3.1___线性方程组的消元解法

引例 用消元法解下列线性方程
2 x1 2 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 3 5 x 7 x x 28 2 3 1
2 x1 2 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 3 ① 5 x 7 x x 28 2 3 1 2 x1 2 x2 x3 6 ② 3 x2 (9 / 2) x3 0 2 x (7 / 2) x 13 2 3
如此继续下出,则可求出其它未知量,得到它的唯一解. 从而方程组(1)有唯一解.
情形3
c11 x1 c12 x2 c1r xr d1 c1r 1xr 1 c1n xn c22 x2 c2 r xr d 2 c2r 1xr 1 c2n xn crr xr d r crr 1 xr 1 crn xn
A称为方程组的系数矩阵, b称为常数项矩阵, x为n元未知量矩阵.
把方程组的系数矩阵A与常数项矩阵b放在一起构成的 矩阵
a11 a21 ( Ab) am1
a12 a22

am1

a1n b1 a2 n b2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵.
任一线性方程组经若干线性方程组的初等变换后 得到的方程组与原方程组同解. 将一个线性方程组的增广矩阵施行一系列初等行 变换后得到的矩阵作为增广矩阵的线性方程组与 原方程组同解.
线性方程组的增广矩阵经一系列初等行变换可化为下述 阶梯形矩阵
c11 0 0 0 0 0
总结如下：
1) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有唯一解； 2) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有无穷多解； 3) r ( A) r ( A, b)当且仅当Ax b无解； 4) r ( A) n当且仅当Ax 0只有零解； 5) r ( A) n当且仅当Ax 0有非零解.
消元过程就是对方程组重复三种变换： 1）变换某两个方程的位置； 2）用一个非零的数乘某一个方程的两边； 3）将一个方程的倍数加到另一个方程上去. 这三种变换称为线性方程组的初等变换. 消元法的过程就是用初等变换将方程组化为阶梯形方程 组的过程，也就是将对应矩阵化为阶梯形矩阵的过程. 注意： 消元过程不唯一，阶梯形方程组也不唯一.
⑤
⑥
⑦
⑦
⑧
⑧
⑤～ ⑧称为回代过程.
从上面的例子可得到如下启示： 用消元法解三元线性方程组的过程，相当于对该方程 组的系数与右端的常数项按对应的位置构成的矩阵作 初等行变换.
那么对一般的线性方程组是否有同样的结论呢？ 答案是肯定的！
由前面的例子可以看出, 用消元法解线性方程组的过程, 实质上就是对该方程组的增广矩阵施以仅限于行的初等 变换(称为初等行变换)的过程. 解线性方程组时, 为了书 写简明, 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可. 对方程组的增广矩阵施以行初等变换, 相当于把原方程 组变换成一个新方程组.
(2)
情形1 (2)式中dr+10. 方程组(2)是一个矛盾方程组, (2)无解.因此线性方程组(1)也无解. 情形2 (2)式中dr+1=0并且r=n.(2)为
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 c22 x2 c2 n xn d 2 cnn xn d n 从最后一个方程解出 xn ,再代入第n-1个方程求出xn 1
2 x1 2 x2 x3 6 3 x2 (9 / 2) x3 0④ x3 2

2 1 6 ③ 3 9/2 0 0 13 / 2 13 2 1 3 9/2 0 1 6 0 2
④
通常把过程①～ ④称为消元过程，矩阵④是阶梯形 矩阵，与之对应的方程组④则称为阶梯形方程组.
(2)式中dr+1=0并且rn. 与(1)同解的方程组为
解线性方程组的步骤是: 用初等行变换化方程组的 增广矩阵为阶梯形矩阵, 根据dr+1不等于零或等于零 判断原方程组是否有解. 如果dr+10, 则有r(A)=r, 而r(A b)=r+1, 即r(A)r(A b), 此时方程组无解; 如果dr+1=0, 则有r(A)=r(A b)=r, 此时方程组有解. 当r=n时, 有唯一解; 当r<n时, 有无穷多解. 然后, 回代求出解. 由以上讨论可得出以下定理.
作业
习题3 P157页 1.(1)(3) 2.(4)
c12 c22 0 0 0 0

c1r c2 r crr 0 0 0
c1r 1 c2 r 1 crr 1 0 0 0

c1n |

c2 n | | crn | 0 | 0 | 0 |
|
d1 d2 dr d r 1 0 0
小 结
• 1) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有唯一解；
2) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有无穷多解； 3) r ( A) r ( A, b)当且仅当Ax b无解； 4) r ( A) n当且仅当Ax 0只有零解； 5) r ( A) n当且仅当Ax 0有非零解.
定理3.1 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A解线性方程组 x1 5 x2 x3 x4 1 x 2 x x 3x 3 1 2 3 4 3 x1 8 x2 x3 x4 1 x1 9 x2 3 x3 7 x4 7 例3 解线性方程组

2 1 5 2 0 0 2 0 0 2 0 0
2 2 7 2 3 2
1 6 4 3 1 28
①
1 6 ② 9/2 0 7 / 2 13
2 x1 2 x2 x3 6 3 x2 (9 / 2) x3 0③ 13 2 x3 13
上述齐次方程组恒有解, 因为它至少有零解. 由定理3.1 可知, 当r(A)=n时，它只有零解; 当r(A)<n时, 它有无穷 多个解, 即除零解外还有非零解. 定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是: r(A)<n.
推论
当m<n时, 齐次线性方程组有非零解.
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0 x x 2 x 3x 0 1 2 3 4 3 x1 x2 8 x3 x4 0 x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
有唯一解？无解？有无穷多解？当方程组有解时， 求出它的解.
当线性方程组中的常数项均为零时, 这样的线性 方程组称为齐次线性方程组, 其一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
线性方程组的求解方法： 1）对齐次线性方程组，将系数矩阵化为行最简形矩阵， 便可直接写出其全部解； 2）对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶梯形， 便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形， 便可直接写出其全部解.其中要注意，当r(A)=r(A,b)=r<n 时，(A,b)的行阶梯形含有r个非零行，把这r行的第一个非 零元对应的未知量作为非自由未知量，其余的n-r个作为 自由未知量.
的求解问题. 方程组的矩阵形式为 AX=b
(1)
其中
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n x1 a2n x2 x a mn
xn
b1 b2 b b m
其中
cii 0, i 1, 2,r
与原方程组同解的阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1r 1 xr 1 c1n xn d1 c22 x2 c2 r xr c2 r 1 xr 1 c2 n xn d 2 crr xr crr 1 xr 1 crn xn d r 0 d r 1 00 00
2 x1 2 x2 8 3 x2 9 ⑤ x3 2 2 x1 2 x2 8 x2 3 ⑥ x3 2 2 2 x1 x2 3 x3 2 x1 1 x2 3 x 2 3
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组的消元解法
考虑一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn b1
变元xr+1, xr+2, …, xn任意取一组值：sr+1, sr+2, …, sn, 此 时应用情形2, 可得变元x1, x2, …, xr确定的一组值: s1, s2, …, sr, 并且, (s1, s2, …, sr, sr+1, sr+2, …, sn)为方程组 (1)的一个解. 再由变元xr+1, xr+2, …, xn的任意性, 方 程组(1)有无穷多个解.

2 2 0 8 0 3 0 9 0 0 1 2 2 2 0 8 0 1 0 3 0 0 1 2 2 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 2