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高中数学知识点全总结精炼高中数学是学生在中学阶段学习的数学内容的高级阶段，它在初中数学的基础上，进一步拓展和深化，为大学数学和各种理工科的学习打下基础。
高中数学的知识点繁多，涵盖了代数、几何、概率统计等多个领域。
以下是对高中数学主要知识点的精炼总结。
# 代数函数与方程- 函数的概念：定义、性质、函数图像、函数的运算。
- 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、高次方程、不等式及其解集。
- 函数的极限与连续性：极限的定义、性质、连续函数的概念。
- 序列与数列：数列的通项公式、等差数列、等比数列、数列的极限。
集合与逻辑- 集合的基本概念：集合的表示、子集、并集、交集、补集。
- 逻辑用语：命题、充分必要条件、逻辑连接词。
初等代数- 指数与对数：指数运算法则、对数运算法则、换底公式。
- 三角函数：三角函数的定义、性质、三角恒等变换。
- 复数：复数的概念、代数形式、几何意义、复数的运算。
# 几何平面几何- 几何图形：点、线、面的基本性质。
- 三角形：三角形的分类、性质、三角形的面积公式。
- 圆：圆的性质、圆周角定理、圆的应用。
- 相似与全等：相似三角形、全等三角形的判定与性质。
空间几何- 空间图形：空间直线、平面的基本性质。
- 立体几何：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的性质与体积计算。
- 向量：向量的加法、数量积、向量积、混合积。
解析几何- 直线与圆的方程：直线的点斜式、一般式、圆的标准方程。
- 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质。
- 参数方程与极坐标：参数方程的基本概念、极坐标系。
# 概率统计概率- 随机事件：事件的概率、条件概率、独立事件。
- 随机变量：离散型随机变量、连续型随机变量。
- 概率分布：二项分布、正态分布、均匀分布。
统计- 统计量：平均数、中位数、众数、方差、标准差。
- 抽样与估计：抽样分布、参数估计。
- 假设检验：显著性检验、置信区间。
# 数学分析微积分- 导数：导数的定义、运算法则、高阶导数。
人教版高中数学知识点总结最新推荐文章高中数学知识点讲解热度：高中数学知识点总结归纳热度：高中数学重点知识点最新热度：高中数学基本知识点最新热度：高中数学基础知识点最新热度：有了初中数学的良好基础，你会发现，高中数学虽然有点难，但不是很复杂。
只要掌握了其中的知识点，你就能很好的理解数学了。
下面是小编整理的高中数学知识点总结，欢迎大家阅读学习!高中数学知识点总结选择填空题1、易错点归纳：九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
2、答题方法：选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法;填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
解答题专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。
2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
人教版高一数学知识点总结(优秀8篇)高一数学知识点总结最新篇一集合一、集合有关概念1、集合的含义2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上最高的山（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3、集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R1)列举法：{a,b,c……}2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R|x-32}，{x|x-32}3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合（2）无限集含有无限个元素的集合（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝关于集合的概念：（1）确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。
（3）无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。
集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
非负整数全体构成的集合，叫做自然数集，记作N;在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N+或N;整数全体构成的集合，叫做整数集，记作Z;有理数全体构成的集合，叫做有理数集，记作Q;（有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
![人教版高中数学必修1-第一章知识点知识点归纳[最新版]](https://uimg.taocdn.com/dd7313645acfa1c7aa00cc5c.webp)
知识点总结归纳【最新版】适用于老师、学生、家长一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性3、集合的表示：{ …} 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。
非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R3.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a∉A•列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
•描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}•4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合（2）无限集含有无限个元素的集合（3）空集不含任何元素的集合例：二、集合间的基本关系• 1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ⊆B或B ⊇A•2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A= B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①子集：任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且B⊄A那就说集合A是集合B的真子集，记作A⊈B(或B⊉A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
人教版高中数学必修一知识点归纳总结
本文档总结了人教版高中数学必修一的重要知识点，旨在帮助学生复和梳理相关内容。
第一章：集合与常用数集
- 集合的表示和运算
- 常用数集：自然数集、整数集、有理数集、实数集
- 数集的划分和分类
第二章：集合的运算与应用
- 集合的运算：交集、并集、差集、补集
- 集合间关系的判定和表示
- 集合的应用：概率、分类、调查统计等
第三章：函数基本概念与性质
- 函数的定义和表示
- 函数的自变量、因变量和值域
- 函数的性质：奇偶性、周期性等
第四章：一元一次方程与不等式
- 一元一次方程的解法
- 一元一次不等式的解法
- 一次方程和一次不等式的应用
第五章：平面坐标系与直线的基本性质
- 平面直角坐标系的建立和使用
- 直线方程的表示和性质
- 直线的斜率和截距
第六章：平面向量的基本概念
- 向量的定义和表示
- 向量的运算：加法、数乘
- 向量的模、方向和单位向量
第七章：平面向量的数量积
- 向量的数量积定义和性质
- 向量之间的夹角
- 向量的投影和垂直
以上是人教版高中数学必修一的知识点归纳总结，希望对学生们进行知识回顾和复有所帮助。
更多详细内容请参考教材。
高中数学(新人教版)必修一知识点归纳
本文将归纳高中数学(新人教版)必修一的主要知识点。
以下是
各个主题的简要概述：
1. 数与式
- 数的分类：自然数、整数、有理数、实数等。
- 代数式：基本概念、多项式、公式等。
- 幂与乘方：指数、乘方、幂等运算。
- 整式的加减法：同类项、整式的加减法规则。
- 分式：基本概念、分式的性质与化简等。
2. 一元一次方程与不等式
- 一元一次方程：基本概念、解方程的方法、应用问题等。
- 一元一次不等式：基本概念、解不等式的方法、应用问题等。
3. 函数及其图像
- 函数与自变量、函数与因变量的关系。
- 函数的表示与性质：映射、函数图像、奇偶性等。
- 一次函数：定义、性质、图像、方程等。
- 反函数与复合函数：定义、性质、求反函数、求复合函数等。
4. 等差数列
- 等差数列的定义与性质。
- 等差数列的前n项和与通项公式。
- 应用问题：等差数列应用于数学与生活中的实际问题。
5. 平面向量
- 向量的基本概念与表示法。
- 向量的运算：加法、数乘等。
- 向量共线与共面的判定。
- 向量的数量积与模的概念与性质。
6. 不等式与线性规划
- 不等式的基本性质与解法。
- 一元一次不等式组：基本概念、解法、应用问题等。
- 线性规划的基本概念与常见问题。
以上是高中数学(新人教版)必修一的主要知识点的简要归纳。
详细内容可以参考相关教材或课堂讲义。
希望这份归纳对你有帮助！。
人教版高一数学知识点5篇总结最新高中数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。
下面就是给大家带来的人教版高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！人教版高一数学知识点1空间几何体表面积体积公式：1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2) /2]/38、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S 侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R -r )11、r-底半径h-高V=πr h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr =πd /614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)人教版高一数学知识点21、函数零点的定义(1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。
人教版高中数学必修一知识点总结一、知识概述1. 集合①基本定义：集合就像是一个装东西的袋子，把确定的、不同的东西放在一起。
比如咱班里的所有同学就可以看成一个集合。
②重要程度：在高中数学里那是相当重要的基础概念，很多后面的知识都会用到集合的思想。
③前置知识：初中就接触过一些数的概念，这是理解集合的铺垫。
④应用价值：在统计分类、计算机的数据结构方面都有用，像统计不同年龄段的人数，就可以用集合思想先把人按年龄分类成不同集合。
2. 函数①基本定义：简单说函数就是一个输入某个值会得到唯一输出值的东西。
像投篮，根据出手角度这个输入值，球进与否或者球的落点有一个对应的结果（输出值）。
②重要程度：函数贯穿整个高中数学，代数方面大部分研究都和函数有关。
③前置知识：掌握变量的概念比较重要，像小学初中知道的路程= 速度×时间，这里路程、速度、时间就是变量。
④应用价值：生活中根据体重计算健康指数、根据房子面积计算房价都是函数在生活中的体现。
二、知识体系1. 集合部分①知识图谱：集合是数学基础概念，为后面函数定义域等概念做准备。
②关联知识：和逻辑关系紧密，像子集的概念就和逻辑里的包含关系很类似。
像是班级女学生组成的集合是班级所有学生组成集合的子集。
③重难点分析：掌握集合的各种表示方法（列举法、描述法）有点难，而且要搞清元素和集合的关系、集合与集合的关系。
关键在于理解集合概念的本质。
④考点分析：考试里经常考集合的表示、集合间的运算（交并补），大多以选择题或者填空题形式出现。
2. 函数部分①知识图谱：函数处于高中数学核心位置，关联方程、不等式等知识。
②关联知识：函数和方程紧密相关，函数的零点就是方程的根。
比如y = x²- 1这个函数，当y = 0时，就是x²- 1 = 0这个方程，解得x 就叫函数的零点。
③重难点分析：函数的定义域、值域这是难点，还有函数单调性、奇偶性的理解。
关键点在于多画图去直观感受。
(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案：B分析：根据题意可得I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，根据e0.38(t+t1)=2e0.38t，解得t1即可得结果.因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28−16=0.38，所以I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，所以t1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.2、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点，则实数m不可能．．．是（）A．−1B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m的零点，转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点，数形结合即可求出参数m的取值范围；解：因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根，即f(x)=m，即函数y=f(x)与函数y=m有两个交点，由函数图象可得m≤0或m=1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、已知f(x)＝a−x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是（）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1 答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1． 故选：D4、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34) 答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图， 则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34． 故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．5、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.6、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，即得解.如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ， 所以b +d <a +c . 故选：B7、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13) 答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增，所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)，故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题. 8、若n <m <0，则√m 2+2mn +n 2−√m 2−2mn +n 2等于（ ） A ．2m B ．2n C ．−2m D ．−2n 答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.9、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A10、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.11、函数y =2x −2−x （ ） A ．是R 上的减函数 B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数，故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.12、满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A ．−4<m <−2B ．−3<m <0C ．−4<m <0D ．−3<m <−1 答案：D分析：根据复合函数的单调性，求出m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．解：若f(x)=ln(mx+3)在(−∞,1]上单调递减，则满足m<0且m+3>0，即m<0且m>−3，则−3<m<0，即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m<−1，故选：D．双空题13、已知函数f(x)=2−x2+2x,x∈[0,3]，则该函数的最大值为__________，最小值为_________.答案： 2 18分析：先求g(x)=−x2+2x值域，再根据y=2x单调性求f(x)最值.因为函数g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1在[0,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，且g(0)=0,g(3)=−3，g(1)=1∴g(x)∈[−3,1]，因为函数y=2x单调递增，∴18≤2g(x)≤2，即函数f(x)的最大值为2，最小值为18.所以答案是：2；18小提示：本题考查函数最值、指数函数单调性、二次函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题.14、已知函数f(x)={log0.5x,x>0x2+2x,x≤0，那么f(2)=_________;当函数y=f(x)−a有且仅有三个零点时，实数a的取值范围是__________.答案：−1−1<a<0解析：由f(2)=log0.52可得结果，函数y=f(x)−a有且仅有三个零点，即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点，作出函数y=f(x)的图象，根据图象可得答案.f(2)=log0.52=−1函数y=f(x)−a有且仅有三个零点，即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点.作出函数y =f (x )的图象,如图.由图可知，当−1<a <0时，函数y =f (x )的图象与y =a 的图象有三个交点. 所以函数y =f (x )−a 有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是−1<a <0 所以答案是： −1 ； −1<a <015、2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足N =N 0⋅2− t 5730（N 0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：log 23≈1.6,log 25≈2.3） 答案： 12 4011分析：（1）根据衰变规律，令t =5730，代入求得N =12N 0；（2）令N =35N 0，解方程求得t 即可.当t =5730时，N =N 0⋅2−1=12N 0 ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令N =35N 0，则2−t 5730=35 ∴−t 5730=log 235=log 23−log 25≈−0.7∴t =0.7×5730=4011 ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间 故答案为12；4011小提示：本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.16、已知函数f(x)={2xlog2x (x<1)(x≥1)，则f(8) = _________，若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点，则实数m的取值范围是_________．答案： 3 {0}∪[2,+∞)解析：根据自变量范围代入对应解析式，求得f(8)；作出函数f(x)图象，再结合图象确定参数取值范围.f(8)=log28=3，作出函数f(x)的图象，如图所示，若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点，则m≥2或m=0，所以答案是：3，{0}∪[2,+∞)小提示：本题考查求分段函数值以及根据函数零点个数求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.17、若实数a，b满足log a2=blog23=1,则a=__________，3b=__________．答案： 2 2解析：根据对数的运算法则和概念求解．因为log a2=1，所以a=2，因为blog23=1，所以log23b=1，所以3b=2．所以答案是：2；2．小提示：本题考查对数的概念与运算法则，属于基础题．解答题18、给出下面两个条件：①函数f(x)的图象与直线y=−1只有一个交点；②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且______.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.答案：(1)选①f (x )=x 2−2x ，选②f (x )=x 2−2x(2)(−∞,−16](3){−√3+12}∪(12,+∞) 分析：（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出f (x )=x 2−2x +c .选①，由题意可得出f (1)=−1，可得出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）ℎ=log 3x ，ℎ∈[−2,3]，由参变量分离法可得出m ≤[−2f (ℎ)]min ，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围.（1）解：因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，f (x +1)−f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =2x −1，所以{2a =2a +b =−1 ，解得{a =1b =−2，所以f (x )=x 2−2x +c . 选①，因为函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点，所以f (1)=1−2+c =−1，解得c =0， 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .选②，设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则|x 1−x 2|=2，且Δ=4−4c >0，可得c <1， 由根与系数的关系可知x 1+x 2=2，x 1x 2=c ，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4c =2，解得c =0，所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .（2）解：由2f (log 3x )+m ≤0，得m ≤−2f (log 3x )，当x ∈[19,27]时，log 3x ∈[−2,3]，令ℎ=log 3x ，则ℎ∈[−2,3]， 所以对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，等价于m ≤−2f (ℎ)在ℎ∈[−2,3]上恒成立， 所以m ≤[−2f (ℎ)]min =−2f (−2)=−16，所以实数m 的取值范围为(−∞,−16].（3）解：因为函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点， 令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根， 因为f (x )=x 2−2x ，所以(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， 当2t −1=0，即t =12时，方程可化为−2n −2=0，解得n =−1，不符合题意； 当2t −1>0，即t >12时，函数y =(2t −1)x 2−4tx −2的图象是开口向上的抛物线，且恒过点(0,−2)， 所以方程(2t −1)n 2−4tn −2=0恒有一个正实根；当2t −1<0，即t <12时，要使得(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， {∆=16t 2+8(2t −1)=02t 2t−1>0 ，解得t =−√3+12. 综上，实数t 的取值范围为{−√3+12}∪(12,+∞). 19、设函数f (x )=log m x （m >0且m ≠1）的图像经过点(3,1).（1）解关于x 的方程f 2(x )+(m −1)f (x )+1−m 2=0；（2）不等式[1+f (x )]⋅[a −f (x )]>0的解集是(13,9)，试求实数a 的值. 答案：（1）x =9或x =181；（2）a =2.分析：(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出f (x )范围，换元借助一元二次不等式即可得解.（1）由已知得f(3)=1，即log m3=1，则m=3，于是得f(x)=log3x，方程f2(x)+(m−1)f(x)+1−m2=0⇔f2(x)+2f(x)−8=0，从而得f(x)=2或f(x)=−4，即log3x=2或log3x=−4，x=9或x=181，所以原方程的根为x=9或x=181；（2）依题意，函数f(x)=log3x中，x∈(13,9)，从而得log3x∈(−1,2).又[1+f(x)]⋅[a−f(x)]>0⇔(log3x+1)⋅(log3x−a)<0，令log3x=t，即一元二次不等式(t+1)⋅(t−a)<0的解集为(−1,2)，因此有-1，2是关于t的方程(t+1)⋅(t−a)=0的两根，则a=2，所以实数a的值为2.20、已知f(x)=(log12x)2−2log12x+4，x∈[2 , 4]．（1）设t=log12x，x∈[2 , 4]，求t的最大值与最小值；（2）求f(x)的值域．答案：（1）最大值-1，最小值-2；（2）[7，12]解析：（1）t=log12x，x∈[2，4]，可得t在x∈[2，4]上是减函数，即可得出．（2）f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t)，可得g(t)在t∈[−2，−1]单调递减，即可得出值域．（1）t=log12x，x∈[2，4]，∴t在x∈[2，4]上是减函数，∴x=2时t有最大值log122=−1；x=4时t有最小值log124=−2．（2）f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t)，∴g(t)在t∈[−2，−1]单调递减，∴t=−2（即x=4)，取得最大值，g(−2)=12．t=−1（即x=2)，取得最小值，g(−1)=7．所以函数f(x)的值域[7，12]．小提示：利用换元法求函数值域是常用的方法也是重要方法.。
(每日一练)人教版高中数学必修一集合知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C解析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2、已知集合A={x|x2−1=0}，则下列式子表示正确的有（）①1∈A②{−1}∈A③∅∈A④{−1,1}⊆AA．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：先求出集合A中的元素，然后逐项分析即可.因为A={x|x2−1=0}={−1,1}，则1∈A，所以①正确；{−1}⊆A，所以②不正确；∅⊆A，所以③不正确；{−1,1}⊆A，所以④正确，因此，正确的式子有2个.故选：B.3、设A={x|2≤x≤8}，B={x|2a≤x≤a+4}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．{a|1≤a≤4}B．{a|a>4}C．{a|a≥1}D．{a|1<a<4}答案：C解析：根据集合的包含关系，讨论B=∅、B≠∅列不等式组，求参数a的范围.当B=∅时，2a>a+4，有a>4符合题设；当B≠∅时，{2a≥2 a+4≤82a≤a+4，有1≤a≤4符合题设；综上，a≥1.故选：C填空题4、已知集合M={x|(x−a)(x2−ax+a−1)=0}各元素之和等于3，则实数a=___________.答案：2或32解析：由题意知M中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论x2,x3是否相等即可求实数a.由题意知：M={x|(x−a)(x2−ax+a−1)=0}中元素，即为(x−a)(x2−ax+a−1)=0的解，∴x−a=0或x2−ax+a−1=0，可知：x1=a或x2+x3=a∴当x2≠x3时，2a=3；当x2=x3时，32a=3，∴a=2或a=3，2所以答案是：2或32小提示：本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题.5、设非空集合Q⊆M，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合M={1,2,3,4,5,6,7}，则其偶子集Q的个数为___________.答案：63解析：对集合Q中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q的个数，综合可得结果.集合Q中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：{1,3}、{1,5}、{1,7}、{3,5}、{3,7}、{5,7}，共6种，若集合Q中只有4个奇数时，则集合Q={1,3,5,7}，只有一种情况，若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为{2,4}、{2,6}、{4,6}，共3种情况；若集合Q中只含3个偶数，则集合Q={2,4,6}，只有1种情况.因为Q是M的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q的个数为7；若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数2个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6×1=6种；若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63. 所以答案是：63.。
高中数学人教版知识点全总结哎呀，高中数学人教版的知识点，那可真是像一个巨大的宝藏库啊！先说函数这一块吧。
函数就像是一个神奇的魔法盒子，你给它输入一个数，它就能按照特定的规则给你输出一个结果。
比如一次函数，那就是一条直直的线，简单又直接。
就好像你去坐直梯，从一楼到五楼，速度不变，高度随时间的变化就是一次函数。
而二次函数呢，就像一个调皮的抛物线，有时候向上弯，有时候向下弯。
这不就像我们扔出去的皮球，先往上飞，然后又落下来。
再讲讲数列，数列就像是一群排好队的小朋友，每个小朋友都有自己的编号和特点。
等差数列，相邻两个小朋友的差距都一样；等比数列呢，后面的小朋友跟前面的小朋友的倍数关系不变。
还有三角函数，正弦、余弦、正切，它们就像是舞台上的演员，各自有着独特的表演。
正弦曲线和余弦曲线，那优美的波动，就像大海的波涛一样，起起伏伏。
立体几何也很有趣呀！那些正方体、长方体、圆柱体，就像是我们生活中的各种盒子和罐子。
计算它们的体积和表面积，就好像在给这些盒子罐子量尺寸，做衣服。
概率统计呢，就像是在预测未来。
通过一些数据和规律，来猜猜下一次会发生什么。
这不就像猜明天会不会下雨，只是我们有了更多的依据和方法。
解析几何就像是给图形找到了它们的“身份证”，用方程来描述它们的特点。
圆、椭圆、双曲线、抛物线，每一个都有自己独特的方程，就像每个人都有自己独特的名字一样。
向量呢，就像是有方向的箭头，能帮我们解决很多复杂的问题。
它们在空间里飞来飞去，指引着我们找到答案。
不等式，就像是一把衡量公平的尺子，告诉我们什么是多，什么是少，怎么才能达到平衡。
哎呀，高中数学人教版的知识点真是太多太丰富啦！每一个都有它独特的魅力和用处。
我觉得呀，学习这些知识点就像是一场冒险，有时候会遇到困难，但是只要我们勇敢探索，就能发现其中的乐趣和奥秘。
就像爬山一样，虽然过程辛苦，但是当我们站在山顶，看到美丽的风景时，一切都值得了！所以，别怕数学，大胆去学，你一定会收获满满的！。
高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全)高中数学必修二知识点汇总第一章：立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱：是由两个平行的多边形底面和若干个侧面组成的几何体。
根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
棱柱的侧面和对角面都是平行四边形，侧棱平行且相等，平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
2) 棱锥：是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的几何体。
根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
棱锥的侧面和对角面都是三角形，平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
3) 棱台：是由一个平行于棱锥底面的平面截取棱锥，截面和底面之间的部分组成的几何体。
根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱台、四棱台、五棱台等。
棱台的上下底面是相似的平行多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。
4) 圆柱：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆柱面组成的几何体。
底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。
5) 圆锥：是由一个圆形底面和一个以底面圆心为顶点的锥面组成的几何体。
底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。
6) 圆台：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆台面组成的几何体。
上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个弓形。
7) 球体：是由一个半圆面绕其直径旋转一周所形成的几何体。
球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图三视图是指正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）、侧视图（从左向右）和俯视图（从上向下）组成的视图。
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度。
俯视图和侧视图是用来反映物体在不同方向上的位置关系的，前者反映长度和宽度，后者反映高度和宽度。
斜二测画法是一种直观的图示方法，它的特点是原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变，原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行，但长度为原来的一半。
(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若z(1+i)=1−i，则z=（）A．1–i B．1+i C．–i D．i答案：D分析：先利用除法运算求得z，再利用共轭复数的概念得到z即可.因为z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，所以z=i.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.2、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.3、已知为i虚数单位，复数z=1+i1+2i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：利用复数的除法运算化简z ，求出z 即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限. z =1+i 1+2i=(1+i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=1−2i 2−i 1−4i2=3−i 5=35−15i ，z =35+15i ，所以z 在复平面内对应的点坐标为(35,15)， 所以z 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A.4、若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．2 答案：D分析：由题意首先求得z 2−2z 的值，然后计算其模即可.由题意可得：z 2=(1+i )2=2i ，则z 2−2z =2i −2(1+i )=−2. 故|z 2−2z |=|−2|=2. 故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 5、已知a,b ∈R ，a1+i +b1−i =1，则a +2b =（ ） A ．3B ．√3C ．√2D ．1 答案：A分析：等式两边同乘(1+i )(1−i )，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值 因为a1+i +b1−i =1 ，所以a(1−i )+b(1+i )=(1+i )(1−i )=1−i 2=2 即(a +b)+(b −a)i=2所以{a +b =2b −a =0解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3故选：A6、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D分析：先化简i 2020,i 2021，再利用复数的除法化简得解. z =2−i 20202+i 2021=12+i=2−i (2+i)(2−i)=2−i 5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限， 故选：D小提示：名师点评复数z =x +yi(x,y ∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.7、在复平面内，O 为原点，向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1−2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为（ ） A ．−2−i B ．2+i C ．1+2i D ．−1+2i 答案：D分析：根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点A ，推出点B 的坐标，进而可得出结果. 由题意可知，点A 的坐标为(−1,−2)，则点B 的坐标为(−1,2)， 故向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1+2i . 故选：D.8、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．9、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（ ） A ．−23B ．23C ．−32D ．32答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案. 解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0，解得a =32. 故选：D.10、设复数z 满足z ⋅i =−1+i ，则|z |=（ ） A ．1B ．√2C ．√5D ．√10 答案：B分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解. 解析因为z =−1+i i=(−1+i )⋅i i ⋅i=−i −1−1=1+i ，所以z =1−i ，|z |=√2. 故选：B11、复数2i1−i （i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．1B ．−i C ．2D ．−2i 答案：A分析：利用复数的除法法则及复数的概念即可求解. 由题意可知，2i1−i =2i ×(1+i )(1−i )(1+i )=−2+2i 2=−1+i ，所以复数2i1−i 的虚部为1. 故选：A.12、复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是（）.A．a=0且b≠0B．a≠0且b=0C．a=b=0D．ab=0答案：D分析：利用充要条件的定义和复数的运算判断即可因为(a+b i)2=a2+2ab i+(b i)2=a2−b2+2ab i为实数，所以ab=0，反之，当ab=0时，复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数，所以复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是ab=0，故选：D双空题13、著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：[r(cosθ+i sinθ)]n=r n(cosnθ+i sinnθ)，其中r>0，n∈N∗.根据这个公式，则(cosπ12+i sinπ12)6=______；若[r(cosπ4+i sinπ4)]4=−16，则r= ______.答案：i 2分析：（1）直接代公式得原式为cosπ2+i sinπ2，化简即得解；（2）直接代公式化简得r4=16，解方程即得解.（1）(cosπ12+i sinπ12)6=cos(6×π12)+i sin(6×π12)=cosπ2+i sinπ2=i；（2）[r(cosπ4+i sinπ4)]4=r4(cosπ+i sinπ)=r4(−1)=−16，∴r=2.所以答案是：i；2.14、已知复数(2−3i)z=1−i，则z的虚部为_________；若13z+a为纯虚数，则实数a=_______.答案：113−5分析：首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到其虚部，再化简复数13z +a ，根据实部为零，虚部不为零，求出参数a ；解：由题意得z =1−i2−3i =(1−i )(2+3i )(2−3i )(2+3i )=513+113i ，所以z 的虚部为113．因为13z +a =13(513+113i )+a =5+a +i 为纯虚数，所以5+a =0，即a =−5． 所以答案是：113；−515、将复数z=3[cos (-π2)+i sin (-π2)]化成代数形式为_____;|z|=_____. 答案： −3i 3分析：利用特殊角的三角函数值，即可得到答案； ∵ z =3(0−i )=−3i ,|z|=3， 所以答案是：−3i ,316、已知复数z 满足z (1+i )=−2+i （i 为虚数单位），则z 的虚部是_____，|z |= ______． 答案： 32√102分析：根据复数z 满足z (1+i )=−2+i ，利用复数的除法化简得到z =−12+32i ，再根据复数的概念和模的求法求解.因为复数z 满足z (1+i )=−2+i ，所以z =−2+i 1+i=(−2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=−12+32i所以z 的虚部是32，|z |=√(−12)2+(32)2=√102， 所以答案是：32；√102. 小提示：本题主要考查复数的运算以及复数的概念和模，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 17、已知复数z =1+sinθcosθ+(cosθ−sinθ)i ，则|z |的最大值为__________，最小值为__________． 答案： 32√2分析：直接计算复数的模，再利用三角函数的有界性，即可得答案；∵|z|=√(1+sinθ⋅cosθ)2+(cosθ−sinθ)2=√2+2sinθ⋅cosθ+sin2cos2θ−2sinθ⋅cosθ=√2+14sin22θ，当sin22θ=1时，|z|的最大值为32；当sin22θ=0时，|z|的最小值为√2；所以答案是：32；√2.解答题18、已知z1=3−4i，z2=3−2i.求：(1)z1⋅z2；(2)z1z2；(3)(1+i)2n+(1−i)2n（n为正整数）；(4)(1+i)15+(1−i)15(1+i)14−(1−i)14.答案：(1)1−18i(2)1713−613i(3)(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N(4)i分析：（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.（1）根据复数的加减法和乘法运算规则得，z1·z2=(3−4i)·(3−2i)=1−18i.（2）根据复数的四则运算规则得，z 1z 2=3−4i 3−2i =(3−4i )(3+2i)(3−2i )(3+2i)=17−6i 13=1713−6i13.（3）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i )2n +(1−i )2n=(2i )n +(−2i )n ={2n+1,n =4k,k ∈N ∗,0,n =4k +1,k ∈N,−2n+1,n =4k +2,k ∈N,0,n =4k +3,k ∈N（4）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i )15+(1−i )15(1+i )14−(1−i )14=(1+i)14·(1+i)+(1−i )14·(1−i )(2i)7−(−2i)7=(2i)7·(1+i)+(−2i)7·(1−i )−28i=−27i +27+27i +27−28i=i19、计算：（1）(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2；（2）i2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i(1−√3i )8． 答案：（1）513；（2）247+8√3i ． 分析：（1）借助(12−√32i )3=−1，(1−i )2=−2i 以及复数的四则运算，即得解；（2）借助(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1以及复数的四则运算，即得解.（1）由于(12−√32i )3=(12−√32i )2×(12−√32i )=(−12−√32i )×(12−√32i )=−1(1−i )2=−2i故(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2=26×(−1)2−215×(−1)52i ×(−2i )6×12i=26+21526=1+29=513（2）由于(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1故i2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i +(1−√3i )8=i500×4+2+24(1+i)8−225(1−i)50+(−2√3+i)(1−2√3i)(1+2√3i)(1−2√3i)28(1+i)828(12−√32i)8=−1+24(2i)4−225(−2i)25+i28(2i)428×(−1)2×(12−√32i)2=−1+24×2−4i+i+24(−12+√32i)=247+8√3i20、已知复数z=6−4m i1+i（m∈R,i是虚数单位）．(1)若z是实数，求实数m的值；(2)设z̅是z的共轭复数，复数z̅−4z在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．答案：(1)m=−32(2)m>32分析：（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可. (1)z=(6−4m i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−2m−(3+2m)i，因为z为实数，所以3+2m=0，解得m=−32.(2)因为z是z的共轭复数，所以z̅=3−2m+(3+2m)i，所以z̅−4z=6m−9+(10m+15)i因为复数z̅−4z在复平面上对应的点位于第一象限，所以6m−9>0，同时10m+15>0解得m>32.。
人教版高中数学知识点总结一、函数与方程1. 函数的定义与性质：函数的概念、关系与函数、函数的特性、函数的分类、函数的运算、函数的图象。
2. 一次函数：函数的表达式与图象、函数的增减性与单调性、零点与根的概念、函数的解与方程。
3. 二次函数：函数的表达式与图象、函数的增减性与单调性、函数的最值与极值、函数的解与方程。
4. 幂函数与指数函数：函数的定义域与值域、函数的图象与性质、函数的运算与应用。
二、数列与数列的表示方法1. 等差数列：等差数列的概念与特性、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和、等差数列的应用。
2. 等比数列：等比数列的概念与特性、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和、等比数列的应用。
3. 通项公式与通项公式的逆向推导：等差数列与等比数列的通项公式的推导与应用。
三、平面坐标系与直线1. 平面直角坐标系：直角坐标系的概念、直角坐标系的运用及常用定理。
2. 直线的方程：直线的一般方程、直线的斜截式方程、直线的截距式方程、两直线的位置关系。
四、图形的变换1. 平移：图形的平移规律、平移的定义与性质、平移的向量表示。
2. 旋转：图形的旋转规律、旋转的定义与性质、旋转的向量表示。
3. 对称：图形的对称规律、对称的定义与性质、对称的向量表示。
五、三角函数1. 角与弧度：角的度量与单位、角的标准位置、弧度制与角度制的换算。
2. 正弦函数：正弦函数的定义与性质、正弦函数的图象与性质、正弦函数的应用。
3. 余弦函数：余弦函数的定义与性质、余弦函数的图象与性质、余弦函数的应用。
4. 正切函数：正切函数的定义与性质、正切函数的图象与性质、正切函数的应用。
六、解析几何1. 平面与空间几何：平面的点坐标与方程、平面的性质及应用、空间几何的概念与基本性质。
2. 平面图形：平面图形的概念与性质、平面图形的参数方程、平面图形的拟合。
3. 空间图形：立体图形的概念与性质、立体图形的参数方程、立体图形的拟合。
七、立体几何1. 空间中的位置关系：直线的位置关系、平面的位置关系、直线与平面的位置关系。
人教版高中数学知识点（干货共享）高中数学考试必备知识点有哪些，人教版高中数学必背知识点有哪些，高中数学易错知识点有哪些，下面我给大家带来人教版高中数学知识点，期望大家宠爱!高中数学必备知识点有哪些1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数)必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数(三角函数)、平面对量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必需学习的。
上述内容掩盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、进展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
2.重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面对量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易规律:集合的概念与运算、简易规律、充要条件⑴函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑴数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑴三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑴平面对量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑴不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、确定值不等式、不等式的应用⑴直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑴圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑴直线、平面、简洁几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑴排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑴概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑴导数：导数的概念、求导、导数的应用⑴复数：复数的概念与运算高中数必备的知识点有哪些必修一第一章：集合和函数的基本概念这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不当心就会丢分。
2018年新人教版高中数学知识点总结高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集UA {|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都yxo有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a≥．③根式的性质：n a=；当n为奇数时，a=；当n为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m mn na a m n Na-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q px=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质 ①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--．②当0a>时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2bq a ->，则()m f q =02a )q()f p)M =②若p q ≤≤③若2b q a ->，则Mxxxx0x x(q)0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
