利用MATLAB求解微积分的方法

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MATLAB教程【5】微积分

将结果乘以h。要将结果乘以。
Z=trapz(x,y) 计算对x的梯形积分，其中、y定义函数关系计算y 的梯形积分，定义函数关系y=f(x)。的梯形积分其中x、定义函数关系。 Z=trapz(x,y,dim) 对dim指定的的维进行积分。指定的y的维进行积分指定的的维进行积分。
1.4.7 数值积分
一、数值积分的基本原理
b b
I1 = ∫ f ( x)dx, I 2 = ∫ p ( x)dx
a a
f(b)
T=
b−a [ f (a ) + f (b )] 2
梯形公式
f(a)
将积分区间[a,b]划分为等份，步长划分为n等份将积分区间划分为等份， h=(b-a)/n,xk=a+bk构造求积公式构造求积公式
( I n = ( b − a )∑ C k n ) f ( x k ) k =0 n
牛顿 − 柯特斯公式
a
b n = 1即梯形公式， n = 2时为辛普生公式即梯形公式，
b−a a+b S= [ f (a ) + 4 f ( ) + f ( b )] 6 2
1.4.7 数值积分
二、数值积分的实现 1、梯形积分：对矢量、矩阵和多维列阵进行梯形积分、梯形积分：对矢量、 Z=trapz(y) 计算的数值梯形积分，步长默认为，若不是而是，计算y 的数值梯形积分，步长默认为1，若不是1 而是h，
例：用不同的方法求函数 f ( x )的数值导数并作图 f ( x) = f '( x) = x 3 + 2 x 2 − x + 12 + 6 x + 5 + 5 x + 2 3x2 + 4x − 1 2 x + 2 x − x + 12

第3讲 MATLAB在微积分中的应用

2）求数值解的方法 1. 欧拉方法若步长h较小，则可用差商近似代替导数，即 y ( x + h) − y ( x ) y '( x) ≈ h 于是便得公式 yi +1 ≈ yi + hf ( xi , yi ) , i = 0,1, L , n − 1. y0 = y ( x0 ) 此法称为欧拉方法。
例7 用MATLAB软件求微分方程 du = 1+ u2 dt 的通解；例8 用MATLAB软件求微分方程 d 2 y dy 2 + 4 + 29 y = 0 dx dx y(0) = 0, y ' (0) = 15 的特解。
例9 用MATLAB软件求微分方程组 dx dt = 2 x − 3 y + 3z dy = 4 x − 5 y + 3z dt dz dt = 4 x − 4 y + 2 z 的通解.
2. 改进的欧拉方法对方程y ' = f ( x, y )两边从xi到xi +1积分，再利用梯形公式，得 y ( xi +1 ) − y ( xi ) = ∫
xi +1 xi
f ( x, y ( x )) dx
xi +1 − xi ≈ [ f ( xi , y ( xi )) + f ( xi +1 , y ( xi +1 ))] 2 h 于是有公式： yi +1 ≈ yi + [ f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 )], y0 = y ( x0 ) 2 上式中右边yi +1的值可用欧拉方法计算，即有 yi +1 = yi + hf ( xi , yi ) i = 0,1, L , n − 1. h yi +1 = yi + 2 [ f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 )] 此法称为改进的欧拉方法。

Matlab在微积分中的简单应用

'' '
dy xy 2 • 3、 2 dx x y
y(0)=1
小结
• 1 用”diff()” 求数值微分和符号微分.
• 2 用”int()”、”Int()”直接积分 • 3 用“dsolve()”求微分方程的通解、特解
第6讲
Matlab在微积分中的简单应用
实验目的
• 1学会用”diff()” 求数值微分和符
号微分. • 2学会用”int()”、”Int()”直接积分并写出积分表达式. • 3学会用”dsolve()”求微分方程的通解、特解。
复习回顾（一）
计算下列函数的导数
ylog ax
1 y x ln a

复习回顾（二）
求下列的不定积分
1 x C 1 x2 dx arctan
1 x 2 1 1 2 1x )C 1 x2 dx 21x2d(1x ) 2ln(
分析：
1 2 1 2 xdx dx d ( 1 x) 2 2
二、熟悉以下Matlab中的求积分命令
sin xdx （2）
e dx
2x
2 求下列函数的定积分
（1） e dx （2）
2 ( 3 x ) dx 2x1 0 1
复习回顾（三）
dy 3 2x y 的通解 • 求微分方程 dx dy • 解：将所给方程分离变量，得 2 x 3 dx y • 等式两端积分，有 dy 2x3dx
• 2求特解的命令格式 • r=dsolve(‘微分方程’,‘初值条件’，‘自变量’)
• 3求微分方程组的命令格式
• [y1,y2,…]=dsolve(‘微分方程1’,‘微分方程 2’,…,‘初值条件1’,’初值条件2’ ,…，‘自变量1’, ‘自变量2’,…)

matlab微积分基本运算

matlab 微积分基本运算§1 解方程和方程组解1. 线性方程组求解对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵有三种情形：1)当n=m 且A 非奇异时,此方程为“恰定”方程组。

2)当 n > m 时,此方程为“超定”方程组。

3)当n<m 时,此方程为“欠定”方程组。

下面就三种情形的求解分别作一说明：(1) MATLAB 解恰定方程 A* X = B 的方法1)采用求逆运算解方程x=inv(A)*B2)采用左除运算解方程x=A\B例1 “求逆”法和“左除”法求下列方程组的解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x xx x x x x x x在Matlab 编辑器中建立M 文件fanex1.m ：A=[5 6 0 0 01 5 6 0 00 1 5 6 00 0 1 5 60 0 0 1 5];B=[1 0 0 0 1]';R_A=rank(A) %求秩X1=A\B %用"左除"法解恰定方程所得的解X2=inv(A)*B %用"求逆"法解恰定方程所得的解运行后结果如下R_A =5X1 =2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188X2 =2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188两种方法所求方程组的解相同。

(2)MATLAB 解超定方程AX=B 的方法对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵， n > m ，如果A 列满秩，则此方程是没有精确解的。

然而在实际工程应用中，求得其最小二乘解也是有意义的。

基本解法有：1)采用求伪逆运算解方程x=pinv(A)*B说明：此解为最小二乘解x=inv(A ’*A)*A*B,这里pinv(A) =inv(A ’*A)*A.2)采用左除运算解方程x=A\B例2 “求伪逆”法和“左除”法求下列方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+12214212212121x x x x x x命令如下：>> a=[1 2;2 4;2 2];>> b=[1,1,1]';>> xc=a\b %用左除运算解方程运行得结果:xc =0.40000.1000>> xd=pinv(a)*b %用求伪逆运算解方程运行得结果:xd =0.40000.1000>> a*xc-b %xc 是否满足方程ax=b运行得结果:ans =-0.40000.20000.0000可见xc 并不是方程的精确解。

Matlab微积分问题计算机求解实验

>> q2=quad('quad1',0,1)
【例】求exp(-x2)在[0,1]上的积分。
数值积分
3、编写被积函数表达式，函数名为f=@(x).exp(-x.^2);
>> q2=quad(f,0,1)
数值积分
(2)梯形法（被积函数由一个表格定义）
trapz函数采用梯形法求取数值积分，适用于由表格形式定义的函数关系的求定积分问题，求值速度快，但精度差。
syms x; f=abs(x)/x;%给出待展开的函数 xx=[-pi:pi/200:pi]; xx=xx(xx~=0); xx=sort([xx,-eps,eps]);
Fourier级数的Matlab程序
yy=subs(f,x,xx);%计算f(x)的值 for i=1:20
[A,B,F]=fseries(f,x,n); y=subs(F,x,xx); subplot(4,5,n); plot(xx,yy);%画出f(x)的图像 hold on plot(xx,y);%画出Fourier级数的图像 end
K ex2dx 0
计算积分
21
( x1)2
练习：
e 2 dx,
0 2
e2t 2 x 2 1
dx
cost (2 x 2 3 x 1)2
符号求和
symsum(u,n,n0,nn): symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
例：计算级数
S 1 及其前100项的部2 分和 n n 1
>> syms n; f=1/n^2;
>> S=symsum(f,n,1,inf)
>> S100=symsum(f,n,1,100)

第三章 matlab求解微积分

第三章微积分的数学实验3.1极限与一元微积分3.1.1 初等运算1．定义单个或多个符号变量：syms x y z t ；定义单个符号变量或者符号函数还可以用单引号定义，如x=’x ’，f=’sin(x^2)+2*x-1’。

符号表达式的反函数运算g=finverse(f)，g 是返回函数f 的反函数。

例1 求sin(1)y x =-的反函数>>syms x>>y=sin(x-1); g=finverse(y),结果为 g=1+asin(t)2. f actor(f) 因式分解函数ｆ3．Collect(f) 对函数f 合并同类项4. expand(f) 将函数f 表达式展开5. simple(f) 找出表达式的最简短形式（有时需要用2次）6. roots （p ）对多项式p 求根函数。

7. solve(F) 一般方程的求根函数例2 解方程2510x x +-=解 >>syms x>>solve(x^2+5*x-1)结果为x =[ -5/2+1/2*29^(1/2) -5/2-1/2*29^(1/2)]8．fzero(f,x0)或fzero(f,[a,b]) 在初始点x0处开始或在区间[a,b]上搜索函数的零点，f(a)与f(b)需要符号相反。

3.1.2 Matlab计算函数的极限函数形式：1）limit(F,x,a)，求函数F在 x ->a时的极限。

2）limit(F,a)，默认其中的变量为极限变量.3）limit (F)，默认其中的变量为极限变量且趋向于0.4）limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,’le ft') 求函数F在x->a时的右、左极限.例3 >>syms x a t h; %syms作用是申明x,a,t,h是符号变量，不需先赋值再调用。

>>limit(sin(x)/x) %结果为 1>>limit((x-2)/(x^2-4),2) %结果为 1/4>>limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) %结果为 exp(6*t)>>limit(1/x,x,0,'right') %结果为 inf>>limit(1/x,x,0,'left') %结果为 -inf>>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %结果为 cos(x)>>v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];limit(v,x,inf,'left') %结果为[exp(a),0]3.1.3 Matlab计算导数与微分1．一元导数和微分diff函数用以计算函数的微分和导数，相关的函数语法有下列4个：diff(f) 返回f对预设独立变量的一次导数值diff(f,'t')或diff(f,t) 返回f对独立变量t的一次导数（值）diff(f,n) 返回f对预设独立变量的n阶导数（值）diff(f,'t',n) 或diff(f,t，n)返回f对独立变量t的n阶导数（值）这里尽管自变量已经作为符号变量，可以不用syms说明，但是在具体执行diff(f)、diff(f,'t')和diff(f,t)会出现差异，有的能够执行，有的不能够，有的执行符号微分，有的执行数值微分，所以比较麻烦。

MATLAB第三章

第三章微积分问题的计算机求解一、实验内容：题目1．试求出如下极限。

①limx→∞(3x +9x )1/ x，②lim x→∞[(x+2)x+2(x+3)x+3 ]/(x+5)2x+5【分析】：该题为单变量函数的极限。

极限问题可以用limit()函数直接求出。

要注意该函数的调用格式为:L=limit(fun,x,x0)(求极限)，L=limit(fun,x,x0,’left’或’right’)(求极限)。

还需注意一开始要对函数的字符进行申明。

【解答】：（1）输入如下语句：>> syms x;f=(3^x+9^x)^(1/x);L=limit(f,x,inf)语句运行后显示如下：L =9（2）输入如下语句：>>syms x;f=(x+2)^(x+2)*(x+3)^(x+3)/(x+5)^(2*x+5);>> L=limit(f,x,inf)语句运行后显示如下：L =exp(-5)题目2.试求下面的双重极限。

①lim x→−1y→2 (x2y+xy3)/(x+y) 3，②limx→0 y→0 xy /√(xy+1)−1，③limx→0y→0 [1−cos(x2+y2)]/(x2+y2)e x2+y2。

【分析】：该题为多变量函数的极限问题。

他可以用嵌套使用limit()函数来解决。

在MATLAB上可以用L=limit(limit(f,x,x0),y,y0)或者L=limit(f,y,y0),x,x0)来解决。

其思想是所有的先关于X求导，再所有的关于y求导。

【解答】：(1)输入如下语句：>> syms x y>> f=(x^2*y+x*y^3)/(x+y)^3;>> L=limit(limit(f,x,-1),y,2)语句运行后显示如下：L =-6(2)输入如下语句：>> syms x yf=(x*y)/(sqrt(x*y+1)-1);L=limit(limit(f,x,0),y,0)按ENTER键，语句运行后显示如下：L =2(3)输入如下语句：>> syms x yf=(1-cos(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2)*exp(x^2+y^2));L=limit(limit(f,x,0),y,0)按ENTER键，语句运行后显示如下：L =题目3.求出下面函数的导数。

第七章 MATLAB微积分数值计算

相同维数的向量U，且 1 U1 2 ( V4 4V3 5V2 2V1 ) h 1 U i 2 (Vi 1 2Vi Vi 1 ), (1 i n) h 1 U n 2 (2Vn 5Vn 1 4Vn 2 Vn 3 ) h 默认的步长为1。 U=4*del2(V,h1,h2)，对矩阵V，横向(x方向)以步长h1，纵向(y方
diff调用格式为：
Dy=diff(Y)：计算向量Y的向前差分，并把结果赋值给向量Dy Dy(i)=Y(i+1)-Y(i)，i=1,2,…,n-1。注意向量Dy元素个数比Y少一个
Dy=diff(Y,n)：计算向量Y的n阶向前差分。注意向量Dy元素个数比Y少n个.例如：
diff(Y,2)=diff(diff(Y))=DX(i+1)-DX(i)= Y(i+2)-2Y(i+1)+Y(i) ， i=1,2 ……n-2。
计算积分，可以采取逐步缩小步长h的办法。即先任
取步长h进行计算，然后取较小步长 h’ 进行计算，如果两
次计算结果相差较大，则取更小步长进行计算，如此下去，直到相邻两次计算结果相差不大为止，取最小步长算出的结果作为积分值。这种方法称为变步长积分法。利用两种步长计算积分时，通常取h’=h/2 。而每次
x
4
精度为O(∆X4)的高阶中心差分算法
yi yi yi yi 2 8 yi 1 8 yi 1 yi 2 12 x yi 2 16 yi 1 30 yi 16 yi 1 yi 2 12 x
2
yi 3 8 yi 2 13 yi 1 13 yi 1 8 yi 2 yi 3 8 x
7.1 数值微分 7.2 数值积分 7.3 常微分方程的数值解法

Matlab在微积分中的应用

Matlab 在微积分中的应用命令1 极限函数 limit格式 limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x →a 时。

limit(F,a) %用命令findsym(F)确定F 中的自变量，设为变量x ，再计算F 的极限值，当x →a 时。

limit(F) %用命令findsym(F)确定F 中的自变量，设为变量x ，再计算F 的极限值，当x →0时。

limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left') %计算符号函数F 的单侧极限：左极限x →a - 或右极限x →a+。

例3-25>>syms x a t h n;>>L1 = limit((cos(x)-1)/x)>>L2 = limit(1/x^2,x,0,'right')>>L3 = limit(1/x,x,0,'left')>>L4 = limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)>>v = [(1+a/x)^x, exp(-x)];>>L5 = limit(v,x,inf,'left')>>L6 = limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)计算结果为：L1 =L2 =infL3 =-infL4 =1/xL5 =[ exp(a), 0]L6 =exp(6)命令2 导数（包括偏导数）函数 diff格式 diff(S,'v')、diff(S,sym('v')) %对表达式S 中指定符号变量v 计算S 的1阶导数。

diff(S) %对表达式S 中的符号变量v 计算S 的1阶导数，其中v=findsym(S)。

diff(S,n) %对表达式S 中的符号变量v 计算S 的n 阶导数，其中v=findsym(S)。

第三章-matlab求解微积分

符号表达式的反函数运算g=finverse(f)，g 是返回函数f 的反函数。

3.1.2 Matlab计算函数的极限函数形式：1）limit(F,x,a)，求函数F在 x ->a时的极限。

2）limit(F,a)，默认其中的变量为极限变量.3）limit (F)，默认其中的变量为极限变量且趋向于0.4）limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,’left') 求函数F在x->a时的右、左极限.例3 >>syms x a t h; %syms作用是申明x,a,t,h是符号变量，不需先赋值再调用。

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第 3 章 (1)M A T L A B 微积分
极限与级数的符号运算
M A T L A B 的极限与级数运算在符号系统中进行
◆极限运算
● l i m i t (f , x , a ) 求符号函数f 的极限 ● l i m i t (f , x , a , ’r i g h t ’) 求符号函数f 的右极限 ● l i m i t (f , x , a , ’l e f t ’) 求符号函数f 的左极限
说明：上述命令中的a 可以是无穷大 i n f 或 -i n f
☐说明：多元函数的极限需要使用累次极限来计算举例
◆级数运算
● s y m s u m (a n , n , i , j ) 求符号通项a n 的和
其中，当j 为无穷大i n f 时，即为无穷级数。

举例
◆级数运算
● t a y l o r (f , n , a , x )
求符号函数f 在点a 关于变量x 的n -1阶泰勒多项式举例
● t a y l o r t o o l 泰勒工具举例
微积分的符号运算
◆导函数与偏导函数
● d i f f (f , x ) 求符号函数f 对x 的一阶导函数或偏导函数 ● d i f f (f , x , n ) 求符号函数f 对x 的n 阶导函数或偏导函数 ● 注：d i f f 是d i f f e r e n t i a l (微分)的缩写
lim ()
x a
f x +
→lim ()
x a f x -
→lim ()x
a f x →j
n
n i
a =∑
例：计算
⏹ 问:如何求符号函数在给定点的导数值或偏导数值？
求完导函数或偏导函数之后，使用符号替换命令 s u b s 可以求得导函数值或偏导函数值
◆不定积分与定积分
● i n t (f , x )
求符号函数f 关于变量x 的不定积分 ● 注：i n t 是i n t e g r a t i o n (积分)的缩写 ● i n t (f , x , a , b )
求符号函数f 关于变量x 的定积分，a 、b 分别是积分下限和上限，a 、b 可以是函数表达式，也可以是无穷大i n f 或-i n f 举例
● 对于定积分，当系统求不出精确解时，如果被积函数中不含待定符号，可以使用v p a 命令给出近似解例如： s y m s x a =i n t (s i n (s i n (x )), 1, 2) v p a (a )
☐说明： ● 参数方程求导和隐函数求导需要使用相关数学公式（见教材66-67页） ● 重积分、曲线积分与曲面积分需要使用数学方法转化为累次积分来计算
微积分的数值运算
◆微积分的数值运算特点
采用数值算法，主要用于解决导数和定积分的近似计算问题还可以解决离散数据的相关计算问题
● 实例：某河床的横断面如图所示，试根据图示的测量数据(单位: m )，计算各测量点的坡度和横断面的面积。

)ln(2
22
3xy y x y
x +∂∂∂,)1
sin (2+x e x
dx d
◆数值导数
● g r a d i e n t (f , x )
该命令求一元函数 f 的数值导数f ’(x )
其中，x 是自变量的一组取值(离散数据)，f 是因变量的对应取值(离散数据) ，计算结果是各离散数据点的导数值(近似解)。

☐说明：
x 的取值越密集，得到的导数值就越精确。

该命令常用于求解离散型数据的变化率。

● 例：计算前例中的坡度
x =[0,4,10,12,15,22,28,34,40]; f =[0,-1,-3,-6,-8,-9,-5,-3,0]; f x =g r a d i e n t (f ,x )
● 例：求函数y =x 2s i n x 在区间[-3,3]的一阶和二阶数值导数，作出原函数与一、二阶导函数的图形，并观察函数的单调性、凹凸性、极值、拐点与一、二阶导数之间的关系。

x =-3:0.01:3; f =x .^2.*s i n (x );
f x =
g r a d i e n t (f ,x ) f x x =g r a d i e n t (f x ,x ) p l o t (x ,f , x ,f x ,'r --', x ,f x x ,'k --'), g r i d o n
☐ 思考：怎样求函数在指定点的数值导数？
比如：上面函数在x =1.5和x =1.501的数值导数是多少？ f (f i n d (x ==1.5)) 或者 f (x ==1.5) 一般方法：[p ,q ]=m i n (a b s (x -x 0)); f (q )
◆数值偏导数
● [f x , f y ]=g r a d i e n t (f , x , y )
该命令求二元函数f 的数值偏导数f ’x 和f ’y
4 10 12 1
5 22 28 34 40
1
3
6
8
9
5
3
其中，x,y分别是自变量x和y的一组取值(向量表示)；
f是定义在x-y平面点集区域上的函数值(矩阵表示)，平面点集区域可以使用
m e s h g r i d命令生成；
f x和f y分别得到每个点处偏x和偏y的偏导数值(矩阵表示)。

☐说明：x和y的取值越密集，得到的偏导数值就越精确；该命令常用于求解离散型数据的方向导数、梯度、散度、旋度等。

●举例
◆数值定积分
●梯形法数值积分：t r a p z(x,y)
其中x表示自变量在积分区间的一组取值，y表示被积函数对应于x的一
组函数值。

●例：计算前面例题中的横断面积
x=[0,4,10,12,15,22,28,34,40];
y=[0,1,3,6,8,9,5,3,0];
s=t r a p z(x,y)
●例：求积分
解：x=-1:0.1:1;y=e x p(-x.^2);t r a p z(x,y)
●高精度数值积分：q u a d(f,a,b)或q u a d l(f,a,b)
求函数f在区间[a,b]上的定积分，其中：f使用字符串函数表达式或内
联函数，定义函数的乘、除、乘方时要使用点运算。

积分限a、b必
须是常量。

q u a d采用自适应步长S i m p s o n积分法
q u a d l采用高精度L o b a t t o积分法
●例求积分
解：z=q u a d l('e x p(-x.^2)',-1,1)
●注意：t r a p z,q u a d,q u a d l都不能用于求反常积分。

◆数值重积分
●矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分：
→二重积分命令d b l q u a d(f,a1,a2,b1,b2)
f 为被积函数, 积分区域为矩形[a 1, a 2; b 1, b 2] →三重积分命令 t r i p l e q u a d (f , a 1, a 2, b 1, b 2 , c 1, c 2)
f 为被积函数, 积分区域为立方体[a 1, a 2; b 1, b 2; c 1, c 2]
说明：①被积函数使用字符串函数表达式或内联函数；②乘、除、乘方要用点运算；③积分限必须是常量；④f 是字符串函数表达式时，积分的顺序按照自变量的字典顺序进行，f 是内联函数时，积分的顺序按照自变量的定义顺序进行。

● 积分顺序举例
d b l q u a d ('s i n (t ./r .^2)',1,2,6,9)
即二重积分
f =i n l i n e ('s i n (t ./r .^2)', 't ', 'r ') d b l q u a d (f ,1,2,6,9)
即二重积分
微积分的数值运算
◆数值重积分
● 例计算重积分
92261sin t
dt dr r ⎰
⎰9
2
26
1
sin t dr dt r
⎰
⎰。