | cos
4
4、数量积的主要性质及其坐标表示：
设a, b是两个非零向量
A.a b 1
2
2
高三数学第5章_平面向量的数量积复习课件
解答] → 变式题 2 [解答 (1)AB＝(3,5)，AC＝ (－1,1)， 解答 ，→ － ， 求两条对角线长即为求|AB → 与 → → 求两条对角线长即为求 → ＋AC|与|AB－AC|. → → 由AB＋AC＝(2,6)，得|AB＋AC|＝2 10； ， → →＝ ； → → 由AB－AC＝(4,4)，得|AB－AC|＝4 2. ， → →＝ → － ，－ (2)OC＝(－2，－ ， ，－1)， → → → → → → ∵(AB－tOC)·OC＝AB·OC－tOC2， → → ＝－11， → 易求AB· OC＝－ ，OC2＝5， ， 11 所以由(AB → → 所以由 → －tOC)·OC＝0 得 t＝－ . ＝－ 5
小试高考题
（2011上海，理11）在正三角形ABC中，D是 15 BC上的点. 若AB=3,BD=1， 则
uuu uuu r r AB AD=
2
→＝ ，→ [2011·海淀期中 在矩形 ABCD 中，|AB|＝2，|AD 海淀期中] 海淀期中 |＝1，且点 E，F 分别是边 BC，CD 的中点，则(AE＋AF)·AC＝ ＝， ， ， 的中点， → → → ________.
变式题
→ → [解答 (1)因为 ＋c)BC·BA＋cCA·CB＝0，所以 解答] 因为(2a＋ → → 解答 因为 ，所以(2a
＋c)accosB＋cabcosC＝0， ＋ ＝ ， 即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0. ＋ ＋ ＝ 根据正弦定理得(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0， ＋ 根据正弦定理得 ＋ ＝ ， 所以 2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0， ＋ ＋ ＝ ， 1 2π 即 cosB＝－2，所以 B＝ 3 . ＝－ ＝ 2 2 2
浙江省富阳市第二中学高三数学《平面向量的数量积》复习课件
练习2：
1.已知 2a－b＝(－1， 3)，c＝(1， 3)，且 a·c＝3，|b|＝4，
则 b 与 c 的夹角为___6__0_°__．
2．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当向
14
量ka－b与a＋2b垂直时，k＝________.
15
3. 若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的 平行四边形的面积为0.5,则α与β的夹角的取值范围是 。
答案： 3
要点回顾：
一、两个向量的夹角 1．定义
已知两个非零向量 a 和 b， 作 OA＝a， OB ＝b，则
θ ∠AOB＝ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
2．范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ，a与b同向时， 夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝ 180.°
3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90°，则a与b垂直，记作 a⊥b.
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；④若a2＝a·b，则a＝b，其中正
确的个数有 A．1
B．2
(B )
C．3
D．4
2．已知向量a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a(b·c)等于
A．(26，－78)
B．(－28，－42)
(A )
C．－52
D．－78
例 2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)若 AB＝a， BC ＝b，求△ABC 的面积．
[ , 5 ] 66
例3.已知向量a、b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
高三复习课平面向量的数量积课件
忽视向量夹角
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量夹角的影响。
详细描述
向量夹角是计算数量积的重要因素之一，夹角余弦值直接影响着数量积的结果。 如果学生忽视了夹角，就会导致计算结果不准确。因此，在计算数量积时，学生 需要特别注意夹角的取值范围和符号。
忽视向量模长的影响
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量模长的影响。
公式
数量积的公式为 $|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| times |vec{b}| times |cos theta|$，其中 $theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
几何意义
几何意义
平面向量的数量积表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在垂直方向上 的投影的模长之积。
02
平面向量的数量积运算
线性运算
线性运算包括加法、 数乘和向量的线性组 合等基本运算。
线性运算的性质包括 向量共线定理、向量 模的性质等。
向量加法满足交换律 和结合律，数乘满足 分配律。
数量积的坐标表示
数量积的坐标表示是通过向量的坐标来计算两个向量的数量积。
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
高三复习课平面向量的数量积课 件
contents
目录
2020届浙江高三数学总复习课件：平面向量的数量积及应用
(A) π 6
(B) π 4
(C) π 3
解析:因为 a⊥(a-b),
(D) 2π 3
所以 a·(a-b)=a2-a·b=1- 2 cos <a,b>=0,
所以 cos <a,b>= 2 , 2
又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>= π . 4
故选 B
B)
2.(2018·浙江台州期末统考)设非零向量a,b,则“a,b的夹角为锐角”是
叫做a
规定:零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b=0 .
3.平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ
的乘积.
拓展空间
1.概念理解 (1)在平面图形中运算向量的数量积要注意向量夹角的取值,注意区分平面图 形中的角和向量夹角的区别. (2)理解数量积的概念可以和物理中功的公式相联系,加深对概念的理解. (3)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线,a,b夹角为钝角⇔a·b<0且a 与b不共线. 2.与数量积的定义 有关的结论
方向比努力更重要
学法指导
1.善于利用平面几何的知识解决 数量积的问题,把握住运算数量 积的几种常见方式. 2.数量积的定义是推导其他性质 的关键,注意夹角的定义.
知识链条完善
把散落的知识连起来
一、数量积的定义及意义 1.向量的夹角 (1)定义
网络构建
已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,如图所示,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角,也可记作<a,b>=θ .
【例 1】 (2018·天津卷)在如图的平面图形中,已知 OM=1,ON=2,∠MON=120°, BM = 2 MA , CN =2 NA ,则 BC · OM 的值为( )
高三高考数学复习课件5-3平面向量的数量积
－2 5×2
＝－ 2
10 10 .
【答案】
－
10 10
题型二 平面向量数量积的应用 角度一 求向量的模
π 【例 2】(1)(2018·西安模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为 6 ， 且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|＝________．
＝2(x2＋y2－ 3y)
＝2x2＋y－
232－34≥2×－34＝－32.
当且仅当 x＝0，y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，最小
值为－23.
故选 B.
方法二 (几何法) 如图②所示，P→B＋P→C＝2 P→D(D 为 BC 的中点)，则P→A·(P→B＋ P→C)＝2 P→A·P→D.
以 a·b＝1，设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ，由 cos
θ＝|aa|··|bb|＝
1 2
＝
22，可得
π θ＝ 4 ，即向量
a
与
b
π 的夹角为 4 .
(2)由已知得，a·(a－2b)＝0，∴cos〈a，b〉＝2||aa|||2b|＝12， π
∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ 3 . ππ
π 【解析】 因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝ 2cos 3
＝
22.故填
2 2.
【答案】
2 2
题型一 平面向量数量积的运算
【例 1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角
形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
即 2a－3b 与 c 反向．
必修4高三数学第2章 平面向量向量的数量积复习课件.
求 (1) a ·b；(2) a ·( a + b ) ；(3) (2a－b )·( a +3 b ).
(1) 12 ； (2) 28； (3) －16.
10
3.已知向量 a 与 b的夹角为θ，| a |=2，| b |=3， 分 别在下列条件求 a ·b : (1)θ=1350； (2) a // b ； (3) a ⊥b .
真 假
| a·b |＝|a||b|·|cosθ|≤| a|| b|, 这里θ是a与b的夹角，只
有θ＝0或θ＝π时，才有| a ·b |＝| a |·| b |； 9
⑩对任意向量 a，b，c 都有(a·b) c＝a (b·c)；假 ⑩举反例如下: 已知| a |＝1，| b |＝1，| c |＝ 2 ， a 与 b夹角是600，b与 c 夹角是450，则： (a ·b )·c＝(| a || b| cos600)·c＝ c， a·( b ·c)＝(| b || c |cos450)·a ＝a 而 c ≠ a，故 ( a · b )· c≠ a · ( b · c ). 对于⑩若 a 与 c 共线，记 a＝λc. 则
特别地，a ·a＝| a |2或 | a |＝ a a
2
a
| a | x2 y2 . AB= (x1 x2 )2 (y1 y2 )2
④ cos a b
cos
x1x2 y1y2
.
|a||b|Байду номын сангаас
x12 +y12
x
2 2
+y22
⑤｜a ·b｜≤| a | | b |
a 的长度| a |与 b 在 a 方向上投影| b| cosθ的乘积；
或等于b 的长度| b |与 a 在 b方向上投影| a | cosθ的
高中数学(人教A版浙江)一轮参考课件5.3 平面向量的数量积ppt版本
=
1 2
������������
=
12(b-a),
������������
=
3 2
������������
=
34(b-a),������������
=
������������
+
������������ =-12a+34(b-a)=-54a+34b.
故������������
·������������ =-54a·b+34b2=-58
-8-
考点一
考点二
考点三
平面向量数量积的运算(考点难度★★)
例 1(1)(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,
点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,
则������������ ·������������的值为( B )
A.-58
是
(-∞,-6)∪
-6,
3 2
.
解析:由 a·b<0,即 2λ-3<0,解得 λ<32.
由 a∥b,得 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ<32,且 λ≠-6.
知识梳理
-7-
知识梳理 双击自测
自测点评 1.对于两个非零向量a与b,由于当θ=0°时,a·b>0,所以a·b>0是两 个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;a·b=0也不能推出a=0 或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b. 2.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c. 但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立. 原因是a·b=|a||b|cos θ,都是cos θ “惹的祸”. 3.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于 a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一 个与a共线的向量,而c与a不一定共线.
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＝2，则|2a－b|＝
(B )
A．0
B．2 2
C．inθ)，b＝( 3，－1)，则|2a－b|
的最大值，最小值分别是
A．4,0
B．16,0
(A )
C．2,0
D．16,4
4.已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R. (1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值； (2)若a－tb与c共线，求实数t.
练习2：
1.已知2a－b＝(－1， 3)，c＝(1， 3)，且a·c＝3，|b|＝4，
则b与c 的夹角为___6_0_°__．_
2．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当向
14
量ka－b与a＋2b垂直时，k＝________.
15
3. 若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的 平行四边形的面积为0.5,则α与β的夹角的取值范围是 。
1．a·b＝ a1b1＋a2b2 .
2．a⊥b? a1b1＋a2b2＝0 .
3．|a|＝ a21＋a22 . a1b1＋a2b2 4．cos〈a，b〉＝ a21＋a22 b21＋b22 .
疑点探究：
1．向量b在向量a上的投影是向量吗？
答案：不是，向量b在向量a上的投影是一个数量 |b|cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为 0.
三、向量数量积的性质 1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉．
2．a⊥b? a·b＝0 且a·b＝0? a⊥b. 3．a·a＝|a|2 ，|a|＝__a_·_a__.
a·b 4．cos〈a，b〉＝|a||b| . 5．|a·b|≤ |a||b|.
四、数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
平面向量的数量积
真题再现：
1．(2010·湖南高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋
b)·b＝0，则a与b的夹角为 答案：C
()
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
2．(2010·江西高考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2， a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.
答案： 3
要点回顾：
一、两个向量的夹角 1． 定义
已知两个非零向量 a 和 b， 作 OA ＝ a， OB ＝ b，则
θ ∠ AOB ＝ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
2．范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ，a与b同向时， 夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝ 180.°
3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90°，则a与b垂直，记作 a⊥b.
[? , 5? ]
66
例3.已知向量a、b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
?
?2
| a |? a
练习3：
1．(2010·重庆高考)已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|
(B )
C．3
D．4
2．已知向量a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a(b·c)等于
A．(26，－78)
B．(－28，－42)
(A )
C．－52
D．－78
例 2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)若 AB ＝a， BC ＝b，求△ABC 的面积．
2．根据向量数量积的运算律，判断下列结论是否成立．
①a·b＝a·c，则b＝c吗？ ②(a·b)·c＝a·(b·c)吗？
结论都错。
1．已知向量a,b有下列结论：①|a|2＝a2；②(a·b)2＝a2·b2；
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；④若a2＝a·b，则a＝b，其中正
确的个数有 A．1
B．2
二、平面向量数量积 1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a||b|·cosθ
叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ . 规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ 0.
2．a·b的几何意义 a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ 的 乘积．